Реферат: О минимальных замкнутых тотально насыщенных не формациях конечных групп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Курсовая работа
О МИНИМАЛЬНЫХ />-ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ />-ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные результаты
Заключение
Литература
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].
При изучении внутреннего строения, а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные насыщенные не />-формации [3] или />-критические формации [4]. Напомним, что насыщенная формация />, называется минимальной насыщенной не />-формацией, если все собственные насыщенные подформации />содержатся в классе групп />. Задача изучения формаций такого рода впервые была поставлена Л.А. Шеметковым на VIсимпозиуме по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А.Н. Скибой [5].
В теории тотально насыщенных формаций изучение минимальных тотально насыщенных не />-формаций было начато А.Н.Скибой в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не />-формаций (/>– формация всех разрешимых групп нильпотентной длины />). В работах автора [6-10] теория минимальных />-замкнутых тотально насыщенных не />-формаций получила свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие теоремы.
Теорема 1 [10]. Пусть />и />– />-замкнутые тотально насыщенные формации, />. Тогда и только тогда /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-формация, когда />, где />– такая монолитическая />-минимальная не />-группа с монолитом />, что выполняется одно из следующих условий:
1) /> – группа простого порядка />;
2) /> – неабелева группа и />, где />– совокупность всех собственных />-подгрупп группы />;
3) />,
где /> – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в /> при всех />, а /> либо группа простого порядка />, либо такая монолитическая />-минимальная не />-группа с неабелевым монолитом />, что />, /> совпадает с />-корадикалом группы /> и
/>
где />– совокупность всех собственных />-подгрупп группы />.
Теорема 2 [10]. Пусть />и />– />-замкнутые тотально насыщенные формации, />. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-формация когда />удовлетворяет одному из следующих условий:
1) />, где />– такая монолитическая />-минимальная не />-группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой />, что справедливо включение />, где />– совокупность всех собственных />-подгрупп группы />;
2) />,
где /> и />;
3) />,
где />, а />– такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой />, что />совпадает с />-корадикалом группы />, />и />.
В настоящей работе, основываясь на результатах работы [10], мы даем описание />-критических формаций для некоторых наиболее известных формаций />.
1. Определения и обозначения
--PAGE_BREAK--Напомним, что всякую формацию групп называют 0-кратно насыщенной. При /> формацию /> называют />-кратно насыщенной, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого – />-кратно насыщенные формации. Формацию />-кратно насыщенную для любого целого неотрицательного /> называют тотально насыщенной.
Подгрупповым функтором [2] называют отображение /> сопоставляющее каждой группе /> такую систему ее подгрупп />, что: 1) />; 2) для любых групп /> и /> и любого эпиморфизма /> имеет место /> и />
Тотально насыщенную формацию /> называют />-замкнутой, если /> для любой группы />. />-Замкнутую тотально насыщенную формацию /> называют минимальной />-замкнутой тотально насыщенной не />-формацией (или, иначе, />-критической), если />, но все собственные />-замкнутые тотально насыщенные подформации из /> содержатся в классе групп />.
Пусть /> – />-замкнутая формация. Группа /> называется />-минимальной не />-группой, если />, но /> для любой собственной подгруппы /> из />.
Для всякой совокупности групп /> через /> обозначают />-замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп />, т.е. пересечение всех />-замкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих />. Если />, то /> называют однопорожденной />-замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любых />-замкнутых тотально насыщенных формаций /> и /> полагают />. Частично упорядоченное по включению /> множество всех />-замкнутых тотально насыщенных формаций /> с операциями /> и /> образует полную решетку. Формации из /> называют />-формациями. Экран, все непустые значения которого />-формации, называют />-значным. Если /> – />-формация, то через /> обозначают её минимальный />-значный локальный экран.
Для произвольной последовательности простых чисел /> и всякой совокупности групп /> класс групп /> определяют следующим образом:
1) />; 2) />.
Последовательность простых чисел /> называют подходящей для />, если /> и для любого /> число />. Множество всех подходящих для /> последовательностей обозначают через />. Символом /> обозначают совокупность всех таких последовательностей /> из />, у которых /> при всех />.
Пусть /> – некоторая подходящая для /> последовательность. Тогда />-значный локальный экран /> определяют следующим образом:
1) />; 2) />.
В дальнейшем через /> будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.
2. Используемые результаты
Лемма 2.1 [9].Пусть />– монолитическая группа,/>– неабелева группа. Тогда/>имеет единственную максимальную />-подформацию/>, где />– совокупность всех собственных />-подгрупп группы />. В частности, />.
Лемма 2.2 [2, c. 33].Пусть/>, где />– непустой класс групп. Тогда если />– минимальный />-значный экран формации />, то справедливы следующие утверждения:
1) />;
2) />
при всех простых числах />;
3) если />– произвольный />-значный экран формации />, то при любом />имеет место />
продолжение--PAGE_BREAK--
Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].
Лемма 2.3.Пусть />, />– />-замкнутые тотально насыщенные формации, />, />– канонический экран формации />. Тогда />является />-критической формацией в том и только в том случае, когда/>, где />– такая монолитическая />-минимальная не />-группа с монолитом />, что для всех />формация />/>-критична.
3. Основные результаты
Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных />-замкнутых тотально насыщенных не />-формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп />, поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание />-критических формаций для некоторых конкретных классов групп/>.
Минимальные />-замкнутые тотально насыщенные не />-разрешимые формации.
Напомним, что группу /> называют />-разрешимой, если /> для каждого ее главного />-фактора />. Пусть /> – формация всех />-разрешимых групп. Тогда, очевидно, />. Класс всех />-разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.1. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-разрешимая формация, когда />, где />– монолитическая />-минимальная не />-разрешимая группа с таким неабелевым монолитом />, что />и группа />/>-разрешима.
Доказательство. Необходимость. Пусть /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-разрешимая формация. По теореме 1 имеем />, где /> – такая монолитическая />-минимальная не />-разрешимая группа с монолитом />, что выполняется одно из следующих условий:
1) /> – группа простого порядка />;
2) /> – неабелева группа и />, где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />;
3) />,
где /> – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в /> при всех />, а /> либо группа простого порядка />, либо такая монолитическая />-минимальная не />-группа с неабелевым монолитом />, что />, /> совпадает с />-корадикалом группы /> и
/>
где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />.
Поскольку />, то /> – неабелева группа и />. Таким образом, группа /> удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность. Пусть />, где /> – группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация /> имеет единственную максимальную />-замкнутая тотально насыщенную подформацию />, где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />. Поскольку /> и />, то />. Следовательно, /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-разрешимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.1.1. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-разрешимая формация, когда />, где />– монолитическая />-минимальная не />-разрешимая группа с таким неабелевым монолитом />, что />и группа />/>-разрешима.
продолжение--PAGE_BREAK--
Следствие 3.1.2 [9]. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда />, где />– монолитическая />-минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом />, что группа />разрешима.
Если /> – тривиальный подгрупповой функтор, т.е. /> из теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.1.3. Тогда и только тогда />– минимальная тотально насыщенная не />-разрешимая формация, когда />, где />– монолитическая группа с таким неабелевым монолитом />, что />и группа />/>-разрешима.
Следствие 3.1.4 [7]. Тогда и только тогда />– минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда />, где />– монолитическая группа с таким неабелевым монолитом />, что группа />разрешима.
В случае, когда />– совокупность всех подгрупп группы /> из теоремы 3.1 получаем
Следствие 3.1.5. Тогда и только тогда />– минимальная наследственная тотально насыщенная не />-разрешимая формация, когда />, где />– простая неабелева минимальная не />-разрешимая группа.
Следствие 3.1.6. Тогда и только тогда />– минимальная наследственная тотально насыщенная не />-разрешимая формация, когда />, где />– простая неабелева минимальная не />-разрешимая группа.
Следствие 3.1.7. Тогда и только тогда />– минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда />, где />– простая неабелева минимальная неразрешимая группа.
Если /> – совокупность всех нормальных подгрупп группы /> имеем
Следствие 3.1.8. Тогда и только тогда />– минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не />-разрешимая формация, когда />, где />– простая неабелева />-группа.
Следствие 3.1.9. Тогда и только тогда />– минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не />-разрешимая формация, когда />, где />– простая неабелева />-группа.
Следствие 3.1.10. Тогда и только тогда />– минимальная нормально наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда />, где />– простая неабелева группа.
Минимальные />-замкнутые тотально насыщенные не />-нильпотентные формации.
Группа /> называется />-нильпотентной, если она имеет нормальную />-холловскую подгруппу для каждого />. Класс всех />-нильпотентных групп совпадает с произведением /> и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.2. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-нильпотентная формация, когда />, где />– не />-нильпотентная группа Шмидта.
Доказательство. Пусть /> формацию всех />-нильпотентных групп.
Необходимость. Пусть /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-нильпотентная формация. В силу теоремы 1 имеет место />, где /> – такая монолитическая />-минимальная не />-нильпотентная группа с монолитом />, что выполняется одно из следующих условий:
1) /> – группа простого порядка />;
2) /> – неабелева группа и />, где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />;
3) />,
где /> – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в /> при всех />, а /> либо группа простого порядка />, либо такая монолитическая />-минимальная не />-группа с неабелевым монолитом />, что />, /> совпадает с />-корадикалом группы /> и
/>
где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />.
Поскольку />, то первые два случая невозможны. Поэтому /> – абелева />-группа, где />. По лемме 2.2 имеем />. Поэтому />, где /> – группа простого порядка. Таким образом, /> – не />-нильпотентная группа Шмидта.
продолжение--PAGE_BREAK--
Достаточность. Пусть />, где /> – не />-нильпотентная группа Шмидта. Поскольку /> насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что />. Поэтому />, где /> – минимальная нормальная />-подгруппа группы />, /> а />– группа простого порядка />. Так как группа /> и все собственные подгруппы из /> нильпотентны, а следовательно, и />-нильпотентны, то /> – />-минимальная не />-нильпотентная группа и /> – />-нильпотентный корадикал группы />. Используя теперь теорему 1 заключаем, что /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-нильпотентная формация. Теорема доказана.
Используя теорему 2, получим
Следствие 3.2.1. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-нильпотентная формация, когда />, где />и />– различные простые числа, />.
В случае, когда /> из теорем 3.2 и 2 вытекают
Следствие 3.2.2. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-нильпотентная формация, когда />, где />– не />-нильпотентная группа Шмидта.
Следствие 3.2.3. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-нильпотентная формация, когда />, где />– отличное />простое число.
Если теперь /> – множество всех простых чисел из теоремы 3.2 получаем
Следствие 3.2.4. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда />, где />– некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.2.5. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда />, где />и />– различные простые числа.
Следствие 3.2.6 [7]. Тогда и только тогда />– минимальная тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда />, где />и />– различные простые числа.
Минимальные />-замкнутые тотально насыщенные не />-замкнутые формации.
Напомним, что группа называется />-замкнутой, если она имеет нормальную />-холловскую подгруппу. Формация всех />-замкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением /> и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.3. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-замкнутая формация, когда />, где />– не />-замкнутая группа Шмидта.
Доказательство. Обозначим через /> формацию всех />-замкнутых групп.
Необходимость. Пусть /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-замкнутая формация. По теореме 1 имеем />, где /> – такая монолитическая />-минимальная не />-замкнутая группа с монолитом />, что выполняется одно из следующих условий:
1) /> – группа простого порядка />;
2) /> – неабелева группа и />, где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />;
3) />,
где /> – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в /> при всех />, а /> либо группа простого порядка />, либо такая монолитическая />-минимальная не />-группа с неабелевым монолитом />, что />, /> совпадает с />-корадикалом группы /> и
/>
где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />.
Так как />, то />. Если /> – неабелева группа, то по лемме 2.2 имеем />. Значит, /> Противоречие. Поэтому /> – абелева />-группа, где />. Значит, /> для некоторой максимальной подгруппы /> группы />. В силу леммы 2.3 получаем, что /> – />-критическая формация. Согласно лемме 2.2 имеем />. Так как />, то /> – группа простого порядка />. Таким образом, /> – не />-замкнутая группа Шмидта.
продолжение--PAGE_BREAK--
Достаточность. Пусть />, где /> – не />-замкнутая группа Шмидта. Так как /> – насыщенная формация, то не ограничивая общности можно считать, что />. Поэтому />, где /> – минимальная нормальная />-подгруппа />, />, /> – группа простого порядка />. Так как группа /> и любая собственная подгруппа из /> нильпотентны, а значит, и />-замкнуты, то /> – />-минимальная не />-замкнутая группа и /> её />-замкнутый корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы можем заключить, что /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-замкнутая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.3.1. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-замкнутая формация, когда />, где />и />.
В случае, когда /> из теоремы 3.3 вытекает
Следствие 3.3.2. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-замкнутая формация, когда />, где />– не />-замкнутая группа Шмидта.
Следствие 3.3.3. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-замкнутая формация, когда />, где />– отличное от />простое число.
Минимальные />-замкнутые тотально насыщенные не />-специальные формации.
Группа называется />-специальной, если она обладает нильпотентной нормальной />-холловской подгруппой. Понятно, что совокупность всех />-специальных групп совпадает с классом /> и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.4. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-специальная формация, когда />, где />– не />-специальная группа Шмидта.
Доказательство. Пусть /> обозначает формацию всех />-специальных групп.
Необходимость. Если /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-специальная формация, то по теореме 1 имеет место />, где /> – такая монолитическая />-минимальная не />-специальная группа с монолитом />, что выполняется одно из следующих условий:
1) /> – группа простого порядка />;
2) /> – неабелева группа и />, где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />;
3) />,
где /> – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в /> при всех />, а /> либо группа простого порядка />, либо такая монолитическая />-минимальная не />-группа с неабелевым монолитом />, что />, /> совпадает с />-корадикалом группы /> и
/>
где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />.
Поскольку />, то случай 1) не имеет место и />. Если /> – неабелева группа, то в силу леммы 2.1 имеем />. Поэтому />и />. Пусть />и />. Тогда в силу леммы 2.1 имеет место включение/>. Противоречие. Поэтому невозможен и случай 2). Следовательно, /> – абелева />-группа. Так как имеют место равенства/>, то />, где /> – группа порядка />. Таким образом, /> – не />-специальная группа Шмидта.
Достаточность. Пусть />, где /> – не />-специальная группа Шмидта. Тогда />. Поскольку /> – насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что />. Поэтому />, где /> – минимальная нормальная />-подгруппа />, а /> – группа простого порядка />. Ввиду того, что группа /> и любая собственная подгруппа из /> нильпотентны, а следовательно, и />-специальны, то /> – />-минимальная не />-специальная группа и /> её />-специальный корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-специальная формация. Теорема доказана.
продолжение--PAGE_BREAK--
Следствие 3.4.1. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-специальная формация, когда />, где />и />– различные простые числа, />.
В случае, когда /> из теоремы 3.4 вытекает
Следствие 3.4.2. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-специальная формация, когда />, где />– не />-специальная группа Шмидта.
Следствие 3.4.3. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-специальная формация, когда />, где />– отличное от />простое число.
Минимальные />-замкнутые тотально насыщенные не />-разложимые формации.
Группа называется />-разложимой, если она одновременно />-специальна и />-замкнута.
Класс всех />-разложимых групп совпадает с пересечением /> и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.5. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-разложимая формация, когда />, где />– не />-разложимая группа Шмидта.
Доказательство. Обозначим через /> формацию всех />-разложимых групп.
Необходимость. Пусть /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-разложимая формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем />, где /> – такая группа Шмидта, что />. Таким образом, /> – не /> — разложимая группа Шмидта.
Достаточность. Пусть />, где /> – не />-разложимая группа Шмидта. Поэтому />. Ввиду насыщенности формации /> можно считать, что />. Значит, />, где /> – минимальная нормальная />-подгруппа />, а /> – группа простого порядка. Поскольку группа /> и любая собственная подгруппа из /> нильпотентны, а значит, и />-разложимы, то /> – />-минимальная не />-разложимая группа и /> её />-разложимый корадикал. В силу теоремы 1 имеем /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-разложимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.5.1. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-разложимая формация, когда />, где />.
В случае, когда /> из теоремы 3.24 вытекает
Следствие 3.5.2. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-разложимая формация, когда />, где />– не />-разложимая группа Шмидта.
Следствие 3.5.3. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-разложимая формация, когда />, где />– отличное от />простое число.
Минимальные />-замкнутые тотально насыщенные не />-формации.
Класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной не превосходящей /> совпадает с произведением /> (число сомножителей равно />) и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.6. Тогда и только тогда />– минимальная тотально насыщенная не />-формация, когда />, где />– минимальная не />-группа, />– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в />при всех />и />– группа простого порядка.
Доказательство. Обозначим через /> формацию />.
Необходимость. Пусть /> – минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-формация. По теореме 1 />, где /> – такая монолитическая />-минимальная не />-группа с монолитом />, что выполняется одно из следующих условий:
продолжение--PAGE_BREAK--
1) /> – группа простого порядка />;
2) /> – неабелева группа и />, где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />;
3) />,
где /> – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в /> при всех />, а /> либо группа простого порядка />, либо такая монолитическая />-минимальная не />-группа с неабелевым монолитом />, что />, /> совпадает с />-корадикалом группы /> и
/>
где /> – совокупность всех собственных />-подгрупп группы />.
Поскольку />, то случай 1) невозможен. Если группа /> неабелева, то по лемме 2.1 />, что невозможно. Следовательно, имеет место случай 3). Поскольку группа /> разрешима, то />, где /> – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в /> при всех />, а /> группа простого порядка />. Таким образом, группа/> удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие 3.6.1 [2, с. 94]. Пусть />– разрешимая формация. Тогда и только тогда />– минимальная тотально насыщенная не />-формация, когда />, где />– минимальная не />-группа, />– самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в />при всех />и />– группа простого порядка.
Следствие 3.6.2. Тогда и только тогда />– минимальная тотально насыщенная не />-формация, когда />для некоторой последовательности />из />.
Следствие 3.6.3 [2, с. 94]. Пусть />– разрешимая формация. Тогда и только тогда />– минимальная тотально насыщенная не />-формация, когда />для некоторой последовательности />из />.
Отметим, что полученные результаты могут быть использованы для описания />-критических формаций и в случаях, когда формация /> не является тотально насыщенной.
Минимальные />-замкнутые тотально насыщенные не />-формации.
Класс всех групп с нильпотентным коммутантом, очевидно, совпадает с произведением />, где /> – класс всех нильпотентных, а /> – класс всех абелевых групп. Формация /> не является тотально насыщенной, но содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию />. Следовательно, любая минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-формация является минимальной />-замкнутой тотально насыщенной не />-формацией. Таким образом, привлекая следствия 3.2.4 и 3.2.5, получим
Теорема 3.7. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-формация, когда />, где />– некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.7.1. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная не />-формация, когда />, где />и />– различные простые числа.
Минимальные />-замкнутые тотально насыщенные несверхразрешимые формации.
Пусть /> формация всех сверхразрешимых групп. Как известно (см., например, [2, с. 28]), формация /> не является тотально насыщенной. Однако /> содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию />. Поэтому любая минимальная />-замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация является минимальной />-замкнутой тотально насыщенной ненильпотентной формацией. Значит, в силу следствий 3.2.4 и 3.2.5, имеют место
Теорема 3.8. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда />, где />– некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.8.1. Тогда и только тогда />– минимальная />-замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда />, где />и />– различные простые числа.
Заключение
В работе изучаются минимальные />-замкнутые тотально насыщенные не />-формации конечных групп. При этом />-замкнутую тотально насыщенную формацию /> называют минимальной />-замкнутой тотально насыщенной не />-формацией или />-критической, если />, но все собственные />-замкнутые тотально насыщенные подформации из /> содержатся в классе групп />. Получено описание />-критических формаций для таких классов групп />, как классы всех />-разрешимых, />-нильпотентных, />-замкнутых, />-специальных, />-разложимых групп (/> – некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел), класс разрешимых групп нильпотентной длины не превосходящей />(/> – некоторое натуральное число), класс всех групп с нильпотентным коммутантом, класс всех сверхразрешимых групп.
Литература
1. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба // М.: Наука, 1989.
2. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба // Мн.: Беларуская навука, 1997.
3. Шеметков, Л.А. Экраны ступенчатых формаций / Л. А. Шеметков // Тр. VIВсесоюзн. симпозиум по теории групп. – Киев: Наукова думка, 1980. – С. 37-50.
4. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. – № 4. – С. 27-33.
5. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. – С. 258-268.
6. Сафонов, В.Г. О тотально насыщенных формациях конечной длины / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2004. – № 6. – С. 150-155.
7. Сафонов, В.Г. О двух задачах теории тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Докл. НАН Беларуси, 2005. – Т. 49, № 5, – C. 16-20.
8. Сафонов, В.Г. О приводимых тотально насыщенных формациях нильпотентного дефекта 3 / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2005. № 4 (31). – С. 157-162.
9. Сафонов, В.Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп / В.Г. Сафонов // Сибирский матем. журнал, 2007 – Т. 48, № 1. – С. 185-191.
10. Сафонов, В.Г. />-критические формации / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2008. № 2 (47). – С. 169-176.