Реферат: Интеграл Лебега

--PAGE_BREAK--S= <img width=«69» height=«45» src=«ref-1_288774315-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069">     S= <img width=«77» height=«45» src=«ref-1_288774636-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070">
Если мы положим

l
= max (yk+1 – yk),

то будем иметь

0
£
S–
s
£
l
mE.                                                                                                                            (2)

Основное свойство сумм Лебега выражает

Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В] отвечают суммы Лебега
sи
S. Если ми добавим новую точку дробления <img width=«15» height=«32» src=«ref-1_288774970-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> и снова найдем суммы Лебега sи
S, то окажется

s0
£
s, S
£
S0.


Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Доказательство.Допустим, что

yi
<<img width=«15» height=«20» src=«ref-1_288775172-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072">
<
yi+1.                                                                                                                                   (3)

Тогда при k
¹
iполусегменты [yk, у
k+1), а с ними и множества ek, фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент же [yi,
yi+1) при переходе к новому способу заменяется двумя полусегментами

[
yi,<img width=«15» height=«20» src=«ref-1_288775172-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073">), [<img width=«15» height=«20» src=«ref-1_288775172-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074">,
yi+1),

в связи с чем и множество eiразбивается на два множества

<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_288775775-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075">= E(yi
£
f
<
<img width=«15» height=«20» src=«ref-1_288775172-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076">), <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_288776178-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077">= E(<img width=«15» height=«20» src=«ref-1_288775172-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">
£
f
<
yi+1).

Очевидно, что

ei =<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_288775775-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> +<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_288776178-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080">, <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_288775775-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081"><img width=«16» height=«25» src=«ref-1_288776178-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082"> = 0,

так что

mei=
m<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_288775775-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083"> +
m<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_288776178-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084">.                                                                                                                         (4)

Из сказанного ясно, что сумма sполучается из суммы sзаменой слагаемого yimeiдвумя слагаемымиyim
<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_288775775-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> + <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_288775172-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">
m
<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_288776178-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087">, откуда, в связи с (3) и с (4), и следует, что s
³
s.

Для верхних сумм рассуждение аналогично.

Следствие.Ни одна нижняя сумма sне больше ни одной верхней суммы
S.

Доказательство.Рассмотрим два каких-нибудь способа дробления Iи II, сегмента [А, В]. Пусть этим способам отвечают соответственно нижние суммы s1и s2и верхние суммы S1и S2.

Составим третий способ дробления [А, В] — способ III, в котором точками деления служат точки деления обоих способов Iи II. Если способу III отвечают суммы s3иS3, то, в силу леммы, s1
£
s3,
S3
£
S2,откуда, в связи с тем, что s3
£
S3, ясно, что s1
£
S2, а это и тре­бовалось доказать.

Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S. Так как для всякой нижней суммы sбудет s
£
S, то множество {s}всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть Uесть его точная верхняя граница U= sup{
s}.

Тогда, ясно, что

U
£
S0.

Ввиду произвольности суммы S, последнее неравенство доказы­вает, что множество {S}всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Назовем через Vего точную нижнюю границу

V=
inf{
S}.

 Очевидно, при любом способе дробления будет

S
£
U
£
V
£
S.

Но, как мы отмечали, S–
s
£
l
mE, откуда

0
£
V–
U
£
l
mE

и, так как lпроизвольно мало, то

U=
V.

Определение.Общее значение чисел Uи Vназывается инте­гралом Лебега функции f(
x)по множеству Е и обозначается символом

(
L)
<img width=«64» height=«39» src=«ref-1_288778413-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088">

В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла исключено, пишут просто

<img width=«64» height=«39» src=«ref-1_288778413-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">


В частности, если Е есть сегмент [а, b], употребляют символы

(
L)
<img width=«64» height=«51» src=«ref-1_288778987-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> 
<img width=«63» height=«51» src=«ref-1_288779290-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">

Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограни­ченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, инте­грируема (L). Уже из этого замечания видно, что процесс интегри­рования (L)приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования (R). В частности, совершенно отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости, которые для интегралов (R)имеют сравнительно сложный характер.

Теорема 1.Если l
®, то суммы Лебега sи
Sстремятся

к интегралу
<img width=«64» height=«39» src=«ref-1_288778413-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">

Теорема непосредственно вытекает из неравенств

S
£
<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> 
£
S, S – s
£

l
×
mE.


Из этой теоремы, между прочим, следует, что значение инте­грала Лебега, которое в силу самого определения его связано с числами А иВ, насамом деле от них не зависит.

Действительно, допустим, что

A<
f(
x) < В,
A<
f(
x) <
B*,

причем В* < В. Раздробим сегмент [А, В] на части

A= у0 < у1 <
¼<
yn= В,

причем включим и точку В* в число точек деления В* = ут.

Если мы составим множества ek, то легко убедиться, что

ek = 0     (k ³
  m).

Значит,

s = <img width=«67» height=«45» src=«ref-1_288773411-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094">= <img width=«67» height=«45» src=«ref-1_288780477-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">= s*,


где s*есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сег­мента [А, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу, най­дем, что

I=
I*,

где Iи I*суть значения интегралов Лебега, отвечающие сегмен­там [А, В] и [А, В*]. Таким образом, изменение числа В не отра­жается на величине интеграла. То же относится и к числу А. Этот факт весьма существенен, ибо только теперь определение интеграла оказывается освобожденным от случайного характера выбора то­чек А и В.
3. Основные свойства интеграла

В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от огра­ниченной измеримой функции.

Теорема 1. Если измеримая функция
f(
x)на измеримом мно­жестве Е удовлетворяет неравенствам a
£
f(
x)
£
b, то

a
×
mE
£
<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096">
£
b
×
mE.


Это теорема обычно называется теоремой о среднем.

Доказательство.Пусть nнатуральное число. Если мы положим

A =
a —
<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_288781087-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097">,
B =
b +
<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_288781087-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1098">,

то окажется, что

A
<
f(
x)
<
B,

и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В].

Но еслиA
£
yk
£
B, то, очевидно,

A
<img width=«51» height=«45» src=«ref-1_288781505-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1099">
£
<img width=«67» height=«45» src=«ref-1_288773411-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1100">
£
B
<img width=«51» height=«45» src=«ref-1_288781505-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1101">

или, что то же самое,

A
×
mE
£
s
£
B
×
mE,

откуда и в пределе

<img width=«55» height=«45» src=«ref-1_288782415-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1102">
mE
£
<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1103">
£
<img width=«53» height=«45» src=«ref-1_288782982-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">
mE.

В силу произвольности числа n, теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий.

Следствие 1.Если функция f(
x) постоянна на измеримом множестве Е и
f(
x) = с, то

<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">=
c
×
mE.

Следствие 2.Если функция f(
x) не отрицательна (не положи­тельна), то таков же и ее интеграл.

Следствие 3.Если тЕ =, то для любой ограниченной функ­ции f(
x), заданной на множестве Е, будет

<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106">= 0.

Теорема 2.Пусть на измеримом множестве Е задана изме­римая ограниченная функция
f(
x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекаю­щихся измеримых множеств

E =<img width=«43» height=«36» src=«ref-1_288783842-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">        (Ek<img width=«23» height=«24» src=«ref-1_288784109-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108">= 0, k ¹
k’),

то

<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109">=
<img width=«84» height=«41» src=«ref-1_288784608-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">

Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью.

Доказательство.Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум

Е = <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_288784962-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111">+
<img width=«20» height=«20» src=«ref-1_288785162-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">       (<img width=«19» height=«20» src=«ref-1_288784962-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113">
<img width=«20» height=«20» src=«ref-1_288785162-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114">= 0).

Если на множестве Е

A < f(x) < B

и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у0, y1,
¼, уn, составим множества

ek = E(yk
£
f
<
yk+1),

ek’= E’(yk
£
f
<
yk+1),

ek’’= E’’(yk
£
f
<
yk+1),


то, очевидно, будем иметь

ek = ek’ + ek’’     (ek’ek’’ = 0),


откуда

<img width=«67» height=«45» src=«ref-1_288773411-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">=<img width=«67» height=«45» src=«ref-1_288786082-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">+
<img width=«67» height=«45» src=«ref-1_288786404-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">

н в пределе, приl
®,

<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118"> = <img width=«61» height=«40» src=«ref-1_288787015-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> + <img width=«63» height=«40» src=«ref-1_288787308-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">

Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств.

Остается рассмотреть случай, когда

E=
<img width=«43» height=«45» src=«ref-1_288787599-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121">.

В этом случае

<img width=«53» height=«45» src=«ref-1_288787886-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> =
mE,

так что при n
®
¥будет

<img width=«57» height=«45» src=«ref-1_288788193-318.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123">® 0.                                                                                                                                (*)

Заметив это, положим

<img width=«47» height=«45» src=«ref-1_288788511-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124">=
Rn.

Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже дока­зана, то

<img width=«37» height=«39» src=«ref-1_288788809-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125"> =
<img width=«59» height=«49» src=«ref-1_288789063-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">+
<img width=«39» height=«41» src=«ref-1_288789416-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">.

В силу теоремы о среднем

A
×
mRn
£
<img width=«39» height=«41» src=«ref-1_288789674-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> 
£
B
×
mRn,


а в силу (*) мера mRnмножества Rnстремится к нулю с возраста­нием n, откуда ясно, что

<img width=«39» height=«41» src=«ref-1_288789416-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">® 0.

Но это и означает, что

<img width=«37» height=«39» src=«ref-1_288788809-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">=
<img width=«61» height=«49» src=«ref-1_288790443-349.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">

Из этой теоремы вытекает ряд следствий.

    продолжение
--PAGE_BREAK--Следствие 1.Если измеримые ограниченные функции f(
x) и
g(
x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то

<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132">=
<img width=«60» height=«39» src=«ref-1_288791080-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1133">.

Действительно, если

А = Е(
f
¹
g),    
B=
E(
f=
g),

то mA= 0 и

<img width=«37» height=«39» src=«ref-1_288791373-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134"> =
<img width=«39» height=«39» src=«ref-1_288791624-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135"> = 0.

На множестве же В обе функции тождественны и

<img width=«37» height=«39» src=«ref-1_288791880-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> =
<img width=«39» height=«39» src=«ref-1_288792131-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137">.

Остается сложить это равенство с предыдущим.

В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю.

Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо. Например, если f(
x) задана на сегменте [-1, +1], так:
<img width=«14» height=«62» src=«ref-1_288772293-352.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">                 1 при
x
³ 0,       

f(
x) =   

                -1 при
x
< 0,
то

<img width=«61» height=«49» src=«ref-1_288792739-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">=
<img width=«61» height=«49» src=«ref-1_288793036-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">+
<img width=«61» height=«51» src=«ref-1_288793325-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">= -1 + 1 = 0,

хотя функция f(
x) и не эквивалентна нулю.

Однако справедливо

Следствие 2.Если интеграл от неотрицательной из­меримой ограниченной функции f(
x) равен нулю

<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">    (
f(
x)
³0),

то эта функция эквивалентна нулю.

В самом деле, легко видеть, что

E(
f
>0) =
<img width=«89» height=«45» src=«ref-1_288793898-389.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">.

Если бы f(
x) не была эквивалентна нулю, то необходимо на­шлось бы такое n, что

mE<img width=«65» height=«51» src=«ref-1_288794287-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143"> =
s

>
0.


Полагая

A = E<img width=«65» height=«51» src=«ref-1_288794287-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">,     B = B — A,

мы имели бы, что

<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288794903-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> 
³<img width=«23» height=«45» src=«ref-1_288795188-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">s,  
<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288795406-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147"> 
³ 0,

и, складывая эти неравенства, мы получили бы

<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148"> 
³<img width=«23» height=«45» src=«ref-1_288795188-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">s,

что противоречит условию.

Теорема 3.Если на измеримом множестве
Qзаданы две измеримые ограниченные функции
f(
x) и
F(
x), то

<img width=«116» height=«41» src=«ref-1_288796197-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> =
<img width=«61» height=«41» src=«ref-1_288796550-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> +
<img width=«61» height=«41» src=«ref-1_288796837-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">.

Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана изме­римая ограниченная функция
f(
x)и с есть конечная постоянная, то

<img width=«64» height=«39» src=«ref-1_288797127-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> =
c
<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">.

Следствие.Если
f(
x) и
F(х) измеримы и ограничены на мно­жестве Е, то

<img width=«116» height=«39» src=«ref-1_288797716-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> =
<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288798070-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">-
<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">.

Теорема 5. Пусть
f(
x) и
F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если

f(x)
£
F(x),

то

<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288779871-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> 
£
<img width=«61» height=«39» src=«ref-1_288798070-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">.

Действительно, функция F(
x)—
f(
x) не отрицательна, так что

<img width=«40» height=«39» src=«ref-1_288799228-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160"> —  <img width=«37» height=«39» src=«ref-1_288788809-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161"> = <img width=«79» height=«39» src=«ref-1_288799734-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162"> ³ 0.

Теорема 6.Если функция
f(
x) измерима и ограничена на измеримом множестве
E, то

<img width=«65» height=«51» src=«ref-1_288800046-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163"> 
£
<img width=«68» height=«39» src=«ref-1_288800346-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
4. Предельный переход под знаком интеграла

Здесь мы рассмотрим следующий вопрос: пусть на измеримом множестве Eзадана последовательность измеримых ограниченных функций

f1(x), f2(x), f3(x),
¼
, fn(x),
¼


которая в каком-нибудь смысле (везде, почти везде, по мере) схо­дится к измеримой ограниченной функции F(
x). Спрашивается, будет ли справедливо соотношение

<img width=«27» height=«29» src=«ref-1_288800643-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165">
<img width=«65» height=«39» src=«ref-1_288800862-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166"> =
<img width=«64» height=«39» src=«ref-1_288801161-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">                                                                                                           (1)


Если (1) верно, то говорят, что допустим предельный переход под знаком интеграла.

Легко видеть, что, вообще говоря, это не так. Например, если функции fn(
x) определены в сегменте [0, 1] следующим образом:
<img width=«14» height=«86» src=«ref-1_288801454-388.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028">                
n при
x
Î
<img width=«44» height=«45» src=«ref-1_288801842-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">,       

fn(
x) =   

                 0 при
x
<img width=«17» height=«16» src=«ref-1_288802114-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">
<img width=«44» height=«45» src=«ref-1_288801842-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">,
то при всяком x
Î[0, 1] будет

<img width=«27» height=«29» src=«ref-1_288800643-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">fn(
x) = 0,       но        <img width=«65» height=«51» src=«ref-1_288802798-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> = 1,

и этот интеграл не стремится к нулю.

Поэтому естественно поставить вопрос о тех дополнительных ограничениях, которые нужно наложить на функцию fn(
x),чтобы равенство (1) все же имело место.

Мы ограничимся доказательством следующей теоремы.

Теорема (А. Лебег).Пусть на измеримом множестве Е за­дана последовательность
f1(
x),
f2(
x),
f3(
x),
¼ измеримых огра­ниченных функций, сходящаяся по мере к измеримой ограниченной функции
F(х)

fn(x)
Þ
F(x).

Если существует постоянная К, такая, что при всех п и лри всех х

<img width=«45» height=«27» src=«ref-1_288803094-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> 
<
K,

то

<img width=«27» height=«29» src=«ref-1_288800643-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">
<img width=«65» height=«39» src=«ref-1_288800862-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175"> =
<img width=«64» height=«39» src=«ref-1_288801161-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">                                                                                                           (1)

Доказательство.Прежде всего заметим, что почти для всех х Î Е будет

<img width=«41» height=«27» src=«ref-1_288804149-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> £
K.                                                                                                                                     (2)

В самом деле, из последовательности {fn(
x)}можно (на основании теоремы  Рисса)  извлечь  частичную  последовательность {<img width=«24» height=«25» src=«ref-1_288804386-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">(x)},которая сходится к F(
x) почти везде. Во всех точках, где

 
<img width=«24» height=«25» src=«ref-1_288804386-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">(x)
®
F(x),

можно перейти к пределу в неравенстве <img width=«49» height=«29» src=«ref-1_288804810-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> <
K, что и при­водит к (2).

Пусть теперь s  есть положительное число. Положим,

An(
s) =
E(
<img width=«52» height=«27» src=«ref-1_288805066-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">)
³
s),   
Bn(
s) =
E(
<img width=«52» height=«27» src=«ref-1_288805066-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">)
<
s.   

Тогда

<img width=«100» height=«51» src=«ref-1_288805558-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> £
<img width=«77» height=«39» src=«ref-1_288805922-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> =
<img width=«87» height=«41» src=«ref-1_288806224-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> +
<img width=«87» height=«41» src=«ref-1_288806548-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">.

В  силу  неравенства <img width=«92» height=«27» src=«ref-1_288806872-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> £<img width=«45» height=«27» src=«ref-1_288803094-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"> + <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_288804149-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">,почтидля всех х из множества An(
s) будет

<img width=«92» height=«27» src=«ref-1_288806872-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190"> <2
K,

так что по теореме о среднем

<img width=«87» height=«41» src=«ref-1_288806224-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> 
£ 2
K
×
mAn(
s)                                                                                                          (3)

(то обстоятельство, что неравенство <img width=«52» height=«27» src=«ref-1_288805066-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> <2К может не выпол­няться на множестве меры 0, несущественно. Можно, например, функцию <img width=«92» height=«27» src=«ref-1_288806872-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> на этом множестве изменить, сделав ее равной нулю; тогда неравенство (3) будет выполняться во всех точках А. Но так как изменение функции на множестве меры 0 не влияет на величину интеграла, то (3) верно и без такого изменения).

С другой стороны, опять-таки в силу теоремы о среднем,

<img width=«87» height=«41» src=«ref-1_288806548-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194"> 
£
s
mBn(
s)
£
s
mE.

Сопоставляя это с (3), находим, что

<img width=«100» height=«51» src=«ref-1_288805558-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> £
2K
×
mAn(
s
) +
s
mE.                                                                                          (4)

Заметив это, возьмем произвольное e> 0и найдем столь малое s> 0, что

s
×
mE
<
<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_288809529-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">.

Фиксировав это s, мы, на основании самого определения сходи­мости по мере, будем иметь, что при n
®
¥

mAn(
s)
®

и, стало быть, для n> N окажется

2
K
×
mAn(
s)
<
<img width=«16» height=«41» src=«ref-1_288809529-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">.

Для этих nнеравенство (4) примет вид

<img width=«100» height=«51» src=«ref-1_288805558-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198"> <
e,

что и доказывает теорему.

Легко понять, что теорема остается верной и в том случае, когда неравенство

<img width=«45» height=«27» src=«ref-1_288803094-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> <
K

выполняется только почти везде на множестве Е. Доказательство остается прежним.

Далее, поскольку сходимость по мере общее обычной сходи­мости, то теорема и подавно сохраняет силу для того случая, когда

fn(x)
®
F(x)

почти везде (и тем более везде).
5. Сравнение интегралов Римана и Лебега

Пусть на сегменте [а, b] задана (не обязательно конечная) функ­ция f(х).Пусть

xÎ[a,
b] и d> 0. Обозначим через m
d(
x)и Мd(х0)соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функ­ции f(
x) наинтервале (х0 — d, x+
d)

m
d(
x) =
inf{
f(
x)},  
M
d(
x) =
sup{
f(
x)}   (х0 —
d
<
x
< x+
d).


(Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала

(х0 —
d, x+
d), которые лежат также и на сег­менте [а, b].)

Очевидно,

m
d(
x)
£
f(
x)
£ 
M
d(
x).

Если d уменьшается, то m
d(
x)не убывает, aM
d(
x) не возра­стает. Поэтому существуют определенные пределы

m(
x) =
<img width=«31» height=«29» src=«ref-1_288810581-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">m
d(
x),  
M
d(
x) =
<img width=«31» height=«29» src=«ref-1_288810581-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">M
d(
x),

причем, очевидно,

m
d(
x)
£
m(
x)
£
f(
x)
£
M(
x)
£ 
M
d(
x).

    продолжение
--PAGE_BREAK--Определение.Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f(
x).

Теорема 1 (Р. Бэр).Пусть функция
f(х) конечна в точке х0. Для того чтобы
f(
x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было

m(
x) =
M(
x).                                                                                                                               (*)

Доказательство.Допустим, что функция f(х)непрерывна в точке x. Взяв произвольное e> 0, найдем такое d> 0, что как только

<img width=«48» height=«27» src=«ref-1_288811035-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202"> 
<
d,

так сейчас же

<img width=«93» height=«27» src=«ref-1_288811261-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> 
<
e.

Иначе говоря, для всех х Π(х0 — d, x+
d) будет

f(x0) —
e

<
f(x)
<
f(x0) +
e
.

Но отсюда следует, что

f(x0) —
e

£
m
d
(x0)
£
M
d
(x0)
£
  f(x0) +
e
,

а стало быть, и тем более

f(x0) —
e

£
m(x0)
£
M(x0)
£
  f(x0) +
e
,

откуда, ввиду произвольности e, и вытекает (*). Итак, необходимость условия (*) доказана.

Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено.  Тогда, оче­видно,

m(
x) =
M(
x) =
f(
x)

и общее значение функций Бэра в точке x конечно.

Возьмем произвольное e> 0и найдем столь малое d  > 0, что

m(
x) —
e
<
m
d(
x)
£
m(
x),  
M(
x)
£
M
d(
x)
<
M(
x) +
e.

Эти неравенства означают, что

f(x0) —
e

<
m
d
(x0),   M
d
(x0)
<
f(x0) +
e
.

Если  теперь x
Î(х0 —
d, x+
d), то f(
x)лежит между m
d(
x) и M
d(
x), так что

f(x0) —
e

<
f(x)
<
f(x0) +
e
.

Иначе говоря, из того, что <img width=«48» height=«27» src=«ref-1_288811035-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> <
dвытекает, что

<img width=«93» height=«27» src=«ref-1_288811261-312.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> 
<
e,

т. е. функция f(
x)непрерывна в точке х0.

Основная лемма.Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а,
b]

a = <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_288812111-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> 
<
<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_288812326-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> 
<

¼

<
<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_288812542-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">  = b

…

a = <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_288812763-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> 
<
<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_288812978-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> 
<

¼

<
<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_288813191-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211"> = b

… .

причем при
i
®
¥

l
i =
max[
<img width=«28» height=«25» src=«ref-1_288813413-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">-
<img width=«25» height=«25» src=«ref-1_288813639-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">]
® 0.

Пусть <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_288813854-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"> есть точная нижняя граница значений функции
f(
x) на сегменте

[<img width=«25» height=«25» src=«ref-1_288813639-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">, <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_288813413-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">].Введем функцию j
i(
x), полагая

j
i(
x)= <img width=«28» height=«25» src=«ref-1_288813854-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">   при   x
Î(
<img width=«25» height=«25» src=«ref-1_288813639-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">,
<img width=«28» height=«25» src=«ref-1_288813413-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">)

j
i(
x) = 0       при  
x=
<img width=«25» height=«25» src=«ref-1_288812763-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">,
<img width=«25» height=«24» src=«ref-1_288812978-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">,
¼,
<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_288813191-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">.

Еслих0не совпадает ни с одной точкой <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_288813639-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> (I= 1, 2, 3,
¼;
k= 0, 1, 2,
¼,
ni), то

<img width=«27» height=«29» src=«ref-1_288816051-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">j
i
(x0) = m(x0).

Доказательство.Фиксируем какое-нибудь iи назовем че­рез [<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_288816271-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">, <img width=«32» height=«27» src=«ref-1_288816494-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">]тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из точек деления, то

<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_288816271-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> 
<
x
<<img width=«32» height=«27» src=«ref-1_288816494-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">

и, следовательно, при достаточно малых d  > 0будет

(х0 —
d, x+
d) Ì[
<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_288816271-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">, <img width=«32» height=«27» src=«ref-1_288816494-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">],

откуда следует, что

<img width=«28» height=«27» src=«ref-1_288817654-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> 
£
m
d(
x)

или, что то же самое, что

j
i
(x0)
£
m
d
(x0).

Устремив dк нулю и перейдя к пределу, находим, что при лю­бом i

j
i
(x0)
£
m(x0).

Этим самым лемма уже доказана для случая т(х0) = -
¥. Пусть т(х0) >
-
¥и пусть

h
<
m(x0).

Тогда найдется такое d> 0, что m
d(
x)
>
h.

Фиксировав это d, найдем столь большое i, что при i
>
iбудет

[
<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_288816271-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">, <img width=«32» height=«27» src=«ref-1_288816494-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">]
Ì(х0 —
d, x+
d),

где, как и выше, [<img width=«25» height=«27» src=«ref-1_288816271-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">, <img width=«32» height=«27» src=«ref-1_288816494-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">] есть сегмент, содержащий точку х0. Существование такого iследует из условияl
i
®.

Для таких iбудет

<img width=«28» height=«27» src=«ref-1_288817654-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> 
³
m
d
(x0)
>
h,

или, что то же самое,

j
i
(x0)
>
h.

Итак, для всякого h
<
m(
x) найдется такое i, что при i
>
i

h
<

j
i
(x0)
£
m(x0),

а это и значит, что j
i(
x0)
®
m(
x0). Лемма доказана.

Следствие 1.Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы.

В самом деле, множество точек деления {<img width=«25» height=«25» src=«ref-1_288813639-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">} счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что j
i(
x)
®
m(
x)  почти везде.

Но j
i(
x)измерима, ибо это ступенчатая функция, значит изме­рима я функция т(x). Для верхней функции Бэра М(х) рассужде­ние аналогично.

Следствие 2.Если в условиях леммы исходная функция
f(
x) ограничена, то

(
L)
<img width=«64» height=«51» src=«ref-1_288819261-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">
®(
L)
<img width=«61» height=«51» src=«ref-1_288819577-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">.

Действительно, если<img width=«40» height=«27» src=«ref-1_288819875-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> £
K, то, очевидно,

<img width=«44» height=«27» src=«ref-1_288820109-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> £
K,
<img width=«41» height=«27» src=«ref-1_288820352-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> 
£
K,

откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы (L), после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном пе­реходе под знаком интеграла.

Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что

(
L)
<img width=«64» height=«51» src=«ref-1_288819261-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> =
<img width=«88» height=«56» src=«ref-1_288820904-427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> =
<img width=«120» height=«47» src=«ref-1_288821331-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> =
si,

где siесть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробле­ния. Таким образом, следствие 2 означает, что при i
®
¥

si
®(
L)
<img width=«61» height=«51» src=«ref-1_288819577-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">.

Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу Siпри возрастании iстремится к интегралу от верхней функции Бэра

Si
®(
L)
<img width=«65» height=«51» src=«ref-1_288822044-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">.

Но в таком случае

Si — si
®
(L) <img width=«121» height=«51» src=«ref-1_288822359-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">.

С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f(
x) была интегрируема (R), необходимо и достаточно, чтобы было Si–
si
®.

Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для инте­грируемости (R)функции f(
x)необходимо и достаточно, чтобы было

(
L)
<img width=«121» height=«51» src=«ref-1_288822359-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> = 0.                                                                                                           (1)

Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) — т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотри­цательна, то и обратно из (1) следует, что

т(х) ~ М(х).                                                                                                                                  (2)

Итак, интегрируемость (R)  ограниченной функции f(
x)равно­сильна соотношению (2).

Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему.

    продолжение
--PAGE_BREAK--