Реферат: Измеримые множества
--PAGE_BREAK--Пусть F есть замкнутое подмножество А, тогда и подавно F является подмножеством множества В. Отсюда следует, что S Ì T, и теорема вытекает из того известного факта, что точная верхняя граница подмножества какого-либо множества не превосходит точной верхней границы самого этого множества.Теорема 5. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества множеств Еk
E=<shape id="_x0000_i1119" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image159.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb61541.zip» v:shapes="_x0000_i1119">, то m*E£<shape id="_x0000_i1120" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image161.wmz» o:><img width=«86» height=«46» src=«dopb61542.zip» v:shapes="_x0000_i1120">.<shape id="_x0000_i1121" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image005.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb61463.zip» v:shapes="_x0000_i1121">
Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема тривиальна в случае расходимости ряда <shape id="_x0000_i1122" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image163.wmz» o:><img width=«67» height=«27» src=«dopb61543.zip» v:shapes="_x0000_i1122">. Предположим, что этот ряд сходится. Взяв произвольное e > 0, мы можем найти такие открытые ограниченные множества Gk, что
GkÉEk, mGk<m*Ek+<shape id="_x0000_i1123" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image165.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb61544.zip» v:shapes="_x0000_i1123"> (R=1, 2, 3, …).
Назовем через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда ЕÌD<shape id="_x0000_i1124" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image167.wmz» o:><img width=«43» height=«36» src=«dopb61500.zip» v:shapes="_x0000_i1124">, откуда, в силу теоремы 3.
m*E £ m<shape id="_x0000_i1125" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image168.wmz» o:><img width=«67» height=«48» src=«dopb61545.zip» v:shapes="_x0000_i1125"> = m<shape id="_x0000_i1126" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image170.wmz» o:><img width=«80» height=«48» src=«dopb61546.zip» v:shapes="_x0000_i1126"> <shape id="_x0000_i1127" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image172.wmz» o:><img width=«76» height=«36» src=«dopb61547.zip» v:shapes="_x0000_i1127"> £ <shape id="_x0000_i1128" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image174.wmz» o:><img width=«156» height=«36» src=«dopb61548.zip» v:shapes="_x0000_i1128">,
и теорема вытекает из произвольности числа e.
Теорема 6. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих множеств Еk Е=<shape id="_x0000_i1129" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image159.wmz» o:><img width=«57» height=«48» src=«dopb61541.zip» v:shapes="_x0000_i1129"> (EkEk’=0, k¹k’),
то
m*E³<shape id="_x0000_i1130" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image176.wmz» o:><img width=«40» height=«48» src=«dopb61549.zip» v:shapes="_x0000_i1130">*Ek.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим первые n множеств Е1, Е2,… …, Еn. Для любого e > 0 существуют такие замкнутые множества Fk, что
FkÌEk, mFk>m*Ek-<shape id="_x0000_i1131" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image178.wmz» o:><img width=«16» height=«41» src=«dopb61550.zip» v:shapes="_x0000_i1131"> (k=1, 2, …, n).
Множества Fkпопарно не пересекаются и сумма их <shape id="_x0000_i1132" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image180.wmz» o:><img width=«59» height=«56» src=«dopb61551.zip» v:shapes="_x0000_i1132">замкнута. Отсюда, применяя теорему 6, получим
m*E ³ m<shape id="_x0000_i1133" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image182.wmz» o:><img width=«60» height=«59» src=«dopb61552.zip» v:shapes="_x0000_i1133">= <shape id="_x0000_i1134" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image184.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb61553.zip» v:shapes="_x0000_i1134">mFk> <shape id="_x0000_i1135" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image186.wmz» o:><img width=«31» height=«45» src=«dopb61553.zip» v:shapes="_x0000_i1135">m*Ek — e.
Так как e > 0 произвольно, то <shape id="_x0000_i1136" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image184.wmz» o:><img width=«36» height=«53» src=«dopb61554.zip» v:shapes="_x0000_i1136">m*Ek£ m*E.
Этим теорема доказана для случая конечного числа слагаемых множеств. Если же этих множеств имеется счетное множество, то, опираясь на произвольность числа n, мы установим сходимость ряда <shape id="_x0000_i1137" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image188.wmz» o:><img width=«31» height=«27» src=«dopb61527.zip» v:shapes="_x0000_i1137">m*Ek и неравенство <shape id="_x0000_i1138" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image189.wmz» o:><img width=«38» height=«55» src=«dopb61555.zip» v:shapes="_x0000_i1138">m*Ek£ m*E.
Легко видеть, что теорема перестает быть справедливой, если отбросить условие отсутствия общих точек у множеств Ek. Например, если Е1=[0, 1], Е2=[0, 1] Е=Е1+Е2, то m*E=1, m*E1+m*E2=2.
Теорема 7. Пусть Е ограниченное множество. Если D интервал, содержаций это множество, то
m*E+m*[CDE]=mD.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное e>0 и найдем такое замкнутое множество F, что FÌCDЕ, mF>m*[CDE]- e.
Если мы положим G=CDF, то множество G будет открытым ограниченным множеством, содержащим множество Е, откуда, с помощью леммы находим
m*E £ mG = mD — mF < mD — m*[CDE] + e.
Отсюда, в силу произвольности e, следует, что
m*E + m*[CDE] £ mD.
Для того чтобы получить обратное неравенство
m*E + m*[CDE] ³ mD, (*)
приходится рассуждать тоньше.
Возьмем e>0 и найдем такое открытое ограниченное множество G0, что G0É Е, mG0< m*E + <shape id="_x0000_i1139" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image191.wmz» o:><img width=«19» height=«48» src=«dopb61556.zip» v:shapes="_x0000_i1139">. Назовем концы интервала D через A и B и построим такой содержащийся в D интервал (a, b), что
A < a < A+<shape id="_x0000_i1140" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image191.wmz» o:><img width=«19» height=«48» src=«dopb61556.zip» v:shapes="_x0000_i1140">, В — <shape id="_x0000_i1141" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image191.wmz» o:><img width=«19» height=«48» src=«dopb61556.zip» v:shapes="_x0000_i1141">< b < B.
Сделав это, положим G = DG0+ (A, a) + (b, B).
Множество G открыто, ограничено, содержит E и таково, что
mG < m*E + e.
Но кроме того (и это здесь основное) множество F = CDG оказывается замкнутым, что вытекает из легко проверяемого тождества F = [а, b] × CG.
Так как F Ì СDЕ, то m*[СDЕ] ³ mF = mD — mG > mD — m*E -e.
Отсюда, в силу произвольности e, следует неравенство (*), а с ним и теорема.
Следствие. В обозначениях теоремы будет
m*[CDЕ] — m*[CDЕ] = m*E – m*E.
В самом деле, если мы переменим роли множеств Е и СDЕ, то получим, что m*[CDЕ] + m*Е = mD, откуда
m*[CDЕ] + m*E = m*E + m*[CDE],
а это равносильно доказываемому утверждению.
Измеримые множества Определение. Ограниченные множество Еназывается измеримым, если его внешняя и внутренняя меры равны друг другу:
m*E=m*E.
Их общее значение называется мерой множества E и обозначается через mE:
mE=m*E=m*E .
Этот способ определения понятия меры принадлежит Лебегу, в связи с чем иногда измеримое множество называют множеством “измеримым в смысле Лебега”, или, короче, “измеримым (L)”. Если множество E неизмеримо, то о его мере нельзя говорить, и символ mE для нас лишен смысла. В частности, неизмеримыми мы считаем все неограниченные множества.
Теорема 1. Открытое ограниченное множество измеримо и его вновь определенная мера совпадает с мерой.
Этот результат есть непосредственное следствие теоремы 1. Точно также из теоремы 2, вытекает следующая теорема:
Теорема 2.Замкнутое ограниченное множество измеримо и его вновь определенная мера совпадает с введенной.
Из следствия теоремы 7, вытекает:
Теорема 3. Если Е есть ограниченное множество, содержащееся в интервале D, множества Е и СDЕ одновременно измеримы или нет.
Из сопоставления теорем 5 и 6 предыдущей темы следует:
Теорема 4. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества измеримых множеств, попарно не имеющих точек,
<shape id="_x0000_i1142" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image193.wmz» o:><img width=«80» height=«42» src=«dopb61557.zip» v:shapes="_x0000_i1142"> (ЕkЕk’ = 0, k ¹ k’),
то множество Е измеримо и
<shape id="_x0000_i1143" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image195.wmz» o:><img width=«100» height=«39» src=«dopb61558.zip» v:shapes="_x0000_i1143">
Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из следующей цепи неравенств:
<shape id="_x0000_i1144" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image197.wmz» o:><img width=«367» height=«39» src=«dopb61559.zip» v:shapes="_x0000_i1144">
Доказанное свойство меры называется ее полной аддитивностью.
В последней теореме существенно было, что отдельные слагаемые попарно не пересекаются. Избавимся от этого ограничения, пока, впрочем, для случая конечного числа слагаемых множеств.
Теорема 5.Сумма конечного числа измеримых множеств есть измеримое множество.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Пусть <shape id="_x0000_i1145" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image199.wmz» o:><img width=«80» height=«50» src=«dopb61560.zip» v:shapes="_x0000_i1145"> причем множества
Ek (k =1, 2, …, n) измеримы.
Возьмем произвольное e>0 и построим для каждого k такое замкнутое множество Fk и такое открытое ограниченное множество Gk, чтобы было
Fk Ì Ek Ì Gk, mGk – mFk <<shape id="_x0000_i1146" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image201.wmz» o:><img width=«20» height=«51» src=«dopb61561.zip» v:shapes="_x0000_i1146"> (k = 1, 2, …, n).
Сделав это, положим <shape id="_x0000_i1147" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image203.wmz» o:><img width=«78» height=«49» src=«dopb61562.zip» v:shapes="_x0000_i1147"> <shape id="_x0000_i1148" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image005.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb61463.zip» v:shapes="_x0000_i1148"><shape id="_x0000_i1149" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image205.wmz» o:><img width=«74» height=«47» src=«dopb61563.zip» v:shapes="_x0000_i1149"> Очевидно, что множество F замкнуто, а G открыто и ограничено, и что
F Ì E Ì G, откуда следует, что
mF £ m*E £ m*E £ mG. (*)
Но множество G – F открыто (ибо его можно представить в форме
G · CF) и ограничено. Значит, это множество измеримо. Множество F также измеримо, а потому, поскольку
G = F + (G – F)
и множества F и G – F не пересекаются, можно применить предыдущую теорему, что дает mG = mF + m(G – F), откуда
m(G – F) = mG – mF.
Аналогично мы установим, что m(Gk – Fk) = mGk – mFk (k = 1, 2, …, n).
Отметим теперь легко проверяемое включение G-F<shape id="_x0000_i1150" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image207.wmz» o:><img width=«49» height=«47» src=«dopb61564.zip» v:shapes="_x0000_i1150">(Gk-Fk).
Все входящие сюда множества открыты и ограничены, так что, на основании теорем § 1, мы имеем
m(G-F)<shape id="_x0000_i1151" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image209.wmz» o:><img width=«121» height=«49» src=«dopb61565.zip» v:shapes="_x0000_i1151">
или
mG — mF<shape id="_x0000_i1152" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image211.wmz» o:><img width=«125» height=«49» src=«dopb61566.zip» v:shapes="_x0000_i1152"><e.<shape id="_x0000_i1153" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image005.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb61463.zip» v:shapes="_x0000_i1153">
Отсюда и из (*) вытекает, что m*E — m*E<e, а также как e сколь угодно мало, то
m*E = m*E.
Теорема 6.Пересечение конечного числа измеримых множеств измеримо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E=<shape id="_x0000_i1154" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image213.wmz» o:><img width=«56» height=«53» src=«dopb61567.zip» v:shapes="_x0000_i1154">, причем множества Ek измеримы. Назовем через D какой-нибудь интервал, содержащий все множества Ek. Легко проверить, что CDE=<shape id="_x0000_i1155" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image215.wmz» o:><img width=«76» height=«54» src=«dopb61568.zip» v:shapes="_x0000_i1155">.
Но множества С<shape id="_x0000_i1156" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image217.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb61569.zip» v:shapes="_x0000_i1156">Ek измеримы одновременно с множествами Ek, откуда, в силу теоремы 5, следует измеримость множества CDE, а с ним и множества E, что и требовалось доказать.
Теорема 7. Разность двух измеримых множеств измерима.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E = E1 — E2, где множества E1 и E2 измеримы. Назовем через D какой-нибудь интервал, содержащий оба множества E1 и E2. Тогда E=E1·CDE2 и дело сводится к предыдущей теореме.
Теорема 8.Если в условиях теоремы 7 будет E1 <shape id="_x0000_i1157" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image219.wmz» o:><img width=«17» height=«13» src=«dopb61570.zip» v:shapes="_x0000_i1157">E2, то
ME = mE1 — mE2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно E1=E+E2 (EE2=0), откуда, в силу теоремы 4, mE1=mE+mE2, что равносильно теореме.
Теорема 9. Если ограниченное множество Eявляется суммой счетного множества измеримых множеств, то Eизмеримо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть E=<shape id="_x0000_i1158" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image221.wmz» o:><img width=«51» height=«51» src=«dopb61571.zip» v:shapes="_x0000_i1158">.
Введем множества Ak (k=1, 2, …), полагая
A1=E1, A2=E2-E1, …, Ak=Ek-(E1+…+Ek-1), …
Легко проверить, что <shape id="_x0000_i1159" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image223.wmz» o:><img width=«75» height=«48» src=«dopb61572.zip» v:shapes="_x0000_i1159">. При этом все множества Ak измеримы и попарно не пересекаются (в последнем вся суть доказательства), так что дело свелось к теореме 4.
Условие ограниченности множества Е (которое в теореме 5 выполнялось само собой) отбросить нельзя, как видно хотя бы из примера Еk= [0, k], где сумма <shape id="_x0000_i1160" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image225.wmz» o:><img width=«40» height=«50» src=«dopb61573.zip» v:shapes="_x0000_i1160">k= [0, +<shape id="_x0000_i1161" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image227.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb61574.zip» v:shapes="_x0000_i1161">) неизмерима.
Теорема 10. Пересечение счетного множества измеримых множеств измеримо.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть <shape id="_x0000_i1162" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image229.wmz» o:><img width=«73» height=«51» src=«dopb61575.zip» v:shapes="_x0000_i1162">k, где все множества Еk измеримы. Так как Е<shape id="_x0000_i1163" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image231.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb61576.zip» v:shapes="_x0000_i1163">Е1, то множество Е ограничено. Обозначим через D какой-нибудь интервал, содержащий это множество, и положим Аk= D Еk (k=1, 2, 3, …).
Тогда <shape id="_x0000_i1164" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image233.wmz» o:><img width=«118» height=«47» src=«dopb61577.zip» v:shapes="_x0000_i1164">k=<shape id="_x0000_i1165" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image235.wmz» o:><img width=«59» height=«43» src=«dopb61578.zip» v:shapes="_x0000_i1165">k)=<shape id="_x0000_i1166" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image237.wmz» o:><img width=«45» height=«45» src=«dopb61579.zip» v:shapes="_x0000_i1166">k.
Легко проверить, что <shape id="_x0000_i1167" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image239.wmz» o:><img width=«107» height=«47» src=«dopb61580.zip» v:shapes="_x0000_i1167">, и дело сводится к теоремам 3 и 9.
В заключение установим две теоремы, играющие важную роль в теории функций.
Теорема 11. Пусть множества Е1, Е2, Е3, … измеримы. Если
<shape id="_x0000_i1168" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image241.wmz» o:><img width=«138» height=«28» src=«dopb61581.zip» v:shapes="_x0000_i1168">
и если сумма <shape id="_x0000_i1169" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image243.wmz» o:><img width=«78» height=«51» src=«dopb61582.zip» v:shapes="_x0000_i1169">ограничена, то
<shape id="_x0000_i1170" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image245.wmz» o:><img width=«79» height=«35» src=«dopb61583.zip» v:shapes="_x0000_i1170">[mEn].
Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко видеть, что множество Е можно представить в форме
Е=Е1 + (Е2 – Е1) + (Е3 – Е2) + (Е4 – Е3) + …,
где отдельные слагаемые попарно не пересекаются. Отсюда, в силу теорем 4 и 8, следует, что<shape id="_x0000_i1171" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image005.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb61463.zip» v:shapes="_x0000_i1171">
<shape id="_x0000_i1172" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image247.wmz» o:><img width=«363» height=«47» src=«dopb61584.zip» v:shapes="_x0000_i1172">
На основании самого определения суммы бесконечного ряда, последнее равенство можно переписать так
<shape id="_x0000_i1173" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image249.wmz» o:><img width=«79» height=«35» src=«dopb61583.zip» v:shapes="_x0000_i1173">{<shape id="_x0000_i1174" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image250.wmz» o:><img width=«182» height=«49» src=«dopb61585.zip» v:shapes="_x0000_i1174">
а это равносильно теореме, ибо
mE1+<shape id="_x0000_i1175" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image252.wmz» o:><img width=«133» height=«47» src=«dopb61586.zip» v:shapes="_x0000_i1175">=mEn
Теорема 12. Пусть E1, E2,E3,… суть измеримые множества, и Е= <shape id="_x0000_i1176" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image254.wmz» o:><img width=«45» height=«49» src=«dopb61587.zip» v:shapes="_x0000_i1176">. Если Е1ÉE2ÉE3É…, то
mE=lim<shape id="_x0000_i1177" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image256.wmz» o:><img width=«49» height=«26» src=«dopb61588.zip» v:shapes="_x0000_i1177">.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Эту теорему легко свести к предыдущей. Действительно, обозначив через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е1, мы будем иметь
СDE1ÌCDE2ÌCDE3Ì ..., CDE=<shape id="_x0000_i1178" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image258.wmz» o:><img width=«70» height=«49» src=«dopb61589.zip» v:shapes="_x0000_i1178">.
В силу теоремы 11 мы получаем, что
m(СDE)=<shape id="_x0000_i1179" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image260.wmz» o:><img width=«114» height=«35» src=«dopb61590.zip» v:shapes="_x0000_i1179">
что можно представить и так:
mD — mE=<shape id="_x0000_i1180" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image262.wmz» o:><img width=«125» height=«35» src=«dopb61591.zip» v:shapes="_x0000_i1180">
а это равносильно теореме.
Измеримость и мера как инварианты движения Пусть даны два множества А и В, состоящие из объектов любой природы. Если указано правило, которое каждому элементу а множества А ставит в соответствие один и только один элемент b множества В, то говорят, что установлено однозначное отображение множества А в множество В. При этом не предполагается, что каждый элемент множества В оказывается соотнесенным какому-нибудь элементу из А. Понятие отображения есть прямое обобщение понятия функции. В связи с этим элемент b Î В, отвечающий элементу а Î A, часто обозначают через f(а) и пишут b=f (а).
Если b=f(а), то мы будем называть элемент b образом элемента а, а элемент а прообразом элемента b. При этом один элемент b может иметь несколько прообразов.
Пусть А* есть часть множества А, а В* есть множество образов всех элементов А* (иначе говоря, если аÎА*, то f(а) ÎВ*, и если bÎВ*, то существует хоть один элемент аÎА* такой, что f(а) = b). В таком случае множество В* называется образом множества А*, что записывают так: В*= f(А*).
При этом множество А* называется прообразом множества В*.<shape id="_x0000_i1181" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image005.wmz» o:><img width=«10» height=«22» src=«dopb61592.zip» v:shapes="_x0000_i1181">
Установив эти общие понятия, перейдем к рассмотрению одного важного специального вида отображений.<shape id="_x0000_i1182" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image005.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb61463.zip» v:shapes="_x0000_i1182">
Определение 1. Однозначное отображение j (х) числовой прямой Z в себя называется движением, если расстояние между образами любых двух точек прямой равно расстоянию между самими этими точками:
½j (х) — j (y)½= ½ х – y ½.
Иначе говоря, движением называется такое отображение множества Z в множество Z, которое не изменяет расстояний между точками Z.
В определение понятия движения не включено требование, чтобы каждая точка Z cлужила образом какой-нибудь точки, а также требование, чтобы разные точки Z имели разные же образы. Однако оба эти обстоятельства имеют место. Убедимся в этом пока для одного из них.
Теорема 1. Пусть j (х) есть движение. Если х ¹ y, то j (х) ¹ j (y).
Действительно, в этом случае ½j (х) — j (y) ½ = ½х — y½¹ 0.
Теорема 2. a) Если А Ì В, то j (А) Ì j (В).
b) <shape id="_x0000_i1183" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image265.wmz» o:><img width=«157» height=«55» src=«dopb61593.zip» v:shapes="_x0000_i1183">
c) <shape id="_x0000_i1184" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«2.files/image267.wmz» o:><img width=«160» height=«58» src=«dopb61594.zip» v:shapes="_x0000_i1184">
d) Если L пустое множество, то j(L) = L
Доказательство предоставляется читателю; укажем лишь на то, что при доказательстве с) используется теорема 1.
Легко проверить, что следующие три отображения являются движениями:
I. j (х) = х + d(сдвиг),
II. j (х) = — х (зеркальное отражение),
III. j (х) = — х + d.
Чрезвычайно важным является то, что этими тремя (собственно – двумя, ибо III охватывает II) типами исчерпываются все возможные движения в Z.
Теорема 3. Если j (х) есть движение, то либо
j (х) = х + d,
либо
j (х) = — х + d.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим, j (0) = d. Тогда для всякого х будет | j (х) – d | = | х | и, стало быть,
j ( х ) = (-1) s( х ) х + d [s(х) = 0, 1].
Функция s (х) определена для всякого х ¹ 0. Нашей задачей является установление того, что s (х) есть постоянная величина.
Пусть x и y две точки, причем x ¹ 0, y ¹ 0, x ¹ y. Тогда
j (x) — j (y) = (-1) s(x) x – (-1) s(y) y,
или
j (x) — j (y) = (-1)s(x) [x – (-1) ry],
где r = s (y) — s (x) имеет одно из трех значений r = 1, 0, -1.
Пользуясь определением движения, можно утверждать, что
| x – (-1) ry| = | x — y|.
Отсюда, либо x – (-1)ry = x – y, либо же x – (-1)ry = -x + y.
Но второй случай невозможен, ибо он приводит к тому, что
2x = y [1 + (-1) r], откуда (при r = ± 1) x = 0, или (при r = 0) x = y, а это противоречит условию.
Значит, остается первый случай, который дает, что r = 0, т.е. s(x) = s(y).
Значит, для всех x ¹ 0 функция s (x) имеет одно и то же значение
s (x) = s (s = 0, 1), так что j (x) = (-1) sx + d.
Поскольку это равенство, очевидно, остается в силе и для x = 0, теорема доказана.
Следствие. При движении каждая точка yÎZслужит образом некоторой точки xÎZ, т.е. j (Z) = Z.
Действительно, если j (x) = (-1) sx + d, то прообразом точки y служит точка x = (-1) s (y-d).
Если j (x) = (-1) s x + d есть некоторое движение, то движение j-1 (x) = (-1)s (x – d)
называется обратным движением. Эти два движения связаны соотношениями
j [j-1 (x)] = j-1[j (x)] = x.
Иначе говоря, если точка х в движении j имеет образом точку y, то в движении j-1 точка y имеет образом точку х. Весьма важным является то, что для всякого движения существует обратное ему движение.
Теорема 4. При движении: а) всякий интервал переходит в интервал той же меры, причем концами интервала-образа служат образы концов интервала-прообраза;
b) образ ограниченного множества есть ограниченное же множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D = (a, b) есть некоторый интервал. Тогда при движении j (x) = x + d образом интервала D служит интервал (а+ d, b + d), а при движении j (x) = -x + d – интервал (d – b, d – a). В обоих случаях mj (D) = b – a = mD.
Чтобы доказать b), обозначим через Е какое-нибудь ограниченное множество. Если D есть интервал, содержащий множество Е, то
j (Е) Ì j (D), так что j (Е) ограничено. Можно рассуждать и так: если для всех х из Е будет | х | < k, то для всех у из j(E) будет | у|<k+|d|.
Теорема 5. При движении: а) замкнутое множество переходит в замкнутое множество;
b) открытое множество переходит в открытое множество.
Д о к а з а т е л ь с т в о. a) пусть j (F) есть образ замкнутого множества F. Обозначим через у0 какую-либо предельную точку множества j (F) и найдем последовательность {уn}, для которой
lim уn = у0, уnÎ j(F).
Пусть х0=j-1(у0), хn= у –1(уn).
Тогда хnÎF. Но | хn– х0| = | уn– у0|, так что хn® х0и, в силу замкнутости F, х0Î F, откуда у0= j (х0) Î j (F).
Значит j(F) есть открытое множество.
b) Пусть G есть открытое множество. Положим F=CG. Тогда F есть замкнутое множество и G+F=Z, G ·F=0.
Отсюда, в силу теоремы 2 и следствия теоремы 3,
j (G) + j (F) = Z, j (G) j ·(F) = 0,
продолжение
--PAGE_BREAK--