Реферат: Линейные функции

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ВАРИАНТ 2.3

№ 1. Записать общее уравнение прямой, переходящей через точку М (-2, 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат.

Запишем уравнение прямой в виде:

/>.

Коэффициент К найдем из условия перпендикулярности прямых:

/>

Получим уравнение прямой:

/>

Сделаем чертеж

/>

/>

Ответ: />

№ 2. Записать общее уравнение прямой, проходящей точку М (-2, 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S= 4,5 кв.ед.

Сделаем схематический чертеж

Площадь треугольника будет равна />.

Координаты точек А и В найдем из уравнения прямой, которое запишем в виде

/>

Из уравнения

/>

Получим прямую с угловым коэффициентом />

/>

Значение /> соответствует прямой, которая отсекает треугольник площадью S=4,5 от третьего координатного угла..

/>

№ 3. Даны вершины треугольника А (2,1,0), В (3,-1,1) и С (1,2,-4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.

Общее уравнение имеет вид:

/>

Для нахождения A,B,C и D необходимо составить три уравнения.

Два уравнения получим из условия, что искомая плоскость проходит через точки А и В. Третье — из условия, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости, проходящей через три точки А, В и С. условие перпендикулярности плоскостей:

/>

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С по формуле:

/>

Разложим определитель по первой строке, подготовив числовые значения:

/>

Получим уравнение плоскости:

/>

Запишем условие перпендикулярности плоскостей:

/>

Условие, что искомая плоскость:

через точку А: />;

через точку В: />.

Получим систему уравнений:

/>

Складываем 2-е и 3-е уравнения: />, 1-е уравнение умножаем на 2 и вычитаем из полученного:

/>

Из 1-го уравнения: />.

Из 3-го уравнения: />. Принимаем />, получаем

/>.

Уравнение плоскости имеет вид:

/>

№ 4. Найти расстояние от точки />до прямой />.

Расстояние r найдем по формуле расстояния от точки /> до прямой, заданной уравнением в канонической форме:

/>

№ 5. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку />перпендикулярно вектору />, где В — точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью

/>

Для нахождения решения найдем уравнение плоскости, которая проходит через точку А в заданном направлении и подставим в это уравнение значение />.

Для этого вначале найдем координаты точки В.

Точку пересечения заданной плоскости с осью ОХ найдем из уравнения:

/>

с осью OY:

/>

с осью OZ:

/>

Получим треугольник с вершинами: />.

Найдем координаты середины стороны />по формуле:

/>.

/>— середина стороны />.

Теперь найдем точку В, используя свойство: медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Используем формулу:

/>

Точка пересечения медиан имеет координаты />.

Найдем координаты вектора />.

/>

Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку />перпендикулярно вектору />имеет вид:

--PAGE_BREAK--

/>

№ 6. Две прямые параллельны плоскости />. Первая прямая проходит через точку />и пересекает ось абсцисс, вторая — через точку />и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.

Для нахождения направляющих векторов прямых используем условие параллельности прямой и плоскости

/>

и условие, что прямая проходит через ось абсцисс, т.е. выполняется соотношение />в точке (x,0,0).

/>

подставляем из 1-го уравнения во второе, получим

/>

Полагаем />тогда />.

Получили направляющий вектор первой прямой (6,-2,-3).

Аналогично для второй прямой (она проходит через точку (0,y,0)

/>

Из второго уравнения

/>

Косинус найдем по формуле:

/>

№ 7. Найти координаты центра />окружности радиусом 5, касающейся прямой />в точке М (2,0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.

Переформулируем задачу:

Найти точку, лежащую на прямой, перпендикулярной прямой />, проходящей через точку М (2,0) и отстоящую от нее на 5 ед.

Запишем уравнение прямой в виде />, коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых

/>

Получаем уравнение прямой

/>

Используем формулу расстояния между двумя точками:

/>

По условию второе решение не походит, т.к. x<0.

/>

№ 8. Дана кривая />

8.1. Доказать, что эта кривая — гипербола.

/>— это каноническое уравнение гиперболы. Приведем исходное уравнение к этому виду

/>

Это каноническое уравнение гиперболы.

8.2 Найти координаты ее центра симметрии.

Сделаем схематический чертеж:

Центр симметрии гиперболы в точке />.

/>.

8.3. Найти действительную и мнимую полуоси.

/>

8.4. Записать уравнение фокальной оси.

Фокальная ось проходит через фокус />, р-фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус перпендикулярно действительной оси).

Уравнение />, где

/>

8.5. Построить данную гиперболу построение проведено в п.8.2.

№ 9. Дана кривая />.

9.1. Доказать, что данная кривая — парабола.

Каноническое уравнение параболы />, заданное уравнение приведем к этому виду

/>

следовательно, имеем параболу.

9.2. Найти координаты ее вершины.

Если уравнение параболы записано в виде />, координаты вершины />.

/>

9.3. Найти значение ее параметра р.

Из уравнения—— видно, что />.

/>

9.4. Записать уравнение ее оси симметрии.

Данная ось проходит через вершину параболы перпендикулярно оси ОХ, ее уравнение />.

/>

9.5. Построить данную параболу.

Все параметры известны. Найдем пересечение с осью OY.

/>

№ 10. Дана кривая />.

10.1. Доказать, что эта кривая — эллипс.

Каноническое уравнение эллипса

/>

Общее уравнение кривой второго порядка:

/>.

Перепишем заданное уравнение:

/>

Введем обозначения:

/>

Если />имеем эллипс. Проводим вычисления при a=8, b=6, c=17,d=-14, l=-23, f=-43.

/>

следовательно, исходная кривая — эллипс.

10.2. Найти координаты центра его симметрии.

Применим формулу:

/>

10.3. Найти его большую и малую полуоси.

Для этого приведем уравнение к каноническому виду, вычислим:

/>

Уравнение запишем в виде:

/>где

/>

Получим уравнение эллипса в новых координатах, где осями координат являются оси, полученные переносом начала координат в центр эллипса />и поворотом осей на угол α, определяемый уравнением />, при этом угловой коэффициент новой оси />

/>

10.4. Записать общее уравнение фокальной оси.

Фокальная ось проходит через фокус перпендикулярно оси />. В новых координатах />.

Воспользуемся формулой преобразования координат:

/>

Осталось составить уравнение прямой, проходящей через точку с коэффициентом наклона 2. Общий вид такой прямой />, получим:

/>

10.5. Построить данную кривую.

Для этого в старой системе координат строим новую систему. Новые оси направлены по прямым — y=2x-1 и />. Далее, определим вершины эллипса.

В новых координатах они равны />.

В старых:

/>