Реферат: Случайные величины

--PAGE_BREAK--Примеры плотностей и функций распределения вероятностей 35.1. Случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1333"> называется равномерно распределенной на отрезке <imagedata src=«19122.files/image441.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87169.zip» v:shapes="_x0000_i1334">, если ее плотность распределения вероятностей
<imagedata src=«19122.files/image443.wmz» o:><img width=«175» height=«55» src=«dopb87170.zip» v:shapes="_x0000_i1335">                                        (35.1)
где <imagedata src=«19122.files/image445.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb87016.zip» v:shapes="_x0000_i1336"> - число, определяемое из условия нормировки:
<imagedata src=«19122.files/image446.wmz» o:><img width=«107» height=«61» src=«dopb87171.zip» v:shapes="_x0000_i1337">.                                           (35.2)
Подстановка (35.1) в (35.2) приводит к равенству, решение которого относительно <imagedata src=«19122.files/image445.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb87016.zip» v:shapes="_x0000_i1338"> имеет вид: <imagedata src=«19122.files/image448.wmz» o:><img width=«100» height=«27» src=«dopb87172.zip» v:shapes="_x0000_i1339">.
Функция распределения вероятностей <imagedata src=«19122.files/image450.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1340"> равномерно распределенной случайной величины может быть найдена по формуле (33.5), определяющей <imagedata src=«19122.files/image450.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1341"> через плотность:
<imagedata src=«19122.files/image451.wmz» o:><img width=«300» height=«99» src=«dopb87173.zip» v:shapes="_x0000_i1342">                                           (35.3)
На рис. 35.1 представлены графики функций <imagedata src=«19122.files/image453.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1343"> и <imagedata src=«19122.files/image450.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1344"> равномерно распределенной случайной величины.
<imagedata src=«19122.files/image454.png» o:><img width=«540» height=«224» src=«dopb87174.zip» v:shapes="_x0000_i1345">
Рис. 35.1. Графики функции и плотности распределения
 равномерно распределенной случайной величины.
35.2. Случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1346"> называется нормальной (или гауссовой), если ее плотность распределения вероятностей:
<imagedata src=«19122.files/image456.wmz» o:><img width=«179» height=«67» src=«dopb87175.zip» v:shapes="_x0000_i1347">  ,                                     (35.4)
где <imagedata src=«19122.files/image458.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb87176.zip» v:shapes="_x0000_i1348">, <imagedata src=«19122.files/image108.wmz» o:><img width=«19» height=«16» src=«dopb87027.zip» v:shapes="_x0000_i1349"> - числа, называемые параметрами функции <imagedata src=«19122.files/image453.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1350">. При <imagedata src=«19122.files/image460.wmz» o:><img width=«45» height=«16» src=«dopb87177.zip» v:shapes="_x0000_i1351"> функция <imagedata src=«19122.files/image453.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1352"> принимает свое максимальное значение: <imagedata src=«19122.files/image462.wmz» o:><img width=«128» height=«29» src=«dopb87178.zip» v:shapes="_x0000_i1353">. Параметр <imagedata src=«19122.files/image108.wmz» o:><img width=«19» height=«16» src=«dopb87027.zip» v:shapes="_x0000_i1354"> имеет смысл эффективной ширины <imagedata src=«19122.files/image453.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1355">. Кроме этой геометрической интерпретации параметры <imagedata src=«19122.files/image458.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb87176.zip» v:shapes="_x0000_i1356">, <imagedata src=«19122.files/image108.wmz» o:><img width=«19» height=«16» src=«dopb87027.zip» v:shapes="_x0000_i1357"> имеют и вероятностную трактовку, которая будет рассмотрена в последующем.
Из (35.4) следует выражение для функции распределения вероятностей
<imagedata src=«19122.files/image464.wmz» o:><img width=«552» height=«79» src=«dopb87179.zip» v:shapes="_x0000_i1358">, (35.5)
где <imagedata src=«19122.files/image466.wmz» o:><img width=«45» height=«25» src=«dopb87180.zip» v:shapes="_x0000_i1359"> - функция Лапласа. На рис. 35.2 представлены графики функций <imagedata src=«19122.files/image453.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1360"> и <imagedata src=«19122.files/image468.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1361"> нормальной случайной величины. Для обозначения того, что случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1362"> имеет нормальное распределение с параметрами <imagedata src=«19122.files/image458.wmz» o:><img width=«16» height=«16» src=«dopb87176.zip» v:shapes="_x0000_i1363"> и <imagedata src=«19122.files/image469.wmz» o:><img width=«27» height=«27» src=«dopb87181.zip» v:shapes="_x0000_i1364"> часто используется запись <imagedata src=«19122.files/image471.wmz» o:><img width=«108» height=«31» src=«dopb87182.zip» v:shapes="_x0000_i1365">.                    
<imagedata src=«19122.files/image473.png» o:><img width=«552» height=«193» src=«dopb87183.zip» v:shapes="_x0000_i1366">
Рис. 35.2. Графики плотности и функции распределения
 нормальной случайной величины.
35.3. Случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1367"> имеет плотность распределения вероятностей Коши, если
<imagedata src=«19122.files/image475.wmz» o:><img width=«187» height=«59» src=«dopb87184.zip» v:shapes="_x0000_i1368">.                                              (35.6)
Этой плотности соответствует функция распределения
<imagedata src=«19122.files/image477.wmz» o:><img width=«572» height=«60» src=«dopb87185.zip» v:shapes="_x0000_i1369">.
(35.7)
35.4. Случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1370"> называется распределенной по экспоненциальному закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:
<imagedata src=«19122.files/image479.wmz» o:><img width=«192» height=«59» src=«dopb87186.zip» v:shapes="_x0000_i1371">                                              (35.8)
Определим ее функцию распределения вероятностей. При <imagedata src=«19122.files/image481.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87187.zip» v:shapes="_x0000_i1372"> из (35.8) следует <imagedata src=«19122.files/image483.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb87188.zip» v:shapes="_x0000_i1373">. Если <imagedata src=«19122.files/image485.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87189.zip» v:shapes="_x0000_i1374">, то
<imagedata src=«19122.files/image487.wmz» o:><img width=«320» height=«61» src=«dopb87190.zip» v:shapes="_x0000_i1375">.                    (35.9)
35.5. Релеевское распределение вероятностей случайной величины определяется плотностью вида
<imagedata src=«19122.files/image489.wmz» o:><img width=«207» height=«91» src=«dopb87191.zip» v:shapes="_x0000_i1376">                                           (35.10)
Этой плотности соответствует функция распределения вероятностей <imagedata src=«19122.files/image491.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb87188.zip» v:shapes="_x0000_i1377"> при <imagedata src=«19122.files/image492.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87187.zip» v:shapes="_x0000_i1378"> и равная
<imagedata src=«19122.files/image493.wmz» o:><img width=«358» height=«84» src=«dopb87192.zip» v:shapes="_x0000_i1379">             (35.11)
при <imagedata src=«19122.files/image495.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87189.zip» v:shapes="_x0000_i1380">.
35.6. Рассмотрим примеры построения функции распределения и плотности дискретной случайной величины. Пусть случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1381"> - это число успехов в последовательности из <imagedata src=«19122.files/image496.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb86981.zip» v:shapes="_x0000_i1382"> независимых испытаний. Тогда случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1383"> принимает значения <imagedata src=«19122.files/image497.wmz» o:><img width=«47» height=«25» src=«dopb87193.zip» v:shapes="_x0000_i1384">, <imagedata src=«19122.files/image499.wmz» o:><img width=«100» height=«24» src=«dopb87194.zip» v:shapes="_x0000_i1385"> с вероятностью <imagedata src=«19122.files/image501.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb87195.zip» v:shapes="_x0000_i1386">, которая определяется формулой Бернулли:
<imagedata src=«19122.files/image503.wmz» o:><img width=«295» height=«53» src=«dopb87196.zip» v:shapes="_x0000_i1387"> ,                        (35.12)
где <imagedata src=«19122.files/image505.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb87197.zip» v:shapes="_x0000_i1388">, <imagedata src=«19122.files/image507.wmz» o:><img width=«16» height=«20» src=«dopb87198.zip» v:shapes="_x0000_i1389"> - вероятности успеха и неуспеха в одном опыте. Таким образом, функция распределения вероятностей случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1390"> имеет вид
<imagedata src=«19122.files/image509.wmz» o:><img width=«275» height=«57» src=«dopb87199.zip» v:shapes="_x0000_i1391">,                             (35.13)
где <imagedata src=«19122.files/image511.wmz» o:><img width=«40» height=«25» src=«dopb87147.zip» v:shapes="_x0000_i1392"> - функция единичного скачка. Отсюда плотность распределения:
<imagedata src=«19122.files/image512.wmz» o:><img width=«275» height=«57» src=«dopb87200.zip» v:shapes="_x0000_i1393">,                             (35.14)
где <imagedata src=«19122.files/image514.wmz» o:><img width=«100» height=«25» src=«dopb87201.zip» v:shapes="_x0000_i1394"> - дельта-функция.
Сингулярные случайные величины Кроме дискретных и непрерывных случайных величин существуют еще так называемые сингулярные случайные величины. Эти случайные величины характеризуются тем, что их функция распределения вероятностей <imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1395"> - непрерывна, но точки роста <imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1396"> образуют множество нулевой меры. Точкой роста <imagedata src=«19122.files/image516.wmz» o:><img width=«23» height=«27» src=«dopb87112.zip» v:shapes="_x0000_i1397"> функции <imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1398"> называется значение ее аргумента <imagedata src=«19122.files/image517.wmz» o:><img width=«53» height=«27» src=«dopb87202.zip» v:shapes="_x0000_i1399"> такое, что производная <imagedata src=«19122.files/image519.wmz» o:><img width=«88» height=«27» src=«dopb87203.zip» v:shapes="_x0000_i1400">.
Таким образом, <imagedata src=«19122.files/image521.wmz» o:><img width=«79» height=«25» src=«dopb87204.zip» v:shapes="_x0000_i1401"> почти всюду на области определения функции. Функцию<imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1402">, удовлетворяющую этому условию, также называют сингулярной. Примером сингулярной функции распределения является кривая Кантора (рис. 36.1), которая строится следующим образом. Полагается <imagedata src=«19122.files/image491.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb87188.zip» v:shapes="_x0000_i1403">  при <imagedata src=«19122.files/image492.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87187.zip» v:shapes="_x0000_i1404"> и <imagedata src=«19122.files/image523.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb87205.zip» v:shapes="_x0000_i1405"> при <imagedata src=«19122.files/image525.wmz» o:><img width=«41» height=«21» src=«dopb87206.zip» v:shapes="_x0000_i1406">. Затем интервал <imagedata src=«19122.files/image527.wmz» o:><img width=«39» height=«25» src=«dopb87207.zip» v:shapes="_x0000_i1407"> разбивается на три равных части (сегмента) и для внутреннего сегмента <imagedata src=«19122.files/image529.wmz» o:><img width=«112» height=«21» src=«dopb87208.zip» v:shapes="_x0000_i1408"> определяется значение <imagedata src=«19122.files/image531.wmz» o:><img width=«92» height=«25» src=«dopb87209.zip» v:shapes="_x0000_i1409"> - как полусумма уже определенных значений на ближайших сегментах справа и слева. На данный момент функция <imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1410"> определена для <imagedata src=«19122.files/image492.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87187.zip» v:shapes="_x0000_i1411">, ее значение <imagedata src=«19122.files/image491.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb87188.zip» v:shapes="_x0000_i1412">, и для <imagedata src=«19122.files/image525.wmz» o:><img width=«41» height=«21» src=«dopb87206.zip» v:shapes="_x0000_i1413"> со значением <imagedata src=«19122.files/image523.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb87205.zip» v:shapes="_x0000_i1414">. Полусумма этих значений равна <imagedata src=«19122.files/image533.wmz» o:><img width=«32» height=«21» src=«dopb87210.zip» v:shapes="_x0000_i1415"> и определяет значение <imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1416"> на  внутреннем   сегменте   <imagedata src=«19122.files/image529.wmz» o:><img width=«112» height=«21» src=«dopb87208.zip» v:shapes="_x0000_i1417">.    Затем  рассматриваются  отрезки
<imagedata src=«19122.files/image535.png» o:><img width=«505» height=«196» src=«dopb87211.zip» v:shapes="_x0000_i1418">
Рис. 36.1. Построение кривой Кантора.
<imagedata src=«19122.files/image537.wmz» o:><img width=«69» height=«25» src=«dopb87212.zip» v:shapes="_x0000_i1419"> и <imagedata src=«19122.files/image539.wmz» o:><img width=«67» height=«25» src=«dopb87213.zip» v:shapes="_x0000_i1420">, каждый из них разбивается на три равных сегмента и функция <imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1421"> определяется на внутренних сегментах как полусумма ближайших справа и слева заданных значений функции <imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1422">. Таким образом, при <imagedata src=«19122.files/image541.wmz» o:><img width=«115» height=«21» src=«dopb87214.zip» v:shapes="_x0000_i1423"> функция <imagedata src=«19122.files/image543.wmz» o:><img width=«99» height=«25» src=«dopb87215.zip» v:shapes="_x0000_i1424"> - как полусумма чисел <imagedata src=«19122.files/image545.wmz» o:><img width=«15» height=«21» src=«dopb86986.zip» v:shapes="_x0000_i1425"> и <imagedata src=«19122.files/image546.wmz» o:><img width=«29» height=«21» src=«dopb87216.zip» v:shapes="_x0000_i1426">. Аналогично на интервале <imagedata src=«19122.files/image548.wmz» o:><img width=«116» height=«21» src=«dopb87217.zip» v:shapes="_x0000_i1427"> функция <imagedata src=«19122.files/image550.wmz» o:><img width=«99» height=«25» src=«dopb87218.zip» v:shapes="_x0000_i1428">. Затем функция <imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1429"> определяется на интервале <imagedata src=«19122.files/image552.wmz» o:><img width=«135» height=«20» src=«dopb87219.zip» v:shapes="_x0000_i1430">, на котором <imagedata src=«19122.files/image554.wmz» o:><img width=«92» height=«25» src=«dopb87220.zip» v:shapes="_x0000_i1431"> и т.д.
Суммарная длина всех внутренних сегментов равна
<imagedata src=«19122.files/image556.wmz» o:><img width=«319» height=«81» src=«dopb87221.zip» v:shapes="_x0000_i1432">                             
Поэтому, рассматривая интервал <imagedata src=«19122.files/image558.wmz» o:><img width=«39» height=«25» src=«dopb87207.zip» v:shapes="_x0000_i1433">, говорят что функция <imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1434"> - постоянная на множестве меры 1, на множестве меры 0 растет, но без скачков.
Известна теорема Лебега. Любая функция распределения <imagedata src=«19122.files/image215.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1435"> может быть единственным образом представлена в виде суммы трех компонент: дискретной, непрерывной и сингулярной.
Сингулярные распределения практически не встречаются в реальных задачах и поэтому исключаются из нашего дальнейшего изучения.
Математическое ожидание случайной величины 37.1. Функция распределения вероятностей или плотность вероятности являются полными вероятностными характеристиками случайной величины. Однако, во многих задачах такая полная характеристика случайной величины, с одной стороны, может быть неизвестна для исследователя, а с другой стороны и не обязательна, достаточно ограничиться значением некоторых параметров распределения вероятностей, т.е. некоторых чисел (или числовых характеристик). Здесь уместна аналогия с геометрическим описанием сложной формы твердого тела, когда ограничиваются такими характеристиками (числами) как длина, ширина, высота, объем, момент инерции, и т.д., а детальное описание сложной формы этого тела не рассматривается. Числовыми характеристиками случайных величин чаще всего служат так называемые моменты распределения, простейшим из которых является математическое ожидание случайной величины.
Прежде чем вводить определение математического ожидания случайной величины, рассмотрим выражение среднего арифметического результатов измерения дискретной случайной величины. Пусть случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1436"> может принимать значения <imagedata src=«19122.files/image559.wmz» o:><img width=«69» height=«31» src=«dopb87143.zip» v:shapes="_x0000_i1437"> соответственно с вероятностями <imagedata src=«19122.files/image560.wmz» o:><img width=«71» height=«27» src=«dopb87222.zip» v:shapes="_x0000_i1438">. Результат измерения случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1439"> в каждом опыте — это одно из чисел <imagedata src=«19122.files/image559.wmz» o:><img width=«69» height=«31» src=«dopb87143.zip» v:shapes="_x0000_i1440">. Пусть выполнено <imagedata src=«19122.files/image562.wmz» o:><img width=«21» height=«21» src=«dopb87223.zip» v:shapes="_x0000_i1441"> опытов, среди них в <imagedata src=«19122.files/image564.wmz» o:><img width=«21» height=«31» src=«dopb87224.zip» v:shapes="_x0000_i1442"> опытах случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1443"> принимала значение <imagedata src=«19122.files/image566.wmz» o:><img width=«21» height=«31» src=«dopb87142.zip» v:shapes="_x0000_i1444">, в <imagedata src=«19122.files/image567.wmz» o:><img width=«24» height=«31» src=«dopb87225.zip» v:shapes="_x0000_i1445"> опытах — значение <imagedata src=«19122.files/image569.wmz» o:><img width=«24» height=«31» src=«dopb87226.zip» v:shapes="_x0000_i1446">,..., в <imagedata src=«19122.files/image571.wmz» o:><img width=«24» height=«31» src=«dopb87227.zip» v:shapes="_x0000_i1447"> опытах — значение <imagedata src=«19122.files/image573.wmz» o:><img width=«24» height=«31» src=«dopb87228.zip» v:shapes="_x0000_i1448">. Очевидно, <imagedata src=«19122.files/image575.wmz» o:><img width=«171» height=«31» src=«dopb87229.zip» v:shapes="_x0000_i1449"> - полное число опытов. Пусть <imagedata src=«19122.files/image577.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb87230.zip» v:shapes="_x0000_i1450"> - среднее арифметическое результатов измерения случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1451"> в <imagedata src=«19122.files/image579.wmz» o:><img width=«21» height=«21» src=«dopb87223.zip» v:shapes="_x0000_i1452"> опытах, тогда
         <imagedata src=«19122.files/image580.wmz» o:><img width=«302» height=«57» src=«dopb87231.zip» v:shapes="_x0000_i1453">,                       (37.1)
где <imagedata src=«19122.files/image582.wmz» o:><img width=«115» height=«31» src=«dopb87232.zip» v:shapes="_x0000_i1454"> - частота появления числа <imagedata src=«19122.files/image584.wmz» o:><img width=«21» height=«31» src=«dopb87233.zip» v:shapes="_x0000_i1455"> при измерении случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1456"> в <imagedata src=«19122.files/image586.wmz» o:><img width=«21» height=«21» src=«dopb87223.zip» v:shapes="_x0000_i1457"> опытах. С увеличением числа опытов <imagedata src=«19122.files/image587.wmz» o:><img width=«21» height=«21» src=«dopb87223.zip» v:shapes="_x0000_i1458"> величина <imagedata src=«19122.files/image588.wmz» o:><img width=«48» height=«31» src=«dopb87234.zip» v:shapes="_x0000_i1459"> приближается к числу <imagedata src=«19122.files/image590.wmz» o:><img width=«120» height=«31» src=«dopb87235.zip» v:shapes="_x0000_i1460">. Поэтому для того, чтобы определить теоретический аналог среднего арифметического <imagedata src=«19122.files/image592.wmz» o:><img width=«16» height=«19» src=«dopb87230.zip» v:shapes="_x0000_i1461"> достаточно в формуле (37.1) частоту <imagedata src=«19122.files/image593.wmz» o:><img width=«48» height=«31» src=«dopb87234.zip» v:shapes="_x0000_i1462"> заменить на вероятность <imagedata src=«19122.files/image594.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb87236.zip» v:shapes="_x0000_i1463">. Это приводит к следующему определению.
Математическим ожиданием (средним, статистическим средним) дискретной случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1464">, принимающей значения <imagedata src=«19122.files/image559.wmz» o:><img width=«69» height=«31» src=«dopb87143.zip» v:shapes="_x0000_i1465"> с вероятностями <imagedata src=«19122.files/image596.wmz» o:><img width=«71» height=«27» src=«dopb87222.zip» v:shapes="_x0000_i1466">, называется число
         <imagedata src=«19122.files/image597.wmz» o:><img width=«115» height=«57» src=«dopb87237.zip» v:shapes="_x0000_i1467">.                                          (37.2)
Если множество значений дискретной случайной величины счетно: <imagedata src=«19122.files/image599.wmz» o:><img width=«71» height=«31» src=«dopb87238.zip» v:shapes="_x0000_i1468">, то в (37.2) полагается <imagedata src=«19122.files/image601.wmz» o:><img width=«51» height=«17» src=«dopb87239.zip» v:shapes="_x0000_i1469">.
Пусть <imagedata src=«19122.files/image603.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb87240.zip» v:shapes="_x0000_i1470"> - однозначная функция одной переменной, <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1471"> - дискретная случайная величина, принимающая значения <imagedata src=«19122.files/image559.wmz» o:><img width=«69» height=«31» src=«dopb87143.zip» v:shapes="_x0000_i1472"> с вероятностями <imagedata src=«19122.files/image605.wmz» o:><img width=«71» height=«27» src=«dopb87222.zip» v:shapes="_x0000_i1473">. Тогда <imagedata src=«19122.files/image606.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb87241.zip» v:shapes="_x0000_i1474"> - дискретная случайная величина, принимающая значения <imagedata src=«19122.files/image608.wmz» o:><img width=«124» height=«31» src=«dopb87242.zip» v:shapes="_x0000_i1475"> с вероятностями <imagedata src=«19122.files/image610.wmz» o:><img width=«71» height=«27» src=«dopb87222.zip» v:shapes="_x0000_i1476">. Поэтому из определения (37.2) математического ожидания следует
         <imagedata src=«19122.files/image611.wmz» o:><img width=«216» height=«57» src=«dopb87243.zip» v:shapes="_x0000_i1477">                                (37.3)
— выражение, определяющее математическое ожидание функции <imagedata src=«19122.files/image613.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87244.zip» v:shapes="_x0000_i1478">.
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1479"> с плотностью распределения вероятностей <imagedata src=«19122.files/image615.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1480"> называется число
         <imagedata src=«19122.files/image616.wmz» o:><img width=«144» height=«61» src=«dopb87245.zip» v:shapes="_x0000_i1481"> .                                            (37.4)
Аналогично определяется математическое ожидание случайной величины <imagedata src=«19122.files/image618.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87244.zip» v:shapes="_x0000_i1482"> - как число
         <imagedata src=«19122.files/image619.wmz» o:><img width=«195» height=«61» src=«dopb87246.zip» v:shapes="_x0000_i1483">,                                   (37.5)
где <imagedata src=«19122.files/image621.wmz» o:><img width=«17» height=«20» src=«dopb87247.zip» v:shapes="_x0000_i1484"> - однозначная функция одной переменной, <imagedata src=«19122.files/image623.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1485"> - плотность распределения вероятностей случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1486">.
37.2. Определения (37.2) и (37.4) согласуются друг с другом. Соотношение (37.4) можно представить приближенно в виде интегральной суммы:
         <imagedata src=«19122.files/image624.wmz» o:><img width=«164» height=«44» src=«dopb87248.zip» v:shapes="_x0000_i1487"> ,                               (37.6)
где <imagedata src=«19122.files/image626.wmz» o:><img width=«27» height=«21» src=«dopb87249.zip» v:shapes="_x0000_i1488"> - малая величина. Тогда <imagedata src=«19122.files/image628.wmz» o:><img width=«279» height=«29» src=«dopb87250.zip» v:shapes="_x0000_i1489">, и следовательно, (37.4) формально представимо суммой (37.2).
Если <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1490"> - дискретная величина, принимающая значения <imagedata src=«19122.files/image630.wmz» o:><img width=«64» height=«27» src=«dopb87251.zip» v:shapes="_x0000_i1491"> с вероятностями <imagedata src=«19122.files/image632.wmz» o:><img width=«71» height=«27» src=«dopb87222.zip» v:shapes="_x0000_i1492">, то ее плотность вероятности <imagedata src=«19122.files/image379.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1493"> можно представить через <imagedata src=«19122.files/image402.wmz» o:><img width=«17» height=«21» src=«dopb87151.zip» v:shapes="_x0000_i1494"> — функцию:
         <imagedata src=«19122.files/image633.wmz» o:><img width=«172» height=«57» src=«dopb87252.zip» v:shapes="_x0000_i1495">.                              (37.7)
Подставим (37.7) в (37.4), тогда
         <imagedata src=«19122.files/image635.wmz» o:><img width=«472» height=«61» src=«dopb87253.zip» v:shapes="_x0000_i1496"> ,       (37.8)
что совпадает с (37.2). Таким образом, определение (37.4) математического ожидания можно использовать как универсальное определение как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Однако вычислять математическое ожидание дискретной случайной величины, конечно, удобнее по формуле (37.2).
Выражение (37.4) можно представить через функцию распределения <imagedata src=«19122.files/image637.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1497"> случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1498">. Для этого выполним следующие преобразования: <imagedata src=«19122.files/image638.wmz» o:><img width=«366» height=«59» src=«dopb87254.zip» v:shapes="_x0000_i1499">. Далее используем для вычисления интеграла способ «по частям»:
<imagedata src=«19122.files/image640.wmz» o:><img width=«452» height=«59» src=«dopb87255.zip» v:shapes="_x0000_i1500">.
Пусть функция <imagedata src=«19122.files/image345.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1501"> удовлетворяет условиям: <imagedata src=«19122.files/image642.wmz» o:><img width=«124» height=«36» src=«dopb87256.zip» v:shapes="_x0000_i1502">, <imagedata src=«19122.files/image644.wmz» o:><img width=«156» height=«36» src=«dopb87257.zip» v:shapes="_x0000_i1503">, тогда
         <imagedata src=«19122.files/image646.wmz» o:><img width=«251» height=«61» src=«dopb87258.zip» v:shapes="_x0000_i1504"> .                       (37.9)
Это выражение позволяет вычислять математическое ожидание <imagedata src=«19122.files/image648.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb87259.zip» v:shapes="_x0000_i1505"> через функцию распределения<imagedata src=«19122.files/image650.wmz» o:><img width=«44» height=«25» src=«dopb87040.zip» v:shapes="_x0000_i1506">.

Примеры вычисления математического ожидания случайной величины 38.1. Пусть гауссова случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1507"> имеет плотность распределения вероятностей (35.4). Вычислим ее математическое ожидание. Для этого подставим выражение (35.4) в формулу (37.4), тогда
         <imagedata src=«19122.files/image651.wmz» o:><img width=«320» height=«71» src=«dopb87260.zip» v:shapes="_x0000_i1508">.                   (38.1)
Вместо переменной интегрирования <imagedata src=«19122.files/image653.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb87035.zip» v:shapes="_x0000_i1509"> введем новую переменную <imagedata src=«19122.files/image654.wmz» o:><img width=«112» height=«25» src=«dopb87261.zip» v:shapes="_x0000_i1510">, <imagedata src=«19122.files/image656.wmz» o:><img width=«75» height=«21» src=«dopb87262.zip» v:shapes="_x0000_i1511">, тогда
         <imagedata src=«19122.files/image658.wmz» o:><img width=«468» height=«68» src=«dopb87263.zip» v:shapes="_x0000_i1512">.         (38.2)
Функция <imagedata src=«19122.files/image660.wmz» o:><img width=«111» height=«31» src=«dopb87264.zip» v:shapes="_x0000_i1513"> является нечетной, поэтому интеграл в первом сла­гаемом (38.2) равен нулю. Во втором слагаемом
         <imagedata src=«19122.files/image662.wmz» o:><img width=«144» height=«68» src=«dopb87265.zip» v:shapes="_x0000_i1514">.                                             (38.3)
Это равенство представляет собой условие нормировки для гауссовой плотности распределения вероятностей (35.4) с параметрами: <imagedata src=«19122.files/image664.wmz» o:><img width=«47» height=«21» src=«dopb87266.zip» v:shapes="_x0000_i1515"> и <imagedata src=«19122.files/image666.wmz» o:><img width=«45» height=«21» src=«dopb87267.zip» v:shapes="_x0000_i1516">. Таким об­разом, из (38.2) следует <imagedata src=«19122.files/image668.wmz» o:><img width=«68» height=«25» src=«dopb87268.zip» v:shapes="_x0000_i1517"> - среднее гауссовой случайной величины является параметром плотности распределения вероятностей (35.4). В дан­ном случае <imagedata src=«19122.files/image670.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb87259.zip» v:shapes="_x0000_i1518"> имеет геометрическую интерпретацию (рис. 35.2) как значе­ние аргумента <imagedata src=«19122.files/image671.wmz» o:><img width=«47» height=«16» src=«dopb87269.zip» v:shapes="_x0000_i1519">, при котором плотность (35.4) принимает максимальное значение. В дальнейшем символ <imagedata src=«19122.files/image673.wmz» o:><img width=«68» height=«25» src=«dopb87270.zip» v:shapes="_x0000_i1520"> используется также и для обозна­чения среднего любой случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1521">.
38.2. Вычислим среднее случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1522">, распределенной по экспоненциальному закону (35.8):
         <imagedata src=«19122.files/image675.wmz» o:><img width=«239» height=«59» src=«dopb87271.zip» v:shapes="_x0000_i1523">.                                    (38.4)
Далее используем способ интегрирования «по частям»:
         <imagedata src=«19122.files/image677.wmz» o:><img width=«463» height=«64» src=«dopb87272.zip» v:shapes="_x0000_i1524">. (38.5)
38.3. Пусть <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1525"> - число успехов в серии из <imagedata src=«19122.files/image679.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb86981.zip» v:shapes="_x0000_i1526"> независимых опытов. Тогда вероятности <imagedata src=«19122.files/image680.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb87195.zip» v:shapes="_x0000_i1527">, <imagedata src=«19122.files/image681.wmz» o:><img width=«95» height=«24» src=«dopb87273.zip» v:shapes="_x0000_i1528"> определяются формулой Бер­нули. Поэтому
                <imagedata src=«19122.files/image683.wmz» o:><img width=«350» height=«57» src=«dopb87274.zip» v:shapes="_x0000_i1529">.                 (38.6)
Последнее равенство справедливо, поскольку <imagedata src=«19122.files/image685.wmz» o:><img width=«115» height=«27» src=«dopb87275.zip» v:shapes="_x0000_i1530">. Подставим в (38.6) формулу Бернули, тогда:
   <imagedata src=«19122.files/image687.wmz» o:><img width=«477» height=«57» src=«dopb87276.zip» v:shapes="_x0000_i1531">.    (38.7)
Введем новый индекс суммирования <imagedata src=«19122.files/image689.wmz» o:><img width=«75» height=«21» src=«dopb87277.zip» v:shapes="_x0000_i1532">, тогда
         <imagedata src=«19122.files/image691.wmz» o:><img width=«420» height=«57» src=«dopb87278.zip» v:shapes="_x0000_i1533">.                  (38.8)
Поскольку <imagedata src=«19122.files/image693.wmz» o:><img width=«65» height=«27» src=«dopb87279.zip» v:shapes="_x0000_i1534"> - вероятность <imagedata src=«19122.files/image695.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb87280.zip» v:shapes="_x0000_i1535"> успехов в серии из <imagedata src=«19122.files/image697.wmz» o:><img width=«39» height=«21» src=«dopb87281.zip» v:shapes="_x0000_i1536"> опытов, то <imagedata src=«19122.files/image699.wmz» o:><img width=«119» height=«57» src=«dopb87282.zip» v:shapes="_x0000_i1537"> - как вероятность достоверного события, состоящего в появ­лении любого числа успехов в интервале <imagedata src=«19122.files/image701.wmz» o:><img width=«67» height=«25» src=«dopb87283.zip» v:shapes="_x0000_i1538">. Поэтому из (38.8) следует
         <imagedata src=«19122.files/image703.wmz» o:><img width=«77» height=«25» src=«dopb87284.zip» v:shapes="_x0000_i1539">.                                        (38.9)
38.4. Однако не у всякой случайной величины существует ее математи­ческое ожидание. Причиной этого является расходимость интеграла (37.4), что в свою очередь, обусловлено малой скоростью сходимости к нулю плот­ности <imagedata src=«19122.files/image705.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1540"> при <imagedata src=«19122.files/image706.wmz» o:><img width=«64» height=«29» src=«dopb87285.zip» v:shapes="_x0000_i1541">, так что для функции <imagedata src=«19122.files/image708.wmz» o:><img width=«49» height=«25» src=«dopb87286.zip» v:shapes="_x0000_i1542"> не существует интеграл вида (37.4). Для примера рассмотрим вычисление математического ожида­ния случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1543">, распределенной по закону Коши:     <imagedata src=«19122.files/image710.wmz» o:><img width=«583» height=«61» src=«dopb87287.zip» v:shapes="_x0000_i1544">.
(38.10)
Здесь несобственный интеграл расходится, так как
<imagedata src=«19122.files/image712.wmz» o:><img width=«395» height=«61» src=«dopb87288.zip» v:shapes="_x0000_i1545">.
Следовательно, случайная величина <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1546"> не имеет математического ожидания. Однако, если интеграл в (38.10) понимать в смысле главного значения Коши, то
<imagedata src=«19122.files/image714.wmz» o:><img width=«231» height=«67» src=«dopb87289.zip» v:shapes="_x0000_i1547">,
 поскольку функция <imagedata src=«19122.files/image716.wmz» o:><img width=«80» height=«31» src=«dopb87290.zip» v:shapes="_x0000_i1548"> является не­четной. Следовательно, при этом
         <imagedata src=«19122.files/image718.wmz» o:><img width=«73» height=«27» src=«dopb87291.zip» v:shapes="_x0000_i1549">.                                   (38.11)
Свойства математического ожидания Основные свойства математического ожидания следуют непосредственно из свойств интеграла в определении (37.5):
         <imagedata src=«19122.files/image720.wmz» o:><img width=«195» height=«61» src=«dopb87246.zip» v:shapes="_x0000_i1550">.                                   (39.1)
1. Пусть <imagedata src=«19122.files/image721.wmz» o:><img width=«41» height=«25» src=«dopb87292.zip» v:shapes="_x0000_i1551"> представляет собой постоянную <imagedata src=«19122.files/image723.wmz» o:><img width=«76» height=«25» src=«dopb87293.zip» v:shapes="_x0000_i1552">, тогда из (39.1) следует
         <imagedata src=«19122.files/image725.wmz» o:><img width=«180» height=«61» src=«dopb87294.zip» v:shapes="_x0000_i1553">,                                      (39.2)
поскольку для плотности <imagedata src=«19122.files/image727.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1554"> выполняется условие нормировки (33.6). Таким образом, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной.
2. Пусть <imagedata src=«19122.files/image728.wmz» o:><img width=«115» height=«25» src=«dopb87295.zip» v:shapes="_x0000_i1555">, где <imagedata src=«19122.files/image730.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb87296.zip» v:shapes="_x0000_i1556"> - число и <imagedata src=«19122.files/image732.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87297.zip» v:shapes="_x0000_i1557"> - однозначная функция одной переменной, тогда из (39.1) следует
         <imagedata src=«19122.files/image734.wmz» o:><img width=«464» height=«61» src=«dopb87298.zip» v:shapes="_x0000_i1558">.          (39.3)
Таким образом, постоянный множитель <imagedata src=«19122.files/image730.wmz» o:><img width=«17» height=«16» src=«dopb87296.zip» v:shapes="_x0000_i1559"> можно вынести за знак математического ожидания.
3. Пусть <imagedata src=«19122.files/image736.wmz» o:><img width=«180» height=«25» src=«dopb87299.zip» v:shapes="_x0000_i1560">, где <imagedata src=«19122.files/image738.wmz» o:><img width=«39» height=«25» src=«dopb87300.zip» v:shapes="_x0000_i1561"> - числа, <imagedata src=«19122.files/image740.wmz» o:><img width=«37» height=«25» src=«dopb87301.zip» v:shapes="_x0000_i1562"> - однозначные функции одной переменной, тогда из (39.1) следует
         <imagedata src=«19122.files/image742.wmz» o:><img width=«395» height=«61» src=«dopb87302.zip» v:shapes="_x0000_i1563">         <imagedata src=«19122.files/image744.wmz» o:><img width=«469» height=«61» src=«dopb87303.zip» v:shapes="_x0000_i1564">.         (39.4)
Из этого равенства при <imagedata src=«19122.files/image746.wmz» o:><img width=«49» height=«25» src=«dopb87304.zip» v:shapes="_x0000_i1565"> следует свойство 2, а при <imagedata src=«19122.files/image748.wmz» o:><img width=«49» height=«25» src=«dopb87304.zip» v:shapes="_x0000_i1566"> и <imagedata src=«19122.files/image749.wmz» o:><img width=«71» height=«25» src=«dopb87305.zip» v:shapes="_x0000_i1567"> - свойство 1.
Математическое ожидание <imagedata src=«19122.files/image751.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb87259.zip» v:shapes="_x0000_i1568"> - это число, которое ставится в соответствие случайной величине <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1569">. Поэтому <imagedata src=«19122.files/image752.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb87259.zip» v:shapes="_x0000_i1570"> можно рассматривать как операцию (оператор, функцию) над случайной величиной <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1571">. В соответствии со свойствами 1-3 оператор математического ожидания является линейным оператором.
Дисперсия случайной величины 40.1. Дисперсией случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1572"> называется число
         <imagedata src=«19122.files/image753.wmz» o:><img width=«164» height=«31» src=«dopb87306.zip» v:shapes="_x0000_i1573">.                                (40.1)
Дисперсия является удобной характеристикой разброса значений <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1574"> около ее среднего значения <imagedata src=«19122.files/image755.wmz» o:><img width=«36» height=«25» src=«dopb87259.zip» v:shapes="_x0000_i1575">. Часто используется для обозначения дисперсии символ <imagedata src=«19122.files/image756.wmz» o:><img width=«88» height=«31» src=«dopb87307.zip» v:shapes="_x0000_i1576">. Тогда <imagedata src=«19122.files/image758.wmz» o:><img width=«92» height=«31» src=«dopb87308.zip» v:shapes="_x0000_i1577"> называется среднеквадратическим уклонением случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1578">. Если дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, то размерность <imagedata src=«19122.files/image108.wmz» o:><img width=«19» height=«16» src=«dopb87027.zip» v:shapes="_x0000_i1579"> совпадает с размерностью случайной величины. Из (40.1) в соответствии со свойствами математического ожидания следует
<imagedata src=«19122.files/image760.wmz» o:><img width=«507» height=«31» src=«dopb87309.zip» v:shapes="_x0000_i1580">. (40.2)
Таким образом,
         <imagedata src=«19122.files/image762.wmz» o:><img width=«176» height=«31» src=«dopb87310.zip» v:shapes="_x0000_i1581">.                              (40.3)
Если <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1582"> дискретная случайная величина со значениями <imagedata src=«19122.files/image764.wmz» o:><img width=«64» height=«27» src=«dopb87251.zip» v:shapes="_x0000_i1583"> и соответствующими вероятностями <imagedata src=«19122.files/image765.wmz» o:><img width=«71» height=«27» src=«dopb87222.zip» v:shapes="_x0000_i1584">, то ее дисперсия
<imagedata src=«19122.files/image766.wmz» o:><img width=«199» height=«55» src=«dopb87311.zip» v:shapes="_x0000_i1585">                                   (40.4)
Если <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1586"> - непрерывная случайная величина и <imagedata src=«19122.files/image768.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1587"> - ее плотность вероятности, то
<imagedata src=«19122.files/image769.wmz» o:><img width=«219» height=«59» src=«dopb87312.zip» v:shapes="_x0000_i1588">.                              (40.5)
40.2. Рассмотрим примеры. Вычислим дисперсию нормальной случайной величины. Ее плотность <imagedata src=«19122.files/image771.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1589"> определяется формулой (35.4). Подставим <imagedata src=«19122.files/image772.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1590"> в (40.5), тогда
         <imagedata src=«19122.files/image773.wmz» o:><img width=«282» height=«71» src=«dopb87313.zip» v:shapes="_x0000_i1591">.                           (40.6)
Пусть <imagedata src=«19122.files/image775.wmz» o:><img width=«112» height=«25» src=«dopb87261.zip» v:shapes="_x0000_i1592">, тогда <imagedata src=«19122.files/image776.wmz» o:><img width=«75» height=«21» src=«dopb87262.zip» v:shapes="_x0000_i1593">,
         <imagedata src=«19122.files/image777.wmz» o:><img width=«511» height=«68» src=«dopb87314.zip» v:shapes="_x0000_i1594">
<imagedata src=«19122.files/image779.wmz» o:><img width=«251» height=«88» src=«dopb87315.zip» v:shapes="_x0000_i1595"> .                                          (40.7)
Подстановка пределов в (40.7) дает нулевые результаты, а интеграл равен <imagedata src=«19122.files/image781.wmz» o:><img width=«43» height=«27» src=«dopb87316.zip» v:shapes="_x0000_i1596">. Поэтому
         <imagedata src=«19122.files/image783.wmz» o:><img width=«87» height=«31» src=«dopb87317.zip» v:shapes="_x0000_i1597">.                                      (40.8)
Таким образом, параметр <imagedata src=«19122.files/image785.wmz» o:><img width=«27» height=«27» src=«dopb87181.zip» v:shapes="_x0000_i1598"> в плотности нормальной случайной величины является дисперсией этой величины, а среднеквадратичное уклонение <imagedata src=«19122.files/image108.wmz» o:><img width=«19» height=«16» src=«dopb87027.zip» v:shapes="_x0000_i1599"> определяет эффективную ширину плотности <imagedata src=«19122.files/image786.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87139.zip» v:shapes="_x0000_i1600">: значение <imagedata src=«19122.files/image787.wmz» o:><img width=«75» height=«25» src=«dopb87318.zip» v:shapes="_x0000_i1601"> в <imagedata src=«19122.files/image789.wmz» o:><img width=«28» height=«27» src=«dopb87319.zip» v:shapes="_x0000_i1602"> раз меньше значения <imagedata src=«19122.files/image791.wmz» o:><img width=«43» height=«25» src=«dopb87320.zip» v:shapes="_x0000_i1603"> - в точке максимума.
40.3. В некоторых случаях для вычисления дисперсии удобно использовать формулу (40.3). Например, для экспоненциально распределенной случайной величины <imagedata src=«19122.files/image016.wmz» o:><img width=«16» height=«25» src=«dopb86979.zip» v:shapes="_x0000_i1604"> плотность имеет вид (35.8), а ее среднее <imagedata src=«19122.files/image793.wmz» o:><img width=«87» height=«25» src=«dopb87321.zip» v:shapes="_x0000_i1605">. Вычислим
         <imagedata src=«19122.files/image795.wmz» o:><img width=«276» height=«61» src=«dopb87322.zip» v:shapes="_x0000_i1606">.                            (40.9)
Интеграл в (40.9) вычисляется по частям:
<imagedata src=«19122.files/image797.wmz» o:><img width=«591» height=«64» src=«dopb87323.zip» v:shapes="_x0000_i1607">
<imagedata src=«19122.files/image799.wmz» o:><img width=«294» height=«64» src=«dopb87324.zip» v:shapes="_x0000_i1608">.
Таким образом, <imagedata src=«19122.files/image801.wmz» o:><img width=«104» height=«31» src=«dopb87325.zip» v:shapes="_x0000_i1609">. Полученный результат подставим в формулу (40.3), тогда
<imagedata src=«19122.files/image803.wmz» o:><img width=«168» height=«51» src=«dopb87326.zip» v:shapes="_x0000_i1610">.                      40.10)
40.4. Вычислим дисперсию числа успехов в вероятностной схеме Бернулли, как пример вычисления дисперсии дискретной случайной величины. При этом также используем формулу (40.3), т.е. на первом шаге вычислим среднее от квадрата <imagedata src=«19122.files/image805.wmz» o:><img width=«44» height=«31» src=«dopb87327.zip» v:shapes="_x0000_i1611">, а затем используя ранее полученный результат, дисперсию по формуле (40.3). Итак, среднее от квадрата
<imagedata src=«19122.files/image807.wmz» o:><img width=«259» height=«57» src=«dopb87328.zip» v:shapes="_x0000_i1612">,                      (40.11)
где <imagedata src=«19122.files/image809.wmz» o:><img width=«48» height=«27» src=«dopb87329.zip» v:shapes="_x0000_i1613"> - распределение вероятностей Бернулли, поэтому
<imagedata src=«19122.files/image811.wmz» o:><img width=«473» height=«57» src=«dopb87330.zip» v:shapes="_x0000_i1614">         .        (40.12)
Пусть <imagedata src=«19122.files/image813.wmz» o:><img width=«75» height=«21» src=«dopb87277.zip» v:shapes="_x0000_i1615">, тогда <imagedata src=«19122.files/image814.wmz» o:><img width=«75» height=«21» src=«dopb87331.zip» v:shapes="_x0000_i1616"> и
<imagedata src=«19122.files/image816.wmz» o:><img width=«358» height=«57» src=«dopb87332.zip» v:shapes="_x0000_i1617">
<imagedata src=«19122.files/image818.wmz» o:><img width=«324» height=«57» src=«dopb87333.zip» v:shapes="_x0000_i1618"><imagedata src=«19122.files/image820.wmz» o:><img width=«247» height=«60» src=«dopb87334.zip» v:shapes="_x0000_i1619">.(40.13)
Здесь <imagedata src=«19122.files/image822.wmz» o:><img width=«65» height=«27» src=«dopb87279.zip» v:shapes="_x0000_i1620"> - вероятность появления <imagedata src=«19122.files/image823.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb87280.zip» v:shapes="_x0000_i1621"> успехов в последовательности из <imagedata src=«19122.files/image824.wmz» o:><img width=«39» height=«21» src=«dopb87281.zip» v:shapes="_x0000_i1622"> опытов. Поэтому <imagedata src=«19122.files/image825.wmz» o:><img width=«119» height=«57» src=«dopb87282.zip» v:shapes="_x0000_i1623">, как вероятность достоверного события, состоящего в том, что число успехов будет любым в интервале от <imagedata src=«19122.files/image826.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb87335.zip» v:shapes="_x0000_i1624"> до <imagedata src=«19122.files/image828.wmz» o:><img width=«75» height=«21» src=«dopb87336.zip» v:shapes="_x0000_i1625">. Первая сумма в (40.13) <imagedata src=«19122.files/image830.wmz» o:><img width=«187» height=«57» src=«dopb87337.zip» v:shapes="_x0000_i1626"> как математическое ожидание числа успехов в последовательности из <imagedata src=«19122.files/image832.wmz» o:><img width=«39» height=«21» src=«dopb87281.zip» v:shapes="_x0000_i1627"> опытов в соответствии с формулой (38.9). Подставим эти результаты в (40.13), тогда
    продолжение
--PAGE_BREAK--