Реферат: Методы решения некорректно поставленных задач

--PAGE_BREAK--2.2.
Квазирешения

2.2.1.  Пусть оператор А в уравнении(2; 0,1) — вполне непрерывный. Построение устойчивого к малым измене­ниям правой части и приближенного решения уравнения (2; 0,1) по формуле

                                                                 z=A-1u                (2; 2,1)

возможно в тех случаях, как отмечалось в2.1. , когда ре­шение ищется на компакте МÌFи правая часть уравне­ния принадлежит множествуN =AM.

Обычно не существует эффективных критериев, поз­воляющих установить принадлежность элемента и множествуN. Это приходится предполагать известным априори. В практических задачах часто вместо точного значения правой части иTнам известно ее приближенное значение u1, которое может не принадлежать множествуN=AM. В этих случаях нельзя строить приближенное решение уравнения(2; 0,1) по формуле(2; 2,1), так как сим­вол А-1uможет не иметь смысла.

2.2.2.Стремление устранить затруднения, связанные с от­сутствием решения уравнения(2; 0,1) при неточной правой части, привело В. К. Иванова к понятию квазирешения уравнения(2; 0,1) — обобщению понятия решения этого уравнения.

Элементz1ÎМ,минимизирующий при данном и функ­ционалrU(Az1,и)на множестве М, называется квазиреше­нием уравнения(2; 0,1) на М,

<img width=«261» height=«57» src=«ref-1_293054258-2384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">

Если М— компакт, то квазирешение, очевидно, существу­ет для любого иÎUи если, кроме того, иÎAM,то ква­зирешениеz1 совпадает с обычным (точным) решением уравнения(2; 0,1). Квазирешение может быть и не одно. В этом случае под квазирешенпем будем разуметь любой элемент из множества квазирешенийD.

Можно указать достаточные условия, при которых квазирешение единственно и непрерывно зависит от пра­вой части и.

Напомним определение. Пусть элемент у и множество Qпринадлежат пространствуU. ЭлементqмножестваQ называется проекцией элемента у на множествоQ, q=Ру, если выполняется равенство

<img width=«182» height=«65» src=«ref-1_293056642-3261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">

Теорема1.
Если уравнение Аz=uможет иметь на компакте М не болееодного решения и проекция каждого элемента uÎUна множествоN=AMединственна, то квазирешение уравнения(2; 0,1) единственно и непре­рывно зависит от правой части u.

Доказательство. Пустьz1 —квазирешение и и1=А
z1
.Очевидно, и1есть проекция элемента uна множе­ствоN =AM.По условию теоремы она определяется од­нозначно. Отсюда, в силу взаимной однозначности ото­бражения множества М на множествоN,следует един­ственность квазирешенияz1.

Очевидно, чтоz1 = А-1u=А-1
Ри.Согласно лемме о непрерывности обратного отображения компакта(см. предыдущий параграф) оператор А-1 непрерывен наN. Оператор проектирования Р непрерывен наU. Поэтому А-1P
— непрерывный на U оператор и, следовательно, квазирешениеz1непрерывно зависит от правой части и.

Таким образом, при переходе к квазирешению восста­навливаются все условия корректности, т. е. задача на­хождения квазирешения уравнения(2; 0,1) на компакте М является корректно поставленной.

Если условие единственности решения уравнения (2; 0,1) не выполнено, то квазирешения образуют некото­рое множествоDэлементов компакта М. В этом случае без упомянутых в теореме1 ограничений на множествоN имеет место непрерывная зависимость множества квази­решенийD от и в смысле непрерывности многозначных отображений. Для случая, когда уравнение(2; 0,1) линейно, легко получить более общие результаты, содержащиеся в сле­дующей теореме.

Теорема2.Пусть уравнение(2; 0,1) линейно, одно­родное уравнение Az=имеет только нулевое решение, множество М выпукло, а всякая сфера в пространствеU строго выпукла. Тогда квазирешение уравнения(2; 0,1) на компакте М единственно и непрерывно зависит от пра­вой части и.

Доказательство. Пусть  z1—квазирешение и u1=Az1.Так как множество М выпукло, то в силу линей­ности оператора А множествоN=AMтакже выпукло. Очевидно, что и1есть проекция элемента и на множество N. В силу того, что сфера в пространствеU по условию теоремы строго выпукла, проекция и определяется одно­значно. Далее доказательство завершается, как в тео­реме1.

2.2.3.ПустьFиU —гильбертовы пространства, МÎSR — шар(||z ||<=R) в пространствеF и А— вполне непре­рывный линейный оператор.

В этом случае квазирешение уравнения(2; 0,1) мож­но представить в виде ряда по собственным элементам (функциям, векторам) jnоператора А*А, где А*— опе­ратор, сопряженный оператору А.

Известно, что А*А— самосопряженный положитель­ный вполне непрерывный оператор изF вF. Пусть l1>=l2>=…>=ln>=…—полная система его собственных значений,a j1,j2,…,jn,…—отвечающая им полная ортонормированная система его собственных элементов (функций, векторов). Элемент А*и можно представить в виде ряда

                          <img width=«150» height=«57» src=«ref-1_293059903-1633.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">                                                       (2;2,2)

В этих условиях справедлива

Теорема3.
Квазирешение уравнения(2, 0,1) намножествеSR
выражается формулами:

                                <img width=«151» height=«73» src=«ref-1_293061536-1756.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">                                          (2;2,3)

если

                                            <img width=«109» height=«62» src=«ref-1_293063292-1587.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">                                              (2;2,4)

и
                                           <img width=«185» height=«72» src=«ref-1_293064879-1876.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">                             

если

                                          <img width=«131» height=«56» src=«ref-1_293066755-1705.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">                                           (2;2,5)

           

Здесьb—корень уравнения

                                            <img width=«191» height=«60» src=«ref-1_293068460-2104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">                          (2;2,6)   
Доказательство. Квазирсшение минимизирует функционал

                                         rU2(Az,u)== (Az —u, Az— u)                           (2;2,7)

(где (v,w)—скалярное произведение элементовvиwиз U),уравнение Эйлера для которого имеет вид

                                         A*Az=A*u.                                                             (2;2,8)
Решение этого уравнения будем искать в виде ряда по системе {jn}:
                                       <img width=«172» height=«55» src=«ref-1_293070564-1406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">                                       (2;2,9)      
Подставляя этот ряд в уравнение(2; 2,8) и используя разложение (2;2,2), находим сn=bn/ln. Следователь­но, неравенство(2; 2,4) означает, что||z||<Rи речь идет о нахождении безусловного экстремума функциона­ла(2; 2,7). Ряд(2; 2,3) и будет решением задачи.

Если же выполняется неравенство(2; 2,5), то это означает, что||z||>=Rи надо решать задачу на услов­ные экстремум функционала(2; 2,7) при условии, что ||z||2=R2.  Методом неопределенных множителей Лагранжа эта задача сводится к нахождению безусловного экстремума функционала

(Аz-u, Аz-u)+b(z, z),
а последняя— к решению отвечающего ему уравнения ЭйлераA*Az+bz=А*и.Подставляя сюдаz в виде ряда (2; 2,9) и используя разложение(2; 2,2), находим

<img width=«129» height=«46» src=«ref-1_293071970-1204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">

Параметр bопределяем из условия ||z ||2=R2, которое эквивалентно(2; 2,6).
2.3.
Приближенное нахождение квазирешений

В предыдущем параграфемы видели, что нахождение квазирешения связано с нахождением элемента в беско­нечномерном пространстве. Для приближенного нахожде­ния квазирешения естественно переходить к конечномер­ному пространству. Можно указать достаточно общий под­ход к приближенному нахождению квазирешений урав­нения(2; 0,1) , в котором А—вполне непре­рывный оператор.

Будем полагать, что выполнены указанные в  2.2. дос­таточные условия существования единственного квазире­шения на заданном множестве М, т. е. полагаем, что множество М— выпуклый компакт и сфера в пространст­веU строго выпукла. Пусть

                                M1 Ì M2 Ì...Ì Mn Ì...

—возрастающая цепочка компактных замкнутых множеств Мnтакая, что замыкание их объединения<img width=«44» height=«45» src=«ref-1_293073174-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039"> совпадает с М. Квазирешение уравнения(2; 0,1) сущест­вует на каждом множестве Мn
.Но оно может быть не единственным. Обозначим через Тnсовокупность всех квазирешений на множестве Мn
.

Покажем, что в качестве приближения к квазиреше­нию z1на множестве М можно брать любой элементz1nиз Тn
.
 При этом

<img width=«180» height=«36» src=«ref-1_293073444-1810.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">

ПустьNn =АМnи Вn
—множество проекций элемен­та и на множествоNn .Очевидно, что Вn=АТn
 и N1 ÍN2 Í…ÍNn;тогда

            rU(u,N1)>= …>=rU (u,Nn)>=… rU (u,N)= rU (u,Az1) .                         (2;3,1)
Так как множество<img width=«41» height=«45» src=«ref-1_293075254-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">всюду плотно наN, тодлявсякого e>0 найдется такое число n0(e), что для всех п>n0(e)                                     

                      rU(u,Nn)<rU(u,N)+e                                 (2; 3,2)

Из(2; 3,1) и(2; 3,2) следует, что

                            <img width=«290» height=«34» src=«ref-1_293075520-2352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">                (2;3,3)




                                                                                                                     (2;3,4)    

Каждое множествоВnесть компакт, так как оно является замкнутым подмножеством компактаNn.ПоэтомувВn

 найдется такой элемент уn , что

rU(yn ,u) = inf rU(y,u)

                  yÎBn

Последовательность {yn} имеет хотя бы одну пре­дельную точку, принадлежащуюN,так какN — компакт. Пусть у
—какая-нибудь предельная точка множества {yn} и {уnk} — подпоследовательность, сходящаяся к y0 ,т. е.

<img width=«268» height=«44» src=«ref-1_293082421-2009.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">

Из(2; 3,3) и(2; 3,4) следует, что

<img width=«492» height=«78» src=«ref-1_293084430-10293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">

Таким образом,

rU(u,y0)=rU(u,N).

Отсюда и из единственности квазирешения на множестве М следует, что

y0=Az1.

Так как у
—произвольная предельная точка множества {yn}, то последовательность {уn} сходится к Аz1. Это и означает,что в качестве приближения к квазирешению мож­но брать любой элемент z1nиз множества Тп,так как в силу леммыпараграфа 2.1.z1nàz*при nà¥.

Если в качестве Мп брать конечномерные (n-мерные) множества, то задача нахождения приближенного квази­решения на компакте М сводится к минимизации функ­ционалаrU(Az,u) на множестве Мп
,т. е. к нахождению минимума функции п переменных.

2.4.
Замена уравнения А
z
=
u
близким ему

Уравнения вида(2; 0,1), в которых правая часть uне принадлежит множествуN=AM,изучались М. М. Лав­рентьевым. Ему принадлежит идея замены исходного уравнения(2; 0,1) близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части uÎU.В простей­шем случае это делается следующим образом.

ПустьFºUºН—гильбертовы пространства, А— линейный, ограниченный, положительный и самосопря­женный оператор,SRº{х, ||x||<=R,xÎF}есть шар радиуса Rв пространствеF,В— вполне непрерывный оператор, определенный на SRпри любом R> 0.В ка­честве класса корректности М берется множество DR=BSR—образ шара SRпри отображении с помощью оператора В. Предполагается, что искомое точное решение zTуравнения(2; 0,1) с правой частью u=uTсуществует и принадлежит множеству DR. Уравнение(2; 0,1) заме­няется уравнением

                               (A+aE)z ºAz+az=u ,                                         (2:4,1)

где a>0 – числовой параметр. Решение уравнения

                                   za=(A+aE)-1u ,                                                  (2; 4,2)

при соответствующем выборе параметра a, принимается за приближенное решение уравнения(2; 0,1). Здесь Е— единичный оператор.

Замечание. Для оценки уклонения rF(zT,zd)приближенного решения от точного можно использовать мо­дуль непрерывности wобратного оператора наN.

Пустьu1, u2ÎN  и  rU(u1,u2)<=d. Тогда

            w(d,N)= sup  rF(A-1u1,A-1u2).

                                             u1,u2ÎN

Очевидно, что еслиrU(uT,ud)<=d  и  zd=A-1ud, то

                                                         rF(zT,zd)<=w(d,N).

Вернемся к уравнению(2; 4,1). Если|| Az ||<=dи w(d,DR)=sup||z||,   то легко

                                                                                                                  DR

получить оценку уклонения  zaотzT.Очевидно, что

                  || za— zT  ||<=||za1 — zT|| + ||za— za1||,                                      (2;4,3)

где

za1=(A + aE)-1uT.

Следовательно,

||za— zT||<=w(d,DR) + d/a.                              (2;4,4)

Если известен модуль непрерывности w(d,DR)или его мажоранта, то из(2; 4,4) можно найти значение пара­метра  wкак функцию d, при котором правая часть в не­равенстве(2; 4,4) будет минимальной.

    продолжение
--PAGE_BREAK--2. 5.
Метод квазиобращения

2.5.1.Известно, что задача Коши для уравнения тепло­проводности с обратным течением времени является не­устойчивой к малым изменениям начальных значений. Неустойчивость сохраняется и в случаях, когда решение подчиняется некоторым дополнительным граничным усло­виям. Для устойчивого решения таких задач разработан метод квазиобращения.Мы изложим существо его для простейшего уравнения теплопроводности, не вда­ваясь в вопросы обоснования. Подробное изложение в применении к более широкому классу задач содержится в.

2.5.2.Рассмотрим прямую задачу. ПустьD—конечная область n-мерного евклидова пространстваRnточек x =(x1,x2,..., xn), ограниченная кусочно-гладкой по­верхностьюS, a t—время. Пусть, далее, j(x)—заданнаянепрерывная вD функция. Прямая задача состоит в на­хождении решения u=
u(x,t)уравнения
                               <img width=«195» height=«45» src=«ref-1_293094723-1182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">                                    (2;5,1)
в областиG º{xÎD, t> 0},удовлетворяющего гранич­ным условиям

u(х,t)=0приxÎS                                                     (2; 5,2)

и начальным условиям

u(x,0)=j(x).                                                             (2; 5,3)

 Здесь

<img width=«178» height=«59» src=«ref-1_293095905-1713.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">

Известно, что решение такой задачи существует. Каждой функции j(x)ÎC отвечает решение задачи(2; 5,1)— (2; 5,3). Будем обозначать его через u(х,t;j).

Обратная задача состоит в нахождении функции j(х)по известной функции u(х,t;j). В реальных задачах функция u(x,t;j)обычно получается в результате изме­рений и, следовательно, известна приближенно. Будем по­лагать, что uÎL2.Такая функция может и не соответст­вовать никакой «начальной» функции j(х). Таким обра­зом, может не существовать в классе функций С решения обратной задачи. Поэтому будем рассматривать задачу нахождения некоторого обобщенного решения обратной задачи.

Пусть заданы число T> 0и функция y(x), опреде­ленная в областиD,y(x)ÎL2.На функциях  j(х) класса С определен функционал

<img width=«280» height=«58» src=«ref-1_293097618-2402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">

Обобщенным решениемобратной задачи будем называть функцию j(х)., на которой достигается

                                                              f=inf f(j)

        jÎC

Замечание. «Естественный» подход к решению этой задачи— выбрать функцию j(х).так, чтобы f(j)=0            .

Для этого достаточно найти решение прямой задачи

                     <img width=«172» height=«38» src=«ref-1_293100020-1183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">

u(x, t)= 0для хÎS,  0 <t<T;

u(x,T) = y(x)

и положить j(x)= u(x,0).Но такая задача при задан­ной функции y(x)из L2,вообще говоря, неразрешима и, кроме того, неустойчива к малым изменениям функ­ции y(x).

На некотором классе обобщенных функций j(x)f0=0 . Поэтому рассматривается задача на­хождения приближенного значения f0с заданным уровнем погрешности.

Для заданного числаe> 0найти функциюje(x),на которойf(je)<=e.

Эта задача и решается методом квазиобращения.

Идея метода квазиобращения состоит в том, что вмес­то оператора теплопроводности<img width=«51» height=«19» src=«ref-1_293101203-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">  находится «близ­кий» ему оператор Вa,для которого задача с обращением отсчета времени

Baua= 0,xÎD,t<Т, a> 0;

ua(x,T)=y(x);

ua(x,t)= 0 для xΠS, t<Т


устойчива. Решив эту задачу, полагают j(x)=ua(x,0). Обычно в качестве оператора Вaберут оператор <img width=«140» height=«41» src=«ref-1_293101439-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> и решают прямую задачу
xÎ
D,          t<T,          a>0;


                                                        ua(x,T)=y(x);
                      ua(x,t)= 0 для xΠS,  0< t<=Т


                       Dua=0    для xΠS,  0< t<=Т.
Затем полагают

                                    j

(x)=u
a
(x,0).


Следует отметить, чтоuaне сходится в обычном смыс­ле при a à.
3.МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

В главе предыдущем разделе рассмотрены случаи, когда класс возможных решений уравнения (2; 0,1) является компактом. Однако для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда этот классFне является компактом, и, кроме того, изме­нения правой части уравнения

                                                        
А
z= u,            
                            
      (
3
;0,1)

связанные с ее приближенным характером, могут выво­дить за пределы множестваAF—образа множества F при отображении его с помощью оператора А. Такие задачи  называются существенно некорректными. Был разработан новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения (3; 0,1), устойчивые к малым изме­нениям исходных данных, для существенно некорректных задач. В основе этого подхода лежит фундаментальное понятие регуляризирующего оператора(P.O.) .Для упрощения изложения в настоящей главе мы будем полагать, что в уравнении (3; 0,1) приближенной может быть лишь пра­вая часть и, а оператор А известен точно.
3.1. Понятие регуляризирующего оператора

3.1.1. Пусть оператор А в уравнении (3; 0,1) таков, что обратный ему оператор

A-1 не является непрерывным на множестве AF и множество возможных решений F не является компактом.

ПустьzTесть решение уравненияAz=uT,т. е. AzT
=uT.Часто вместо uTмы имеем некоторый элемент udи известное число d> 0 такие, что rU(ud,uT)<=d, т. е. вместо точных исходных данных (uT,А)мы имеем при­ближенные исходные данные (ud, А) и оценку их погрешности d. Задача состоит в том, чтобы по известным исход­ным данным(ud,A, d) найти приближениеzdк элементу zt,обладающее свойством устойчивости к малым измене­ниямud.Очевидно, что в качестве приближенного реше­ния zdуравнения (3; 0,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенной правой частью и=ud, т. е. элементzT,определяемый по формуле

                                                         zd=A-1 ud

так как оно существует не для всякого элементаuÎU ине обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части и.

Числовой параметр dхарактеризует погрешность пра­вой части уравнения (3;0,1). Поэтому представляется естественным определитьzdс помощью оператора, зави­сящего от параметра, значения которого надо брать согла­сованными с погрешностью dисходных данныхud.Эта согласованность должна быть такой, чтобы при dà, т. е. при приближении (в метрике пространства U) правой части udуравнения (3; 0,1) к точному значениюuT,при­ближенное решениеzdстремилось бы (в метрике прост­ранстваF)к искомому точному решениюztуравнения AzT=uT.

Пусть элементыzTÎF и  uTÎUсвязаны соотношением AzT= uT.

Определение 1.Оператор R(и,d), действующий из пространства U в пространство F, называется регуля-ризирующим для уравнения Az= и (относительно эле­мента uT), если он обладает свойствами:

1) существует такое числоd1> 0, что оператор R(u,d) определен для всякого d, 0<=d<=d1, и любого udÎUтакого, что

                                      rU(ud,uT)<=d;

2) для всякого e> 0 существует d0=d0(e, ud)<=d1такое, что из неравенства

                                    rU(ud,uT)<=d<= d0;

следует неравенство

rF(zd,zT)<=e,

 где

zd=R(ud,d).

Здесь не предполагается, вообще говоря, однозначность оператораR(u,d). Черезzdобозначается произвольныйэлемент из множества {R(ud,d)} значений оператора R(ud,d).

3.1.2. В ряде случаев целесообразнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора(P.O.).

Определение 2.Оператор R(u,a), зависящий от параметра aи действующий из U в F, называется регуляризирующим для  уравнения Az
=и(относительно эле­мента uT), если он обладает свойствами:

1) существуют такие числаd1>0,a1>0,что опера­торR(u,a
)определен для всякого a, принадлежащего промежутку (0,a1), и любого uÎU,для которого

rU(u,uT)<=d1;

2) существует такой функционал a=a(u,d), опреде­ленный на множестве   Ud1º{u;r(u,uT)<=d1}эле­ментов иÎU,что для любого e> 0 найдется число d(e)<=d1такое, что еслиu1ÎU и rU(u1,uT)<=d<=d(e), то

rF(za,zT)<=e, где

za=R(u1,a(u1,d)).

В этом определении не предполагается однозначность оператора R(u1,a(u1,d)). Следует отметить, что при  a=dполучаем определение 1 .

     3.1.3. Если rU(ud,uT)<=d, то известно, что в качест­ве приближенного решения уравнения (3; 0,1) с прибли­женно известной правой частью udможно брать элемент za=R(d,a), полученный с помощью регуляризирующе­го оператораR(u,a ), где a=a(ud)=a1(d)согласовано с погрешностью исходных данных ud. Это решение назы­вается регуляризованным решением уравнения (3; 0,1). Числовой параметр  aназывается параметром регуляриза­ции. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации a, согласо­ванного с погрешностью исходных данныхud,a=a(ud), определяет устойчивый к малым изменениям правой час­ти и метод построения приближенных решений уравнения (3;0,1). Если известно, что rU(ud,uT)<=d, то согласно определению регуляризирующего оператора можно так выбрать значение параметра регуляризации a=a(ud) ,

что при dà0 регуляризованное решение R(ud,a(ud))стремится (в метрикеF) к искомому точному ре­шениюzT,т. е.rF(zT,za(ud)).Это и оправдывает пред­ложение брать в качестве приближенного решения урав­нения (3; 0,1) регуляризованное решение.

Таким образом, задача нахождения приближенного решения уравнения (3; 0,1), устойчивого к малым изме­нениям правой части, сводится:

а) к нахождению регуляризирующих операторов;

б) к определению параметра регуляризации aпо до­полнительной информации о задаче, например, по величи­не погрешности, с которой задается правая частьud.

Описанный метод построения приближенных решений называется методом регуляризации.



3.2. О решении вырожденных и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений

3.2.1. Известно, с какими трудностями связано решение так называемых плохо обусловленных систем линей­ных алгебраических уравнений: малым изменениям пра­вых частей таких систем могут отвечать большие (выхо­дящие за допустимые пределы) изменения решения.

Рассмотрим систему уравнений

                                                            А
z
=
u
,                                                              (3; 2,1)

где А — матрица с элементами aij, А={aij}, z— иско­мый вектор с координатами zj ,z={zj}, и — известный вектор с координатами иi
,
u= {ui}, i, j =1, 2, ..., п.
Система (3; 2,1) называется вырожденной, если опреде­литель системы равен нулю, detA= 0.В этом случае матрица А имеет равные нулю собственные значения. У плохо обусловленных систем такого вида матрица А имеет близкие к нулю собственные значения.

Если вычисления производятся с конечной точностью, то в ряде случаев не представляется возможным уста­новить, является ли заданная система уравнений вырож­денной или плохо обусловленной. Таким образом, плохо обусловленные и вырожденные системы могут быть не­различимыми в рамках заданной точности. Очевидно, такая ситуация имеет место в случаях, когда матрица А имеет достаточно близкие к нулю собственные значения.

В практических задачах часто правая часть и и эле­менты матрицы А, т. е. коэффициенты системы (3; 2,1), известны приближенно. В этих случаях вместо системы (3;2,1)мы имеем дело с некоторой другой системой Az=итакой, что ||A-A||<=h, ||u-u||<=d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея

вместо матрицы А матрицу A, мы тем более не можем высказать определенного суждения о вырожденности или невырожденности системы (3; 2,1).

В этих случаях о точной системе Аz=u, решение которой надо определить, нам известно лишь то, что для матрицы А и правой части и выполняются неравенства

||A-A||<=h, ||u-u||<=d. Но систем с такими исходными данными (А, и) бесконечно много, и в рамках извест­ного нам уровня погрешности они неразличимы. Поскольку вместо точной системы (3; 2,1) мы имеем приближенную систему Аz=
и,то речь может идти лишь о нахождении приближенного решения. Но приближенная система Аz
=иможет быть неразрешимой. Возникает вопрос:

что надо понимать под приближенным решением систе­мы (3; 2,1) в описанной ситуации?

Среди «возможных точных систем» могут быть и вы­рожденные. Если они разрешимы, то имеют бесконечно много решений. О приближенном нахождении какого из них должна идти речь?

Таким образом, в большом числе случаев мы должны рассматривать целый класс неразличимых между собой (в рамках заданного уровня погрешности) систем урав­нений, среди которых могут быть и вырожденные, и неразрешимые. Методы построения приближенных реше­ний систем этого класса должны быть одними и теми же, общими. Эти решения должны быть устойчивыми к малым изменениям исходных данных (3; 2,1).

В основе построения таких методов лежит идея «от­бора». Отбор можно осуществлять с помощью специальных, заранее задаваемых функционалов W[ z ] , входящих в постановку задачи.

Неотрицательный функционал W[ z ], определенный на всюду плотном в F подмножестве F1множества F, называется стабилизирующим функционалом, если:

а) элемент zTпринадлежит его области определения;

б) для всякого числа d>0 множество F1,dэлементов z из F1, для которых

W[ z ]<=d, компактно на F.

3.2.2. Итак, рассмотрим произвольную систему линейных алгебраических уравнений (короче — СЛАУ)

Аz=u,                                            (3; 2,2)

в которой zи u—векторы, z=(z1, z2, ...,zn)ÎRn, и=(u1,u2, ...,un)ÎRm, А—матрица с элементами aij, А= {aij}, где j=1, 2, ..., n; i= 1, 2, ..., т, и число п не обязано быть равным числу т.

Эта система может быть однозначно разрешимой, вы­рожденной (и иметь бесконечно много решений) и не­разрешимой.

Псевдорешениемсистемы (3; 2,2) называют вектор z, минимизирующий невязку ||Az – u ||на всем пространстве Rn. Система (3; 2,2) может иметь не одно псевдоре­шение. Пусть FAесть совокупность всех ее псевдореше­ний и z1— некоторый фиксированный вектор изRn
,оп­ределяемый обычно постановкой задачи.

Нормальным относительно вектораz1решением си­стемы (3;2,2) будем называть псевдорешение z0с ми­нимальной нормой || z – z1 ||, т. е. такое, что

|| z0– z1 || = <img width=«92» height=«32» src=«ref-1_293103626-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">
Здесь <img width=«109» height=«55» src=«ref-1_293103921-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055"> . В дальнейшем для простоты записи будем считать z1= 0 и нормальное относительно вектора z1=0 решение называть просто нормальным ре­шением.

Для любой системы вида (3; 2,2)  нормальное решение существует и единст­венно.

Замечание 1. Нормальное решение z° системы (3;2,2) можно определить также как псевдорешение, минимизирующее заданную положительно определенную квадратичную форму относительно координат вектора z—z1. Все излагаемые ниже результаты остаются при этом справедливыми.

Замечание 2.Пусть ранг матрицы А вырожден­ной системы (3; 2,1) равен r <nи zr+1,zr+2, …, zn— базис линейного пространства NA
,состоящего из элемен­тов z, для которых Аz
=

,NA= {z; Аz
=0}. Решение z° системы (3; 2,1), удовлетворяющее n—rусловиям ортогональности

                                 (z0– z1, zS)= 0,   S= r+ 1, r+ 2,… ,n,                      (3; 2,3)

определяется однозначно и совпадает с нормальным ре­шением.

3.2.3. Нетрудно видеть, что задача нахождения нормаль­ного решения системы (3; 2,2) является некорректно поставленной. В самом деле, пусть А — симметричная матрица. Если она невырожденная, то ортогональным преобразованием

z= Vz*, u= Vu*

ееможно привести к диагональному виду и преобразо­ванная система будет иметь вид

lizi*=ui*, i= 1, 2,. ..,п,

где li— собственные значения матрицы А.

Если симметричная матрица А — невырожденнаяи имеет ранг r, то n – r  ее собственных значений равны нулю. Пусть

li¹для i=1, 2, ..., r;

и

li=0 для i=r+1,r+2, …, n.

Полагаем, что система (3; 2,2) разрешима. При этом ui*= 0 для i=r+ 1, ..., n.

Пусть «исходные данные» системы (А и и) заданы с погрешностью, т. е. вместо А и и заданы их прибли­жения А и u
:

 || A – A ||<=h,  ||u – u||<=d. При этом           

                                <img width=«303» height=«46» src=«ref-1_293104311-6088.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">                        (3;2,4)

Пусть li—собственные значения матрицы А. Извест­но, что они непрерывно зависят от А в норме (3; 2,4). Следовательно, собственные значения lr+1, lr+2, …,lnмогут быть сколь угодно малыми при достаточно малом h.

Если они не равны нулю, то
             zi*=<img width=«44» height=«45» src=«ref-1_293110399-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">.

Таким образом, найдутся возмущения системы в пре­делах любой достаточно малой погрешности А и и, для которых некоторые zi*будут принимать любые наперед заданные значения. Это означает, что задача нахожде­ния нормального решения системы (3; 2,2) является неустойчивой.

Ниже дается описание  метода нахождения нормального   решения системы (3; 2,2), устойчивого к малым (в норме (3; 2,4)) возму­щениям правой части и , основанного на методе регуляризации.
3.3
. Метод регуляризации нахождения нормального решения

3.3.1. Пусть z° есть нормальное решение системы

А
z= и.                   (3; 3,1)

Для простоты будем полагать, что прибли­женной может быть лишь правая часть, а оператор (матрица) А — точный.

Итак, пусть вместо и мы имеем вектор и, || и — и ||<=d ;т. е. вместо системы (3;3,1) имеем систему

--PAGE_BREAK-- Это следует непосредственно также из того, что функционал W[ z ] = ||z||2  является сстабилизирующим и квазимонотонным. Стабилизирующий функционал W[ z ] называется квазимонотонным , если каков бы ни был элемент z из F1 , не принадлежащий множеству M0 , в любой его окрестности найдется элемент z1из F1, для которого W[ z1 ]<W[ z ], т.е. если функционал не имеет локальных минимумов на множестве F1\ M0.
Задачу нахождения вектора zd  можно поставить так:среди векторов z, удовлетворяющих условию ||Az – u ||=m+2d  , найти вектор zd с минимальной нормой, т. е. минимизирующий функционал W[ z ]=||z||2.

Последнюю задачу можно решать методом Лагранжа, т. е. в качестве zdбрать вектор za, минимизирующий функционал

Мa[z, u] = ||Az — u ||2+a||z||2,         a>0,

с параметром a, определяемым по невязке, т. е. из ус­ловия ||Аza— u||=d1.  При этом параметр  aопределяется однозначно .

3.3.4. Поскольку Мa[z, u]  — квадратичный функционал, то для любых uÎRmи  a> 0 существует лишь один минимизирующий его вектор za. В самом деле, допустим,

что существуют два вектораzaи za, минимизирующие его. Рассмотрим векторы z, расположенные на прямой (пространстваRn), соединяющей zaи za:

z = za+ b(za-za).

Функционал Мa[z, u]  на элементах этой прямой есть неотрицательная квадратичная функция от b. Следова­тельно, она не может достигать наименьшего значения при двух различных значениях b: b= 0 (z=za) иb=1 (z=za).

Компонентыzjaвектора za  являются решением си­стемы линейных алгебраических уравнений

<img width=«349» height=«52» src=«ref-1_293110666-3017.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">

получающихся из условий минимума функционала Мa[z, u]:

<img width=«148» height=«51» src=«ref-1_293113683-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">

Здесь

<img width=«283» height=«53» src=«ref-1_293114082-5305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">
Компоненты zja  могут быть определены и с помощью какого-нибудь другого алгоритма минимизации            функцио­налаМa[z, u].

Векторza   можно рассматривать как результат приме­нения к uнекоторого оператораza=R(u, a), завися­щего от параметра a.

Покажем, что операторR0(u, a)является регуляризирующим для системы (3;3,1), т. е. обладает свойствами 1) и 2) определения 2 (см. 3.1.2.). В п. 3.3.2.было сказано, что он определен для всяких uÎRmи  a> О и, следовательно, обладает свойством 1). Теперь пока­жем справедливость свойства 2), т. е. существование таких функций a=a(d), что векторыza(d)= R0(u,a(d)) сходятся к нормальному решению z° системы (3; 3,1) при dà0. Это непосредственно следует из приводимой ниже теоремы 2.

Теорема 2( Тихонова). Пустьz°есть нормальное решение си­стемыAz=uи вместо вектора u мы имеем векторu  такой, что ||u—u||<=d. Пусть, далее,b1(d)и b2(d)— какие-либо непрерывные на [0, d2] и положительные на (,d2] функции, монотонно стремящиеся к нулю при dà0 и такие, что

                                      <img width=«193» height=«45» src=«ref-1_293119387-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">

Тогда для любой.положительной на (0, d2] функции a=a(d), удовлетворяющей условиям

<img width=«173» height=«45» src=«ref-1_293119835-449.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062">

векторы za(d)= R0(u,a(d))  сходятся к нормальному ре­шению z0системыAz= uпри dà, т. е.

<img width=«133» height=«31» src=«ref-1_293120284-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063">

Примечание. Доказательства теорем в данном разделе опущены, т.к. основной теоретической частью работы является раздел «Метод Подбора. Квазирешения». Метод Тихонова описан из-за использования его в численном эксперименте.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
          Для реализации численного примера был выбран метод Тихонова решения плохо обусловленных СЛАУ.  В качестве исходной была взята СЛАУ Az=u, имеющая в матричной записи вид:

<img width=«235» height=«75» src=«ref-1_293120627-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">

Определитель матрицы коэффициентов этой системы близок к нулю – он равен 0.000125. Попробуем решить эту систему с помощью обратной матрицы:

z=A-1u

Получим    z1=316

                    z2=-990

                    z3=832

Теперь предположим, что правая часть нам известна приближенно, с погрешностью 0.1  Изменим, к примеру, третий элемент вектора-столбца с 1 на 1.1 :

<img width=«247» height=«75» src=«ref-1_293121291-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">

Попробуем решить новую систему также с помощью обратного оператора. Мы получаем другой результат:

                   z1=348

                   z2=-1090

                   z3=916.

Мы видим, что малому изменению правой части данной системы отвечают весьма значительные изменения решения. Очевидно, эта система – плохо обусловленная, и здесь не может идти речи о нахождении решения близкого к точному с помощью обратного оператора.

            Будем искать решение методом Тихонова. В теоретической части было показано, что целесообразно использовать регуляризирующий оператор следующего вида:  (aE + ATA)za=ATud, где E – единичная матрица, za— приближенное нормальное решение, AT– транспонированная исходная матрица, a — параметр регуляризации,

ud—  правая часть, заданная неточно. Эту задачу можно решать стандартными методами, задав предварительно функцию a=a(d), удовлетворяющую условиям теоремы Тихонова. В моем примере это функция  a(d)=d/4d. Далее будем решать регуляризованную задачу с точностью e=0.001, последовательно изменяя значения a.

В качестве контр-примера можно подставить в программу любую функцию a(d), не удовлетворяющую условиям теоремы Тихонова. Любая положительная функция монотонно возрастающая, не обладающая свойством a(d)à0 при dà, не будет минимизировать невязку.

Текст программы приведен в приложении 1. Полная распечатка результатов приведена в приложении 2. Здесь же представлены окончательные значения на выходе из программы.
Приближение к нормальному решению

Z(1)= 3.47834819174013E+0002

Z(2)=-1.08948394975175E+0003

Z(3)= 9.15566443137791E+0002
Значение правой части при подстановке прибл. решения

U1(1)= 9.99997717012495E-0001

U1(2)= 1.00000741970775E+0000

U1(3)= 1.09948402394883E+0000
Значение параметра регуляризации:

 2.61934474110603E-0010

    продолжение
--PAGE_BREAK--