Реферат: Динамические системы в плоской области

--PAGE_BREAK--(t—t, х0, у0), y= ψ(t—t, х0, у0).                                            (6)
Доказательство. Рассмотрим наряду с решением (5) решение
х = Ф(t, 0, х0, у0), y=Ψ (t, 0, х0, у0),
удовлетворяющие начальным условиям: при t=0, х=х0, у=у0

В силу леммы 1 функции
x=Ф(t— t,0, х0, у0), y=Ψ (t— t,0, х0, у0)                                    (7)
также являются решением системы (I). Решения (5) и (7) соответствуют одним и тем же начальным значениям t, x, у0. Но тогда эти решения совпадают, т. е.
Ф(t,t, х0, у0)= Ф(t— t,0, х0, у0)

Ψ (t, t, х0, у0)= Ψ (t— t,0, х0, у0)
Введение обозначений




Ф(t— t,0, х0, у0)=<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743073365-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1104">(t—t, х0, у0),

Ψ (t— t,0, х0, у0)= ψ(t—t, х0, у0)
устанавливает справедливость утверждения леммы.

В дальнейшем решение системы (I), соответствующее начальным значениям t, х0, у0, мы всегда будем записывать в виде (6).

Лемма 4. Если решение
x= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1105">(t—t, х0, у0), y= ψ(t—t, х0, у0).                                            (8)
определено при значении t= t1 , и
<img width=«186» height=«68» src=«ref-1_1743073829-1401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1106"> (9)то

<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1107">(t—t, х0, у0) <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1743075462-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1108"> (t—t1, х0, у0)

ψ(t—t, х0, у0) <img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1743075724-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1109"> (t—t1, х0, у0)                                                    (10)
Доказательство. Из соотношений (9), очевидно, следует, что решение (8) и решение
x=<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743073365-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1110">(t—t1, х0, у0), y=<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1111"> (t—t1, х0, у0)
являются решениями, соответствующими одним и тем же начальным значениям t1, х1, y1. Но тогда эти решения совпадают, т. е. имеют место равенства (10).

Замечание. Полагая в тождествах (10) t= t, мы получим
x= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1112">(t<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743076719-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1113"> t1, х1, у1), y= ψ(t<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743076719-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1114"> t1, х1, у1)
Это, очевидно, справедливо при любых t1, х1, у1 удовлетворяющих соотношениям (10). Опуская индексы, мы получаем
x=<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743073365-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1115">(t—t, х, у), y= ψ(t—t, х, у).
Лемма 5. Если система (I) является системой класса Сn, тoфункции
x=<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743073365-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1116">(t—t, х0, у0), y= ψ (t—t, х0, у0)
при всех значениях, входящих в них переменных, при которых эти функции определены, имеют непрерывные (по совокупности всех переменных) частные производные:

1) по t(или t) до порядка n+1 включительно,

2) по х0и у0до порядка nвключительно
<img width=«329» height=«98» src=«ref-1_1743077371-2698.coolpic» v:shapes="_x0000_i1117">
3). пot(или t) и по х0и у0—содержащие по крайней мере одно дифференцирование по t(или t)—до порядка n+ 1
4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой плоскости (х, у)
Геометрическая интерпретация системы (I) в трехмерном пространстве (х, у, t) в настоящей книге является вспомогательной. Основная геометрическая интерпретация автономной системы (1)связана с рассмотрением плоскости (х, у). Эта плоскость называется фазовой плоскостью системы (I).

Будем в каждой точке М (х, у) области Gплоскости (х, у) рассматривать вектор vс компонентами Р (х, у), Q(x, у). Динамическая система (I) определяет, таким образом, в области Gвекторное поле *).

В силу того, что Р (х, у) и Q(х, у) по предположению имеют непрерывные частные производные, векторное поле, определяемое системой (I), является так называемым непрерывно дифференцируемым векторным полем.

Пусть в точке М (х, у) хотя бы одна из величин Р (х, у), Q(х, у) не обращается в нуль. Тогда длина вектора в этой точке
<img width=«199» height=«30» src=«ref-1_1743080069-979.coolpic» v:shapes="_x0000_i1118">
отлична от нуля, а синус и косинус угла <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1119"> (x, у) между положительным направлением оси х и направлением вектора даются выражениями
<img width=«127» height=«49» src=«ref-1_1743081280-663.coolpic» v:shapes="_x0000_i1120">
В тех точках, в которых одновременно Р (х, у), Q(x, у).

длина вектора обращается в нуль, а направление вектора становится неопределенным. Такие точки называются особыми точками векторного поля (или особыми точками системы (1)); точки, в которых хотя бы одна из величин Р (x, у), Q(х, у) не равна нулю,— обыкновенными или неособыми точками этого векторного поля. Во всякой неособой точке М векторного поля угол <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1121"> (x, у), непрерывен. В особой точке угол <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1122"> (x, у) неопределен, и при стремлении <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743082391-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1123"> и <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743082603-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1124"> к координатам особой точки lim<img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1125">может не существовать.

Пусть
<img width=«150» height=«25» src=«ref-1_1743038534-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1126">                                                                           (11)
— какое-нибудь решение системы (I). Множество точек М (<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1127">(t), ψ (t)), где tпринимает все значения, при которых определено решение (11), называется траекторией, соответствующей данному решению, а также траекторией векторного поля, заданного динамической системой (І), или просто траекторией данной динамической системы (а также иногда фазовой траекторией).

Уравнения (11), очевидно, являются параметрическими уравнениями траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение, которому она соответствует, мы будем называть решением, соответствующим данной траектории.

В математической литературе весьма употребительно векторное обозначение для системы дифференциальных уравнений. Система (I) в этом обозначении запишется в виде векторного уравнения
<img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743083920-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1128"> = F(x)
Векторное обозначение чрезвычайно удобно при рассмотрении систем, состоящих из большого числа уравнении. Однако в рассмотренном нами случае системы только двух дифференциальных уравнении в этом обозначении нет особой необходимости, п мы не будем пользоваться им для того, чтобы не загромождать изложение различными символиками.]

Если точка М (х, у) траектории не является особой точкой векторного поля, то вектор (Р (х, у), Q(х, у)) является касательным вектором к траектории (рис. 2). Действительно, в силу того, что
<img width=«150» height=«25» src=«ref-1_1743038534-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1129">
есть решение системы (I), имеют место тождества
<img width=«252» height=«27» src=«ref-1_1743084773-1034.coolpic» v:shapes="_x0000_i1130">                                                       (12)




Но вектор с компонентами <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743085807-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1131">(t), <img width=«13» height=«27» src=«ref-1_1743086047-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1132"> (t), очевидно, является касательным вектором к траектории, и в силу равенств (12) он совпадает с вектором поля, заданного системой (I).

<img width=«154» height=«171» src=«ref-1_1743086305-2516.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_1»>
Рассматривая параметр tкак «время», можно дать следующую «кинематическую» интерпретацию системы (I): решение
<img width=«150» height=«25» src=«ref-1_1743038534-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1134">
можно рассматривать как закон движения точки по траектории на фазовой плоскости. В каждой точке фазовой плоскости вектор, заданный системой (I), т. е. вектор Р(х, у), Q(х, у), очевидно, равен скорости движущейся точки или «фазовой скорости». Решениям с одними и теми же начальными значениями х0и у0и различными начальными значениями tсоответствуют движения, начинающиеся в одной и той же точке, но в различные начальные моменты «времени» (tи t*). Точка с координатами (<img width=«80» height=«25» src=«ref-1_1743045176-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1135">)называется также «изображающей» или «представляющей» точкой.

Пусть М (a,b) — особая точка системы (I), так что
P(a,b)=Q(a,b)                                                                                    (13)
Тогда, очевидно, х = a, у = bесть решение системы (I), и, следовательно, особая точка векторного поля сама является отдельной траекторией. Такая траектория называется состоянием равновесия *). Очевидно, также обратно, если у системы (I) есть решение
х = а, y= b                                                                                         (14)
(а и b— некоторые постоянные), то точка a, bнепременно является состоянием равновесия (особой точкой векторного поля), т. е. для нее выполняются равенства (13). Решение (14), очевидно, вследствие того, что tв него не входит, определено для всех t.

В дальнейшем для точек х, у области G, для которых Р (х, у) =0, Q(х, у) = 0, в основном будет использоваться термин «состояние равновесия» (а не особая точка).

Состояние равновесия М (а, Ь) системы (I) называется изолированным, если существует <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743089955-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1136"> > 0 такое, что в <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743089955-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1137"> -окрестности кроме М не лежит уже более ни одного состояния равновесия.
5. Разбиение области в фазовой плоскости на траектории
Некоторые элементарные сведения о траекториях.

Лемма 6. Всяким двум решениям, отличающимся только выбором начального значения t, соответствует одна и та же траектория.

В другой терминологии — «положением равновесия» или «точкой покоя».

Доказательство. В силу лемм 1 и 2 всякие два решения, отличающиеся выбором начальных значений t(но имеющие одни и те же Начальные значения <img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1743090421-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1138">), могут быть получены одно из другого заменой tна t+ С. Но если даны два решении
<img width=«150» height=«25» src=«ref-1_1743038534-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1139">                                                                           (15)

<img width=«218» height=«25» src=«ref-1_1743054256-787.coolpic» v:shapes="_x0000_i1140">                                                              (16)

причем решение (15) определено на интервале (<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1141">, Т), а решение (16) — на интервале (<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1142">— С, Т — С), то, очевидно, им соответствует одна и та же траектория (так как замена в (15) tчерез t+С является просто заменой обозначении переменного). Лемма доказана.

Теорема 3. Через каждую точку области Gпроходит одна и только одна траектория динамической системы (1).

Доказательство. Пусть М0(х0, у0) — произвольная точка области G.

Тогда в силу теоремы 1 (о существовании и единственности решения) при всяком tсуществует решение, соответствующее начальным значениям t, x, <img width=«18» height=«25» src=«ref-1_1743034923-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1143">
<img width=«150» height=«25» src=«ref-1_1743038534-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144">
Это, очевидно, и означает, что через точку х0, у0проходит хотя бы одна траектория L.

Предположим теперь, что через одну и ту же точку М0(х0, у0) области Gпроходят две различные траектории Lи L*.

Пусть
<img width=«165» height=«25» src=«ref-1_1743069067-800.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145">
— решение, соответствующее траектории L*. Это решение, очевидно, непременно должно быть таким, чтобы при некотором значении t= t* мы имели бы
<img width=«266» height=«25» src=«ref-1_1743094272-1005.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">
но тогда в силу леммы 2 при надлежащем выборе С мы должны иметь
<img width=«282» height=«25» src=«ref-1_1743095277-1008.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">    продолжение
--PAGE_BREAK--

и, следовательно (см. лемму 6), траектории Lи L* вопреки предположению не могут быть различны. Теорема доказана.

Замечание 1. Из проведенного в теореме рассуждения непосредственно вытекает, что всякие два различных решения, соответствующих одной и той же траектории, получаются друг из друга заменой tна t+С, т. е. отличаются друг от друга только выбором начального значения t(см. лемму 2).

Замечание 2. Пусть при каком-либо выборе решения, соответствующего траектории L, точке М0этой траектории соответствует значение t, а точке M1— значение t+<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">. Тогда из замечания 1 следует, что если при некотором другом выборе решения, соответствующего траектории L, точке М0соответствует значение t*, то значению t* +<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743096484-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149">соответствует точка <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1743096683-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150">.

Замечание 3. Если траектория целиком лежит в ограниченной замкнутой области <img width=«19» height=«26» src=«ref-1_1743037871-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> с G, то в силу теоремы 2 соответствующее ей решение определено при всех значениях
t(<img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1743037379-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152">< t<<img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1743037615-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153">)
В силу теоремы 3 динамическая система, заданная в области G, определяет некоторое семейство траекторий или, как мы будем говорить, некоторое разбиение области Gна траектории.

Мы укажем здесь некоторые основные свойства траекторий. Выше мы уже останавливались на одном частном типе траекторий, именно, на состояниях равновесия.

Как мы видели, х = а, y=bтогда и только тогда является состоянием равновесия, когда выполняются условия Р(а, b) = Q(a, b) = 0.

Предположим теперь, что траектория L, соответствующая решению
<img width=«150» height=«25» src=«ref-1_1743038534-635.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154">




не является состоянием равновесия. Во всех точках такой траектории, очевидно, выполняется неравенство
<img width=«386» height=«27» src=«ref-1_1743098359-1455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155">
Действительно, если бы в какой-нибудь точке М*(х*, у*) траектории L, соответствующей значению t*, имело место равенство
<img width=«503» height=«29» src=«ref-1_1743099814-1847.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">

т. е. одновременно

<img width=«492» height=«29» src=«ref-1_1743101661-1687.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">
и это, очевидно, означало бы, что точка х*, у* является состоянием равновесия. Но состояние равновесия само является отдельной траекторией, и в силу теоремы 3 точка М* (х*, у*) не может принадлежать отличной от состояния равновесия траектории L.

Рассмотрим вопрос о том, могут ли быть у траектории, отличной от состояния равновесия, «самопересечения», т. е. возможно ли, чтобы существовали значения t1и t2, t1<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">t2такие, чтобы соответствующие им точки траектории совпадали.

Ответ на этот вопрос дается следующей леммой:

Лемма 7. Пусть траектория L, соответствующая решению
<img width=«150» height=«25» src=«ref-1_1743041156-636.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> (<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">< t< T),                                                                    (17)
отлична от состояния равновесия, и пусть существуют значения t, t1 и t2(<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">< t1< t2< T) такие, что
<img width=«236» height=«25» src=«ref-1_1743104533-908.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">




Тогда решение (17) определено при всех значениях
t(т. е. <img width=«131» height=«25» src=«ref-1_1743105441-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">)
функции <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1743039567-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> , <img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1743106221-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> являются периодическими функциями t, а соответствующая траектория—простой гладкой замкнутой кривой.

Доказательство. Пусть
<img width=«321» height=«25» src=«ref-1_1743106563-1201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">                                         (18)
Рассмотрим наряду с решением (17) решение
<img width=«300» height=«25» src=«ref-1_1743107764-1014.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">                                             (19)
определенное на интервале
(<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">— С, Т — С)
где С = t2— t1(см. лемму 1).

Из равенств (18) следует, что решения (17) и (19) удовлетворяют одним и тем же начальным условиям (при t= t1, x= х0, у =у0). Но тогда эти решения совпадают, а следовательно, совпадают интервалы значений t, на которых они определены. Но интервалы (<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">, Т) и (<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">— С, Т — С) при С<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">0 могут совпадать лишь в том случае, когда <img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">=-<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743040936-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">, Т =+<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743040936-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">.

Таким образом, мы показали, что решения (17) и (19) определены для всех t(<img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1743037379-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">< t< <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1743037615-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176">). Далее, из совпадения решений (17) и (19) следует, что при всех t(—<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743040936-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">< t< <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1743037615-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">)
<img width=«340» height=«25» src=«ref-1_1743111133-1095.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">                                      (20)




где C= t2—t1 >0. Это, очевидно, означает, что функции <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> (t) и <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">(t)— периодические функции с общим периодом 0 = t2— t1. Пусть
<img width=«157» height=«25» src=«ref-1_1743112692-604.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">)                                                                         (21)
— наименьшее положительное число, при котором имеют место равенства
<img width=«353» height=«25» src=«ref-1_1743113296-1149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">                                   (22)
Такое число непременно существует. Действительно, в противном случае можно было бы указать последовательность положительных чисел {<img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1743114445-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">} таких, что
<img width=«126» height=«25» src=«ref-1_1743114714-718.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185"> и <img width=«353» height=«25» src=«ref-1_1743115432-1142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">
Очевидно, тогда при любом nи любом целом |k|
<img width=«374» height=«25» src=«ref-1_1743116574-1238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">
или, зафиксировав какое-нибудь t, можно написать
<img width=«390» height=«25» src=«ref-1_1743117812-1285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
Таким образом, каждая из функции <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> (t) и <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">(t) принимает одно и то же значение, равное соответственно <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> (<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1743119793-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">) и <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">(<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1743119793-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">) при всех следующих значениях t
<img width=«394» height=«25» src=«ref-1_1743120501-1097.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">




где N может быть любым целым числом, а <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1743114445-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"> сколь угодно мало при достаточно большом n. Следовательно, какое бы значение t* мы ни взяли, либо t* =t<img width=«52» height=«25» src=«ref-1_1743121867-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">и тогда <img width=«237» height=«25» src=«ref-1_1743122217-918.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">, либо t* попадает в некоторый интервал (t+(k-1)<img width=«22» height=«25» src=«ref-1_1743123135-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">,t+<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743123404-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200"><img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1743114445-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">)или

(t—(k-1)<img width=«22» height=«25» src=«ref-1_1743123135-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">,t--<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743123404-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"><img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1743114445-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204"> ) и в силу того, что Qnсколь угодно мало при достаточно большом n, существуют сколь угодно близкие к t* значения t', при которых
<img width=«225» height=«25» src=«ref-1_1743124655-896.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">
Но тогда в силу непрерывности функций <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">(t), <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">(t) мы, очевидно, также имеем
<img width=«233» height=«25» src=«ref-1_1743126029-918.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">
Это означает, что функции <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">(t), <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">(t)— постоянные, т. е. траектория Lсостояние равновесия, что противоречит условию теоремы.

Очевидно, все точки траектории Lмогут быть получены при изменении tв уравнениях (17) от tдо t+ <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">(t<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743127649-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> t<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743127649-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> t-<img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">), где t— любое фиксированное число. Так как по самому определению <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">есть наименьшее число, при котором выполняются равенства(22), то всяким двум значениям <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743128339-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">и t", t<img width=«150» height=«25» src=«ref-1_1743128554-540.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">заведомо соответствуют различные точки траектории L. Это и означает, что траектория Lявляется простой замкнутой кривой. В силу леммы 5 эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана.

Решение, в котором функции <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> (t) и <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">(t) — периодические функции t, называется периодическим решением. Наименьшее число <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">> 0, при котором выполняются равенства (22),— периодом этого решения.

Траектория L, соответствующая периодическому решению, называется замкнутой траекторией. Очевидно, все решения, соответствующие данной замкнутой траектории, являются периодическими решениями с одним и тем же периодом. Всякая траектория, не являющаяся замкнутой траекторий или состоянием равновесия, называется незамкнутой траекторией.

Из леммы 7 следует, что у траекторий системы (I) не может быть «самопересечений», т. е. что всякая часть незамкнутой траектории, соответствующая значениям tв любом конечном сегменте, является простой гладкой дугой.

Таким образом, мы получили следующие основные элементарные сведения о траекториях. Траектория может быть: 1) состоянием равновесия, 2) замкнутой траекторией, 3) незамкнутой (несамопересекающейся) траекторией. Эти сведения являются предварительными, так как возможный характер незамкнутых траекторий остается невыясненным.
6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве R3 и геометрической интерпретации на фазовой плоскости
Как мы уже указывали, каждому решению системы (I) соответствует в <img width=«22» height=«25» src=«ref-1_1743042829-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">интегральная кривая.

Траектория, очевидно, является проекцией этой интегральной кривой на плоскость (x, у). Из леммы 4 следует, что в траекторию проектируются те и только те интегральные кривые пространства <img width=«22» height=«25» src=«ref-1_1743042829-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> , которые получаются из одной такой кривой (и, следовательно, друг из друга) сдвигом на произвольный отрезок вдоль оси t. Таким образом, устанавливается естественное соответствие между траекториями динамической системы на фазовой плоскости и интегральными кривыми в пространстве <img width=«22» height=«25» src=«ref-1_1743042829-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">. При этом могут представиться следующие случаи в зависимости от характера траектории L:

Lесть состояние равновесия М (а, Ь). Соответствующая интегральная кривая в <img width=«22» height=«25» src=«ref-1_1743042829-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> является прямой х = а, у = b, параллельной оси tи проходящей через точку М. При сдвиге вдоль оси tэта прямая переходит сама в себя.

2) Lесть замкнутая траектория, соответствующая решению с периодом <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">. Соответствующие интегральные кривые имеют характер «винтовых линий» с шагом <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">и проектируются в траекторию L. При сдвиге вдоль оси tна отрезок С каждая интегральная кривая переходит в другую кривую, если С не кратно <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">, и сама в себя, если С кратно <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">(рис. 3).

3) L— незамкнутая траектория. Каждая интегральная кривая, соответствующая траектории L, при любом сдвиге вдоль оси t, отличном от нулевого, переходит в другую интегральную кривую (рис. 4).
<img width=«487» height=«283» src=«ref-1_1743131828-19797.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_4»>

Рис. 3.                                        Рис. 4.
Подчеркнем следующие элементарные факты. Точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия (т. е. «изображающая точка» с координатами х = <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> (t), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">(t) ), не может стремиться к точке какой-либо отличной от нее траектории при t, стремящемся к конечному значению. Действительно, в противном случае, интегральные кривые в пространстве (x, у, t) пересекались бы, что невозможно в силу теоремы 1. В частности, точка, двигаясь по траектории, отличной от состояния равновесия, может стремиться к состоянию равновесия либо при t<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1743152103-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">    продолжение
--PAGE_BREAK--<img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1743037615-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">, либо при <img width=«61» height=«25» src=«ref-1_1743152502-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> 






7. Направление на траектории. Изменение параметризации
Пусть L— траектория системы (I) и
х = <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> (t), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> (t)
— какое-нибудь соответствующее ей решение.

Мы введем на траектории Lопределенное направление в качестве положительного. Именно, будем считать положительным направлением на Lнаправление в сторону возрастания t. При таком определении можно сказать, что положительное направление в каждой точке траектории Lсовпадает с направлением вектора, заданного в этой точке системой (I).

Пользуясь «кинематической» интерпретацией, можно сказать, что положительное направление на Lесть то направление, в котором точка с координатами х = <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> (t), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> (t) движется по траектории при возрастании tи при котором направление ее скорости в каждой точке совпадает с направлением фазовой скорости.

Введенное таким образом положительное направление на Lне зависит от того, какое из решений, соответствующих траектории L, мы возьмем (так как все такие решения получаются одно из другого заменой tна <img width=«42» height=«25» src=«ref-1_1743067584-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">

В дальнейшем мы будем обычно опускать слово «положительное», т. е. под направлением на траектории Lсистемы (I) мы будем подразумевать положительное направление, определяемое (или, как говорят, индуцируемое) на Lэтой системой.

Рассмотрим наряду с системой (I) систему
<img width=«234» height=«35» src=«ref-1_1743154038-1100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">(I')
Векторное поле системы (I') получается из векторного поля системы (I), если изменить направление каждого вектора на противоположное (не меняя длин векторов).
Непосредственной проверкой устанавливается, что каждому решению
х = <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> (t), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> (t)                                                                                       (23)
системы (I) соответствует решение
х = <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> (-t), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> (-t)                                                                           (24)
системы (I'). Отсюда очевидно, что системы (I) и (1') имеют одинаковые траектории, но индуцируют на траекториях противоположные направления. Таким образом, переход от системы (I) к системе (I') можно рассматривать, как изменение параметризации на траекториях, именно, как замену параметра tпараметром —t.

Рассмотрим более общий случай изменения параметризации на траекториях системы (1). Пусть f(х, у) — функция класса C1, заданная в области G. Предположим, что функция f(х, у) отлична от нуля во всех точках области G, отличных от состояний равновесия системы (1), и имеет в них один и тот же знак.

Рассмотрим наряду с системой (I) систему
<img width=«487» height=«35» src=«ref-1_1743156094-1899.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> (I*)
В силу предположений, сделанных относительно функции f(х, у), очевидно, что состояния равновесия системы (I) совпадают с состояниями равновесия системы (I*).

Лемма 8. Если
х = <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> (t), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> (t)                                                                             (25)

есть решение системы (I), причем соответствующая ему траектория отлична от состояния равновесия, то существует монотонная функция класса C1(t) =<img width=«12» height=«25» src=«ref-1_1743158471-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">(s) такая, что пара функций
<img width=«349» height=«29» src=«ref-1_1743158709-1427.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">                                    (26)
является решением системы (I*).

Доказательство. Задавая какое-нибудь начальное значение t, t<img width=«12» height=«25» src=«ref-1_1743035178-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">(<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">, Т), где (<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">, Т) — интервал определения решения (25), и произвольное s, рассмотрим следующую функцию s(t)
<img width=«208» height=«56» src=«ref-1_1743160685-1119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">
Так как f(х, у) не обращается в нуль в точках, отличных от состояний равновесия, то s(t) является монотонной функцией класса С1, определенной на интервале (<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">, Т). Очевидно, существует обратная функция

<img width=«12» height=«25» src=«ref-1_1743158471-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">(s), определенная в некотором интервале (<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743162241-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">S), также класса С1, монотонная. Очевидно,
<img width=«240» height=«37» src=«ref-1_1743162469-1239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> 

Поэтому

<img width=«421» height=«39» src=«ref-1_1743163708-1958.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">(27)

<img width=«450» height=«51» src=«ref-1_1743165666-2096.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">






<img width=«265» height=«224» src=«ref-1_1743167762-9280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">
Последние соотношения показывают, что функции (26) являются решением системы (I*). Нетрудно видеть, что (<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743162241-228.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">S), является максимальным интервалом определения решения (26), так как в противном случае интервал (<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">, Т) не был бы максимальным для решения (25). Лемма доказана.

Уравнения (25) и (26) являются, очевидно, различными параметрическими уравнениями одной и той же траектории. Поэтому из леммы 8 следует, что динамические системы (I) и (I*) имеют одни и те же траектории, но с различными параметризациями на них. При переходе от системы (I) к системе (I*) направления на траекториях остаются неизменными, если f(х, у) > 0, и меняются, если F(x,y)<0.

Предположим теперь, что функция f(х, у) может обращаться в нуль в точках, отличных от состояний равновесия системы (I), а также может менять знак в области G. Рассмотрим снова систему (I*). Очевидно, состояниями равновесия системы (I*) являются все состояния равновесия системы (I), а также все точки области G, которые не являются состояниями равновесия системы (1), но в которых f(х, у) = 0.

Кривая f(х, у) = 0 называется особой линией системы (I*) (каждая точка этой кривой является состоянием равновесия системы (I*)).

Рассмотрим теперь траекторию Lсистемы (I), отличную от состояния равновесия. Если на траектории Lфункция f(х, у)<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">0, то так же, как и выше, Lявляется траекторией системы (I*) с измененной, вообще говоря, параметризацией.

Если же на траектории Lимеются точки кривой f(х, у) = 0, то все точки L, отличные от этих точек, распадаются, как легко видеть, на конечное или счетное число гладких кривых, являющихся траекториями системы (I*) (рис. 5). Направление на каждой такой траектории совпадает с направлением на L, если на этой траектории f(х, у) > 0, и не совпадает в противном случае.

Таким образом, каждая траектория системы (I) либо является траекторией системы (I*), либо состоит из конечного или бесконечного множества траекторий системы (I*) .

В дальнейшем, в ряде предложений и в примерах мы неоднократно будем встречаться с динамическими системами вида
<img width=«181» height=«39» src=«ref-1_1743177620-1165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> (<img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1743178785-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">)
где Р (х, у), Q(х, у) — функции класса CN(<img width=«14» height=«26» src=«ref-1_1743179016-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">> 1) или аналитические, f(х, y) — функция класса CNили аналитическая, которая может обращаться в нуль в области G(в которой рассматривается система). Очевидно, в точках, где (х, у) = 0, правые части рассматриваемой системы (I**) не определены. Однако при указанном виде правых частей можно путем замены параметра tпривести рассмотрение системы (I**) к рассмотрению системы вида (I).

Действительно, полагая при х и у, необращающих в нуль f(х, у), dt=f(х, у) d<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">, мы получаем систему
 <img width=«202» height=«35» src=«ref-1_1743179473-1067.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">                                                        (I***)
Эту же систему мы будем рассматривать при х и у, обращающих в нуль функцию f(х, у) (что соответствует доопределению по непрерывности), так что система (I***) будет определена во всей области G. Очевидно, во всякой части области G, в которой f(х, у) не обращается в нуль, траектории системы (I**) и (I***) совпадают как точечные множества, однако, параметры на них различны. При этом там, где f(х, у) > 0, направление по <img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> совпадает с направлением по t, а там, где f(х, у) < 0 — противоположно ему. Точки с координатами х и у, обращающими в нуль функцию f(х, у), в которых правые части системы (I**) не определены, естественно выделять и считать не принадлежащими траекториям системы (I**) (к таким точкам, как нетрудно убедиться на простых примерах, точка по траектории может стремиться при t, стремящемся к конечному значению).
8. Терминология и обозначения
В случае, когда решения, соответствующие данной траектории L, определены для всех значении t(<img width=«111» height=«25» src=«ref-1_1743180739-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">), мы будем иногда, желая подчеркнуть это, называть такую траекторию Lцелой траекторией. В силу теоремы 2 всякая траектория, лежащая в ограниченйой части плоскости, у которой расстояние любой ее точки от границы области Gбольше некоторого <img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743181150-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">> 0, заведомо является целой траекторией.

Обратное неверно. Траектория, у которой есть точки, сколь угодно близкие к границе области G, может как быть, так и не быть целой траекторией.

Пусть М0— точка траектории L, которая при выбранном решении соответствует значению t= t. Если решение определено при всех t(t> t), то множество точек траектории L, соответствующих значениям t> t, называется положительной полутраекторией, выделенной из траектории L, и обозначается через L(+)или <img width=«30» height=«34» src=«ref-1_1743181349-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">. Аналогично если решение определено при всех t<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743127649-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"> t, то множество точек траектории L, соответствующих значениям t<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743127649-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> t, называется отрицательной полутраекторией, выделенной из траектории L, и обозначается через <img width=«31» height=«26» src=«ref-1_1743182066-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> или <img width=«32» height=«34» src=«ref-1_1743182349-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">. Очевидно, если взять другое решение, соответствующее траектории L, при котором точке М0соответствует значение t1<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">t, то точки полутраектории <img width=«30» height=«34» src=«ref-1_1743181349-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"> (или <img width=«32» height=«34» src=«ref-1_1743182349-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> ) будут соответствовать значениям <img width=«114» height=«25» src=«ref-1_1743183909-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">. Точку М0мы иногда будем называть «концом» полутраектории. В дальнейшем нам часто придется рассматривать полутраекторию без указания на то, является ли она положительной или отрицательной. В этом случае мы будем обозначать полутраекторию через U' или L\j. В случае, когда траектория Lявляется состоянием равновесия или замкнутой траекторией, всякая положительная и всякая отрицательная полутраектория, выделенная из нее, совпадает с ней самой. Полутраекторию, выделенную из незамкнутой траектории, мы будем называть незамкнутой полу траекторией, а полутраекторию, выделенную из замкнутой траектории (очевидно, совпадающую с этой траекторией), будем называть замкнутой полутраекторией.

В математической литературе решение системы (I) часто называют движением. Эта терминология находится в соответствии с «кинематическим» истолкованием динамической системы. Мы также будем пользоваться этой весьма употребительной терминологией. Таким образом, мы будем говорить о движении, соответствующем данным начальным значениям, о траектории, соответствующей данному движению, о движении, соответствующем данной траектории, или, иначе, о движении на траектории (т. е. о решении, соответствующем данной траектории), о периодическом движении и т. д.

Будем также говорить, что траектория Lпри t= tпроходит через точку М0, подразумевая при этом, что на траектории Lвыбрано некоторое определенное движение и при этом движении точке М0соответствует значение t= t. Точно так же мы будем говорить: «точка М1 траектории Lсоответствует значению t=t1» или «траектория при t= t1пересекает данную дугу <img width=«6» height=«25» src=«ref-1_1743184391-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> и т. д., подразумевая под этим, что при данном выбранном движении на Lточка М1или общая точка траектории Lи дуги <img width=«6» height=«25» src=«ref-1_1743184391-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> соответствует значению t= t1 и т. д.

Мы будем часто пользоваться следующими выражениями: «траектория Lпри возрастании (или убывании) входит в данную область или выходит из данной области», «траектория при t> Tостается в данной области» и другими аналогичными выражениями, не требующими пояснения. Кроме того, укажем следующие обозначения. Если
х = <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">    продолжение
--PAGE_BREAK-- (t), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> (t)                                                                             (28)
— какое-нибудь движение (т. е. решение), то точку с координатами <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285"> (t), <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> (t) мы будем обозначать через М (t) и решение (28) — через М=М (t). Если указаны начальные значения, которым соответствует рассматриваемое движение, т. е. движение (решение) записано в виде
x=<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">(t— t, х0, у0), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">(t— t, х0, у0),                                          (29)
то, обозначая через М0точку х0, у0, мы будем записывать точку с координатами <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> (t—t, х0, у0), <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">(t— t, х0, у0) в виде М (t— t, M) и решение (29) —в виде М = М (t— t, M).
9. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений
Наряду с теоремой о существовании и единственности решения основной теоремой теории дифференциальных уравнений является теорема о непрерывной зависимости от начальных значений.

Мы сформулируем здесь эту теорему для рассматриваемых нами автономных систем вида (I).

Теорема 4. Пусть
x=<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">(t— t, х0, у0), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">(t— t, х0, у0)
— решение системы (I), определенное на интервале (<img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">, Т), а <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743052655-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> и <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743042335-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> (<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743052655-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">< <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743042335-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">) — два произвольных числа из этого интервала. Тогда, каково бы ни было <img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743181150-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> > 0, существует такое <img width=«10» height=«25» src=«ref-1_1743188467-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> > 0, что, если

<img width=«243» height=«25» src=«ref-1_1743188692-920.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">
то решение x= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">(t— t, <img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1743189844-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">(t— t, <img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1743189844-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">) определено при всех значениях t, <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1743191058-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> t<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743127649-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1743042335-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307"> при всех этих значениях tвыполняются неравенства
<img width=«356» height=«30» src=«ref-1_1743191661-1382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308"> 

<img width=«355» height=«30» src=«ref-1_1743193043-1384.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> 
Замечание. Функции <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">(t— t, x, y), <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> (t— t, x, y) по самому своему определению являются непрерывными функциями t— t.
<img width=«216» height=«119» src=«ref-1_1743194905-4313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">

Рис. 6.
Так как в силу настоящей теоремы эти функции непрерывны по переменным х0, у0и равномерно непрерывны относительно tна всяком замкнутом конечном промежутке значений t, то, очевидно, эти функции непрерывны по совокупности своих аргументов при всех тех значениях этих аргументов, при которых они определены.

Теорема 4 может быть также сформулирована в следующей геометрической форме, которой мы в основном будем пользоваться в дальнейшем.

Теорема 4'. Пусть
М0(х0, у0) и M1(x1y1)




— две точки произвольной траектории L, соответствующие значениям tи t1 переменного t. Тогда для любого <img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743181150-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> > 0 можно указать такое <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743199417-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> > 0, что если точка М'0<img width=«38» height=«25» src=«ref-1_1743199640-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> (М0), то проходящая через эту точку при t= tтраектория L' определена для всех tв промежутке <img width=«87» height=«25» src=«ref-1_1743199949-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> (или t<img width=«66» height=«25» src=«ref-1_1743200335-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">) и точка М' траектории L', соответствующая любому значению tиз этого промежутка, лежит в <img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743181150-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">-окрестности точки М траектории L, соответствующей тому же t(рис. 6).

Докажем лемму, непосредственно вытекающую из теоремы 4.

Лемма 9. Пусть К — замкнутое ограниченное множество, целиком лежащее в G. Всегда существует h> 0 такое, что при любом tрешение
x= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">(t — t0, x0, y0), y=<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320">(t — t0, x0, y0)                                             (30)
для любой точки М0(х0, у0) <img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743201344-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321"> К заведомо определено при всех значениях tиз промежутка
t— h<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743127649-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">t<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743127649-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">t+h.
Доказательство. Предположим, что лемма несправедлива, т. е. для любого h> 0 найдется такая точка М <img width=«12» height=«25» src=«ref-1_1743035178-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> К, что решение (30), которое мы для краткости запишем в виде M= M(t— t, <img width=«16» height=«26» src=«ref-1_1743201881-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">),не определено на всем сегменте [t— h, t+ h]. Тогда существует последовательность стремящихся к нулю положительных чисел { <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1743202165-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> } и последовательность точек { <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1743096683-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> } множества К таких, что решение  M= M(t— t, <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1743202704-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">)не определено на всем сегменте [t— hn, t+ hn]. Так как по предположению К — замкнутое ограниченное множество, то из { <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1743096683-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">} всегда можно выбрать последовательность, сходящуюся к некоторой точке М* множества К. Поэтому мы можем без ограничения общности считать, что сама последовательность { <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1743096683-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330"> } сходится к некоторой точке M* <img width=«12» height=«25» src=«ref-1_1743035178-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331"> К. Рассмотрим решение M= M(t—t, М*). Всегда существует h* > 0 такое, что это решение во всяком случае определено при значениях tна сегменте [t—h*, t+ h*]. В силу теоремы 4 тогда и всякое решение
M=M(t— t, Mn)
при достаточно большом nопределено на сегменте [t— h*, t+ h*]. Hohn< h* при достаточно большом n(так как hn<img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1743152103-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">0), и, следовательно, решение М = М (t— t, Mn) должно быть определено при всех значениях tиз сегмента [t— hn, t+ hn], что противоречит выбору точек Мn. Лемма доказана.
10. Замена переменных
Предположим, что область определения Gсистемы (I) ограничена, и рассмотрим регулярное отображение этой области на некоторую область G* плоскости (и, v).

Пусть это отображение задается формулами
x=f(u, v), y= g(и, v)                                                                          (Т)
или эквивалентными им формулами
x= f*(x,y), y=g*(x,y),                                                                        (Т*)
где функции f, g, f*, g* являются функциями класса С2. Мы будем предполагать также, что G* — ограниченная область; для этого необходимо и достаточно, чтобы функции f* и g* были ограниченными в области G.

Переменные и и vможно рассматривать, как известно, не только как декартовы координаты на плоскости (и, v), но и как криволинейные координаты в области Gплоскости (х, у). Тогда (Т) и (Т*) являются формулами замены переменных или преобразования координат.

Пусть после перехода к координатам и, vсистема (I) принимает вид
<img width=«17» height=«35» src=«ref-1_1743203966-309.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333"> = U(u,v), <img width=«16» height=«35» src=«ref-1_1743204275-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334"> = V(u,v).                                                                   (31)
При этом мы имеем, очевидно,
<img width=«195» height=«36» src=«ref-1_1743204578-1026.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335"> g(u, v)) + <img width=«23» height=«39» src=«ref-1_1743205604-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> Q(f(u, v), g(u,v)),                  (32)

V(u, v) = <img width=«23» height=«36» src=«ref-1_1743205945-445.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">P(f(u, v), g(u, v)) + <img width=«23» height=«39» src=«ref-1_1743206390-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338"> Q(f(u, v), g(u, v)).
Таким образом, при переходе к новым координатам и, vвектор т с координатами Р (х, у), Q(х, у) преобразуется в вектор т* с координатами U(и, v), V(и, и), связанными с Р (х, у), Q(х, у) выражениями (32).

При отображении (Т) всякая траектория системы (I)
x= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">(t), y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">(t) переходит в траекторию системы                        (31)

<img width=«443» height=«25» src=«ref-1_1743207215-1618.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">                 (33)
и, обратно, при отображении (Т*) траектории системы (31) переходят в траектории системы (I). Нетрудно убедиться непосредственно, что пара функций (33) является решением системы (31).

В дальнейшем мы будем рассматривать не только регулярные преобразования координат. В частности, мы часто будем пользоваться переходом к полярной системе координат, который, очевидно, не является регулярным преобразованием координат.

Действительно, при преобразовании к полярным координатам
<img width=«185» height=«25» src=«ref-1_1743208833-706.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> 
во-первых нарушается взаимная однозначность, а во-вторых функциональный детерминант
<img width=«93» height=«75» src=«ref-1_1743209539-1075.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> , обращается в нуль, при <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_1743210614-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">
11. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической системе
Если разделить одно уравнение системы (I) на другое, то мы получим либо дифференциальное уравнение
 <img width=«86» height=«39» src=«ref-1_1743210924-760.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">                                                                                       (II)
либо дифференциальное уравнение
 <img width=«86» height=«39» src=«ref-1_1743211684-758.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">.                                                                                                (<img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1743212442-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">)
Рассмотрим сначала уравнение (II). Пусть <img width=«82» height=«25» src=«ref-1_1743212674-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348"> какая-нибудь точка области G. В силу теоремы о существовании и единственности решения, если при значениях <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1743213316-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">, P(<img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1743213316-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">)<img width=«29» height=«25» src=«ref-1_1743213992-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">, то существует единственное решение y=f(x), соответствующее начальным значениям <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1743213316-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">    продолжение
--PAGE_BREAK--, и, следовательно единственная интегральная кривая уравнения (II), проходящая через точку <img width=«82» height=«25» src=«ref-1_1743212674-642.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">

В каждой точке этой кривой угловой коэффициент касательной задается уравнением (II).

Пусть
х = <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354"> (t), у = <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355"> (t)

— решение системы (I), соответствующее начальным значениям t, xy. Выражая tвблизи значений t, х0, у0 как функцию х, t=<img width=«10» height=«25» src=«ref-1_1743215716-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">(х) (это возможно в силу того, что по условию <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743068603-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">' (t) = Р (x,y) <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> 0) и подставляя в функцию у =<img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">(t), мы, как нетрудно видеть, получаем решение уравнения (II)
y= <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743076241-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">(<img width=«10» height=«25» src=«ref-1_1743215716-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361">(x)) = f(x)
Очевидно, интегральная кривая уравнения (II) в точках, в которых она определена, совпадает с траекторией системы (I) или является частью этой траектории.
<img width=«181» height=«183» src=«ref-1_1743217025-3272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362"> 

Рис. 7
Предположим, что решение у = f(х) определено на интервале (x1, x2) , и пусть х стремится к одному из концов этого интервала, например х <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1743152103-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">x1(все сказанное в этом случае может быть повторено для случая, когда х<img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1743220440-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">х2). На основании общих теорем нетрудно видеть, что если при х <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1743152103-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">x1 точка с координатами (x, f(х)) не стремится к границе области G, то она стремится к точке М (x1 , f(x1)), для которой Р (x1 , f(x1)) = 0, т. е. к точке, в которой уравнение (II) теряет смысл. Если при этом Q(x1 , f(x1)) <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366"> 0, то точка М, очевидно, является такой точкой траектории системы (I), в которой касательная параллельна оси у (рис. 7). В окрестности такой точки естественно рассматривать уравнение (II*), и как «продолжение» интегральной кривой, соответствующей данному решению у = f(x) уравнения (II), рассматривать интегральную кривую уравнения (II*), проходящую через точку М(x1 , f(x1)) . Очевидно, в окрестности всякой точки, в которой ни Р (х, у), ни Q(х, у) не обращается в нуль, решение уравнения (II*) может быть получено из решения у = f(х) уравнения (II), если в нем х выразить как функцию у, х =g(у), а части соответствующих интегральных кривых уравнений (II) и (II*), лежащие в достаточно малой окрестности такой точки, совпадают.

Совершенно аналогично в точке N (<img width=«70» height=«25» src=«ref-1_1743220877-463.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">), в которой Q(g(у1), y1) = 0, а Р(g(у1), y1) <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368"> 0, естественно «продолжением» интегральной кривой уравнения (II*) считать проходящую через эту точку интегральную кривую уравнения (II).

Нетрудно убедиться в том, что множество точек, состоящее из точек интегральной кривой уравнения (II). проходящей через некоторую, отличную от состояния равновесия системы (I) точку М0(х0, у0) области Gи всех «продолжений» этой интегральной кривой в указанном выше смысле, совпадает с траекторией, проходящей через точку М0.

Таким образом, одновременное задание уравнений (II) и (II*) определяет все траектории системы (I), отличные от состояний равновесия. Но в то время, как при рассмотрении системы (I) траектории определяются с помощью параметрических уравнении, при рассмотрении уравнений (II) и (II*) траектории определяются уравнениями в переменных х и у (уравнениями в декартовых координатах). В дальнейшем, рассматривая одновременно дифференциальные уравнения (II) и (II*), мы не будем выписывать оба эти уравнения: выписывая одно из этих уравнений, мы будем подразумевать, что рассматриваются оба. Мы будем также пользоваться следующими симметричными относительно х и у записями уравнений (II) и (II*), именно
<img width=«217» height=«25» src=«ref-1_1743221491-874.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">

 <img width=«112» height=«38» src=«ref-1_1743222365-778.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> (III)

Траектории системы (I), отличные от состояния равновесия, мы будем называть интегральными кривыми уравнения (III) (а также, не совсем точно, интегральными кривыми уравнения (II) или (II*)).

Точки, в которых одновременно
Р(х, у) = 0 и Q(x, у) = 0
и оба уравнения (II) и (II*) теряют смысл, называются особыми точками уравнений (II), (II*) или (III). Таким образом, состояниям равновесия системы (I) соответствуют особые точки уравнении (II), (II*) или (III) и, наоборот, особым точкам — состояния равновесия.

В то время, как система (I) определяет в области Gфазовой плоскости векторное поле, состоящее из векторов <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743223143-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">(х, у) с компонентами Р (х, у), Q(х, у) , уравнение (III) (или пара уравнений (II) и (II*)) определяет поле направлений или поле линейных элементов. Линейным элементом называется точка М и проходящий через эту точку ненаправленный прямолинейный отрезок, для которого М является внутренней точкой. Поле линейных элементов, определенное уравнением (III), получается, если через каждую точку М (х, у) области провести прямолинейный отрезок, имеющий угловой коэффициент <img width=«45» height=«39» src=«ref-1_1743223356-611.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">(если <img width=«75» height=«25» src=«ref-1_1743223967-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373"> 0, то соответствующий отрезок параллелен оси у).

Очевидно, линейный элемент, соответствующий точке М (х, у), лежит на касательной к траектории, проходящей через точку М.

Если функция класса <img width=«18» height=«25» src=«ref-1_1743033812-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374"> f(x, у) не обращается в нуль в области G, то системе
<img width=«151» height=«35» src=«ref-1_1743224649-900.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375"> , <img width=«153» height=«35» src=«ref-1_1743225549-926.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> (I*)
соответствует, очевидно, то же дифференциальное уравнение (II)

<img width=«105» height=«38» src=«ref-1_1743226475-762.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> , что и системе <img width=«97» height=«35» src=«ref-1_1743227237-690.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">, <img width=«98» height=«35» src=«ref-1_1743227927-715.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">
Отсюда вторично вытекает доказанное в п. 7 утверждение, что системы (I) и (I*) имеют одни и те же траектории. Если функция f(х, у) обращается в нуль в точках области G, то, рассматривая уравнение
 <img width=«86» height=«39» src=«ref-1_1743210924-760.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> 
мы, очевидно, «теряем» особые точки системы (I*) (неявляющиеся состояниями равновесия системы (I)), для которых f(х,y) = 0.
12. Изоклины
Кривые, расположенные в области Gи имеющие уравнение
Q(x, у) <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743076719-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"> С <img width=«5» height=«25» src=«ref-1_1743229496-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">Р (х, у) = 0                                                                   (34)

(С — постоянное) или уравнение
Р(x, y) = 0,                                                                                        (35)
называются изоклинами (линиями равного наклона) системы (I) или уравнения (III). Эти кривые обладают, очевидно, тем свойством, что траектории системы (I), проходящие через все отличные от состояний равновесия точки каждой кривой, имеют в этих точках одинаковые направления касательных. Именно, угловые коэффициенты траекторий в точках изоклины (34) равны С, а в точках изоклины (35) равны <img width=«13» height=«25» src=«ref-1_1743040936-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">. Таким образом, направление касательной к траектории меняется только при переходе точки с одной изоклины на другую.

Изоклины Q(х, у) = О и Р (х, у) = 0 называются главными изоклинами. В точках первой из них касательные к траекториям горизонтальны, а в точках второй — вертикальны. Поэтому главные изоклины называют также изоклинами горизонтальных, соответственно вертикальных, наклонов.

Очевидно, все состояния равновесия лежат на каждой из изоклин и, обратно, общие точки любых двух изоклин (различных) являются состояниями равновесия системы. В частности, состояния равновесия являются общими точками двух главных изоклин.
13. Понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл». использующиеся в классической литературе при рассмотрении аналитических систем
В этом пункте мы введем понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл» дифференциального уравнения или системы уравнений так, как это обычно делается в классической литературе при рассмотрении аналитических дифференциальных уравнений и систем.

Мы останавливаемся здесь на указанных понятиях, не играющих роли в излагаемой дальше теории ввиду того, что они часто используются в дальнейшем при рассмотрении примеров.

Пусть рассматриваемая система (I)
<img width=«44» height=«35» src=«ref-1_1743229796-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">Р(х, у) <img width=«41» height=«35» src=«ref-1_1743230238-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">Q(x, у)
является аналитической в области G. Соответствующее этой системе дифференциальное уравнение запишем в симметричной форме (III)
<img width=«141» height=«50» src=«ref-1_1743230575-884.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">

интеграл динамический плоскость траектория




Пусть функция F(х, у) удовлетворяет следующим условиям:

а) она является аналитической во всех точках кривой, заданной соотношением
F(x,y) = 0,                                                                                         (36)
б) во всех точках кривой (36) тождественно выполняется равенство
<img width=«17» height=«26» src=«ref-1_1743231459-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">(х, у) Р(х, y) + <img width=«17» height=«28» src=«ref-1_1743231829-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">(x, y)Q(x, y)=0.                                                    (37)
Тогда соотношение (36) называется интегралом или частным интегралом уравнения (III) или системы (I), а кривая, определяемая этим соотношением, интегральной кривой уравнения (III) или системы (I).

Пусть F(х, у) = 0 — интеграл системы (I). Рассмотрим соответствующую интегральную кривую. Эта кривая может иметь в числе своих точек состояния равновесия системы (I), а также точки, в которых одновременно F'x(х, у) = F'y(х, у) = 0, т. е. особые точки кривой (36).

Покажем, что всякий “кусок” интегральной кривой, не содержащий состояний равновесия системы (I) и не имеющий особых точек, является траекторией системы (I) или представляет часть такой траектории.

В самом деле, рассмотрим произвольную точку М0(х0, ус) такого куска кривой (36). Предположим, что в этой точке
F'y(x, у0) <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389"> 
Тогда в некоторой окрестности точки М0кривая может быть задана уравнением вида y= f(x), причём
<img width=«193» height=«55» src=«ref-1_1743232254-1251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">

для всех точек кривой в этой окрестности. Так как F'y(х0, у0) <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391"> 0, то в окрестности точки М0, F'y(x, у) также отлична от нуля. Из соотношения (37)
F'x(x, y)P(x, y) + F'y(x, y)Q(x,y)=0
следует, что Р (х, у) <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392"> 0 в окрестности точки М0и что
<img width=«279» height=«55» src=«ref-1_1743233807-1685.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">
Но это значит, что функция y= f(x) удовлетворяет уравнению (II)
<img width=«107» height=«50» src=«ref-1_1743235492-867.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">
Аналогично рассматривается случай, когда F'x(x, у0) <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> 0. Таким образом, рассматриваемый кусок кривой (36) является куском интегральной кривой в смысле п. 11, т. е. представляет траекторию или часть траектории системы (I).

Рассмотрим теперь семейство кривых
F{x%у, С) = 0,                                                                                  (38)
определенное для значений С в некоторой области (обычно в некотором интервале).Соотношение (38) называется общим интегралом уравнения (III) или системы (1), если каждая кривая семейства (38) является интегральной кривой в определенном выше смысле и если каждая точка области Gпринадлежит по крайней мере одной из кривых (38).

Из этого определения следует, в частности, что если некоторая функция Ф (х, у) определена в области Gи является аналитической во всех точках этой области, за исключением, быть может, состояний равновесия системы (I), и удовлетворяет в области тождеству
Ф'х(х, у)<img width=«5» height=«25» src=«ref-1_1743229496-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">Р(х, у) + Ф'y(х, y)<img width=«5» height=«25» src=«ref-1_1743229496-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">Q(x, y) <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743236670-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398"> 0, то соотношение

Ф(x, y) = С                                                                                        (39)
является общим интегралом системы (I).

Если у системы (I) (или уравнения (III) существует общий интеграл вида (39), причем Ф (x, у) есть функция, аналитическая во всех точках области G, то, говорят, что система (I) (или уравнение (III)) имеет в области Gаналитический интеграл . В частности, системами вида (I), имеющими аналитический интеграл, являются так называемые гамильтоновы системы, о которых уже говорилось во введении
<img width=«187» height=«50» src=«ref-1_1743236778-1032.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">    продолжение
--PAGE_BREAK--
где Н (x, у) — аналитическая функция. H(х, у) = С является аналитическим интегралом (так называемым «интегралом энергии») этой системы.

Знание аналитического интеграла системы (I) в некоторых частных случаях помогает проводить качественное исследование системы (I).
14. Примеры
Мы приведем здесь ряд простых примеров динамических систем, поясняющих материал, изложенный в предыдущих пунктах.

Во всех указанных примерах динамические системы определены на всей плоскости. Приведем сначала два простейших примера динамических систем без состояний равновесия.

Пример 1.
<img width=«127» height=«46» src=«ref-1_1743237810-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">
Траектории — прямые, параллельные оси х
<img width=«144» height=«25» src=«ref-1_1743238499-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">
Состояний равновесия, очевидно, нет, все траектории (совпадающие с интегральными кривыми) являются целыми траекториями.
Пример 2.
<img width=«165» height=«46» src=«ref-1_1743238992-908.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">

<img width=«208» height=«25» src=«ref-1_1743239900-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">.
Состояний равновесия нет, траектории не являются «целыми траекториями» ввиду того, что точки па этих траекториях уходят в бесконечность при t, стремящемся к конечному значению. Именно
<img width=«159» height=«25» src=«ref-1_1743240594-717.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"> при t+ c1<img width=«38» height=«33» src=«ref-1_1743241311-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">(2k+ 1).
Пример 3
<img width=«177» height=«35» src=«ref-1_1743241591-874.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">                                                                      (40)
где a1и a2 имеют одинаковые знаки.

На плоскости (х, у) (т. е. на фазовой плоскости системы (40)) эта система задает векторное поле, примерно изображенное на рис. 8, а при a1< 0, а2< 0 и на рис. 8, б при а1> 0, а2> 0. Прямые на этом рисунке являются изоклинами.

Система (40), очевидно, имеет единственное состояние равновесия О (0, 0). Решая систему (40) как линейную с постоянными коэффициентами, легко видеть, что решение, соответствующее начальным значениям t, x, у0, имеет вид
<img width=«254» height=«26» src=«ref-1_1743242465-998.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">                                                       (41)
Очевидно, в согласии с леммой 3 это решение является функцией t—t.

Траектории системы (40) проще всего получить, исключая tв уравнениях (41), т. е. переходя к декартовым координатам. Мы получаем
<img width=«151» height=«60» src=«ref-1_1743243463-925.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">
Полагая при уо <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">0 <img width=«79» height=«40» src=«ref-1_1743244539-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410"> ,получим «параболы»
<img width=«133» height=«27» src=«ref-1_1743245147-653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">                                                                               (42)

а при у0= 0 x=0                                                                                (43)
Из (42) при С = 0 мы получаем у =0 .

Нетрудно видеть, что если перейти от системы (40) к одному уравнению, например, записанному в виде
<img width=«69» height=«38» src=«ref-1_1743245800-619.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412"> или в виде <img width=«78» height=«38» src=«ref-1_1743246419-625.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> 

и проинтегрировать его, то в качестве интегральных кривых в смысле п. 13 мы получим «параболы» (42) и две оси координат.

<img width=«344» height=«187» src=«ref-1_1743247044-11141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">

а)                                                  b)

Рис. 8
Отметим здесь же, что, как было указано в п. 13, уравнение (44) задает поле линейных элементов: оно представлено на рис. 9.

Траекториями системы (40) являются те части (половины) парабол (42) и координатных осей х = 0 и у = 0, на которые эти кривые разбиваются состоянием равновесия О (0, 0). Из соотношений (41) видно, что если a1< 0, а2 <Z0, то точка на любой, отличной от О траектории, стремится к состоянию равновесия О при t<img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1743258185-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">, а если a1 > 0, a2 > 0, то при t<img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1743258463-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">. Мы будем сокращенно говорить, что траектория стремится к состоянию равновесия О соответственно при t<img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1743258185-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417"> или t<img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1743258463-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418">.
<img width=«211» height=«184» src=«ref-1_1743259263-6735.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_3»>

Рис. 9
Напоминаем, что когда «изображающая» точка, двигаясь по отличной от состояния равновесия траектории, стремится к некоторому состоянию равновесия А (х0, у0), то при этом |t|<img width=«34» height=«25» src=«ref-1_1743265998-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">. Действительно, как это уже указывалось в п. 6, если бы tстремилось к конечному значению <img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">, то это означало бы, что через точку пространства (х, у, t) с координатами <img width=«9» height=«25» src=«ref-1_1743037180-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">, х0, у0проходят две интегральные кривые: одна — прямая, параллельная оси t, соответствующая состоянию равновесия А (х0, у0), и другая, соответствующая траектории L. Это, очевидно, противоречит теореме о существовании и единственности решения.

Таким образом, разбиение на траектории, определенное системой (40) (с указанными на траекториях направлениями *)[ Если особых линий нет, то для того, чтобы наметить направление на траекториях, достаточно наметить направление в какой-либо одной точке, тогда во всех других точках направление определяется из соображений непрерывности. Определить же направление в какой-либо точке х0, у0, в которой Р (х0, у0) =/= 0, можно, вычисляя в этой точке Р (х0, у0) и определяя в этой точке знак Р (х0, у0); если Р (х0, у0) >(), то в точке (х0, yQ) dx/dt> 0, а значит, вблизи этой точки при движении по траектории в сторону возрастания txвозрастает, что н определяет направлении на траектории, проходящей через точку (а;0, у0). Совершенно аналогично можно наметить направления на траекториях, рассматривая знак dyidtв точке, в которой Q{х0, у0) М 0. 2)]), имеет вид, указанный на рис. 10. Состояние равновесия такого типа называется узлом, устойчивым в случае a1< 0, a2<0 (рис. 10, а) и неустойчивым в случае a1 >0, a2 >0 (рис.10,б).

Рассмотрим еще интерпретацию решений системы (40), т. е. интегральные кривые системы (40) в трехмерном пространстве ℝ3с координатами х, у, t. Из формул (41) следует, что интегральными кривыми системы (40) в пространстве (х, у, t) являются






<img width=«375» height=«205» src=«ref-1_1743266647-12285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">

Рис. 10.
1) ось t, т. е. х = 0, у = 0 (эти уравнения получаются из уравнений (41) при х0= у0= 0); она проектируется в состояние равновесия О фазовой плоскости;

2) показательные кривые
<img width=«180» height=«26» src=«ref-1_1743278932-779.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">
расположенные в координатных полуплоскостях х > 0, у = 0 или х < 0, у = 0 и асимптотически стремящиеся к оси tпри <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_1743279711-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">, если а1 < 0 (рис. 11, а), и при <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_1743280024-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">, если а1 > 0; эти кривые проектируются в положительную и отрицательную полуоси абсцисс, являющиеся траекториями системы;

3)показательные кривые
х = 0, <img width=«119» height=«26» src=«ref-1_1743280323-666.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">
аналогичные кривым типа 2);

4) кривые
<img width=«254» height=«26» src=«ref-1_1743242465-998.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> (хо<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">0, уо<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">0),
расположенные на параболических цилиндрах

<img width=«133» height=«27» src=«ref-1_1743245147-653.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431"> ,(С <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432"> 0)
с образующими параллельными оси t. Ось t разбивает каждый такой цилиндр на две «половины» и каждая интегральная кривая типа 4) лежит целиком в одной половине цилиндра и асимптотически стремится к оси tпри t<img width=«48» height=«25» src=«ref-1_1743258185-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">, если a1< 0, а2 < 0 (рис. 11, б), при <img width=«61» height=«25» src=«ref-1_1743152502-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">, если a1> 0, a2> 0.Интегральные кривые типа 4) получаются друг из друга сдвигом вдоль оси t. Toже справедливо для интегральных кривых типа 2)или 3)
<img width=«352» height=«253» src=«ref-1_1743283670-13455.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_5»>

а)                                             б)

Рис.11
Пример 4
<img width=«220» height=«35» src=«ref-1_1743297125-965.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">                                                              (45)
(а — отличная от нуля постоянная).

Векторное поле, определенное этой системой (при а<0), изображено на рис. 12.

Решая систему (45) как линейную систему с постоянными коэффициентами, мы получим решение, соответствующее начальным значениям t, х0, у0в следующем виде (оно, очевидно, является функцией t— tв согласии с леммой 3):
<img width=«416» height=«28» src=«ref-1_1743298090-1219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">                      (46)

<img width=«412» height=«28» src=«ref-1_1743299309-1203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438"> 
<img width=«233» height=«293» src=«ref-1_1743300512-17170.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_6»> 

Рис.12
Характер траекторий рассматриваемой системы удобнее исследовать, переходя к полярным координатам. Пусть <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">и <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">— полярные координаты точки М0(х0, у0). Полагая х = <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> cos<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">, у = <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> sin<img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">, нетрудно найти уравнение траекторий <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"> = <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447"> (t), <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448"> = <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449"> (t) в полярных координатах (здесь <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> (t), <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743317682-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> (t)—непрерывные функции от t, <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452"> (t) > 0, <img width=«89» height=«25» src=«ref-1_1743319334-465.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">. <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743319799-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">(t) =<img width=«18» height=«25» src=«ref-1_1743320019-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">). Мы получим после элементарных вычислений
<img width=«250» height=«27» src=«ref-1_1743320269-823.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">                                                        (47)
Исключая t, получаем
<img width=«122» height=«27» src=«ref-1_1743321092-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">                                                                                 (48)

Уравнение (48) дает, очевидно, все траектории системы (46). Если <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_1743321649-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"> эти траектории являются логарифмическими спиралями. При <img width=«18» height=«25» src=«ref-1_1743320019-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> = 0 получается состояние равновесия О (0, 0).

Первое из двух уравнений (47) показывает, что все траектории стремятся к состоянию равновесия О при <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_1743322235-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">, если а <0 (рис. 13, а), и при <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_1743322545-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">, если а > 0 (рис. 13, б). Состояние равновесия такого типа, как в данном примере, называется фокусом, устойчивым в случае а<0 и неустойчивым при a> 0.

Уравнение
<img width=«150» height=«50» src=«ref-1_1743322841-773.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462">
соответствующее системе (45), является однородным. Интегрируя его с помощью подстановки <img width=«9» height=«33» src=«ref-1_1743323614-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> = и или <img width=«13» height=«36» src=«ref-1_1743323967-353.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">= и, мы получим соотношение
<img width=«213» height=«32» src=«ref-1_1743324320-921.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">                                                               (49)

<img width=«213» height=«35» src=«ref-1_1743325241-933.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466">                                                               (50)
Первое из соотношений является общим интегралом системы (в смысле п. 13) во всякой области, не содержащей точек оси у (т. е. точек х = 0), а второе — во всякой области, не содержащей точек оси х. Однако, ни одно из этих соотношений не является в строгом смысле слова общим интегралом системы в области, содержащей точку О. «Целую» интегральную кривую, расположенную в такой области, можно получить, «склеивая» куски кривых (49) и (50).

Рассмотрим интерпретацию в трехмерном пространстве. Как и в предыдущем примере, ось tявляется интегральной кривой системы (45) в пространстве (х, у, t). Остальные интегральные кривые расположены на цилиндрических поверхностях, имеющих своими направляющими спирали (48), а образующими — прямые, параллельные оси t. Эти интегральные кривые асимптотически приближаются к оси tпри
t<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743326174-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">, если а < 0, и при t<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743326453-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">, если а > 0
Отметим, что хотя формы траекторий в примерах 3 и 4 при a1< 0, а2 < 0 и а < 0 (a1> 0, а2 > 0 и а > 0) соответственно существенно отличаются, но в некотором смысле поведение траектории в том и в другом случае одинаково: именно, в обоих примерах все отличные от состояния равновесия траектории при t<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743326174-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">(или t<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743326453-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> ) стремятся к состоянию равновесия.
<img width=«153» height=«153» src=«ref-1_1743327250-5054.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_7»> <img width=«148» height=«144» src=«ref-1_1743332304-4689.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_8»>

а)                                             б)

Рис. 13
Впоследствии, уточнив понятие «качественной структуры» разбиения на траектории, мы будем считать в примерах 3 и 4 «качественную структуру» разбиения на траектории одинаковой.
Пример 5
Эта система получается как частный случай системы (45) при а = 0. Решения, соответствующие начальным значениям t, x, у0, имеют вид




х = х0cos(t—t) —у0sin(t—t)                                                      (52)

у= x0sin (t —t0) + y0cos (t — t0).
Непосредственной проверкой (или используя (52)) нетрудно убедиться, что является общим интегралом системы. Таким образом, в этом случае система имеет аналитический интеграл.
х2 + у2 = С                                                                                        (53)
Траекториями системы, очевидно, являются состояние равновесия О (0, 0) и замкнутые траектории — концентрические окружности с центром в начале координат (рис. 14). Решения (52), соответствующие замкнутым траекториям — окружностям, являются периодическими функциями с периодом 2<img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743336993-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">    продолжение
--PAGE_BREAK--.
<img width=«147» height=«273» src=«ref-1_1743337206-9791.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_9»>

Рис. 14
Интегральными кривыми в трехмерном пространстве (x, у, t) являются ось tи винтовые линии, расположенные на круглых цилиндрах с направляющими (53). Шаг каждой винтовой линии равен 2<img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743336993-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475">(рис. 15).




Пример 6
<img width=«154» height=«135» src=«ref-1_1743347210-3992.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476"> 

Рис. 15
Векторное поле изображено на рис. 16.

Решение системы, соответствующее начальным значениям t, х0, у0, имеет вид
<img width=«233» height=«26» src=«ref-1_1743351202-908.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">                                                          (55)
Точка О(0, 0) — состояние равновесия. Система имеет аналитический интеграл
ху = С.                                                                                              (56)
Интегральными кривыми при С <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478"> 0 являются гиперболы (56) и при С = 0 — координатные оси х = 0 и у =0. Каждая гипербола состоит из двух траекторий (ее ветвей) и каждая из координатных осей — из трех траекторий (состояния равновесия О и двух полуосей). Соответствующее разбиение на траектории указано на рис. 17.

Из выражений (55) очевидно, что траектории, являющиеся полупрямыми оси х (получающаяся из (55) при у0=0), стремятся к состоянию равновесия при t<img width=«55» height=«25» src=«ref-1_1743352261-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">, а траектории, являющиеся полупрямыми оси у, при t<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743326174-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">. Других траекторий, стремящихся к состоянию равновесия О, система не имеет.

Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, называется седлом. Траектории, стремящиеся к седлу О, в данном случае полупрямые х =- 0 и у = 0 — называются сепаратрисами седла.

Траектории, сколь угодно близкие к сепаратрисе седла, при неограниченном возрастании tудаляются от сепаратрис. Такое поведение траекторий, очевидно, ни в какой мере не противоречит теореме 4 (о непрерывной зависимости от начальных значений), так как эта теорема рассматривает поведение близких траекторий только на конечном промежутке значений t. Нетрудно убедиться в том, что если взять за исходную траекторию сепаратрису, то для любого конечного промежутка значений tтеорема 4, очевидно, выполняется. Но при увеличении рассматриваемого промежутка величину б (см. теорему 4') нужно брать все меньше и меньше. Рассмотрение интегральных кривых системы (54) в пространстве (х, у, t) аналогично проведенному в предыдущих примерах, и мы его опускаем.

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров, именно, несколько примеров нелинейных динамических систем. При этом будем рассматривать только разбиение на траектории фазовой плоскости, заданное этими системами, не обращаясь уже больше к пространству (х, у, t), как в примерах линейных систем.
<img width=«412» height=«218» src=«ref-1_1743352799-13532.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_10»>

Рис. 16.                                             Рис. 17




<img width=«183» height=«173» src=«ref-1_1743366331-8553.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_11»>

Рис. 18
Сделаем предварительно следующее элементарное замечание, являющееся, однако, весьма существенным для понимания некоторых основных свойств разбиения на траектории: в окрестности всякой точки, отличной от состояния равновесия в «малом», траектории ведут себя «аналогично параллельным прямым». Это наглядно иллюстрируется рис. 18. Далее, сделаем еще одно предварительное замечание. Пусть наряду с системо
<img width=«36» height=«46» src=«ref-1_1743374884-450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483"> Р(х, у),<img width=«21» height=«35» src=«ref-1_1743375334-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">= Q(x, у)                                                                  (l)
задана система
 <img width=«17» height=«35» src=«ref-1_1743375649-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> = (х, y)<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743076719-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">f(x, y)Q(x, у),

<img width=«36» height=«35» src=«ref-1_1743376158-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487"> Q(x, y)<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743076719-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">f(x, y)P(x, y), (<img width=«14» height=«27» src=«ref-1_1743376589-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">)
где f(x, y) — функция класса СN, или аналитическая, определенная в той же области, что и система (I).

Легко видеть, что состояния равновесия системы (I) совпадают с состояниями равновесия системы (<img width=«14» height=«27» src=«ref-1_1743376589-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">). В каждой точке области Gрассмотрим векторы <img width=«15» height=«25» src=«ref-1_1743377071-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">и <img width=«18» height=«27» src=«ref-1_1743377284-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492"> , определенные соответственно системой (I) и (<img width=«14» height=«27» src=«ref-1_1743376589-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">). Если обозначить через <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494"> и <img width=«18» height=«27» src=«ref-1_1743378008-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"> углы между положительным направлением оси х и векторами <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743223143-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496"> и <img width=«18» height=«27» src=«ref-1_1743377284-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">, соответственно, то, очевидно

<img width=«352» height=«51» src=«ref-1_1743378748-1960.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">
Тогда тангенс угла между вектором <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743223143-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499"> и вектором <img width=«18» height=«27» src=«ref-1_1743377284-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500"> дается выражением.
<img width=«219» height=«58» src=«ref-1_1743381180-1241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">                                                             (57)
Отметим, что в любой неособой точке области Gскалярное произведение
(<img width=«42» height=«27» src=«ref-1_1743382421-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">) = P2+ Q2> 0
Следовательно, векторы <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743223143-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503"> и <img width=«18» height=«27» src=«ref-1_1743377284-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504"> не перпендикулярны.

Формулы (57) означают, как мы будем сокращенно говорить, что векторное поле системы (<img width=«14» height=«27» src=«ref-1_1743376589-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505">) повернуто по отношению к векторному полю системы (I) на острый угол, тангенс которого равен f.
Пример 7
<img width=«208» height=«35» src=«ref-1_1743383448-869.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">                                                                (58)

<img width=«195» height=«35» src=«ref-1_1743384317-866.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507"> 
Легко видеть, что система (58) имеет вид системы (<img width=«14» height=«27» src=«ref-1_1743376589-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508">), в которой Р (х, у) = — у, Q(х, у)=х и f(х, у) = х2+ у2— 1. Системой же
<img width=«36» height=«35» src=«ref-1_1743385424-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">Р (х, у), <img width=«17» height=«35» src=«ref-1_1743385863-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510"> = Q(x, у)

является система (51) примера 5. Отсюда следует, что система (58), так же как и (51), имеет единственное состояние равновесия О (0, 0) и что векторное поле системы (58) повернуто по отношению к нyлю системы (51) на острый угол, тангенс которого равен
х2+у2— 1
Этот угол, очевидно, положителен в точке, где
(x2+ у2— 1) > 0, и отрицателен,
где (х2+ у2— 1) < 0, и равен нулю на окружности х2+ у2— 1 = 0.

Учитывая знак выражения х2 + у2— 1, нетрудно убедиться в том, что при С > 1 траектории системы (58) входят внутрь окружностей х2 + у2= С и выходят из таких окружностей при С < 1. На рис. 19 показаны направления векторов поля системы (58) (нарисованные векторы имеют одинаковую длину и этим отличаются от векторов системы (58)).

Непосредственной проверкой легко убедиться, что окружность
х2 + у2 — 1=0
есть интегральная кривая системы (58) и, следовательно, является ее замкнутой траекторией. В силу установленной выше связи между векторными полями систем (51) и (58) траектории
х2 + у2 = С                                                                                        (59)
системы (51) являются циклами без контакта для траекторий системы (58), т. е. траектории системы (58) при С <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511"> 1 ни в одной точке не касаются окружностей (59). Окружность жex2+y2= lявляется одновременно траекторией обеих систем (51), (58).

На основании всего вышеизложенного представляется геометрически очевидным, что траектории системы (58) имеют характер, представленный на рис. 20. Строго можно доказать это найдя уравнения траекторий в полярных координатах. Полагая
<img width=«190» height=«25» src=«ref-1_1743386329-688.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512"> или <img width=«227» height=«33» src=«ref-1_1743387017-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">
мы найдём
<img width=«296» height=«38» src=«ref-1_1743387971-1255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">,                                             (60)

<img width=«178» height=«65» src=«ref-1_1743389226-1194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515">

и <img width=«146» height=«38» src=«ref-1_1743390420-707.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516">                                                                         (61)
<img width=«196» height=«181» src=«ref-1_1743391127-9364.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_12»> <img width=«176» height=«181» src=«ref-1_1743400491-7705.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_13»>

Рис. 19.                                  Рис. 20
Интегрируя последнее уравнение, мы получим
<img width=«277» height=«50» src=«ref-1_1743408196-954.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">
Это и есть уравнение траекторий в полярных координатах. Траектории, проходящей через точку М0(<img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743319799-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">, <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">), соответствует значение
С = <img width=«78» height=«43» src=«ref-1_1743409594-544.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">
Если
<img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743319799-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">0 >1, то С > 0 и <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743319799-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524"> >1; <img width=«32» height=«25» src=«ref-1_1743410578-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">1 при <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_1743410831-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> и <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_1743411171-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527"> при <img width=«96» height=«36» src=«ref-1_1743411513-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528">
(Очевидно, при этом <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529"> изменяется в интервале
<img width=«112» height=«36» src=«ref-1_1743412219-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530"> .) <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_1743412748-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531">
является решением уравнения (61). Если <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743319799-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532"><1, toС<0 и <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743319799-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">< 1. Тогда
<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743413470-326.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534"> при <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_1743413796-327.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535"> и <img width=«32» height=«25» src=«ref-1_1743410578-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">1 при <img width=«67» height=«25» src=«ref-1_1743410831-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">
Отсюда следует, что траектории системы имеют вид, указанный на рис. 20. Второе из уравнений (60) показывает, что если траектория проходит через точку
М0(<img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743319799-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">, <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">)

при t= t, то <img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">= t+ (<img width=«11» height=«25» src=«ref-1_1743081943-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">— t)
Состояние равновесия О (0, 0) так же, как и в случае линейной системы (45) примера 4, является фокусом, причем неустойчивым.

Траектория х2+ у2— 1 = 0 (в отличие от того, что было в примере 6) не окружена замкнутыми траекториями. Она сама является изолированной замкнутой траекторией, и все траектории, проходящие через точки достаточно малой ее окрестности, стремятся к ней при t<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743326174-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">. Такая замкнутая траектория называется предельным циклом.
<img width=«196» height=«322» src=«ref-1_1743415887-12736.coolpic» v:shapes=«Рисунок_x0020_14»>
Подчеркнем, что на каждой траектории, лежащей вне предельного цикла, tизменяется от конечного значения
<img width=«23» height=«36» src=«ref-1_1743428623-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">до + <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1743428921-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">
Это можно выразить, сказав, что при убывании tточка на такой траектории уходит на бесконечность в конечное время. Таким образом, траектории, лежащие вне предельного цикла, не являются целыми. Напротив, все траектории, лежащие внутри предельного цикла, очевидно, являются целыми, т. е. tна них меняется от <img width=«30» height=«25» src=«ref-1_1743429139-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546"> до <img width=«30» height=«25» src=«ref-1_1743429372-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">. Направление на траекториях может быть установлено непосредственно из системы.

Так, например, при х = 0 и у > 0 мы имеем <img width=«17» height=«35» src=«ref-1_1743375649-415.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548"> < 0, т. е. в точках оси у с возрастанием t<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743076719-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">х убывает. Этого, очевидно, достаточно для определения направления на всех траекториях рассматриваемой системы.






Пример8
<img width=«202» height=«35» src=«ref-1_1743430136-958.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">                                                                 (62)
Система имеет два состояния равновесия О(0, 0) и А (4, 0). Система, очевидно, имеет аналитический интеграл
<img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1743431094-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551">— 6x2<img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743431354-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552"> x3= C.                                                                            (63)
Характер семейства кривых (63) нетрудно установить, рассматривая вспомогательное семейство кривых:
и = 6х2 — х3+ С.                                                                               (64)
Так как у = <img width=«28» height=«27» src=«ref-1_1743431470-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">, то семейство кривых (64) имеет вид, представленный на рис. 21. a, а семейство кривых (63) — вид, представленный на рис. 21, б. Состояние равновесия О (О, 0) лежит на интегральной кривой (63) при С = 0. Эта интегральная кривая состоит из четырех траектории состояния равновесия О, двух незамкнутых траекторий, одна из которых стремится к О при t<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743326453-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554">, а другая при t<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743326174-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555"> и «петли», стремящейся к состоянию равновесия О как при t<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743326453-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556"> , так и при t<img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1743326174-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">.

Нетрудно убедиться в том, что состояние равновесия А (4, 0) принадлежит кривой (63), соответствующей С = —32. Эта кривая состоит из одной ветви и изолированной точки-состояния равновесия А. Остальные интегральные кривые не содержат состояний равновесия. При С < —32 кривая (63) имеет одну ветвь, расположенную левее бесконечных ветвей кривой (63) при С = 0. Если —32 < С < 0, то соответствующая кривая (63) состоит из двух ветвей, одна из которых есть замкнутая кривая (овал), содержащая точку А внутри себя. Наконец, при С > 0 кривая состоит из одной ветви (расположенной справа от кривой (63) при С = 0). Каждая ветвь интегральной кривой (при С <img width=«14» height=«25» src=«ref-1_1743103348-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">    продолжение
--PAGE_BREAK--