Реферат: Локальные формации с метаабелевыми группами
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
математический факультет
кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
«Локальные формации с метаабелевыми группами»
ГОМЕЛЬ 2006
Содержание
Введение
1 Формация. Произведение формаций
2 Операции на классах групп
3 Экраны
3.1 Экраны формации
3.2 Формация с однородным экраном
4 Локальная формация
5 Построение локальных формаций
6 Локальные формации с заданными свойствами
Заключение
Литература
Введение
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп.
В курсовой работе рассматривается произведение формаций, операции на классах групп, приводящие к формациям. Рассматриваются локальные формации и экраны. Рассматриваются простейшие свойства локальной формации всех групп с нильпотентным компонентом.
Формация. Произведение формаций
Определение 1.1 Классом групп называют всякое множество групп, содержащее вместе с каждой своей группой /> и все группы, изоморфные />.
Если группа (подгруппа) принадлежат классу />, то она называется />-группой (/>-подгруппой).
Определение 1.2. Класс групп /> называется формацией, если выполняются следующие условия:
1) каждая фактор-группа любой группы из /> также принадлежит />;
2) из /> всегда следует />.
Если формации /> и /> таковы, что />, то /> называется подформацией формации />.
По определению, пустое множество является формацией (пустая формация). Множество /> всех групп является, конечно, формацией. Единичная формация /> – это непустой класс групп, состоящий лишь из единичных групп. Формациями являются: класс /> всех />-групп, класс /> всех абелевых групп, класс /> всех нильпотентных групп, класс /> всех />-групп (/> – фиксированное простое число), класс /> всех нильпотентных />-групп, класс /> всех разрешимых групп, класс /> всех разрешимых />-групп. Мы привели пока лишь примеры тех формаций, за которыми закреплены соответствующие обозначения.
Лемма 1.1.Справедливы следующие утверждения:
1) пересечение любого множества формаций также является формацией;
2) если /> – некоторое множество формаций, линейно упорядоченное относительно включения />, то объединение /> является формацией.
Доказательство осуществляется проверкой.
Определение 1.3. Пусть /> – непустая формация. Обозначим через /> и назавем />-корадикалом группы /> пересечение всех тех нормальных подгрупп /> из />, для которых />.
Очевидно, />-корадикал любой группы является характеристической подгруппой. />-корадикал группы /> обозначают иначе через /> и называют />-корадикалом. />-корадикал будем называть нильпотентным радикалом; понятны также термины разрешимый корадикал, />-разрешимый корадикал, />— сверхразрешимый корадикал и т.д. />-корадикал (или абелев корадикал) – это коммутант группы. Так же как и коммутант, />-корадикал сохраняется при гомоморфизмах.
Лемма 1.2. Пусть />– непустая формация, />. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) />
2) если /> то />
--PAGE_BREAK--3) если /> и />, то />
Доказательство. Пусть />. Тогда
/>
Отсюда следует, что />. С другой стороны,
/>
откуда получаем />. Из /> и /> следует равенство />. Утверждение 1) доказано.
Пусть /> – естественный гомоморфизм группы /> на /> Очевидно,
/>
откуда следует равенство />. В частности, если />, то />. Лемма доказана.
Определение 1.4. Пусть /> и /> – некоторые формации. Если />, то положим /> Если />, то обозначим через /> класс всех тех групп />, для которых /> Класс /> называется произведением формаций />и />.
Из определения 1.4 следует, что произведение формаций /> является пустой формацией тогда и только тогда, когда по крайней мере одна из формаций /> является пустой. Можно определить произведение нескольких формаций как результат последовательного умножения. Если задан упорядоченный набор формаций /> причем произведение /> уже определено, то /> В частности, если /> для любого /> то мы приходим к понятию степени />
Понятие произведения формаций представляет интерес с точки зрения построения формаций.
Теорема 1.1. Произведение любых двух формаций также является формацией.
Лемма 1.3.Пусть />и />– нормальные подгруппы группы />. Тогда каждый главный фактор группы />/>-изоморфен либо некоторому главному фактору группы />, либо некоторому главному фактору группы />
Доказательство вытекает из рассмотрения />-изоморфизма />
Теорема 1.2. Пусть />– некоторая формация, />– класс всех тех групп, все главные факторы которых принадлежат />Пусть />– объединение формаций />Тогда />– подформация формации />
Доказательство. Из леммы 1.3 выводим, что /> – формация. Из теоремы 1.1 и леммы 1.1 вытекает, что класс /> является формацией. Если /> – минимальная нормальная подгруппа группы />, то по индукции /> для некоторого натурального />. Но тогда либо />, либо /> – />-корадикал группы />. Так как />, то отсюда вытекает, что />, и теорема доказана.
Операции на классах групп
Определение 2.1. Всякое отображение множества всех классов групп в себя называется операцией на классах групп.
Операции мы будем обозначать, как правило, прямыми большими латинскими буквами. Результат операции />, примененной к классу /> обозначается через /> Степень операции /> определяется так: /> Произведение операций определяется равенствами:
/>
Введем операции /> следующим образом:
/>тогда и только тогда, когда /> вкладывается в качестве подгруппы в некоторую />-группу;
/>тогда и только тогда, когда /> вкладывается в качестве нормальной подгруппы в некоторую />-группу;
/>тогда и только тогда, когда /> является гомоморфным образом некоторой />-группы;
/>тогда и только тогда, когда /> совподает с произведением некоторого конечного числа своих нормальных />-подгрупп;
/>тогда и только тогда, когда /> имеет нормальные подгруппы /> такие, что
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
/>тогда и только тогда, когда /> является расширением />-группы с помощью />-группы;
/>тогда и только тогда, когда /> имеет нормальную подгруппу /> такую, что />
Если />, то вместо /> пишут /> Обратим внимание на тот факт, что если /> – нормальные подгруппы группы />, причем /> для любого />, то /> Заметим еще, что операцию /> можно определить с помощью понятия подпрямого произведения. Напомним (см. Каргаполов и Мерзляков [1]), что подгруппа /> прямого произведения /> называется подпрямым произведением групп /> если проекция /> на /> совпадает с /> Легко видеть, что /> тогда и только тогда, когда /> есть подпрямое произведение некоторого конечного числа />-групп.
Определение 2.2. Класс /> называется замкнутым относительно операции /> или, более коротко, />-замкнутым, если />
Формацию можно определить теперь как класс групп, который одновременно />-замкнут и />-замкнут. />-замкнутый класс согласно Гашюцу [3] называется насыщенным. />-замкнутый класс групп называется гомоморфом. Класс групп называется замкнутым относительно подгрупп (нормальных подгрупп), если он />-замкнут (соответственно />-замкнут).
Лемма 2.1./>. Если класс групп />содержит единичную группу и />-замкнут, то />
Доказательство. Относительно операций /> и /> утверждение очевидно. Пусть /> – произвольный класс групп. Ясно, что /> Если />, то в /> найдется нормальная подгруппа /> такая, что />. Группа /> имеет нормальную подгруппу /> такую, что /> и /> Но тогда /> Так как />, то />, а значит, /> Таким образом, />, что и требуется.
Пусть />. Если />, то /> имеет нормальную />-подгруппу /> такую, что /> Группа /> имеет нормальную />-подгруппу /> такую, что />. Так как /> и />, то из />-замкнутости класса /> следует, что />. Значит, />, т.е. />. Обратное включение очевидно.
Лемма 2.2.Для любого класса />справедливо следующее утверждение: />
Доказательство. Если />, то /> Пусть /> Если />, то />, а значит, />. Таким образом, />. Пусть />. Тогда /> имеет такие нормальные подгруппы />, что /> Группа /> имеет такие нормальные подгруппы />, что /> Так как />, то />, что и доказывает равенство />
Лемма 2.3.Для любого класса />имеет место включение />
Доказательство. Если />, то />. Пусть /> и группа /> является подпрямым произведением групп />, где />. Рассмотрим функцию />/>. Функция /> является гомоморфизмом группы /> в группу />. Ясно, что
/>
есть подпрямое произведение групп />, причем />. Следовательно, />, и лемма доказана.
Лемма 2.4. />
продолжение--PAGE_BREAK--
В работе Фишера, Гашюца и Хартли [1] введено следующее понятие, в некотором смысле двойственное определению формации.
Определение 2.3. Класс групп /> называется классом Фиттинга, если он одновременно />-замкнут и />-замкнут.
Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальным классом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа – фактор-группа) формацию можно было бы назвать корадикальным классом.
Определение 2.4. Пусть /> непустой />-замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через /> и назовем />-радикалом группы /> произведение всех ее нормальных />-подгрупп.
Классы /> являются радикальными. />-радикал группы /> – это ее подгруппа Фиттинга />/>-радикал обозначают иначе через /> и называют />-радикалом. />-радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины />-нильпотентный радикал, />-замкнутый радикал и т.д. Класс всех />-нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным; /> – это />-нильпотентный радикал группы />.
В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций />
Теорема 2.1.Пусть />и />– формации, причем либо />, либо />замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда />– формация, совпадающая с произведением />
Определение 2.5. Пусть /> – некоторое множество групп. Пусть /> – пересечение всех тех формаций, которые содержат /> класс /> называется формацией, порожденной множеством групп />
Заметим, что операцию /> часто обозначают иначе через /> Если /> то пишут /> вместо />, причем в этом случае /> называют формацией, порожденной группой />.
Теорема 2.2.Для любого класса />имеет место равенство: />
Доказательство. Если />, то />, и утверждение верно. Пусть />. Так как />, то класс /> является />-замкнутым. /> есть класс и /> по лемме 2.2. Используя это и леммы 2.3 и 2.4, получаем
/>
Последнее означает />-замкнутость класса />. Итак, /> – формация, содержащая />, так как />. Значит, />. Обратное включение очевидно.
Лемма 2.5. Для любых элементов />группы />выполняются равенства />Если />– подгруппы группы />, то выполняются следующие утверждения:
1) />
2) /> для любого гомоморфизма /> группы />; в частности, если группа /> из /> нормализует /> и />, то /> нормализует и />
Лемма 2.6 Пусть />– подгруппа нильпотентной группы />, причем />. Тогда />
Доказательство. Для того чтобы доказать лемму, достаточно установить, что при любом натуральном /> выполняется включение:
/>
При /> это верно, так как />, а значит, />. Предположим, что включение (*) справедливо при некотором />. Тогда, используя лемму 2.5, получаем
/>
/>
/>
Тем самым (*) доказано.
Теорема 2.3 (Брайант, Брайс, Хартли [1]).Если />– такая подгруппа группы />, что />, то />
продолжение--PAGE_BREAK--
Доказательство. Пусть /> – нильпотентная нормальная подгруппа группы />, а /> – такая подгруппа из />, что />. Докажем индукцией по />, что />. Это верно, если />. Поэтому будем считать, что />. Рассмотрим следующие подгруппы прямого произведения />
/>
Очевидно, подгруппа /> нормализует /> и />. Обозначим через /> подгруппу группы />, порожденную подгруппами />. Поскольку проекции /> на множители прямого произведения /> равны />, то />. Заметим еще, что />, где /> нормальна в /> и нильпотентна как подпрямое произведение из />.
Пусть /> – центр подгруппы />, />. Легко видеть, что />, причем /> и /> поэлементно перестановочны; аналогично, /> и /> поэлементно перестановочны. Но тогда />, абелева и нормальна в />. Если />, то />, где />, и если />, то />, что влечет />. Следовательно, />. Если /> абелева, то />, и мы имеем
/>
Предположим теперь, что />. Ясно, что />. Так как
/>
то /> нильпотентна ступени />. Так как />, то /> изоморфна /> и имеет ступень />, а потому согласно лемме 2.6 ее нормальное замыкание /> в /> имеет ступень />. Так как /> нормализует /> и />, то /> нормальна в />. Итак, />, причем />. По индукции
/>
Для группы /> и ее нильпотентной нормальной подгруппы /> ступени /> теорема также верна по индукции. Поэтому
/>
Теорема доказана.
Теорема 2.4. (Нейман [1])Формация, порожденная разрешимой группой, содержит лишь конечное число подформаций.
Доказательство. Пусть /> – подформация формации />. Если />, то по теореме 2.3 имеет место />, что и требуется.
Экраны
Недостатком понятия групповой функции /> является то, что не всегда уплотнение />-центрального ряда нормальными подгруппами является />-центральным рядом.
Определение 3.1. Отображение /> класса /> всех групп в множество классов групп назовем экраном, если для любой группы /> выполняются следующие условия:
1) /> – формация;
2) /> для любого гомоморфизма /> группы />;
3) />.
Из условия 2) вытекает, что экран /> принимает одинаковое значение на изоморфных группах, т.е. является групповой функцией в смысле определения 3.1. Кроме того, видно, что если /> – экран, то каждый f-центральный ряд после удаления повторений может быть уплотнен до f-центрального главного ряда, а значит, класс групп, обладающих f-центральными рядами, совподает с формацией />.
Лемма 3.1. Пусть />– экран, />– группа операторов группы />, />– некоторая нормальная />-допустимая подгруппа из />. Если />обладает нормальным />-допустимым рядом, факторы которого />-центральны относительно />, то один из таких рядов проходит через />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Доказательство. Пусть дан ряд, удовлетворяющий условию леммы:
/>
Пусть />. Тогда ряд
/>
будет искомым. В этом нетрудно убедиться, используя определение экрана и />-изоморфизмы:
/>
Лемма 3.2. Справедливы следующие утверждения:
1) пересечение любого непустого множества экранов также является экраном;
2) объединение любой непустой цепи экранов также является экраном.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть непустое множество экранов /> является цепью, т.е. линейно упорядочено (с отношением частичной упорядоченности />, введенным в определении 3.5). Тогда для любой группы /> множество формаций /> линейно упорядочено относительно включения, а следовательно, ввиду леммы 1.1 объединение /> является формацией. Тем самым лемма доказана.
Определение 3.2. Экран /> назовем:
1) p-однородным, если он p-постоянен и для любой группы /> и ее силовской p – подгруппы /> имеет место />;
2) однородным, если он p-однороден для любого простого p;
3) локальным, если он является локальной групповой функцией;
4) композиционным, если для любой группы /> имеет место />, где /> пробегает все крмпозиционные факторы группы />
5) пустым, если /> для любой неединичной группы />;
6) />-экраном, если /> для любой группы />.
/>-экран при /> будем называть единичным экраном.
Легко видеть, что каждый локальный экран является однородным, а каждый композиционный экран является примарно постоянным.
Пример 3.1. Пусть /> и /> – непустые формации, причем />, а групповая функция /> такова, что /> для каждой нееденичной примарной группы /> и /> для любой непримарной группы />. Тогда /> – однородный экран, не являющийся ни локальным, ни композиционным.
Пример 3.2. Пусть /> – непустая формация, а групповая функция /> такова, что для любой нееденичной группы /> выполняются условия:
1) />, если /> не имеет абелевых композиционных факторов;
2) />, если /> имеет хотя бы один абелев композиционный фактор.
Тогда /> – композиционный экран, не являющийся однородным.
Замечание 1. Локальный экран полностью определяется своими значениями на примарных подгруппах. Поютому, чтобы построить локальный экран />, достаточно каждому простому числу /> поставить в соответствие некоторую формацию />, а затем для любой группы /> положить />, где /> пробегает />.
Замечание 2. Чтобы построить композиционный экран />, нужно каждой простой группе /> поставить в соответствие некоторую формацию />, а затем для любой группы /> положить />, где /> пробегает все композиционные факторы группы />.
Лемма 3.3. Справедливы следующие утверждения: 1) пересечение любого непустого множества однородных экранов снова является однородным экраном;
2) пересечение любого непустого множества локальных экранов снова является локальным экраном;
3) пересечение любого непустого множества композиционных экранов снова является композиционным экраном.
Доказательство. Пусть экран /> является пересечением множества экранов />. Предположим, что все экраны /> являются локальными, т.е. для любых /> и /> имеет место равенство:
/>
где /> пробегает все примарные подгруппы группы />. Тогда
/>
а значит, /> – локальный экран.
Лемма 3.4. Объединение любой непустой цепи примарно постоянных экранов является примарно постоянным экраном.
продолжение--PAGE_BREAK--
Доказательство. Пусть /> – некоторая цепь экранов, /> – ее объединение, />. По лемме 3.3 функция /> является экраном, причем ясно, что примарная постоянность /> влечет примарную постоянность экрана />. Предположим, что все /> являются однородными экранами. Тогда, если /> – любая группа и />, то />. Следовательно,
/>
что и доказывает однородность экрана />.
Экраны формаций
Каждой групповой функции /> соответствует формация />.
Лемма 3.5. />является непустой формацией для любой групповой функции />.
Определение 3.3. Пусть /> – некоторая формация. Если /> – такой экран, что />, то формация /> называется ступенчатой формацией, причем в этом случае будем говорить, что
/> – экран формации />,
/>имеет экран />,
экран /> определяет формацию />,
/>определяется экраном />.
Формация /> имеет единичный экран. Единичная формация /> имеет пустой экран.
Определение 3.4. Экран /> назовем внутреним, если /> – внутреняя групповая функция, т.е. /> для любой неединичной группы />.
Лемма 3.6. Каждая ступенчатая формация имеет по крайней мере один внутрений экран.
Доказательство. Пусть /> – экран формации />. Определим функцию /> следующим образом: /> для любой группы />. Легко видеть, что /> – экран, причем />. Если /> и /> – главный фактор группы />, то />. Так как класс />/>-замкнут, то />, а значит, />/>-централен в />. Таким образом, />. Итак, />, т.е. /> – искомый внутренний экран.
Лемма 3.7. Пусть />– экран формации />. Тогда />является экраном формации />.
Доказательство. Пусть /> – произвольный главный фактор группы />. Пусть />. Так как />, то />. Значит, />, т.е. />/>-централен в />. Отсюда следует, что />.
Обратно, если />, то главный ряд группы /> будет />-центральным для любого />, т.е. />. Итак, />.
Лемма 3.8. Пересечение />любого непустого множества />экранов формации />снова является экраном формации />. Кроме того, если в />имеется хотя бы один внутрений экран, то />– внутрений экран.
Доказательство. То, что /> – экран формации />, непосредственно следует из леммы 3.7. Пусть в /> имеется внутренний экран />. Тогда /> для любой группы />. Значит, /> – внутренний экран.
Формация с однородным экраном
Теорема 3.1. (Шеметков) Всякая формация, имеющая по крайней мере один однородный экран, является локальной формацией.
Доказательство. Пусть формация /> имеет однородный экран. Ввиду леммы 3.6 формация /> имеет внутренний однородный экран />. Построим локальный экран />, удовлетворяющий следующему условию: /> для любого простого />. Тогда /> и, следовательно, />. Предположим, что формация /> обладает группами, не входящими в />, и выберем среди всех таких групп группу />, имеющую наименьший порядок. Тогда /> является единственной минимальной нормальной подгруппой группы />. Так как />, то для любого /> имеет место
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
Если /> неабелева, то /> и />. Если же /> – />-группа, то получается, что />/>-центральна в />. А это противоречит тому, что />. Теорема доказана.
Локальная формация
Неединичная формация, имеющая локальный экран, содержит некоторые неединичные примарные группы.
Определение 4.1. Формация /> называется локальной, если она имеет хотя бы один локальный экран.
Определение 4.2. Пусть /> – внутренний локальный экран формации />, являющийся максимальным элементом множества всех внутренних локальных экранов формации />. Тогда /> называется максимальным внутренним локальным экраном формации />.
Теорема 4.1. (Картер и Хоукс [1], Шмид [5]). Локальная формация />имеет единственный максимальный внутренний локальный экран />, причем />удовлетворяет следующему условию: />для любого простого числа p.
Определение 4.3. Пусть /> – локальная формация. Минимальный элемент множества всех локальных экранов формации /> назавем минимальным локальным экраном формации />.
Теорема 4.2. Локальная формация имеет единственный минимальный локальный экран, который является к тому же внутренним экраном.
Доказательство. Пусть /> – множество всех локальных экранов формации />, причем />. Обозначим через /> пересечение множества экранов />. В множестве /> имеется внутренний экран, поэтому /> – внутренний экран формации />. По лемме 3.4 экран /> является локальным. Ввиду леммы 3.8 /> – искомый экран.
Построение локальных формаций
1. Формация всех групп. Формация /> обладает локальным экраном /> таким, что /> для любого простого />.
2. Формация единичных групп. Формация /> имеет пустой экран, который, очевидно, локален.
3. Формация нильпотентных />-групп. Пусть /> – формация всех нильпотентных />-групп, /> – такой локальный экран, что /> для любого /> для любого />. Очевидно, /> – минимальный локальный экран формации />.
4. Формация />-групп. Пусть /> – формация всех />-групп, /> – такой локальный экран, что /> для любого /> для любого />. Очевидно, /> – макcимальный внутрений локальный экран формации />.
5. Формация />-нильпотентных групп. Пусть /> – формация всех />-нильпотентных групп (/> – фиксированное простое число), /> – такой локальный экран, что /> для любого простого числа />, отличного от />. Покажем, что /> – экран формации />. Главный ряд />-нильпотентной группы />-централен. Пусть />. Нужно установить, что />/>-нильпотентна. Пусть /> – минимальная нормальная подгруппа группы />. По индукции />/>-нильпотентна. Если /> – />-группа, то отсюда следует, что и />/>-нильпотентна. Если же />-группа, то />, т.е. />. Если теперь /> – />-подгруппа из />, то ввиду /> подгруппа />/>-нильпотентна, а значит, и />/>-нильпотентна. Тем самым показано, что />.
Теорема 5.1. В любой />-группе />подгруппа />совпадает с пересечением централизаторов в />всех главных />-факторов группы />.
Следствие 5.1.1. В любой группе />подгруппа Фиттинга />совпадает с пересечением централизаторов в />всех главных факторов группы />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Следствие 5.1.2. Для любой />-разрешимой группы />имеет место включение />.
Следствие 5.1.3. (Фиттинг). />для любой разрешимой группы />.
Следствие 5.1.4. (Чунихин [3]). Коммутант />-сверхразрешимой группы />-нильпотентен.
6. Формация />-замкнутых групп. Пусть /> – формация всех />-замкнутых групп (/> – некоторое фиксированное множество простых чисел), /> – такой локальный экран, что /> для любого /> для любого />. Покажем, что /> – экран формации />.
Очевидно, />. Предположим, что класс /> не пуст, и выберем в нем группу /> наименьшего порядка. Тогда /> имеет единственную минимальную нормальную подгруппу />, причем /> не является />-группой. Пусть />. Так как />, то />, а значит, />. Поэтому /> – абелева />-группа. Так как />/>-замкнута, то и />/>-замкнута, т.е. /> имеет нормальную />-подгруппу />. Ясно, что />. Так как />, то />. Легко видеть, что />, а значит, и группа />/>-замкнута. Тем самым показано, что />.
7. Формация />-дисперсивных групп. Пусть /> – некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел, /> – формация всех />-дисперсивных групп. Покажем, что /> локальна.
Рассмотрим всевозможные множества /> простых чисел, обладающие следующим свойством: /> для всех />. Пусть /> – формация всех />-замкнутых групп. Очевидно, />. Так как формации /> локальны, то по лемме 3.4 формация /> также является локальной.
8. Формация />-разрешимых групп. Пусть /> – формация всех />-разрешимых групп, /> – такой локальный экран, что /> для любого простого />. Нетрудно заметить, что /> – максимальный внутрений локальный экран формации />. В частности, формация /> является локальной.
9. Формация />-сверхразрешимых групп. Пусть /> – формация всех />-сверхразрешимых групп. Обозначим через /> формацию всех абелевых групп экспоненты, делящей />. Построим локальный экран /> такой, что /> для любого /> для любого />. Покажем, что />. Ясно, что />. Пусть />, /> – минимальная нормальная подгруппа группы />. По индукции />. Если /> – />-группа, то />/>-сверхразрешима. Пусть порядок />делится на некоторое число />. Тогда, если />, то
/>
Отсюда следует, что /> – />-группа.
Лемма5.1. Пусть />– некоторая неприводимая абелева группа автоморфизмов />-группы />и />. Тогда />– циклическая группа порядка, делящего />. Кроме того, />– наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению />.
Доказательство. Будем считать, что /> – аддитивная абелева группа. Тогда /> можно рассматривать как правое векторное пространство размерности /> над полем /> из /> элементов. Пусть /> – коммутативное подкольцо кольца />, порожденное элементами /> и />. Ввиду условия /> является неприводимым правым />-модулем (определения, связанные с />-модулями, см. у Кэртиса и Райнера [1]). По лемме Шура, /> – тело. Так как /> коммутативно, то />. Легко видеть, что множество всех ненулевых элементов из /> замкнуто относительно операции умножения и, следовательно, является группой. Поэтому /> – поле. Так как />-модуль /> неприводим, то /> для любого ненулевого />; но тогда отображение />, является />-гомоморфизмом />-модуля /> на />. Так как ядро /> есть идеал поля />, то /> – изоморфизм. Следовательно, />. Известно, что мультипликативная группа конечного поля циклическая. Поэтому /> циклическая и /> делит />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть /> – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее сравнению />. Тогда /> делит />. Хорошо известно, что поле /> порядка /> содержит подполе /> порядка />. Так как циклическая группа содержит точно одну подгруппу каждого возможного порядка и /> делит />, то />. Но тогда /> и />. Лемма доказана.
10. Формация />. Пусть /> – непустая формация, /> – такой локальный экран, что /> для любого простого />. Применяя следствие 7.1.1 можно увидеть, что /> – экран формации />. В частности, формации /> и /> являются локальными формациями.
Пусть /> – локальный экран некоторой подформации /> из />. Применяя леммы 3.3 и 4.3, видим, что /> является локальным />-экраном формации />. Таким образом, каждая локальная подформация формации /> имеет внутренний локальный />-экран. В частности, любая локальная подформация формации /> имеет внутренний локальный />-экран.
Локальные формации с заданными свойствами
Пусть /> – некоторая операция, /> – локальный экран формации />. Естественно возникают два вопроса:
1) Будет ли />/>-замкнутой, если />/>-замкнута для любого простого />?
2) Будет ли />/>-замкнутой для любого простого />, если />/>-замкнута?
Мы дадим положительный ответ на эти вопросы в некоторых конкретных случаях.
Теорема Слепова 20 Пусть />– некоторый класс групп, />– максимальный внутренний локальный экран формации />, />– фиксированное простое число. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если />, то />;
2) если />, то />.
Доказательство. Будем доказывать оба утверждения одновременно. Пусть /> – одна из операций />, />. Предположим, что />. Пусть /> – (нормальная) подгруппа группы /> и />. Рассмотрим регулярное сплетение />, где />, /> – элементарная абелева />-группа. По лемме 3.11 />. Так как />, то />. Рассмотрим главный ряд группы />:
/>
Пусть />. Так как /> и />, то
/>
для любого />. Следовательно, />, где />. По свойству регулярного сплетения />. Следовательно, />, и по лемме 3.10 () подгруппа /> является />-группой. Так как /> и формация /> является по теореме 3.3 />-замкнутой, то мы получаем, что />. Теорема доказана.
Теорема Подуфалова, Слепова 20 Пусть />– максимальный внутренний локальный экран формации />. Формация />/>-замкнута (/>-замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого />формация />/>-замкнута (соответственно />-замкнута).
Доказательство. Необходимость. Предположим, что />/>-замкнута (/>-замкнута). Полагая /> и применяя теорему 20, мы получаем, что />/>-замкнута (/>-замкнута) для любого простого />.
Достаточность. Пусть для любого простого /> формация /> является />-замкнутой (/>-замкнутой). Пусть /> – подгруппа (нормальная подгруппа) неединичной группы />. Покажем, что />. Так как />, то /> обладает />-центральным главным рядом
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
Пусть />. Так как
/>
то />, где />. Пусть />. По условию /> и />. Отсюда, ввиду />, вытекает, что />. Тем самым установлено, что ряд
/>
является />-центральным рядом группы />. Теорема доказана.
Для любого натурального числа />/>-замкнутый класс /> содержит, по определению, каждую группу />, представимую в виде произведения /> нормальных />-подгрупп. Ослабляя это требование, мы приходим к следующему определению.
Определение. Класс групп /> назовем слабо />-замкнутым, />, если /> содержит всякую группу />, имеющую /> нормальных />-подгрупп с попарно взаимно простыми индексами.
Легко заметить, что если /> и /> – подгруппы группы /> причем /> и /> взаимно просты, то />.
Теорема Слепова 20 Пусть />– локальный экран формации />и пусть для некоторого натурального числа />выполняется следующее условие: для любого простого />формация />либо совпадает с />, либо входит в />и является слабо />-замкнутой. Тогда />слабо />-замкнута.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, не входящие в />, но имеющие /> нормальных />-подгрупп с попарно взаимно простыми индексами. Выберем среди всех таких групп группу /> наименьшего порядка. Таким образом, /> не принадлежит />, но имеет нормальные />-подгруппы /> с попарно взаимно простыми индексами. Ясно, что все подгруппы /> неединичны.
Пусть /> – минимальная нормальная подгруппа группы />. В /> подгруппы /> имеют попарно взаимно простые индексы и принадлежат />. Так как для /> теорема верна, то />. Ясно, что /> – единственная минимальная нормальная подгруппа группы />, причем /> и /> для любого />. Ввиду теоремы 4.3 />. Так как />, то найдется такое />, что />. Рассмотрим />, где /> пробегает все />-главные факторы группы />. Так как />, то />, />. Возможны два случая.
Случай 1. Пусть />. Тогда /> неабелева и />. Отсюда и из единственности /> вытекает, что />. Но тогда /> и, следовательно, /> можно рассматривать как некоторую группу автомор – физмов группы />, действующую тождественно на всех />-главных факторах группы />. По хорошо известной теореме Ф. Холла /> нильпотентна. Так как /> к тому же нормальна в />, то />. Но тогда /> для любого />, а так как формация /> слабо />-замкнута по условию, то />. Но тогда />, так как /> и по условию />. Получили противоречие.
Случай 2. Пусть />. Тогда /> входит в /> и является />-группой. Так как />, то /> абелева. Пусть /> – максимальная подгруппа группы />, не содержащая />. Тогда />, />, />, />. Отсюда, ввиду единственности />, заключаем, что />, a значит, />. По лемме 3.10 /> является />-группой. Но тогда и /> является />-группой, причем />. Мы получаем, таким образом, что /> для любого />. Но тогда />, так как /> слабо />-замкнута. Последнее означает, что />/>-центральна в />, что противоречит равенству />. Снова получили противоречие.
продолжение--PAGE_BREAK--
Теорема доказана.
Следствие 20 Пусть группа />имеет две нормальные />-сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда />/>-сверхразрешима.
Для того чтобы получить это следствие, достаточно заметить, что построенный экран удовлетворяет условию теоремы 20при />.
Следствие 20 Пусть группа />имеет две нормальные сверхразрешимые подгруппы, индексы которых взаимно просты. Тогда />сверхразрешима.
Теорема Слепова 20 Пусть формация />имеет такой локальный экран />, что для любого простого />формация />либо совпадает с />, либо входит в />и является />-замкнутой. Тогда />/>-замкнута.
Доказательство. Повторяем с очевидными изменениями доказательство теоремы 20.
Теорема Слепова 20 Пусть />– максимальный внутренний локальный экран формации />. Формация />/>-замкнута (слабо />-замкнута, />) тогда и только тогда, когда для любого простого />формация />/>-замкнута (соответственно слабо />-замкнута).
Доказательство. Достаточность вытекает из теорем 20и 20. Пусть />/>-замкнута (слабо />-замкнута, />). Пусть />, где /> – нормальные />-подгруппы (нормальные />-подгруппы с попарно взаимно простыми индексами). Так как />, то />. Покажем, что />.
Пусть />, где />, /> – элементарная абелева />-группа. По лемме 3.11 /> для любого />. Так как />/>-замкнута (слабо />-замкнута), то отсюда вытекает, что />. Если /> – пересечение централизаторов в /> всех />-главных факторов группы />, то
/>
Так как />, то по лемме 3.10 подгруппа /> является />-группой. Но тогда />, так как по теореме 3.3 имеет место равенство />.
Теорема доказана.
Лемма Чунихин 20 Пусть />, />, />. Тогда />. В частности, если />и />, то />непростая.
Доказательство. Из равенства /> следует, что
/>
Следовательно, />. Отсюда, ввиду /> для любого />, получаем />. Лемма доказана.
Теорема Виландт 20 Группа />разрешима, если она имеет три разрешимые подгруппы, индексы которых в />попарно взаимно просты.
Доказательство. Пусть группа /> имеет разрешимые подгруппы />, /> и /> с попарно взаимно простыми индексами. Тогда />. Пусть /> – минимальная нормальная подгруппа из />. Так как /> разрешима, то />, /> – простое число. Ввиду условия теоремы, /> не делит одновременно /> и />. Пусть, для определенности, /> не делит />. Это значит, что силовская />-подгруппа из /> является силовской />-подгруппой группы />. Ввиду теоремы Силова />, где />. Так как /> и />, то по лемме 20/>. Таким образом, /> – неединичная разрешимая нормальная подгруппа группы />. В фактор-группе /> индексы подгрупп />, /> и /> попарно взаимно просты. По индукции /> разрешима, но тогда и /> разрешима. Теорема доказана.
продолжение--PAGE_BREAK--
Следуя Крамеру, введем следующее определение.
Определение. Класс групп /> называется />-замкнутым (/> – натуральное число), если /> содержит всякую группу />, имеющую />/>-подгрупп, индексы которых в /> при /> попарно взаимно просты.
По определению, пустая формация />-замкнута для любого />. Единственной />-замкнутой непустой формацией, отличной от />, условимся считать />.
Лемма 20 Пусть />и />– />-замкнутые классы групп. Тогда />также />-замкнут.
Доказательство очевидно.
Следующая лемма доказана Крамером.
Лемма 20 Пусть формация />содержится в />и />-замкнута, />. Тогда формация />является />-замкнутой.
Доказательство. Пусть группа /> имеет />-подгруппы />, />,…, />, индексы которых в /> попарно взаимно просты. Так как />, то по теореме 20группа /> разрешима. При любом гомоморфизме группы /> образы подгруппы /> принадлежат /> и имеют попарно взаимно простые индексы. Поэтому можно считать, что />-корадикал /> группы /> является ее единственной минимальной нормальной подгруппой. Ясно, что /> является />-группой для некоторого />. Подгруппа Фиттинга /> группы /> также является />-группой. Индекс любой подгруппы, не содержащей />, делится на />. Поэтому /> содержится по крайней мере в /> подгруппах нашей системы подгрупп />. Будем считать, что />, />. Так как /> является />-группой, то /> и /> поэлементно перестановочны, />. Отсюда и из следствия вытекает, что />, />. Так как />, то мы получаем, что />, />. Воспользовавшись />-замкнутостью формации />, мы приходим к тому, что />.
Лемма доказана.
Теорема Крамер 20 Пусть />– такой локальный />-экран формации />, что для любого простого />формация />/>-замкнута, />. Тогда />/>-зaмкнута.
Доказательство. Так как /> – />-экран, то /> для любого простого />, а значит, />. Пусть />. Ввиду леммы 4.5 />. Если />, то /> и />/>-замкнута; если же />, то по лемме формация />/>-замкнута. В любом случае />/>-замкнута. По лемме />/>-замкнута. Применяя лемму 20, мы видим, что и формация />/>-замкнута. Теорема доказана.
Так как формация /> имеет единичный экран, удовлетворяющий условию теоремы 20при />, то мы получаем
Следствие Кегель 20 Группа />нилъпотентна, если она имеет три нилъпотентные подгруппы, индексы которых в />попарно взаимно просты.
Этот факт вытекает также и из следующего результата Кегеля.
Лемма 20 Класс всех />-замкнутых групп />-замкнут.
Доказательство такое же, как и у теоремы 20.
Лемма 20 Каждая формация нилъпотентных групп является />-замкнутой.
Доказательство. Пусть /> – некоторая формация нильпотентных групп. Пусть группа /> имеет />-подгруппы />, /> и /> с попарно взаимно простыми индексами. Тогда по следствию 20группа /> нильпотентна. Если /> – наивысшая степень простого числа />, делящая />, то /> делит /> для некоторого />, так как /> не может делить одновременно индексы всех подгрупп />, /> и />. Если /> делит />, то силовская />-подгруппа /> из /> входит в /> и является силовской />-подгруппой группы />. Тем самым показано, что все силовские подгруппы нильпотентной группы /> являются />-группами. Так как /> – формация, то отсюда следует, что />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Лемма доказана.
Лемма 20 Пусть />– некоторый />-замкнутый гомоморф />-замкнутых групп. Тогда класс />/>-замкнут.
Доказательство. Пусть группа /> имеет />-подгруппы />, /> и /> с попарно взаимно простыми индексами. По лемме 20/> имеет нормальную силовскую />-подгруппу />. Поскольку /> является силовской />-подгруппой в /> и /> – гомоморф, то />. В группе /> индексы подгрупп />, /> и /> попарно взаимно просты. Поэтому ввиду />-замкнутости /> имеем />. Лемма доказана.
Лемма 20 Для любого простого />и любой формации нильпотентных групп />класс />является />-замкнутой формацией.
Доказательство. По лемме 20класс />/>-замкнут. По лемме 20класс />/>-замкнут и по теореме 1.1 является формацией.
Теорема 20 Пусть />– локальная подформация формации />, />– максимальный внутренний локальный экран формации />. Если для любого простого />формация />/>-замкнута, />, то />/>-замкнута.
Доказательство. Пусть />. Ввиду теоремы 3.3 и леммы 4.5, />. Формация />/>-замкнута. По лемме 20формация />/>-замкнута. Теорема доказана.
Теорема Крамер 20 Любая локальная подформация формации />является />-замкнутой.
Доказательство. Пусть /> – локальная подформация формации />. /> имеет внутренний локальный />-экран />. Пусть /> – максимальный внутренний локальный экран формации />. Тогда по теореме 3.3 для любого простого /> имеет место равенство />. Так как />, то по лемме 20формация />/>-замкнута. Тогда по теореме 20формация />/>-замкнута. Теорема доказана.
Следствие Д/>рк 20 Пусть группа />имеет четыре сверхразрешимые подгруппы, индексы которых в />попарно взаимно просты. Тогда />сверхразрешима.
Заключение
В данной курсовой работе мы дали определение формации, произведения формаций, а также операций на классах групп. Познакомились с понятием экрана, радикального и корадикального классов. В работе рассмотрели ситуацию: конечные разрешимые группы с нормальной максимальной подгруппой, принадлежащей локальной формации /> формации /> всех групп с нильпотентным коммутантом. Рассматривали только конечные и разрешимые группы.
Теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца, вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления-теории формаций.
Литература
1 Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. – М.: Наука, 1977.
2 Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. – М.: Наука, 1969.
3 Чунихин С.А. О />-свойствах конечных групп. – Матем. сб., 1949, 25, №3, с. 321 – 346.
4 Шеметков Л.А. Формация конечных групп. – М. «Наука», 1978.