Реферат: Функция многих переменных

--PAGE_BREAK--<shape id="_x0000_i1297" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image295.wmz» o:><img width=«51» height=«47» src=«dopb116934.zip» v:shapes="_x0000_i1297">
где Рт(х), Qn(x) – многочлены степени т и п:
Qn(x) = <shape id="_x0000_i1298" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image297.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb116935.zip» v:shapes="_x0000_i1298">хп+<shape id="_x0000_i1299" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image299.wmz» o:><img width=«17» height=«23» src=«dopb116936.zip» v:shapes="_x0000_i1299">хп -1+...+<shape id="_x0000_i1300" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image301.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb116937.zip» v:shapes="_x0000_i1300">,    Рт(х) =   <shape id="_x0000_i1301" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image303.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb116938.zip» v:shapes="_x0000_i1301">хт+<shape id="_x0000_i1302" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image305.wmz» o:><img width=«15» height=«23» src=«dopb116939.zip» v:shapes="_x0000_i1302">хт -1+...+<shape id="_x0000_i1303" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image307.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb116940.zip» v:shapes="_x0000_i1303">.
Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя  т< п, и неправильной, если т<shape id="_x0000_i1304" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image309.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb116941.zip» v:shapes="_x0000_i1304">п.
Неправильную дробь всегда можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Поскольку многочлены интегрируются очень легко, то задача интегрирования рациональных функций сводится, таким образом, к интегрированию правильных дробей. Правильные дроби, в свою очередь раскладываются на элементарные дроби. Поэтому рассмотрим интегрирование элементарных дробей.
Различают четыре вида элементарных дробей:
І.<shape id="_x0000_i1305" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image311.wmz» o:><img width=«40» height=«41» src=«dopb116942.zip» v:shapes="_x0000_i1305">,     ІІ. <shape id="_x0000_i1306" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image313.wmz» o:><img width=«59» height=«45» src=«dopb116943.zip» v:shapes="_x0000_i1306">,     ІІІ. <shape id="_x0000_i1307" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image315.wmz» o:><img width=«80» height=«45» src=«dopb116944.zip» v:shapes="_x0000_i1307">,     ІV. <shape id="_x0000_i1308" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image317.wmz» o:><img width=«100» height=«45» src=«dopb116945.zip» v:shapes="_x0000_i1308">,
где п=2,3,..., а трехчлен х2+рх+qне имеет действительных корней, то есть D=р2-4q<0.
Рассмотрим, как интегрируются эти дроби.
І.<shape id="_x0000_i1309" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image319.wmz» o:><img width=«164» height=«41» src=«dopb116946.zip» v:shapes="_x0000_i1309"> 
ІІ. <shape id="_x0000_i1310" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image321.wmz» o:><img width=«449» height=«48» src=«dopb116947.zip» v:shapes="_x0000_i1310">
ІІІ. Пример.
      <shape id="_x0000_i1311" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image323.wmz» o:><img width=«119» height=«41» src=«dopb116948.zip» v:shapes="_x0000_i1311"><shape id="_x0000_i1312" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image325.wmz» o:><img width=«187» height=«75» src=«dopb116949.zip» v:shapes="_x0000_i1312"><shape id="_x0000_i1313" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image327.wmz» o:><img width=«88» height=«41» src=«dopb116950.zip» v:shapes="_x0000_i1313"><shape id="_x0000_i1314" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image329.wmz» o:><img width=«103» height=«44» src=«dopb116951.zip» v:shapes="_x0000_i1314"><shape id="_x0000_i1315" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image331.wmz» o:><img width=«69» height=«41» src=«dopb116952.zip» v:shapes="_x0000_i1315"><shape id="_x0000_i1316" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image333.wmz» o:><img width=«80» height=«41» src=«dopb116953.zip» v:shapes="_x0000_i1316">---<shape id="_x0000_i1317" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image335.wmz» o:><img width=«92» height=«41» src=«dopb116954.zip» v:shapes="_x0000_i1317">= <shape id="_x0000_i1318" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image337.wmz» o:><img width=«111» height=«41» src=«dopb116955.zip» v:shapes="_x0000_i1318">-<shape id="_x0000_i1319" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image339.wmz» o:><img width=«112» height=«41» src=«dopb116956.zip» v:shapes="_x0000_i1319">.
2. Как известно из алгебры, многочлен Qn(x) степени п может быть разложен на линейные и квадратичные множители
Qn(x) = <shape id="_x0000_i1320" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image341.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb116935.zip» v:shapes="_x0000_i1320">(х-х<shape id="_x0000_i1321" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image342.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb116796.zip» v:shapes="_x0000_i1321">)k<shape id="_x0000_i1322" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image343.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb116796.zip» v:shapes="_x0000_i1322">…(х-хr)k<shape id="_x0000_i1323" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image344.wmz» o:><img width=«9» height=«23» src=«dopb116957.zip» v:shapes="_x0000_i1323">(x2+p<shape id="_x0000_i1324" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image346.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb116796.zip» v:shapes="_x0000_i1324">x+q<shape id="_x0000_i1325" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image346.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb116796.zip» v:shapes="_x0000_i1325">)l<shape id="_x0000_i1326" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image343.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb116796.zip» v:shapes="_x0000_i1326">…(x2+p<shape id="_x0000_i1327" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image347.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb116958.zip» v:shapes="_x0000_i1327"> x+q<shape id="_x0000_i1328" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image349.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb116958.zip» v:shapes="_x0000_i1328">)l<shape id="_x0000_i1329" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image350.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb116958.zip» v:shapes="_x0000_i1329">,
где  <shape id="_x0000_i1330" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image351.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb116959.zip» v:shapes="_x0000_i1330">, х<shape id="_x0000_i1331" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image353.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1331">, p<shape id="_x0000_i1332" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image355.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1332">, q<shape id="_x0000_i1333" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image355.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1333"> - действительные числа; k<shape id="_x0000_i1334" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image355.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1334">, I<shape id="_x0000_i1335" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image355.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1335"> - натуральные числа; k<shape id="_x0000_i1336" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image346.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb116796.zip» v:shapes="_x0000_i1336">+…+ k<shape id="_x0000_i1337" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image356.wmz» o:><img width=«9» height=«23» src=«dopb116957.zip» v:shapes="_x0000_i1337">+2(I<shape id="_x0000_i1338" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image346.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb116796.zip» v:shapes="_x0000_i1338">+…+ I<shape id="_x0000_i1339" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image357.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb116958.zip» v:shapes="_x0000_i1339">)=n, р<shape id="_x0000_i1340" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image355.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1340">2 — 4q<shape id="_x0000_i1341" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image355.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1341"><0.
      Рассмотрим правильную рациональную дробь
<shape id="_x0000_i1342" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image358.wmz» o:><img width=«51» height=«47» src=«dopb116934.zip» v:shapes="_x0000_i1342">
знаменатель которой уже разложен на линейные и квадратичные множители. Тогда эту дробь можно разложить на сумму элементарных дробей по таким правилам:
1)                множителю (х-а)k соответствует сумма дробей вида
<shape id="_x0000_i1343" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image359.wmz» o:><img width=«40» height=«43» src=«dopb116961.zip» v:shapes="_x0000_i1343">+<shape id="_x0000_i1344" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image361.wmz» o:><img width=«59» height=«47» src=«dopb116962.zip» v:shapes="_x0000_i1344">+…+<shape id="_x0000_i1345" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image363.wmz» o:><img width=«59» height=«47» src=«dopb116963.zip» v:shapes="_x0000_i1345">;
2)                множителю (x2+px+q)I соответствует сумма дробей вида
<shape id="_x0000_i1346" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image365.wmz» o:><img width=«80» height=«47» src=«dopb116964.zip» v:shapes="_x0000_i1346">+<shape id="_x0000_i1347" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image367.wmz» o:><img width=«100» height=«47» src=«dopb116965.zip» v:shapes="_x0000_i1347">+…+<shape id="_x0000_i1348" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image369.wmz» o:><img width=«100» height=«47» src=«dopb116966.zip» v:shapes="_x0000_i1348">,
где А<shape id="_x0000_i1349" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image355.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1349">,М<shape id="_x0000_i1350" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image355.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1350">,N<shape id="_x0000_i1351" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image355.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1351">  — неопределённые коэффициенты.
Искать эти  неопределённые коэффициенты можно исходя из того, что равные многочлены имеют равные коэффициенты при одинаковых степенях х.
Пример. Вычислить интеграл
<shape id="_x0000_i1352" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image371.wmz» o:><img width=«104» height=«41» src=«dopb116967.zip» v:shapes="_x0000_i1352">.
Решение.
<shape id="_x0000_i1353" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image373.wmz» o:><img width=«91» height=«41» src=«dopb116968.zip» v:shapes="_x0000_i1353"><shape id="_x0000_i1354" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image375.wmz» o:><img width=«103» height=«44» src=«dopb116969.zip» v:shapes="_x0000_i1354"><shape id="_x0000_i1355" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image377.wmz» o:><img width=«36» height=«41» src=«dopb116970.zip» v:shapes="_x0000_i1355">+<shape id="_x0000_i1356" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image379.wmz» o:><img width=«39» height=«41» src=«dopb116971.zip» v:shapes="_x0000_i1356">,
х+5=А(х+2)+В(х+1),
<shape id="_x0000_i1357" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image381.wmz» o:><img width=«99» height=«48» src=«dopb116972.zip» v:shapes="_x0000_i1357">    А=4,   В=-3.
<shape id="_x0000_i1358" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image371.wmz» o:><img width=«104» height=«41» src=«dopb116967.zip» v:shapes="_x0000_i1358">= 4<shape id="_x0000_i1359" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image383.wmz» o:><img width=«45» height=«41» src=«dopb116973.zip» v:shapes="_x0000_i1359">-3<shape id="_x0000_i1360" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image385.wmz» o:><img width=«48» height=«41» src=«dopb116974.zip» v:shapes="_x0000_i1360">= 4ln<shape id="_x0000_i1361" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image387.wmz» o:><img width=«37» height=«27» src=«dopb116975.zip» v:shapes="_x0000_i1361">-3ln<shape id="_x0000_i1362" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image389.wmz» o:><img width=«41» height=«27» src=«dopb116976.zip» v:shapes="_x0000_i1362">+C.
3.                1. Интегралы вида
   <shape id="_x0000_i1363" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image391.wmz» o:><img width=«119» height=«29» src=«dopb116977.zip» v:shapes="_x0000_i1363">
где R(х,у) – рациональная функция относительно х иу, <shape id="_x0000_i1364" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image393.wmz» o:><img width=«39» height=«19» src=«dopb116978.zip» v:shapes="_x0000_i1364">, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
ax+b=t<shape id="_x0000_i1365" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image395.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb116979.zip» v:shapes="_x0000_i1365">.
 2. Интегралы вида
   <shape id="_x0000_i1366" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image397.wmz» o:><img width=«236» height=«67» src=«dopb116980.zip» v:shapes="_x0000_i1366">
где R – рациональная функция, p<shape id="_x0000_i1367" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image399.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1367">, q<shape id="_x0000_i1368" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image400.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1368"> - целые числа, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановки
<shape id="_x0000_i1369" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image401.wmz» o:><img width=«47» height=«41» src=«dopb116981.zip» v:shapes="_x0000_i1369">=t<shape id="_x0000_i1370" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image395.wmz» o:><img width=«11» height=«20» src=«dopb116979.zip» v:shapes="_x0000_i1370">,
где п – общий знаменатель дробей <shape id="_x0000_i1371" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image403.wmz» o:><img width=«24» height=«47» src=«dopb116982.zip» v:shapes="_x0000_i1371">,<shape id="_x0000_i1372" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image405.wmz» o:><img width=«25» height=«47» src=«dopb116983.zip» v:shapes="_x0000_i1372">,….
3. Интегралы вида
   <shape id="_x0000_i1373" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image407.wmz» o:><img width=«116» height=«29» src=«dopb116984.zip» v:shapes="_x0000_i1373">                                                                      (6.1)
всегда сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой, универсальной тригонометрической подстановки
<shape id="_x0000_i1374" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image409.wmz» o:><img width=«53» height=«41» src=«dopb116985.zip» v:shapes="_x0000_i1374">,         <shape id="_x0000_i1375" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image411.wmz» o:><img width=«87» height=«41» src=«dopb116986.zip» v:shapes="_x0000_i1375">,         <shape id="_x0000_i1376" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image413.wmz» o:><img width=«88» height=«44» src=«dopb116987.zip» v:shapes="_x0000_i1376">,
х=2arctgt,       dx=<shape id="_x0000_i1377" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image415.wmz» o:><img width=«41» height=«41» src=«dopb116988.zip» v:shapes="_x0000_i1377">.
Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда приводит к цели, но в силу своей универсальности она часто требует неоправданно громоздких вычислений. Поэтому во многих случаях удобнее пользоваться другими подстановками. Рассмотрим некоторые из них.
1)                Если в интеграле (6.1) R(-sin x, cosx)= — R(sin x, cosx), то удобно делать подстановку cos x=t.
2)                Если R(sin x,-cosx)= — R(sin x, cosx), то удобно делать подстановку sin x=t.
3)                Если R(-sin x, -cosx)= R(sin x, cosx), то удобно делать подстановку
tg x=t,    <shape id="_x0000_i1378" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image417.wmz» o:><img width=«100» height=«47» src=«dopb116989.zip» v:shapes="_x0000_i1378">,     <shape id="_x0000_i1379" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image419.wmz» o:><img width=«100» height=«47» src=«dopb116990.zip» v:shapes="_x0000_i1379">,
х=arctgt,       dx=<shape id="_x0000_i1380" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image421.wmz» o:><img width=«41» height=«41» src=«dopb116991.zip» v:shapes="_x0000_i1380">.
         4. Рассмотрим более детально интегралы вида
<shape id="_x0000_i1381" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image423.wmz» o:><img width=«112» height=«29» src=«dopb116992.zip» v:shapes="_x0000_i1381">,
где т, п – целые числа.
1)                Если т – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку cos x=t.
2)                Если п  – нечётное положительное число, то удобно делать подстановку sin x=t.
3)                Если оба показателя т и п – чётные неотрицательные числа, то надо делать понижение степени синуса и косинуса по формулам
<shape id="_x0000_i1382" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image425.wmz» o:><img width=«120» height=«41» src=«dopb116993.zip» v:shapes="_x0000_i1382">,      <shape id="_x0000_i1383" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image427.wmz» o:><img width=«124» height=«41» src=«dopb116994.zip» v:shapes="_x0000_i1383">.
4) Для нахождения интегралов вида
<shape id="_x0000_i1384" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image429.wmz» o:><img width=«57» height=«29» src=«dopb116995.zip» v:shapes="_x0000_i1384">,      <shape id="_x0000_i1385" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image431.wmz» o:><img width=«65» height=«29» src=«dopb116996.zip» v:shapes="_x0000_i1385">  
удобно пользоваться формулами
<shape id="_x0000_i1386" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image433.wmz» o:><img width=«116» height=«41» src=«dopb116997.zip» v:shapes="_x0000_i1386">      <shape id="_x0000_i1387" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image435.wmz» o:><img width=«123» height=«41» src=«dopb116998.zip» v:shapes="_x0000_i1387">
 5. В интегралах
<shape id="_x0000_i1388" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image437.wmz» o:><img width=«112» height=«29» src=«dopb116999.zip» v:shapes="_x0000_i1388">,   <shape id="_x0000_i1389" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image439.wmz» o:><img width=«111» height=«29» src=«dopb117000.zip» v:shapes="_x0000_i1389">,   <shape id="_x0000_i1390" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image441.wmz» o:><img width=«116» height=«29» src=«dopb117001.zip» v:shapes="_x0000_i1390">,    <shape id="_x0000_i1391" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image443.wmz» o:><img width=«43» height=«16» src=«dopb117002.zip» v:shapes="_x0000_i1391">
надо подынтегральную функцию записать в виде суммы функций с помощью формул
<shape id="_x0000_i1392" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image445.wmz» o:><img width=«291» height=«41» src=«dopb117003.zip» v:shapes="_x0000_i1392">
<shape id="_x0000_i1393" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image447.wmz» o:><img width=«304» height=«41» src=«dopb117004.zip» v:shapes="_x0000_i1393">
<shape id="_x0000_i1394" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image449.wmz» o:><img width=«299» height=«41» src=«dopb117005.zip» v:shapes="_x0000_i1394">

Лекция 14.  Тема – Задача о площади криволинейной трапеции.Определённыйинтеграл его геометрический смысл и свойства.
Формула Ньютона-Лейбница.
План.
1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение и существование определённого интеграла.
2. Геометрический смысл определённого интеграла. Свойства определённого интеграла.
3.  Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница.
<img width=«182» height=«116» src=«dopb117006.zip» v:shapes="_x0000_s1026">1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная линией  у= f(x) и прямыми х=а, х=b, у=0. Будем считать, что f(x)<shape id="_x0000_i1395" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image452.wmz» o:><img width=«25» height=«19» src=«dopb117007.zip» v:shapes="_x0000_i1395">на [a;b].
<img width=«26» height=«2» src=«dopb117008.zip» v:shapes="_x0000_s1027"><img width=«2» height=«158» src=«dopb117009.zip» v:shapes="_x0000_s1028"><img width=«2» height=«158» src=«dopb117009.zip» v:shapes="_x0000_s1029"><img width=«2» height=«158» src=«dopb117009.zip» v:shapes="_x0000_s1030"><img width=«2» height=«170» src=«dopb117010.zip» v:shapes="_x0000_s1031"><img width=«12» height=«183» src=«dopb117011.zip» v:shapes="_x0000_s1032">       у                у= f(x)            
<img width=«363» height=«68» src=«dopb117012.zip» v:shapes="_x0000_s1033 _x0000_s1034"> 

        0            а х<shape id="_x0000_i1396" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image459.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb116796.zip» v:shapes="_x0000_i1396">    х<shape id="_x0000_i1397" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image460.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb117013.zip» v:shapes="_x0000_i1397"><shape id="_x0000_i1398" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image462.wmz» o:><img width=«16» height=«24» src=«dopb117014.zip» v:shapes="_x0000_i1398">х<shape id="_x0000_i1399" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image464.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1399">                   b                         x
      Разобьём отрезок [a;b] произвольным образом на п частей точками а=х<shape id="_x0000_i1400" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image465.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb116800.zip» v:shapes="_x0000_i1400"><x<shape id="_x0000_i1401" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image459.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb116796.zip» v:shapes="_x0000_i1401"><…<х<shape id="_x0000_i1402" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image460.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb117013.zip» v:shapes="_x0000_i1402"><х<shape id="_x0000_i1403" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image464.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1403"><…<х<shape id="_x0000_i1404" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image466.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb116797.zip» v:shapes="_x0000_i1404">=b.  
На каждом отрезке [х<shape id="_x0000_i1405" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image460.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb117013.zip» v:shapes="_x0000_i1405">;х<shape id="_x0000_i1406" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image464.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1406">] возьмём произвольную точку  <shape id="_x0000_i1407" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image462.wmz» o:><img width=«16» height=«24» src=«dopb117014.zip» v:shapes="_x0000_i1407">  ивычислимзначение f(<shape id="_x0000_i1408" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image462.wmz» o:><img width=«16» height=«24» src=«dopb117014.zip» v:shapes="_x0000_i1408">). Тогда площадь S<shape id="_x0000_i1409" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image464.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1409">заштрихованного прямоугольника, будет равна
S<shape id="_x0000_i1410" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image464.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1410">= f(<shape id="_x0000_i1411" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image462.wmz» o:><img width=«16» height=«24» src=«dopb117014.zip» v:shapes="_x0000_i1411">)<shape id="_x0000_i1412" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image467.wmz» o:><img width=«25» height=«24» src=«dopb117015.zip» v:shapes="_x0000_i1412">,   где <shape id="_x0000_i1413" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image469.wmz» o:><img width=«25» height=«24» src=«dopb117015.zip» v:shapes="_x0000_i1413">=х<shape id="_x0000_i1414" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image464.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1414"> — х<shape id="_x0000_i1415" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image460.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb117013.zip» v:shapes="_x0000_i1415">.
Площадь S всей трапеции приблизительно равна
S<shape id="_x0000_i1416" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image470.wmz» o:><img width=«52» height=«45» src=«dopb117016.zip» v:shapes="_x0000_i1416"><shape id="_x0000_i1417" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image472.wmz» o:><img width=«96» height=«45» src=«dopb117017.zip» v:shapes="_x0000_i1417">.
Пусть <shape id="_x0000_i1418" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image474.wmz» o:><img width=«83» height=«29» src=«dopb117018.zip» v:shapes="_x0000_i1418">. Естественно считать, что
S<shape id="_x0000_i1419" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image476.wmz» o:><img width=«119» height=«45» src=«dopb117019.zip» v:shapes="_x0000_i1419">.                                                          (6.2)
К пределам вида (6.2) приводят много других задач, поэтому возникает необходимость всестороннего изучения таких пределов независимо от конкретного содержания той или иной задачи.
Пусть функция у= f(x) определена на отрезке [a;b]. Разобьём этот отрезок на  п произвольных частей точками
а=х<shape id="_x0000_i1420" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image465.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb116800.zip» v:shapes="_x0000_i1420"><x<shape id="_x0000_i1421" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image459.wmz» o:><img width=«8» height=«23» src=«dopb116796.zip» v:shapes="_x0000_i1421"><…<х<shape id="_x0000_i1422" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image478.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb117020.zip» v:shapes="_x0000_i1422"><х<shape id="_x0000_i1423" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image464.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1423"><…<х<shape id="_x0000_i1424" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image466.wmz» o:><img width=«11» height=«24» src=«dopb116797.zip» v:shapes="_x0000_i1424">=b.
На каждом из созданных отрезков [х<shape id="_x0000_i1425" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image480.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb117020.zip» v:shapes="_x0000_i1425">;х<shape id="_x0000_i1426" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image464.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1426">] возьмём произвольную точку  <shape id="_x0000_i1427" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image462.wmz» o:><img width=«16» height=«24» src=«dopb117014.zip» v:shapes="_x0000_i1427">  и составим сумму
<shape id="_x0000_i1428" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image481.wmz» o:><img width=«112» height=«45» src=«dopb117021.zip» v:shapes="_x0000_i1428">,   где <shape id="_x0000_i1429" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image469.wmz» o:><img width=«25» height=«24» src=«dopb117015.zip» v:shapes="_x0000_i1429">=х<shape id="_x0000_i1430" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image464.wmz» o:><img width=«8» height=«24» src=«dopb116960.zip» v:shapes="_x0000_i1430"> — х<shape id="_x0000_i1431" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image460.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb117013.zip» v:shapes="_x0000_i1431">,
которую будем называть интегральной суммой функции  f(x).
Обозначим <shape id="_x0000_i1432" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image474.wmz» o:><img width=«83» height=«29» src=«dopb117018.zip» v:shapes="_x0000_i1432">. Если существует конечный предел интегральной суммы <shape id="_x0000_i1433" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image483.wmz» o:><img width=«17» height=«24» src=«dopb117022.zip» v:shapes="_x0000_i1433">, при <shape id="_x0000_i1434" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image485.wmz» o:><img width=«45» height=«19» src=«dopb117023.zip» v:shapes="_x0000_i1434">, который не зависит ни от способа разбиения отрезка [a;b], ни от выбора точек<shape id="_x0000_i1435" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image462.wmz» o:><img width=«16» height=«24» src=«dopb117014.zip» v:shapes="_x0000_i1435">, то этот предел называется определённым интегралом функции  f(x) на отрезке [a;b] и обозначается символом<shape id="_x0000_i1436" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image487.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1436">, где функция  f(x) называется интегрированной на отрезке [a;b].
То есть, по определению,
<shape id="_x0000_i1437" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image487.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1437">=<shape id="_x0000_i1438" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image489.wmz» o:><img width=«104» height=«45» src=«dopb117025.zip» v:shapes="_x0000_i1438">.
Числа а и bназываются соответственно нижним и верхним пределом интегрирования.
Относительно существования определённого интеграла имеет место такая теорема
Теорема 6.3. Если функция  f(x) ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна на нём везде, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.
2. Если f(x)<shape id="_x0000_i1439" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image491.wmz» o:><img width=«25» height=«19» src=«dopb117007.zip» v:shapes="_x0000_i1439">, то <shape id="_x0000_i1440" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image492.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1440"> равен площади соответствующей криволинейной трапеции: <shape id="_x0000_i1441" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image487.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1441">=S. Если   f(x)<0, то <shape id="_x0000_i1442" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image487.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1442">= -S.
Отсюда следует, что если на симметричном относительно начала координат отрезке [-a; а], а>0 задана нечётная функция, то<shape id="_x0000_i1443" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image493.wmz» o:><img width=«63» height=«51» src=«dopb117026.zip» v:shapes="_x0000_i1443">=0. Например, <shape id="_x0000_i1444" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image495.wmz» o:><img width=«96» height=«49» src=«dopb117027.zip» v:shapes="_x0000_i1444">Если функция f(x) чётная, то <shape id="_x0000_i1445" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image493.wmz» o:><img width=«63» height=«51» src=«dopb117026.zip» v:shapes="_x0000_i1445">=2<shape id="_x0000_i1446" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image497.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117028.zip» v:shapes="_x0000_i1446">.
Свойства определённого интеграла
Будем считать, что все интегралы, которые рассматриваются, существуют.
1. <shape id="_x0000_i1447" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image499.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1447">=<shape id="_x0000_i1448" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image500.wmz» o:><img width=«56» height=«51» src=«dopb117029.zip» v:shapes="_x0000_i1448">. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования.
2. <shape id="_x0000_i1449" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image502.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117030.zip» v:shapes="_x0000_i1449">=0.
3. <shape id="_x0000_i1450" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image504.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1450">= -<shape id="_x0000_i1451" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image505.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117031.zip» v:shapes="_x0000_i1451">.
4. <shape id="_x0000_i1452" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image504.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1452">=<shape id="_x0000_i1453" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image507.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117032.zip» v:shapes="_x0000_i1453">+<shape id="_x0000_i1454" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image509.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117033.zip» v:shapes="_x0000_i1454">.
5. <shape id="_x0000_i1455" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image511.wmz» o:><img width=«69» height=«51» src=«dopb117034.zip» v:shapes="_x0000_i1455">=А<shape id="_x0000_i1456" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image504.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1456">.
6. <shape id="_x0000_i1457" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image513.wmz» o:><img width=«116» height=«51» src=«dopb117035.zip» v:shapes="_x0000_i1457">=<shape id="_x0000_i1458" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image504.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1458"><shape id="_x0000_i1459" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image515.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb116812.zip» v:shapes="_x0000_i1459"><shape id="_x0000_i1460" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image516.wmz» o:><img width=«60» height=«51» src=«dopb117036.zip» v:shapes="_x0000_i1460">.
7. Если на отрезке [a;b] f(x)<shape id="_x0000_i1461" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image518.wmz» o:><img width=«47» height=«21» src=«dopb117037.zip» v:shapes="_x0000_i1461">, то <shape id="_x0000_i1462" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image504.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1462"><shape id="_x0000_i1463" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image520.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb117038.zip» v:shapes="_x0000_i1463"><shape id="_x0000_i1464" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image516.wmz» o:><img width=«60» height=«51» src=«dopb117036.zip» v:shapes="_x0000_i1464">.
8. Если т и М – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции  f(x), на отрезке [a;b], то
т(b-a) <shape id="_x0000_i1465" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image520.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb117038.zip» v:shapes="_x0000_i1465"><shape id="_x0000_i1466" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image504.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1466"><shape id="_x0000_i1467" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image520.wmz» o:><img width=«13» height=«16» src=«dopb117038.zip» v:shapes="_x0000_i1467">M(a-b).
9. (теорема о среднем значении функции).
Если функция  f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то на этом отрезке существует такая точка с, что <shape id="_x0000_i1468" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image504.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1468">=f(с) (b-a).
Число f(с)=<shape id="_x0000_i1469" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image522.wmz» o:><img width=«39» height=«41» src=«dopb117039.zip» v:shapes="_x0000_i1469"> <shape id="_x0000_i1470" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image504.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1470"> называют средним значением функции f(x) на отрезке [a;b].
3. Пусть функция у= f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда она интегрируема на любом отрезке [a;х]<shape id="_x0000_i1471" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image524.wmz» o:><img width=«16» height=«13» src=«dopb117040.zip» v:shapes="_x0000_i1471"> [a;b], то есть для произвольного х<shape id="_x0000_i1472" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image526.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb116798.zip» v:shapes="_x0000_i1472">[a;b] существует интеграл <shape id="_x0000_i1473" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image527.wmz» o:><img width=«56» height=«51» src=«dopb117041.zip» v:shapes="_x0000_i1473">, который, очевидно, является функцией от х. Обозначим эту функцию через Ф(х)
Ф(х)= <shape id="_x0000_i1474" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image527.wmz» o:><img width=«56» height=«51» src=«dopb117041.zip» v:shapes="_x0000_i1474">                                                                  (6.3)
и назовём интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 6.4. Если функция  f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то интеграл (6.3) является дифференцированной функцией на этом отрезке, причём Ф’(х)=f(x).
Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных подынтегральной функции f(x).
Пусть функция у= f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и F(x) – первообразная функцииf(x). Поскольку функция Ф(х) = <shape id="_x0000_i1475" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image527.wmz» o:><img width=«56» height=«51» src=«dopb117041.zip» v:shapes="_x0000_i1475">также является  первообразной функции f(x), а две первообразные одной функции отличаются только постоянным слагаемым, то
Ф(х)=F(x) +С, или <shape id="_x0000_i1476" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image527.wmz» o:><img width=«56» height=«51» src=«dopb117041.zip» v:shapes="_x0000_i1476">=F(x)+С.                                           (6.4)
Считая в (6.4) х=а, получим
<shape id="_x0000_i1477" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image529.wmz» o:><img width=«56» height=«51» src=«dopb117042.zip» v:shapes="_x0000_i1477">=0=F(а)+С<shape id="_x0000_i1478" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image531.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb116883.zip» v:shapes="_x0000_i1478">С=- F(а).
Равенство (6.4) можно записать в виде
<shape id="_x0000_i1479" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image527.wmz» o:><img width=«56» height=«51» src=«dopb117041.zip» v:shapes="_x0000_i1479">=F(x)— F(а).
Заменим х на b иtнаx. Получим формулу
<shape id="_x0000_i1480" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image532.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1480">=F(b)— F(а),
которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Часто её записывают в виде
<shape id="_x0000_i1481" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image533.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1481">=F(x)<shape id="_x0000_i1482" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image534.wmz» o:><img width=«16» height=«48» src=«dopb117043.zip» v:shapes="_x0000_i1482">.
Формула Ньютона-Лейбница даёт удобный способ вычисления определённых интегралов.
Если функция и=и(х), v=v(x) и их производные и’(х), v’(x) непрерывны на отрезке [a;b], то справедлива формула интегрирования по частям
<shape id="_x0000_i1483" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image536.wmz» o:><img width=«37» height=«51» src=«dopb117044.zip» v:shapes="_x0000_i1483">=uv<shape id="_x0000_i1484" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image534.wmz» o:><img width=«16» height=«48» src=«dopb117043.zip» v:shapes="_x0000_i1484">-<shape id="_x0000_i1485" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image538.wmz» o:><img width=«37» height=«51» src=«dopb117045.zip» v:shapes="_x0000_i1485">.
Если функция  f(x) непрерывна на отрезке [a;b], а функция х=<shape id="_x0000_i1486" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image540.wmz» o:><img width=«31» height=«21» src=«dopb117046.zip» v:shapes="_x0000_i1486">и её производная х’=<shape id="_x0000_i1487" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image542.wmz» o:><img width=«35» height=«21» src=«dopb117047.zip» v:shapes="_x0000_i1487"> непрерывны на отрезке [a;b], причём <shape id="_x0000_i1488" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image544.wmz» o:><img width=«63» height=«21» src=«dopb117048.zip» v:shapes="_x0000_i1488">, <shape id="_x0000_i1489" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image546.wmz» o:><img width=«61» height=«21» src=«dopb117049.zip» v:shapes="_x0000_i1489">, то справедлива формула
<shape id="_x0000_i1490" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image533.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1490">=<shape id="_x0000_i1491" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image548.wmz» o:><img width=«107» height=«51» src=«dopb117050.zip» v:shapes="_x0000_i1491">.
Заметим, что, в отличие от неопределённого интеграла, в определённом интеграле нет необходимости делать обратную замену, поскольку появляются новые пределы интегрирования.
При определении определённого интеграла
<shape id="_x0000_i1492" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image533.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1492">
как предела интегральных сумм предусматривалось, что: 1) отрезок интегрирования  [a;b] конечный и 2) подынтегральная функция  f(x) на этом отрезке ограничена. Такой интеграл называется собственным, хотя слово «собственнный», как  правило, опускается.
Если же хотя бы одно из двух приведенных условий нарушается, то интеграл называют несобственным. Различают два вида несобственных интеграла.
1.                Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
(несобственные интегралы Ірода).
Если функция f(x) непрерывна при <shape id="_x0000_i1493" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image550.wmz» o:><img width=«67» height=«17» src=«dopb117051.zip» v:shapes="_x0000_i1493">, то считают
<shape id="_x0000_i1494" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image552.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117052.zip» v:shapes="_x0000_i1494">=<shape id="_x0000_i1495" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image554.wmz» o:><img width=«27» height=«29» src=«dopb117053.zip» v:shapes="_x0000_i1495"><shape id="_x0000_i1496" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image533.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1496">                                                          (6.5)
и в зависимости от существования или не существования конечного предела в правой части формулы (6.5) несобственный интеграл І рода <shape id="_x0000_i1497" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image552.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117052.zip» v:shapes="_x0000_i1497"> называют сходящимся или расходящимся. Аналогично
<shape id="_x0000_i1498" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image556.wmz» o:><img width=«64» height=«49» src=«dopb117054.zip» v:shapes="_x0000_i1498">=<shape id="_x0000_i1499" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image558.wmz» o:><img width=«32» height=«29» src=«dopb117055.zip» v:shapes="_x0000_i1499"><shape id="_x0000_i1500" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image533.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1500">,    <shape id="_x0000_i1501" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image560.wmz» o:><img width=«64» height=«49» src=«dopb117056.zip» v:shapes="_x0000_i1501">=<shape id="_x0000_i1502" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image562.wmz» o:><img width=«32» height=«44» src=«dopb117057.zip» v:shapes="_x0000_i1502"><shape id="_x0000_i1503" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image533.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1503">.
2.                Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы ІІрода).
Если функция f(x) неограничена в любой окрестности точки с<shape id="_x0000_i1504" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image564.wmz» o:><img width=«13» height=«13» src=«dopb116798.zip» v:shapes="_x0000_i1504">(a;b) и непрерывна при <shape id="_x0000_i1505" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image565.wmz» o:><img width=«63» height=«17» src=«dopb117058.zip» v:shapes="_x0000_i1505">, и <shape id="_x0000_i1506" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image567.wmz» o:><img width=«61» height=«19» src=«dopb117059.zip» v:shapes="_x0000_i1506">, то по определению считают
<shape id="_x0000_i1507" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image569.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1507">=<shape id="_x0000_i1508" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image570.wmz» o:><img width=«27» height=«29» src=«dopb117060.zip» v:shapes="_x0000_i1508"><shape id="_x0000_i1509" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image572.wmz» o:><img width=«65» height=«51» src=«dopb117061.zip» v:shapes="_x0000_i1509">+ <shape id="_x0000_i1510" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image574.wmz» o:><img width=«27» height=«29» src=«dopb117062.zip» v:shapes="_x0000_i1510"><shape id="_x0000_i1511" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image576.wmz» o:><img width=«65» height=«51» src=«dopb117063.zip» v:shapes="_x0000_i1511">.                                              (6.6)
Если оба предела в правой части равенства (6.6) существуют и конечны, то несобственный интеграл считают сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Если функция f(x) неограничена только на одном из концов отрезка [a;b], то соответствующие определения несобственного интеграла ІІ рода упрощаются:
<shape id="_x0000_i1512" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image569.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1512">=<imagedata src=«25974.files/image578.wmz» o:><img width=«26» height=«29» src=«dopb117064.zip» v:shapes="_x0000_i1513"><shape id="_x0000_i1514" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image580.wmz» o:><img width=«65» height=«51» src=«dopb117065.zip» v:shapes="_x0000_i1514">,
если функция f(x) неограничена в точке х=а, и
<shape id="_x0000_i1515" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image569.wmz» o:><img width=«61» height=«51» src=«dopb117024.zip» v:shapes="_x0000_i1515">=<imagedata src=«25974.files/image578.wmz» o:><img width=«26» height=«29» src=«dopb117064.zip» v:shapes="_x0000_i1516"><shape id="_x0000_i1517" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image582.wmz» o:><img width=«65» height=«51» src=«dopb117066.zip» v:shapes="_x0000_i1517">,
если функция f(x) неограничена в точке х=b.

Лекция 15.  Тема – Дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения.
План.
1. Основные понятия.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3. Однородные дифференциальные уравнения.
1. Дифференциальнымиуравнениями называют уравнения, которые содержат неизвестную функцию, её производные и аргументы.
Обыкновенным  называется дифференциальное уравнение, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Если неизвестная функция является функцией многих переменных, то соответствующее уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Порядком дифференциальногоуравнения называется наивысший порядок производной, которая входит в это уравнение.
Пример 7.1.
1)  <shape id="_x0000_i1518" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image584.wmz» o:><img width=«124» height=«24» src=«dopb117067.zip» v:shapes="_x0000_i1518"> - обыкновенное дифференциальное уравнениеІ порядка.
2)   <shape id="_x0000_i1519" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image586.wmz» o:><img width=«116» height=«21» src=«dopb117068.zip» v:shapes="_x0000_i1519"> —  обыкновенное дифференциальное уравнениеІІІ порядка.
3)  <shape id="_x0000_i1520" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image588.wmz» o:><img width=«31» height=«44» src=«dopb117069.zip» v:shapes="_x0000_i1520">+<shape id="_x0000_i1521" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image590.wmz» o:><img width=«31» height=«48» src=«dopb117070.zip» v:shapes="_x0000_i1521">=0 — дифференциальное уравнениев частных производных ІІ порядка (уравнение Лапласа).
Далее будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Наиболее общий вид дифференциального уравнения  І порядка такой:
F(x,у,у’)=0.                                                                        (7.1)
Решением этого уравнения на некотором промежутке называется дифференцированная на этом промежутке функция <shape id="_x0000_i1522" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image592.wmz» o:><img width=«60» height=«21» src=«dopb117071.zip» v:shapes="_x0000_i1522">, которая при подстановке её в уравнение превращает его в тождество.
Пример 7.2.  Решить уравнение <shape id="_x0000_i1523" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image594.wmz» o:><img width=«41» height=«21» src=«dopb117072.zip» v:shapes="_x0000_i1523">.
Решение.
<img width=«170» height=«114» src=«dopb117073.zip» v:shapes="_x0000_s1035">      <shape id="_x0000_i1524" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image597.wmz» o:><img width=«24» height=«41» src=«dopb117074.zip» v:shapes="_x0000_i1524">= у,     <shape id="_x0000_i1525" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image599.wmz» o:><img width=«33» height=«44» src=«dopb117075.zip» v:shapes="_x0000_i1525">=<shape id="_x0000_i1526" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image601.wmz» o:><img width=«29» height=«29» src=«dopb117076.zip» v:shapes="_x0000_i1526">,      ln<shape id="_x0000_i1527" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image603.wmz» o:><img width=«19» height=«27» src=«dopb117077.zip» v:shapes="_x0000_i1527"> = x+ln<shape id="_x0000_i1528" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image605.wmz» o:><img width=«21» height=«27» src=«dopb117078.zip» v:shapes="_x0000_i1528">,     у=Сех.
      Получили множество решений.
<img width=«194» height=«86» src=«dopb117079.zip» v:shapes="_x0000_s1036"><img width=«12» height=«171» src=«dopb117080.zip» v:shapes="_x0000_s1037">                                                                        у
                                                                                С=2          
                                                                                           С=1
                                                              2
<img width=«243» height=«12» src=«dopb117081.zip» v:shapes="_x0000_s1038">                                                              1                  С=0
<img width=«194» height=«72» src=«dopb117082.zip» v:shapes="_x0000_s1039"><img width=«158» height=«100» src=«dopb117083.zip» v:shapes="_x0000_s1040">                                                              0 
                                                             -1             С= -1
                                                             -2
                                                                 
                                                                 С=-2
Функция <shape id="_x0000_i1529" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image612.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb117084.zip» v:shapes="_x0000_i1529">, где С – произвольная постоянная, называется общим решением уравнения (7.1) в области D, если:
1)                функция <shape id="_x0000_i1530" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image612.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb117084.zip» v:shapes="_x0000_i1530">является решениемуравнения (7.1) для всех значений переменной С из некоторого множества;
2)                для произвольной точки (<shape id="_x0000_i1531" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image614.wmz» o:><img width=«40» height=«24» src=«dopb117085.zip» v:shapes="_x0000_i1531">) <shape id="_x0000_i1532" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image616.wmz» o:><img width=«29» height=«17» src=«dopb117086.zip» v:shapes="_x0000_i1532">существует единственное значение С=С0, при котором функция <shape id="_x0000_i1533" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image618.wmz» o:><img width=«84» height=«24» src=«dopb117087.zip» v:shapes="_x0000_i1533">удовлетворяет начальному условию<shape id="_x0000_i1534" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image620.wmz» o:><img width=«96» height=«24» src=«dopb117088.zip» v:shapes="_x0000_i1534">
Решение <shape id="_x0000_i1535" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image622.wmz» o:><img width=«84» height=«24» src=«dopb117087.zip» v:shapes="_x0000_i1535">, полученное из общего решения при С=С0, называется частным решением уравнения (7.1).
С геометрической точки зрения решение <shape id="_x0000_i1536" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image612.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb117084.zip» v:shapes="_x0000_i1536">определяет некоторое бесконечное множество кривых, которые называются интегральными кривыми данного уравнения. Частное решение определяет только одну интегральную кривую, которая проходит через точку с координатами (<shape id="_x0000_i1537" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image614.wmz» o:><img width=«40» height=«24» src=«dopb117085.zip» v:shapes="_x0000_i1537">).
Если общее решение уравнения (7.1) найдено в неявном виде Ф(х,у,С)=0, то такое решение называют общим интегралом дифференциального уравнения; равенство Ф(х,у,С0)=0 называют частным интегралом дифференциального уравнения.
    продолжение
--PAGE_BREAK--Значит, для уравнения (7.1) можно поставить две задачи:
1)                найти общее решение <shape id="_x0000_i1538" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image612.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb117084.zip» v:shapes="_x0000_i1538">уравнения (7.1);
2)                найти частное решение <shape id="_x0000_i1539" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image612.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb117084.zip» v:shapes="_x0000_i1539">уравнения (7.1), которое удовлетворяет начальному условию <shape id="_x0000_i1540" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image623.wmz» o:><img width=«72» height=«24» src=«dopb117089.zip» v:shapes="_x0000_i1540">.
Вторая задача называется задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравненияІ порядка.
Пример 7.3. Решить задачу Коши
<shape id="_x0000_i1541" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image594.wmz» o:><img width=«41» height=«21» src=«dopb117072.zip» v:shapes="_x0000_i1541">,    у(0)=2.
Решение. Сначала ищем общее решение дифференциального уравнения: у=Сех.
Из начального условия имеем: 2= Се0 <shape id="_x0000_i1542" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image625.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb116883.zip» v:shapes="_x0000_i1542"> <shape id="_x0000_i1543" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image626.wmz» o:><img width=«41» height=«19» src=«dopb117090.zip» v:shapes="_x0000_i1543">.
Решением задачи Коши является такая функция: у=2ех.
Если уравнение (7.1) можно решить относительно у’, то его записывают в виде
<shape id="_x0000_i1544" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image628.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb117091.zip» v:shapes="_x0000_i1544">
и называют уравнением первого порядка, решенным относительно производной, или уравнением в нормальной форме.
Теорема 7.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если функция <shape id="_x0000_i1545" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image630.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb117092.zip» v:shapes="_x0000_i1545"> непрерывна в некоторой области D, которая содержит точку М<shape id="_x0000_i1546" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image632.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb116800.zip» v:shapes="_x0000_i1546">(<shape id="_x0000_i1547" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image614.wmz» o:><img width=«40» height=«24» src=«dopb117085.zip» v:shapes="_x0000_i1547">), то задача Коши
<shape id="_x0000_i1548" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image628.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb117091.zip» v:shapes="_x0000_i1548">,      <shape id="_x0000_i1549" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image623.wmz» o:><img width=«72» height=«24» src=«dopb117089.zip» v:shapes="_x0000_i1549">
имеет решение. Если, кроме этого, в точке М<shape id="_x0000_i1550" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image632.wmz» o:><img width=«9» height=«24» src=«dopb116800.zip» v:shapes="_x0000_i1550"> непрерывна частная производная <shape id="_x0000_i1551" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image633.wmz» o:><img width=«24» height=«44» src=«dopb116844.zip» v:shapes="_x0000_i1551">, то это решение единственное.
Процесс нахождения решений дифференциальных уравнений называется интегрированием этих уравнений. Если этот процесс сводится к алгебраическим операциям и вычислению конечного числа интегралов и производных, то говорят, что уравнение интегрируется в квадратурах. Однако класс таких уравнений очень ограничен. Поэтому для решения дифференциальных уравнений широко применяют разные приближённые методы интегрирования дифференциальных уравнений с использованием вычислительной техники.
Рассмотрим некоторые типы уравнений, интегрируемых в квадратурах.
2.    Дифференциальное уравнение вида
<shape id="_x0000_i1552" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image634.wmz» o:><img width=«115» height=«21» src=«dopb117093.zip» v:shapes="_x0000_i1552">
называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными.
Чтобы найти его общее решение, достаточно проинтегрировать обе его части.
<shape id="_x0000_i1553" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image636.wmz» o:><img width=«144» height=«29» src=«dopb117094.zip» v:shapes="_x0000_i1553">.
Дифференциальное уравнение вида
<shape id="_x0000_i1554" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image638.wmz» o:><img width=«220» height=«23» src=«dopb117095.zip» v:shapes="_x0000_i1554">
называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.
Чтобы найти его общее решение, надо сначала отделить переменные
<shape id="_x0000_i1555" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image640.wmz» o:><img width=«151» height=«47» src=«dopb117096.zip» v:shapes="_x0000_i1555">
а затем проинтегрировать
<imagedata src=«25974.files/image642.wmz» o:><img width=«184» height=«47» src=«dopb117097.zip» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1041">
Пример 7.4. Найти общее решение уравнения
<shape id="_x0000_i1558" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image644.wmz» o:><img width=«77» height=«21» src=«dopb117098.zip» v:shapes="_x0000_i1558">
Решение. Сначала отделим переменные
<shape id="_x0000_i1559" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image646.wmz» o:><img width=«88» height=«41» src=«dopb117099.zip» v:shapes="_x0000_i1559">        <shape id="_x0000_i1560" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image648.wmz» o:><img width=«76» height=«44» src=«dopb117100.zip» v:shapes="_x0000_i1560">,   
а затем проинтегрируем
<shape id="_x0000_i1561" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image650.wmz» o:><img width=«112» height=«44» src=«dopb117101.zip» v:shapes="_x0000_i1561">,          <shape id="_x0000_i1562" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image652.wmz» o:><img width=«132» height=«27» src=«dopb117102.zip» v:shapes="_x0000_i1562">,        у=Сlnx.
3.    Функция <shape id="_x0000_i1563" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image654.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb117092.zip» v:shapes="_x0000_i1563"> называется однородной функцией п-го измерения относительно переменных х и у, если для произвольного числа <shape id="_x0000_i1564" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image655.wmz» o:><img width=«35» height=«19» src=«dopb117103.zip» v:shapes="_x0000_i1564"> выполняется тождество
<shape id="_x0000_i1565" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image657.wmz» o:><img width=«135» height=«24» src=«dopb117104.zip» v:shapes="_x0000_i1565">
Пример 7.5.
1) <shape id="_x0000_i1566" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image654.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb117092.zip» v:shapes="_x0000_i1566">=<shape id="_x0000_i1567" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image659.wmz» o:><img width=«57» height=«24» src=«dopb117105.zip» v:shapes="_x0000_i1567">,     <shape id="_x0000_i1568" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image661.wmz» o:><img width=«330» height=«24» src=«dopb117106.zip» v:shapes="_x0000_i1568">
<shape id="_x0000_i1569" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image654.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb117092.zip» v:shapes="_x0000_i1569"> — однородная функция третьего измерения.
2) <shape id="_x0000_i1570" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image654.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb117092.zip» v:shapes="_x0000_i1570">=<shape id="_x0000_i1571" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image663.wmz» o:><img width=«56» height=«45» src=«dopb117107.zip» v:shapes="_x0000_i1571"> — однородная функция нулевого измерения.
Уравнение y’=<shape id="_x0000_i1572" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image654.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb117092.zip» v:shapes="_x0000_i1572">называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функция <shape id="_x0000_i1573" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image654.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb117092.zip» v:shapes="_x0000_i1573">является однородной  функцией нулевого измерения, то есть, если
<shape id="_x0000_i1574" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image665.wmz» o:><img width=«123» height=«21» src=«dopb117108.zip» v:shapes="_x0000_i1574">                                                               (7.2)
Очевидно, уравнение вида
<shape id="_x0000_i1575" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image667.wmz» o:><img width=«168» height=«21» src=«dopb117109.zip» v:shapes="_x0000_i1575">
будет однородным тогда и только тогда, когда функции Р(х,у) и Q(х,у), будут однородными функциями одного и того же измерения. Например, уравнение
<shape id="_x0000_i1576" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image669.wmz» o:><img width=«151» height=«24» src=«dopb117110.zip» v:shapes="_x0000_i1576">
однородное. Считая, в соотношении (7.2) <shape id="_x0000_i1577" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image671.wmz» o:><img width=«37» height=«41» src=«dopb117111.zip» v:shapes="_x0000_i1577">, получим
<shape id="_x0000_i1578" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image673.wmz» o:><img width=«168» height=«45» src=«dopb117112.zip» v:shapes="_x0000_i1578">
Поэтому можно дать ещё одно определение однородного уравнения:однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
<shape id="_x0000_i1579" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image675.wmz» o:><img width=«71» height=«45» src=«dopb117113.zip» v:shapes="_x0000_i1579">                                                                      (7.3)
Применим в уравнении (7.3) подстановку
<shape id="_x0000_i1580" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image677.wmz» o:><img width=«47» height=«17» src=«dopb117114.zip» v:shapes="_x0000_i1580">,           <shape id="_x0000_i1581" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image679.wmz» o:><img width=«76» height=«21» src=«dopb117115.zip» v:shapes="_x0000_i1581">,                 <shape id="_x0000_i1582" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image681.wmz» o:><img width=«60» height=«45» src=«dopb117116.zip» v:shapes="_x0000_i1582">
Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными
<shape id="_x0000_i1583" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image683.wmz» o:><img width=«96» height=«21» src=«dopb117117.zip» v:shapes="_x0000_i1583">,
которое всегда интегрируется в квадратурах:
<shape id="_x0000_i1584" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image685.wmz» o:><img width=«111» height=«41» src=«dopb117118.zip» v:shapes="_x0000_i1584">,
<shape id="_x0000_i1585" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image687.wmz» o:><img width=«115» height=«44» src=«dopb117119.zip» v:shapes="_x0000_i1585">.
После интегрирования надо сделать обратную замену, то есть вместо и нужно подставить <shape id="_x0000_i1586" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image689.wmz» o:><img width=«21» height=«41» src=«dopb117120.zip» v:shapes="_x0000_i1586">
Вывод. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка всегда сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой <shape id="_x0000_i1587" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image677.wmz» o:><img width=«47» height=«17» src=«dopb117114.zip» v:shapes="_x0000_i1587">,<shape id="_x0000_i1588" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image691.wmz» o:><img width=«76» height=«21» src=«dopb117115.zip» v:shapes="_x0000_i1588">.
Пример 7.6. Найти общее решение уравнения
<shape id="_x0000_i1589" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image692.wmz» o:><img width=«96» height=«41» src=«dopb117121.zip» v:shapes="_x0000_i1589">
Решение. Применим подстановку <shape id="_x0000_i1590" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image677.wmz» o:><img width=«47» height=«17» src=«dopb117114.zip» v:shapes="_x0000_i1590">,<shape id="_x0000_i1591" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image691.wmz» o:><img width=«76» height=«21» src=«dopb117115.zip» v:shapes="_x0000_i1591">. Тогда получим
<shape id="_x0000_i1592" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image694.wmz» o:><img width=«119» height=«19» src=«dopb117122.zip» v:shapes="_x0000_i1592">,
<shape id="_x0000_i1593" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image696.wmz» o:><img width=«91» height=«41» src=«dopb117123.zip» v:shapes="_x0000_i1593">,         <shape id="_x0000_i1594" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image698.wmz» o:><img width=«136» height=«45» src=«dopb117124.zip» v:shapes="_x0000_i1594">,
<shape id="_x0000_i1595" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image700.wmz» o:><img width=«65» height=«41» src=«dopb117125.zip» v:shapes="_x0000_i1595">,     <shape id="_x0000_i1596" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image702.wmz» o:><img width=«91» height=«21» src=«dopb117126.zip» v:shapes="_x0000_i1596">,      <shape id="_x0000_i1597" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image704.wmz» o:><img width=«99» height=«21» src=«dopb117127.zip» v:shapes="_x0000_i1597">.
Пример 7.7. Решить задачу Коши
<shape id="_x0000_i1598" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image706.wmz» o:><img width=«151» height=«24» src=«dopb117128.zip» v:shapes="_x0000_i1598">,         у(1)=2.
Решение. Поскольку обе функции
<shape id="_x0000_i1599" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image708.wmz» o:><img width=«119» height=«24» src=«dopb117129.zip» v:shapes="_x0000_i1599">       <shape id="_x0000_i1600" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image710.wmz» o:><img width=«92» height=«24» src=«dopb117130.zip» v:shapes="_x0000_i1600">
однородные измерения два, то данное уравнение однородное. Запишем его в виде
<shape id="_x0000_i1601" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image712.wmz» o:><img width=«112» height=«44» src=«dopb117131.zip» v:shapes="_x0000_i1601">
и применим подстановку <shape id="_x0000_i1602" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image677.wmz» o:><img width=«47» height=«17» src=«dopb117114.zip» v:shapes="_x0000_i1602">,<shape id="_x0000_i1603" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image691.wmz» o:><img width=«76» height=«21» src=«dopb117115.zip» v:shapes="_x0000_i1603">. Тогда получим
<shape id="_x0000_i1604" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image714.wmz» o:><img width=«104» height=«21» src=«dopb117132.zip» v:shapes="_x0000_i1604">,    <shape id="_x0000_i1605" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image716.wmz» o:><img width=«88» height=«41» src=«dopb117133.zip» v:shapes="_x0000_i1605">
<shape id="_x0000_i1606" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image718.wmz» o:><img width=«91» height=«41» src=«dopb117134.zip» v:shapes="_x0000_i1606">,        <shape id="_x0000_i1607" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image720.wmz» o:><img width=«84» height=«41» src=«dopb117135.zip» v:shapes="_x0000_i1607">,     <shape id="_x0000_i1608" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image722.wmz» o:><img width=«87» height=«44» src=«dopb117136.zip» v:shapes="_x0000_i1608">.
Из начального условия найдём постоянную интегрирования:
<shape id="_x0000_i1609" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image724.wmz» o:><img width=«148» height=«41» src=«dopb117137.zip» v:shapes="_x0000_i1609">
Подставив найденное значение С в общее решение, получим решение задачи Коши:
<shape id="_x0000_i1610" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image726.wmz» o:><img width=«92» height=«41» src=«dopb117138.zip» v:shapes="_x0000_i1610">

Лекция 16.  Тема – Уравнения Бернулли. Комплексные числа. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
План.
1.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли.
2. Комплексные числа.
3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
1. Линейным дифференциальным  уравнением первого порядка называется уравнение вида
<shape id="_x0000_i1611" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image728.wmz» o:><img width=«116» height=«21» src=«dopb117139.zip» v:shapes="_x0000_i1611">                                                              (7.4)
где  <shape id="_x0000_i1612" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image730.wmz» o:><img width=«72» height=«21» src=«dopb117140.zip» v:shapes="_x0000_i1612"> — известные функции переменной х.
Термин «линейное уравнение» поясняется тем, что неизвестная функция у и её производная у’ входят в уравнение в первой степени, то есть линейно.
Линейное дифференциальное  уравнение первого порядка всегда интегрируемо в квадратурах, поскольку его можно всегда свести к двум уравнениям с разделяющимися переменными таким образом (методом Бернулли).
Будем искать решение уравнения (7.4) в виде произведения
<shape id="_x0000_i1613" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image732.wmz» o:><img width=«49» height=«17» src=«dopb117141.zip» v:shapes="_x0000_i1613">                                                                          (7.5)
где <shape id="_x0000_i1614" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image734.wmz» o:><img width=«27» height=«17» src=«dopb117142.zip» v:shapes="_x0000_i1614"> — неизвестные функции х. Находя производную
<shape id="_x0000_i1615" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image736.wmz» o:><img width=«84» height=«21» src=«dopb117143.zip» v:shapes="_x0000_i1615">
и подставляя значение у и у’ в уравнение (7.5), получим
<shape id="_x0000_i1616" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image738.wmz» o:><img width=«168» height=«21» src=«dopb117144.zip» v:shapes="_x0000_i1616">                                                          (7.6)
Выберем функцию <shape id="_x0000_i1617" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image740.wmz» o:><img width=«12» height=«15» src=«dopb117145.zip» v:shapes="_x0000_i1617"> так, чтобы выражение в скобках равнялось нулю. Для этого надо решить уравнение с разделяющимися переменными.
<shape id="_x0000_i1618" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image742.wmz» o:><img width=«88» height=«21» src=«dopb117146.zip» v:shapes="_x0000_i1618">
Решая его, находим
<shape id="_x0000_i1619" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image744.wmz» o:><img width=«116» height=«41» src=«dopb117147.zip» v:shapes="_x0000_i1619">
<shape id="_x0000_i1620" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image746.wmz» o:><img width=«79» height=«28» src=«dopb117148.zip» v:shapes="_x0000_i1620">.                                                                     (7.7)
Постоянную интегрирования в выражении (7.7) не пишем, поскольку нам достаточно найти только какую-нибудь одну функцию <shape id="_x0000_i1621" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image740.wmz» o:><img width=«12» height=«15» src=«dopb117145.zip» v:shapes="_x0000_i1621">, которая преобразовывает в ноль выражение в скобках в уравнении (7.6).
Подставляя (7.7) в (7.6), получим
<shape id="_x0000_i1622" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image748.wmz» o:><img width=«136» height=«41» src=«dopb117149.zip» v:shapes="_x0000_i1622">
<shape id="_x0000_i1623" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image750.wmz» o:><img width=«160» height=«35» src=«dopb117150.zip» v:shapes="_x0000_i1623">                                                          (7.8)
Подставляя (7.7) и (7.8) в (7.5), найдём общее решение уравнения (7.4):
<shape id="_x0000_i1624" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image752.wmz» o:><img width=«223» height=«35» src=«dopb117151.zip» v:shapes="_x0000_i1624">                                                   (7.9)
Замечание. На практике помнить формулу (7.9) не обязательно: достаточно лишь помнить, что линейные дифференциальные  уравнения первого порядка, а также уравнения Бернулли, решаются методом Бернулли с помощью подстановки <shape id="_x0000_i1625" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image754.wmz» o:><img width=«47» height=«17» src=«dopb117152.zip» v:shapes="_x0000_i1625">.
Уравнением Бернулли называется уравнение вида
<shape id="_x0000_i1626" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image756.wmz» o:><img width=«132» height=«24» src=«dopb117153.zip» v:shapes="_x0000_i1626">
где  <shape id="_x0000_i1627" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image758.wmz» o:><img width=«69» height=«21» src=«dopb117154.zip» v:shapes="_x0000_i1627"> — известные функции х, <shape id="_x0000_i1628" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image760.wmz» o:><img width=«80» height=«21» src=«dopb117155.zip» v:shapes="_x0000_i1628">.
2.    Комплексным числом называется выражение
<shape id="_x0000_i1629" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image762.wmz» o:><img width=«65» height=«20» src=«dopb117156.zip» v:shapes="_x0000_i1629">,                                                                      (7.10)
где х,у – действительные числа, а символ i– мнимая единица, которая определяется условием <shape id="_x0000_i1630" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image764.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb117157.zip» v:shapes="_x0000_i1630">. При этом число х называется действительной частью комплексного числа z и обозначается <shape id="_x0000_i1631" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image766.wmz» o:><img width=«57» height=«19» src=«dopb117158.zip» v:shapes="_x0000_i1631">, а у – мнимой частью z и обозначается <shape id="_x0000_i1632" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image768.wmz» o:><img width=«29» height=«19» src=«dopb117159.zip» v:shapes="_x0000_i1632">(от французских слов: reel– действительный, imaginare– мнимый). Выражение (7.10) называется алгебраической формой комплексного числа.
Два комплексных числа <shape id="_x0000_i1633" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image770.wmz» o:><img width=«65» height=«20» src=«dopb117156.zip» v:shapes="_x0000_i1633">и <shape id="_x0000_i1634" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image771.wmz» o:><img width=«64» height=«32» src=«dopb117160.zip» v:shapes="_x0000_i1634">, которые отличаются только знаком мнимой части, называются сопряжёнными.
Два комплексных числа <shape id="_x0000_i1635" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image773.wmz» o:><img width=«79» height=«23» src=«dopb117161.zip» v:shapes="_x0000_i1635">и <shape id="_x0000_i1636" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image775.wmz» o:><img width=«84» height=«23» src=«dopb117162.zip» v:shapes="_x0000_i1636">считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
<shape id="_x0000_i1637" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image777.wmz» o:><img width=«191» height=«23» src=«dopb117163.zip» v:shapes="_x0000_i1637">     <shape id="_x0000_i1638" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image779.wmz» o:><img width=«148» height=«21» src=«dopb117164.zip» v:shapes="_x0000_i1638">
Комплексные числа можно изображать на плоскости. Так число (7.10) изображается в прямоугольной системе координат точкой М(х;у). Такая плоскость называется комплексной плоскостью переменной z, ось Ох называется действительной,         у  
а ось Оу – мнимой.
При у=0 комплексное число <shape id="_x0000_i1639" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image781.wmz» o:><img width=«75» height=«19» src=«dopb117165.zip» v:shapes="_x0000_i1639">является одновременно  
 у <shape id="_x0000_i1640" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image783.wmz» o:><img width=«12» height=«12» src=«dopb117166.zip» v:shapes="_x0000_i1640"> М(х;у) 
действительным числом. Поэтому действительные числа являются               <shape id="_x0000_i1641" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image785.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb116799.zip» v:shapes="_x0000_i1641"><shape id="_x0000_i1642" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image786.wmz» o:><img width=«8» height=«20» src=«dopb117167.zip» v:shapes="_x0000_i1642">
отдельным случаем комплексных, они изображаются на оси Ох.                      <shape id="_x0000_i1643" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image786.wmz» o:><img width=«8» height=«20» src=«dopb117167.zip» v:shapes="_x0000_i1643"> 
<img width=«2» height=«14» src=«dopb117168.zip» v:shapes="_x0000_s1042">Комплексные числа  <shape id="_x0000_i1644" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image789.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb117169.zip» v:shapes="_x0000_i1644">, в которых х=0, называются чисто                <shape id="_x0000_i1645" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image791.wmz» o:><img width=«15» height=«17» src=«dopb117170.zip» v:shapes="_x0000_i1645">       <shape id="_x0000_i1646" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image786.wmz» o:><img width=«8» height=«20» src=«dopb117167.zip» v:shapes="_x0000_i1646">  
мнимыми;  такие числа изображаются на оси Оу.                           
        0 х              х 
Полярные координаты точки М(х;у) на комплексной плоскости называются модулем и аргументом комплексного числа и обозначаются
<shape id="_x0000_i1647" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image793.wmz» o:><img width=«227» height=«31» src=«dopb117171.zip» v:shapes="_x0000_i1647">
Поскольку <shape id="_x0000_i1648" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image795.wmz» o:><img width=«156» height=«21» src=«dopb117172.zip» v:shapes="_x0000_i1648">, то по формуле (7.10) имеем
<shape id="_x0000_i1649" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image797.wmz» o:><img width=«136» height=«21» src=«dopb117173.zip» v:shapes="_x0000_i1649">.
Это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа z.
Модуль комплексного числа определяется однозначно, а аргумент – с точностью до 2<shape id="_x0000_i1650" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image799.wmz» o:><img width=«21» height=«19» src=«dopb117174.zip» v:shapes="_x0000_i1650">:
<shape id="_x0000_i1651" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image801.wmz» o:><img width=«259» height=«21» src=«dopb117175.zip» v:shapes="_x0000_i1651">.
Здесь <shape id="_x0000_i1652" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image803.wmz» o:><img width=«44» height=«21» src=«dopb117176.zip» v:shapes="_x0000_i1652"> — общее значение аргумента, а <shape id="_x0000_i1653" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image805.wmz» o:><img width=«39» height=«17» src=«dopb117177.zip» v:shapes="_x0000_i1653"> — главное значение аргумента, которое находится на промежутке [0;<shape id="_x0000_i1654" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image807.wmz» o:><img width=«21» height=«21» src=«dopb117178.zip» v:shapes="_x0000_i1654"> и отсчитывается от оси Ох против часовой стрелки.
Если  <shape id="_x0000_i1655" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image809.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb117179.zip» v:shapes="_x0000_i1655">, то считают, что <shape id="_x0000_i1656" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image811.wmz» o:><img width=«45» height=«27» src=«dopb117180.zip» v:shapes="_x0000_i1656">а <shape id="_x0000_i1657" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image805.wmz» o:><img width=«39» height=«17» src=«dopb117177.zip» v:shapes="_x0000_i1657"> — неопределён.
Арифметические действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме, выполняются по обычным правилам действий над двучленами с учётом того, что <shape id="_x0000_i1658" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image764.wmz» o:><img width=«51» height=«21» src=«dopb117157.zip» v:shapes="_x0000_i1658">. Так, если
 <shape id="_x0000_i1659" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image773.wmz» o:><img width=«79» height=«23» src=«dopb117161.zip» v:shapes="_x0000_i1659">, <shape id="_x0000_i1660" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image775.wmz» o:><img width=«84» height=«23» src=«dopb117162.zip» v:shapes="_x0000_i1660">, то
         1) <shape id="_x0000_i1661" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image813.wmz» o:><img width=«203» height=«23» src=«dopb117181.zip» v:shapes="_x0000_i1661">
         2) <shape id="_x0000_i1662" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image815.wmz» o:><img width=«199» height=«23» src=«dopb117182.zip» v:shapes="_x0000_i1662">
         3) <shape id="_x0000_i1663" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image817.wmz» o:><img width=«252» height=«23» src=«dopb117183.zip» v:shapes="_x0000_i1663">
         4) <shape id="_x0000_i1664" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image819.wmz» o:><img width=«263» height=«64» src=«dopb117184.zip» v:shapes="_x0000_i1664">.
Рассмотрим действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Пусть
<shape id="_x0000_i1665" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image821.wmz» o:><img width=«156» height=«23» src=«dopb117185.zip» v:shapes="_x0000_i1665">,           <shape id="_x0000_i1666" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image823.wmz» o:><img width=«164» height=«23» src=«dopb117186.zip» v:shapes="_x0000_i1666">.
Тогда
<shape id="_x0000_i1667" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image825.wmz» o:><img width=«308» height=«23» src=«dopb117187.zip» v:shapes="_x0000_i1667">=<shape id="_x0000_i1668" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image827.wmz» o:><img width=«455» height=«23» src=«dopb117188.zip» v:shapes="_x0000_i1668">
<shape id="_x0000_i1669" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image829.wmz» o:><img width=«240» height=«23» src=«dopb117189.zip» v:shapes="_x0000_i1669">
Значит, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на произвольное конечное число множителей. В частности,
<shape id="_x0000_i1670" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image831.wmz» o:><img width=«310» height=«24» src=«dopb117190.zip» v:shapes="_x0000_i1670">.
Последняя формула называется формулой Муавра.
При делении комплексных чисел имеем
<shape id="_x0000_i1671" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image833.wmz» o:><img width=«247» height=«47» src=«dopb117191.zip» v:shapes="_x0000_i1671">.
Рассмотрим извлечение корня из комплексного числа. Если для данного комплексного числа <shape id="_x0000_i1672" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image797.wmz» o:><img width=«136» height=«21» src=«dopb117173.zip» v:shapes="_x0000_i1672"> надо найти корень п-й степени <shape id="_x0000_i1673" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image835.wmz» o:><img width=«175» height=«25» src=«dopb117192.zip» v:shapes="_x0000_i1673">, то по определению корня и формуле Муавра имеем
<shape id="_x0000_i1674" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image837.wmz» o:><img width=«25» height=«13» src=«dopb117193.zip» v:shapes="_x0000_i1674"><shape id="_x0000_i1675" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image839.wmz» o:><img width=«176» height=«24» src=«dopb117194.zip» v:shapes="_x0000_i1675"><shape id="_x0000_i1676" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image841.wmz» o:><img width=«124» height=«21» src=«dopb117195.zip» v:shapes="_x0000_i1676">.
Отсюда
<shape id="_x0000_i1677" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image843.wmz» o:><img width=«48» height=«24» src=«dopb117196.zip» v:shapes="_x0000_i1677">,     <shape id="_x0000_i1678" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image845.wmz» o:><img width=«208» height=«21» src=«dopb117197.zip» v:shapes="_x0000_i1678"> .
Поскольку r и <shape id="_x0000_i1679" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image847.wmz» o:><img width=«16» height=«17» src=«dopb116799.zip» v:shapes="_x0000_i1679"> положительные, то <shape id="_x0000_i1680" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image848.wmz» o:><img width=«52» height=«27» src=«dopb117198.zip» v:shapes="_x0000_i1680">, где под корнем понимают его арифметическое значение. Поэтому
<shape id="_x0000_i1681" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image850.wmz» o:><img width=«383» height=«41» src=«dopb117199.zip» v:shapes="_x0000_i1681">.
Давая k значения 0,1,2,…, п -1, получим п разных значений корня. Для других значений k аргументы будут отличаться от найденных на число, кратное 2<shape id="_x0000_i1682" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image852.wmz» o:><img width=«15» height=«15» src=«dopb117200.zip» v:shapes="_x0000_i1682">, поэтому значения корня будут совпадать с уже найденными.
Известно, что показательную функцию с мнимым показателем можно выразить через тригонометрические функции по формуле Эйлера <shape id="_x0000_i1683" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image854.wmz» o:><img width=«127» height=«24» src=«dopb117201.zip» v:shapes="_x0000_i1683">. Отсюда следует, что всякое комплексное число можно записать в форме <shape id="_x0000_i1684" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image856.wmz» o:><img width=«56» height=«24» src=«dopb117202.zip» v:shapes="_x0000_i1684">, которая называется показательной формой комплексного числа z.
3.    Уравнение вида
<shape id="_x0000_i1685" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image858.wmz» o:><img width=«104» height=«21» src=«dopb117203.zip» v:shapes="_x0000_i1685">                                                                (7.11)
где р, q – постоянные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения сначала надо составить характеристическое уравнение
<shape id="_x0000_i1686" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image860.wmz» o:><img width=«108» height=«24» src=«dopb117204.zip» v:shapes="_x0000_i1686">                                                                (7.12)
В зависимости от корней <shape id="_x0000_i1687" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image862.wmz» o:><img width=«43» height=«23» src=«dopb117205.zip» v:shapes="_x0000_i1687"> уравнения (7.12) общее решение уравнения (7.11) приобретает один из таких видов:
1) <shape id="_x0000_i1688" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image864.wmz» o:><img width=«124» height=«24» src=«dopb117206.zip» v:shapes="_x0000_i1688">, если <shape id="_x0000_i1689" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image862.wmz» o:><img width=«43» height=«23» src=«dopb117205.zip» v:shapes="_x0000_i1689">действительные и <shape id="_x0000_i1690" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image866.wmz» o:><img width=«48» height=«23» src=«dopb117207.zip» v:shapes="_x0000_i1690">;
2) <shape id="_x0000_i1691" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image868.wmz» o:><img width=«119» height=«24» src=«dopb117208.zip» v:shapes="_x0000_i1691">, если <shape id="_x0000_i1692" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image862.wmz» o:><img width=«43» height=«23» src=«dopb117205.zip» v:shapes="_x0000_i1692">действительные и <shape id="_x0000_i1693" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image870.wmz» o:><img width=«76» height=«23» src=«dopb117209.zip» v:shapes="_x0000_i1693">;
3) <shape id="_x0000_i1694" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image872.wmz» o:><img width=«195» height=«24» src=«dopb117210.zip» v:shapes="_x0000_i1694">, если <shape id="_x0000_i1695" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image874.wmz» o:><img width=«76» height=«23» src=«dopb117211.zip» v:shapes="_x0000_i1695">,    <shape id="_x0000_i1696" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image876.wmz» o:><img width=«79» height=«23» src=«dopb117212.zip» v:shapes="_x0000_i1696"> (<shape id="_x0000_i1697" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image878.wmz» o:><img width=«41» height=«21» src=«dopb117213.zip» v:shapes="_x0000_i1697">).
Пример 7.8. Решить уравнение
<shape id="_x0000_i1698" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image880.wmz» o:><img width=«104» height=«21» src=«dopb117214.zip» v:shapes="_x0000_i1698">                                                               (7.13)
Решение. Сначала составим и решим соответствующее характеристическое уравнение:
<shape id="_x0000_i1699" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image882.wmz» o:><img width=«104» height=«24» src=«dopb117215.zip» v:shapes="_x0000_i1699">   D= 32 — 4*5= -11,    <shape id="_x0000_i1700" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image884.wmz» o:><img width=«87» height=«23» src=«dopb117216.zip» v:shapes="_x0000_i1700">
Характеристическое уравнение имеет два сопряжённых корня:
<shape id="_x0000_i1701" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image886.wmz» o:><img width=«108» height=«45» src=«dopb117217.zip» v:shapes="_x0000_i1701">.
Поэтому общее решение уравнения (7.13) будет таким:
<shape id="_x0000_i1702" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image888.wmz» o:><img width=«243» height=«45» src=«dopb117218.zip» v:shapes="_x0000_i1702">.

Лекция 17.  Тема – Ряды. Числовые ряды. Признаки сходимости. Степенные ряды. 
План.
1. Основные понятия. Необходимое условие сходимости ряда.
2. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Признак Лейбница.
3. Степенные ряды. Теорема Абеля. Ряды Тейлора и Маклорена.
1.    Пусть задана последовательность чисел:
<shape id="_x0000_i1703" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image890.wmz» o:><img width=«96» height=«24» src=«dopb117219.zip» v:shapes="_x0000_i1703">
Выражение
<shape id="_x0000_i1704" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image892.wmz» o:><img width=«183» height=«45» src=«dopb117220.zip» v:shapes="_x0000_i1704">
называется числовым рядом; числа <shape id="_x0000_i1705" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image894.wmz» o:><img width=«55» height=«23» src=«dopb117221.zip» v:shapes="_x0000_i1705"> называются членами ряда; число <shape id="_x0000_i1706" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image896.wmz» o:><img width=«19» height=«24» src=«dopb117222.zip» v:shapes="_x0000_i1706">называется общим членом ряда.
Сумма п первых членов ряда
<shape id="_x0000_i1707" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image898.wmz» o:><img width=«135» height=«24» src=«dopb117223.zip» v:shapes="_x0000_i1707">
называется п-ой частичной суммой ряда.
Если существует конечный предел
<shape id="_x0000_i1708" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image900.wmz» o:><img width=«72» height=«29» src=«dopb117224.zip» v:shapes="_x0000_i1708">,
то число S называют суммой ряда <shape id="_x0000_i1709" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image902.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1709">, а сам ряд называют сходящимся. Если же предел <shape id="_x0000_i1710" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image904.wmz» o:><img width=«44» height=«29» src=«dopb117226.zip» v:shapes="_x0000_i1710">не существует или равен бесконечности, то говорят, что ряд расходящийся.
Рассмотрим ряд
<shape id="_x0000_i1711" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image906.wmz» o:><img width=«255» height=«45» src=«dopb117227.zip» v:shapes="_x0000_i1711">.
Это сумма геометрической прогрессии, q – знаменатель прогрессии. Если <shape id="_x0000_i1712" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image908.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb117228.zip» v:shapes="_x0000_i1712">, прогрессия называется убывающей. Сумму <shape id="_x0000_i1713" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image910.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb117229.zip» v:shapes="_x0000_i1713">первых п членов этой прогрессии находят по формуле
<shape id="_x0000_i1714" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image912.wmz» o:><img width=«96» height=«47» src=«dopb117230.zip» v:shapes="_x0000_i1714">.<shape id="_x0000_i1715" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image023.wmz» o:><img width=«12» height=«23» src=«dopb116807.zip» v:shapes="_x0000_i1715">                                                                (8.1)
Если <shape id="_x0000_i1716" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image908.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb117228.zip» v:shapes="_x0000_i1716">, то <shape id="_x0000_i1717" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image914.wmz» o:><img width=«71» height=«31» src=«dopb117231.zip» v:shapes="_x0000_i1717">и <shape id="_x0000_i1718" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image916.wmz» o:><img width=«120» height=«44» src=«dopb117232.zip» v:shapes="_x0000_i1718">. Значит, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия всегда сходится. Если <shape id="_x0000_i1719" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image918.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb117233.zip» v:shapes="_x0000_i1719">, то <shape id="_x0000_i1720" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image920.wmz» o:><img width=«73» height=«29» src=«dopb117234.zip» v:shapes="_x0000_i1720"> и прогрессия расходится.
Если числовой ряд сходится, то разность <shape id="_x0000_i1721" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image922.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb117235.zip» v:shapes="_x0000_i1721"> между его суммой S и частичной суммой <shape id="_x0000_i1722" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image910.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb117229.zip» v:shapes="_x0000_i1722"> называется п-м остатком ряда, то есть
<shape id="_x0000_i1723" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image922.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb117235.zip» v:shapes="_x0000_i1723">=S-<shape id="_x0000_i1724" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image910.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb117229.zip» v:shapes="_x0000_i1724">.
Остаток ряда <shape id="_x0000_i1725" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image922.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb117235.zip» v:shapes="_x0000_i1725"> является той погрешностью, которая получится, если вместо Sвзять <shape id="_x0000_i1726" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image910.wmz» o:><img width=«20» height=«24» src=«dopb117229.zip» v:shapes="_x0000_i1726">. Поскольку <shape id="_x0000_i1727" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image924.wmz» o:><img width=«215» height=«29» src=«dopb117236.zip» v:shapes="_x0000_i1727">, то, взяв достаточно много первых членов сходящегося ряда, можно сумму этого ряда вычислить с любой точностью.
Отсюда становится понятным, что основной задачей теории рядов является исследование сходимости ряда. Задача нахождения суммы сходящегося ряда имеет второстепенное значений, поскольку после установления сходимости ряда его сумма может быть легко найдена.
Свойства рядов
1.                Если ряды <shape id="_x0000_i1728" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1728">и <shape id="_x0000_i1729" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image927.wmz» o:><img width=«39» height=«45» src=«dopb117237.zip» v:shapes="_x0000_i1729">сходятся и их суммы U иV, то ряд <shape id="_x0000_i1730" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image929.wmz» o:><img width=«80» height=«45» src=«dopb117238.zip» v:shapes="_x0000_i1730">также сходится и его сумма равнаU <shape id="_x0000_i1731" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image931.wmz» o:><img width=«15» height=«16» src=«dopb116812.zip» v:shapes="_x0000_i1731"> V.
2.                Если ряд <shape id="_x0000_i1732" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1732">сходится и его сумма равна S, то ряд <shape id="_x0000_i1733" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image932.wmz» o:><img width=«51» height=«45» src=«dopb117239.zip» v:shapes="_x0000_i1733">, где А=const, также сходится и его сумма равна  АS.
3.                Конечное количество членов ряда на его сходимость не влияет.
Теорема 8.1. (необходимое условие сходимости ряда). Если ряд <shape id="_x0000_i1734" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1734">сходящийся, то предел его общего члена равен нулю
<shape id="_x0000_i1735" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image934.wmz» o:><img width=«69» height=«29» src=«dopb117240.zip» v:shapes="_x0000_i1735">.
Доказательство.
<shape id="_x0000_i1736" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image936.wmz» o:><img width=«236» height=«24» src=«dopb117241.zip» v:shapes="_x0000_i1736">.
Отсюда <shape id="_x0000_i1737" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image938.wmz» o:><img width=«92» height=«24» src=«dopb117242.zip» v:shapes="_x0000_i1737">. Если ряд сходящийся, то <shape id="_x0000_i1738" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image900.wmz» o:><img width=«72» height=«29» src=«dopb117224.zip» v:shapes="_x0000_i1738">и <shape id="_x0000_i1739" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image940.wmz» o:><img width=«80» height=«29» src=«dopb117243.zip» v:shapes="_x0000_i1739">. Поэтому <shape id="_x0000_i1740" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image942.wmz» o:><img width=«164» height=«29» src=«dopb117244.zip» v:shapes="_x0000_i1740"><shape id="_x0000_i1741" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image944.wmz» o:><img width=«44» height=«29» src=«dopb117226.zip» v:shapes="_x0000_i1741">-<shape id="_x0000_i1742" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image945.wmz» o:><img width=«80» height=«29» src=«dopb117243.zip» v:shapes="_x0000_i1742">-S=0.
Следствие. Если <shape id="_x0000_i1743" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image946.wmz» o:><img width=«69» height=«29» src=«dopb117245.zip» v:shapes="_x0000_i1743">, то ряд <shape id="_x0000_i1744" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1744">расходящийся.
Замечание. Условие <shape id="_x0000_i1745" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image934.wmz» o:><img width=«69» height=«29» src=«dopb117240.zip» v:shapes="_x0000_i1745">является необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, то есть выполнение этого условия не гарантирует сходимости ряда.
Пример 8.1. Рассмотрим ряд <shape id="_x0000_i1746" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image948.wmz» o:><img width=«231» height=«45» src=«dopb117246.zip» v:shapes="_x0000_i1746">.
Хотя необходимое условие сходимости ряда выполняется,
<shape id="_x0000_i1747" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image950.wmz» o:><img width=«132» height=«44» src=«dopb117247.zip» v:shapes="_x0000_i1747">,
но  <shape id="_x0000_i1748" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image952.wmz» o:><img width=«412» height=«63» src=«dopb117248.zip» v:shapes="_x0000_i1748">, <shape id="_x0000_i1749" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image954.wmz» o:><img width=«59» height=«27» src=«dopb117249.zip» v:shapes="_x0000_i1749"><shape id="_x0000_i1750" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image956.wmz» o:><img width=«20» height=«16» src=«dopb116883.zip» v:shapes="_x0000_i1750"><shape id="_x0000_i1751" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image920.wmz» o:><img width=«73» height=«29» src=«dopb117234.zip» v:shapes="_x0000_i1751"> и ряд является расходящимся, несмотря на то, предел его общего члена равен нулю.
2. Первый признак сравнения. Пусть члены рядов <shape id="_x0000_i1752" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1752">и <shape id="_x0000_i1753" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image927.wmz» o:><img width=«39» height=«45» src=«dopb117237.zip» v:shapes="_x0000_i1753">удовлетворяют условию
<shape id="_x0000_i1754" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image957.wmz» o:><img width=«80» height=«24» src=«dopb117250.zip» v:shapes="_x0000_i1754">          п=1,2,3,….
Тогда, если ряд<shape id="_x0000_i1755" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image927.wmz» o:><img width=«39» height=«45» src=«dopb117237.zip» v:shapes="_x0000_i1755">сходящийся, то сходящийся и ряд <shape id="_x0000_i1756" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1756">, а если ряд <shape id="_x0000_i1757" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1757">расходящийся, то расходящийся и ряд <shape id="_x0000_i1758" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image927.wmz» o:><img width=«39» height=«45» src=«dopb117237.zip» v:shapes="_x0000_i1758">.
Второй признак сравнения. Пусть члены рядов <shape id="_x0000_i1759" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1759">и <shape id="_x0000_i1760" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image927.wmz» o:><img width=«39» height=«45» src=«dopb117237.zip» v:shapes="_x0000_i1760">положительны, причём существует конечный предел
<shape id="_x0000_i1761" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image959.wmz» o:><img width=«96» height=«47» src=«dopb117251.zip» v:shapes="_x0000_i1761">.
Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Сравнивать ряди удобно с рядами <shape id="_x0000_i1762" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image961.wmz» o:><img width=«57» height=«45» src=«dopb117252.zip» v:shapes="_x0000_i1762">и <shape id="_x0000_i1763" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image963.wmz» o:><img width=«45» height=«45» src=«dopb117253.zip» v:shapes="_x0000_i1763">, сходимость которых известна.
Ряд  <shape id="_x0000_i1764" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image961.wmz» o:><img width=«57» height=«45» src=«dopb117252.zip» v:shapes="_x0000_i1764"> является суммой бесконечной геометрической прогрессии. Он сходится при <shape id="_x0000_i1765" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image908.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb117228.zip» v:shapes="_x0000_i1765">(когда прогрессия убывающая) и расходится при<shape id="_x0000_i1766" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image965.wmz» o:><img width=«40» height=«27» src=«dopb117254.zip» v:shapes="_x0000_i1766">.
Ряд <shape id="_x0000_i1767" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image963.wmz» o:><img width=«45» height=«45» src=«dopb117253.zip» v:shapes="_x0000_i1767">называется обобщенным гармоническим рядом. Он сходится  при <shape id="_x0000_i1768" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image967.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb117255.zip» v:shapes="_x0000_i1768"> и расходится при <shape id="_x0000_i1769" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image969.wmz» o:><img width=«37» height=«19» src=«dopb117256.zip» v:shapes="_x0000_i1769">.
Признак Даламбера. Если для членов ряда <shape id="_x0000_i1770" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1770">с положительными членами <shape id="_x0000_i1771" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image971.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb117257.zip» v:shapes="_x0000_i1771">существует предел
<shape id="_x0000_i1772" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image973.wmz» o:><img width=«79» height=«47» src=«dopb117258.zip» v:shapes="_x0000_i1772">,
то ряд будет сходящимся при <shape id="_x0000_i1773" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image975.wmz» o:><img width=«32» height=«19» src=«dopb117259.zip» v:shapes="_x0000_i1773">и расходящимся при <shape id="_x0000_i1774" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image977.wmz» o:><img width=«32» height=«19» src=«dopb117260.zip» v:shapes="_x0000_i1774">.
Радиальный признак Коши. Если для членов ряда <shape id="_x0000_i1775" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1775">с положительными членами <shape id="_x0000_i1776" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image971.wmz» o:><img width=«45» height=«24» src=«dopb117257.zip» v:shapes="_x0000_i1776">существует предел
<shape id="_x0000_i1777" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image979.wmz» o:><img width=«79» height=«32» src=«dopb117261.zip» v:shapes="_x0000_i1777">,
то ряд будет сходящимся при <shape id="_x0000_i1778" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image975.wmz» o:><img width=«32» height=«19» src=«dopb117259.zip» v:shapes="_x0000_i1778">и расходящимся при <shape id="_x0000_i1779" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image977.wmz» o:><img width=«32» height=«19» src=«dopb117260.zip» v:shapes="_x0000_i1779">.
Интегральный признак Коши. Если <shape id="_x0000_i1780" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image981.wmz» o:><img width=«68» height=«24» src=«dopb117262.zip» v:shapes="_x0000_i1780">, где <shape id="_x0000_i1781" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image983.wmz» o:><img width=«36» height=«21» src=«dopb117263.zip» v:shapes="_x0000_i1781"> — положительная невозрастающая непрерывная функция, то ряд <shape id="_x0000_i1782" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image926.wmz» o:><img width=«40» height=«45» src=«dopb117225.zip» v:shapes="_x0000_i1782">и интеграл <shape id="_x0000_i1783" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image985.wmz» o:><img width=«61» height=«49» src=«dopb117264.zip» v:shapes="_x0000_i1783"> сходятся или расходятся одновременно.
Применим интегральный признак Коши для исследования обобщенного гармонического ряда<shape id="_x0000_i1784" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«25974.files/image963.wmz» o:><img width=«45» height=«45» src=«dopb117253.zip» v:shapes="_x0000_i1784">.
    продолжение
--PAGE_BREAK--