Реферат: Аксиоматика теории множеств
--PAGE_BREAK-- Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205"> u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> X & u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> Y),<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1208"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">X <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">1Z<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> u <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"> x),
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1215"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">X <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">1Z<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"><img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">v (<img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584833297-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> X)).
Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.
Определения
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"> X ∩ Y <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226"> u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> X & u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> Y) (пересечение классов Х и Y).
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"><img width=«22» height=«31» src=«ref-1_584857286-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"><img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> u <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> X) (дополнение к классу X).
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> D (X) <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"><img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">v (<img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584833297-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> X)) (область определения класса X).
<img width=«149» height=«67» src=«ref-1_584859770-1042.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> (объединение классов Х и Y).
V = <img width=«15» height=«24» src=«ref-1_584860812-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> (универсальный класс).
X − Y = X ∩ <img width=«23» height=«31» src=«ref-1_584861080-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">
Общая теорема о существовании классов.
Предложение 4. Пусть φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym) – формула, переменные которой берутся лишь из числа X1,…,Xn, Y1,…, Ym. Назовём такую формулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,…, Ym)
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1243"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">Z<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">x1 …<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">xn (<img width=«83» height=«30» src=«ref-1_584862364-544.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только таких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> W, так как всякая такая подформула может быть заменена на <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">x (x = Yi & x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> W), что в свою очередь эквивалентно формуле <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">x (<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">z (z <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> x <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> z <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> Yi) & x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подформулы вида X<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">X, которые могут быть заменены на <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">u (u = X & u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> X), последнее же эквивалентно <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">u (<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">z (z <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> u <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> z <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> X) & u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> X). Доказательство проведем теперь индукцией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (записанную с ограниченными переменными для множеств).
1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> xj, или xj <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> xi, или xi <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> Yi, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, существует некоторый класс W1 такой, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">xi<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">xj (<img width=«55» height=«34» src=«ref-1_584868886-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">W1 <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> xi <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> xj).
Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">xi<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">xj (<img width=«54» height=«34» src=«ref-1_584870713-529.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">W2 <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> xj <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> xi),
и тогда, в силу
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1283"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">X<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">Z <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">u <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">v (<img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584833297-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584874078-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> X),
существует класс W3 такой, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">xi<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">xj (<img width=«55» height=«34» src=«ref-1_584868886-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">W3 <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> xj <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> xi).
Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">xi<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">xj (<img width=«55» height=«34» src=«ref-1_584868886-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">W <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Тогда, заменив в
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1304"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">X<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">Z <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">v1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">vk<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">u<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">w (<img width=«131» height=«34» src=«ref-1_584880121-880.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> <img width=«47» height=«30» src=«ref-1_584881420-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> X)
X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">x1… <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">xi-1<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">xi<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">xj (<img width=«140» height=«34» src=«ref-1_584883462-724.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">Z1 <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Далее, на основании
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1323"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">X<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">Z <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">v1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">vm<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">x1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">xn (<img width=«208» height=«33» src=«ref-1_584886510-956.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">
<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332"> Z<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333"><img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">X)
там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">x1 … <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">xi <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">xi+1 … <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">xj (<img width=«85» height=«34» src=«ref-1_584890286-574.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341"> Z2 <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342"> φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Наконец, применяя
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1343"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">X<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345">Z <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">v1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">vm<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">x1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">xn (<img width=«161» height=«33» src=«ref-1_584893184-884.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352"><img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">X)
(1)
там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355">x1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">xn (<img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359"> φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Для остающегося случая xi <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360"> Yi теорема следует из (1) и
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1361"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">X<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">Z <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">x<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365"> v1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">vm (<img width=«114» height=«34» src=«ref-1_584898886-736.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369"> x <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_584900041-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> X).
2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что φ содержит s логических связок и кванторов.
(a) φ есть <img width=«9» height=«14» src=«ref-1_584798329-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">x1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">xn (<img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375"> W <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376"> ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Теперь остается положить Z = <img width=«21» height=«32» src=«ref-1_584902081-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">.
(b) φ есть ψ <img width=«23» height=«17» src=«ref-1_584902466-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z1 и Z2 такие, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">x1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">xn (<img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> Z1 <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383"> ψ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) и
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">x1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">xn (<img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387"> Z2 <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388"> θ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Искомым классом Z в этом случае будет класс <img width=«95» height=«70» src=«ref-1_584906080-843.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">.
(c) φ есть <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">x1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">xn<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">x (<img width=«105» height=«34» src=«ref-1_584908199-662.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> W <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Применим сперва
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1397"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">X<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">Z <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">x1 … <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">xn (<img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"><img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">y (<img width=«107» height=«34» src=«ref-1_584911779-748.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406"><img width=«17» height=«16» src=«ref-1_584900041-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407"> X)).
при X = <img width=«21» height=«32» src=«ref-1_584902081-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"> и получим класс Z1 такой, что
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">x1 … <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">xn (<img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412"> Z1<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"><img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">x<img width=«9» height=«14» src=«ref-1_584798329-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415"> ψ (x1,…, xn, x, Y1,…, Ym)).
Теперь положим окончательно Z = <img width=«23» height=«35» src=«ref-1_584915134-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416">, замечая, что <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">x ψ эквивалентно
<img width=«9» height=«14» src=«ref-1_584798329-122.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1418"><img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">x<img width=«9» height=«14» src=«ref-1_584798329-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> ψ.
Примеры. 1. Пусть φ (X, Y1, Y2) есть формула <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">u<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">v (X = <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584833297-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> & u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425"> Y1 & v <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426"> Y2). Здесь кванторы связывают только переменные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1427"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">Z <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">x (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">u<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">v (x = <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584833297-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434"> & u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435"> Y1 & v <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436"> Y2)), а на основании аксиомы объемности, <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1437"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">1Z <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">x (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442">u<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">v (x = <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584833297-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> & u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> Y1 & v <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"> Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву <img width=«18» height=«17» src=«ref-1_584922588-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">:
Определение. <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">x (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449"> Y1 <img width=«18» height=«17» src=«ref-1_584922588-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> Y2 <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">u<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453">v (x = <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584833297-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454"> & u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455"> Y1 & v <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456"> <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457">Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).
Определения.
X2 обозначает X <img width=«18» height=«17» src=«ref-1_584922588-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"> X (в частности, V2 обозначает класс всех упорядоченных пар).
…………………………………………………………………………………………………
Xn обозначает Xn-1 <img width=«18» height=«17» src=«ref-1_584922588-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> X (в частности, Vn обозначает класс всех упорядоченных n-ок).
Rel(X) служит сокращением для Х <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">V2 (X есть отношение).
2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1462"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463">1Z<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">x (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466"> x <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.
Определение. <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">x (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469">P (Y) <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> x <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">Y). (P (Y): класс всех подмножеств класса Y.)
3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472">v (X <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473"> v & v <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474"> Y).
По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1475"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">1Z<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">x (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479"><img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">v (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481"> v & v <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482"> Y)), т.е. существует единственный класс Z, элементами которого являются все элементы элементов класса Y и только они.
Определение. <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">x (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484"> <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_584931755-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">(Y) <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">v (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488"> v & v <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489"> Y)). (<img width=«20» height=«24» src=«ref-1_584931755-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">(Y): объединение всех элементов класса Y)
4. Пусть φ (X) есть <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">u (X = <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584933321-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">x (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495"><img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">u (x = <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584933321-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">)).
Определение. <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">x (x <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">I <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">u (x = <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584933321-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">)). (Отношение тождества.)
Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym)
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1503"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">1W( W <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505"> Vn & <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">x1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">xn (<img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509"> W <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">
<img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511"> φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)).
Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512">x1…<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">xn (<img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515"> Z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его единственность вытекает из аксиомы объемности.
Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,…,Xn, Y1,… …, Ym) через <img width=«60» height=«30» src=«ref-1_584940573-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)) обозначается класс всех n-ок <img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518"> , удовлетворяющих формуле φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)), т. е. <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520"> <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521"> <img width=«60» height=«30» src=«ref-1_584940573-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522"> φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">x1…<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">xn (u = <img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> & φ (x1,…,xn, Y1,… …, Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1527"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529"> <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_584945120-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530"> φ (x, Y1, …, Ym) <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531"> φ (u, Y1,…, Ym)) (иногда вместо <img width=«60» height=«30» src=«ref-1_584940573-621.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym) применяют запись {<img width=«93» height=«34» src=«ref-1_584888132-631.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">| φ (x1,…,xn, Y1,…, Ym)}).
Примеры. 1. Пусть φ есть <img width=«63» height=«32» src=«ref-1_584946924-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">Y. Обозначим <img width=«20» height=«28» src=«ref-1_584947694-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536"><img width=«23» height=«28» src=«ref-1_584948100-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">(<img width=«63» height=«32» src=«ref-1_584946924-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539"> Y) сокращенно через <img width=«18» height=«24» src=«ref-1_584949331-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">, тогда <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1541"> <img width=«18» height=«24» src=«ref-1_584949331-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542"><img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543"> V2 & <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">x1<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">x2(<img width=«61» height=«32» src=«ref-1_584951021-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547"> Y <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548"><img width=«63» height=«32» src=«ref-1_584946924-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550"> Y). Назовем <img width=«18» height=«24» src=«ref-1_584949331-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551"> обратным отношением класса Y.
2. Пусть φ есть <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">v (<img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584953243-459.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> Y). Обозначим через R(Y) выражение <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_584945120-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">(<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">v (<img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584953243-459.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558"> Y)). Тогда <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1559"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561">R(Y) <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562"><img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">v (<img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584874078-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565"> Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно, <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1566"> R(Y) = D(<img width=«18» height=«24» src=«ref-1_584949331-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">).
Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных классов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.
А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">x<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">y<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571"> y <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">v (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574"> v & v <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575"> x)).
Эта аксиома утверждает, что объединение <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_584931755-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576">(х) всех элементов множества х является также множеством, т. е. <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1577"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">x (M(<img width=«20» height=«24» src=«ref-1_584931755-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">(х))). Множество и <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_584931755-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">(х) обозначают также через и <img width=«25» height=«38» src=«ref-1_584960629-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">v.
Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.
А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">x<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">y<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585"> y <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586"> u <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587"> x).
Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем называть множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы, <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1588"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">x (M(P (х))).
Примеры.
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1590"> P (0) = {0}.
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1591"> P ({0}) = {0, {0}}.
<img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1592"> P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.
Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая аксиома выделения.
А к с и о м а S.
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">x<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">Y <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">z<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597"> z <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598"> u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599"> x & u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600"> Y).
Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y существует множество, состоящее из элементов, общих для х и Y. Следовательно, <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1601"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602">x<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603">Y (M (x ∩ Y)), т. е. пересечение множества с классом есть множество.
Предложение 5. <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1604"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">x<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">Y (Y <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607"> x <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608"> M (Y)) (т. е. подкласс множества есть множество).
Доказательство. <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1609"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">x (Y <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611"> x <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">Y ∩ x = Y) и <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1613"> <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">x (M (Y ∩ x)).
Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответствующий класс (предложение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих данной предикативной формуле A(у), есть множество.
Однако для полного развития теории множеств потребуется аксиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько определений.
Определения
Un (X) означает <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615">x<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">y<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">z (<img width=«48» height=«32» src=«ref-1_584969765-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619"> X & <img width=«46» height=«32» src=«ref-1_584970526-462.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620"> <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621"> X <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622"> y = z).
(X однозначен.)
Fnc (X) означает X <img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623"> V2 & Un (X). (X есть функция.)
Y 1 X означает X ∩ (Y <img width=«18» height=«17» src=«ref-1_584922588-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">V). (Ограничение Х областью Y.)
Un1 (X) означает Un (X) & Un (<img width=«21» height=«22» src=«ref-1_584971994-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">). (X взаимно однозначен.)
X‘Y <img width=«260» height=«60» src=«ref-1_584972344-2330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">
Если существует единственное z такое, что <img width=«48» height=«32» src=«ref-1_584974674-499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627"> <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628"> X, то z = X‘y; в противном случае X‘y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из области определения X, то X‘y есть значение этой функции, примененной к у (В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функциональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соответствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение некоторой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х‘Y вместо h (X, Y)).
X‘‘Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X‘‘Y есть область значений класса X, ограниченного областью Y.)
А к с и о м а R. (Аксиома замещения.)
<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">x (Un (X) <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">y<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633"> y <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634"> <img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">v (<img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584874078-484.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637"> X & v <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638"> X))).
Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалентное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то область значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множеством, также есть множество.
Следующая аксиома обеспечивает существование бесконечных множеств.
А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.)
<img width=«14» height=«19» src=«ref-1_584804768-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">x (0 <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640"> x & <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">u (u <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642"> x <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643"> u <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_584931755-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644"> {u} <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645"> x)).
Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0 <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646"> x, и если и <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647"> x, то и <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_584931755-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">{и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0} <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649"> x, {0, {0}} <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650"> x, {0, {0}, {0, {0}}} <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651"> x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, …, n = {0, 1, …, n – 1}, то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652"> х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, …
Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), аксиому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом существования классов В1—В7.
Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y = <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_584981553-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">(x <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654"> x), т. е. <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">х (х <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656"> Y <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657"> х <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658"> х). (Такой класс Y существует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659"> х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокращенной, символике эта последняя формула записывается так: <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660">X (M(X) <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661"> (X <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662"> Y <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663"> X <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664"> X)). Допустим M(Y). Тогда Y <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665"> Y <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666"> Y <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667"> Y, что, в силу тавтологии (A <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668"><img width=«9» height=«14» src=«ref-1_584798329-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669"> A) <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">A & & <img width=«9» height=«14» src=«ref-1_584798329-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671"> A, влечет Y <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672"> Y <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673"> Y <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674"> Y. Отсюда по теореме дедукции получаем <img width=«14» height=«12» src=«ref-1_584801789-128.coolpic» alt="*" v:shapes="_x0000_i1675"> M(Y)<img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">(Y <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677"> Y <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_584801917-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678"> Y <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679"> Y), а затем, в силу тавтологии (B <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680"> (A & <img width=«9» height=«14» src=«ref-1_584798329-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681"> A))<img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682"><img width=«9» height=«14» src=«ref-1_584798329-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683"> B, получаем и <img width=«9» height=«14» src=«ref-1_584798329-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684"> М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных парадоксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти).
Определения
X Irr Y означает <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">y (y <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686">Y <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687"><img width=«47» height=«30» src=«ref-1_584989763-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688"> <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689"> X) & Rel (X).
(X есть иррефлексивное отношение на Y.)
X Tr Y означает Rel (X) & <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690">u<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691">v<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692">w (u<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">Y & v<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">Y & w<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">Y &
& <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584992245-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">X &<img width=«46» height=«30» src=«ref-1_584992977-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699">X & X <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700"><img width=«46» height=«30» src=«ref-1_584992977-495.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702">X).
(X есть транзитивное отношение на Y.)
X Part Y означает(X Irr Y) & (X Tr Y).
(X частично упорядочивает Y.)
X Con Y означает Rel(X) & <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">u<img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704">v (u<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705">Y & v<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">Y & u ≠ v <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707"><img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584992245-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708"><img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">
<img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710"> X <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_584811497-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711"> <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_584997354-483.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712"> <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713"> X).
X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).
(X упорядочивает Y.)
X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714">Z (Z<img width=«20» height=«20» src=«ref-1_584926019-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">Y &
& Z ≠ 0 <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716"><img width=«14» height=«16» src=«ref-1_584998886-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">y (y <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718"> Z & <img width=«18» height=«19» src=«ref-1_584805319-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">v (v <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720"> Z & v ≠ y <img width=«22» height=«17» src=«ref-1_584802833-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721"><img width=«44» height=«30» src=«ref-1_585000124-482.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722"> <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_584797362-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723"> X &
& <img width=«44» height=«30» src=«ref-1_585000853-489.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724"> <img width=«17» height=«21» src=«ref-1_584812306-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725"> X))).
(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике