Реферат: О категории множеств

--PAGE_BREAK--1.6. Конечные объекты Обращая направление стрелок в определении начального объекта, получаем следующее определение.
Определение: объект 1 называется конечным в категории Ω, если для каждого Ω – объекта а существует одна и только одна стрелка из а в 1.
·               Все конечные объекты изоморфны.
Доказательство:
Предположим, что 1 и 1’ – конечные объекты. Требуется доказать, что 1@1’. Для этого надо найти изострелку 1®1’.
Объект 1 – конечный Þ $! f: 1’®1 (по определению конечного объекта).
Объект 1’ -  конечный Þ$! g:1®1’ ( по той же причине). Dom f=cod g Þ $ f °g :1®1.
1 – конечный объект. Þ f °g: 1®1 – единственная.
С другой стороны для любого объекта категории существует единичная стрелка 11:1®1. Значит f °g=11. Аналогично, g °f=11’. Таким образом, для стрелки g нашлась обратная (а именно f), т.е.g: 1@1’. Ч.т.д.
·               Стрелка f:1®a – мономорфна.
Доказательство:
F: 1®a – мономорфна, если для любых стрелок g,h:b®1 из того, что f °g=f °h следует, что g=h. Но по определению конечного объекта, существует  только одна стрелка b®1. Поэтому равенство стрелок g и h следует автоматически.
1.7. Двойственность Можно заметить, что понятие эпистрелки получается из определения монострелки «обращением стрелок». То же справедливо для понятий конечного и начального объектов. Эти два примера иллюстрируют понятие двойственности в теории категорий.
Если å- предложение категорного языка, то двойственным åор назовем предложение, получаемое из å заменой «dom» на «cod», «cod» на«dom» и «h=g °f» на «h=f °g». Таким образом, все стрелки и композиции, входящие в å, повернуты в åор в другую сторону. Понятие, описываемое предложением åор называется двойственным к понятию, описываемому å. Для данной категории Ω построим двойственную категорию Ωор следующим образом.
Категории Ω и Ωор имеют одни и те же объекты. Для каждой f:a®b вводим Ω- стрелку fop:b®a (свою для каждой f). Так получаемые стрелки <img width=«292» height=«112» src=«dopb72018.zip» v:shapes="_x0000_s1131 _x0000_s1132 _x0000_s1133 _x0000_s1134 _x0000_s1135 _x0000_s1136 _x0000_s1137 _x0000_s1138 _x0000_s1139 _x0000_s1140 _x0000_s1141 _x0000_s1142 _x0000_s1143">исчерпывают все стрелки категории Ωор. Композиция fop°gop определена  тогда и только тогда, когда определена в Ω композиция g°f и fop°gop=(g°f)op. Dom fop=cod f и codfop=dom f.
Конструкцию, двойственную к выражаемой предложением å, можно интерпретировать как первоначальное построение, примененное к двойственной категории. Если å истинно в Ω, то åор истинно в Ωор. Т.о. из произвольного истинного в теории категорий предложения получается другое истинное предложение åор. В этом состоит принцип двойственности. Принцип двойственности сокращает количество доказательств вдвое. Так, доказав, что два произвольных начальных объекта изоморфны, можно сразу утверждать, что два произвольных конечных объекта изоморфны.
1.8. Произведения Как охарактеризовать произведение двух множеств
<shape id="_x0000_i1025" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image021.wmz» o:><img width=«216» height=«28» src=«dopb72019.zip» v:shapes="_x0000_i1025"> с помощью стрелок. Неужели это можно сделать без какого-то использования упорядоченных пар?
Оказывается это возможно. Способ, позволяющий избежать использования упорядоченных пар, даст возможность выяснить, что такое конструкция в теории категорий.
Поставим  в соответствие  произведению <shape id="_x0000_i1026" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image023.wmz» o:><img width=«47» height=«19» src=«dopb72020.zip» v:shapes="_x0000_i1026"> два специальных отображения (проекции)
<shape id="_x0000_i1027" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image025.wmz» o:><img width=«196» height=«33» src=«dopb72021.zip» v:shapes="_x0000_i1027">и <shape id="_x0000_i1028" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image027.wmz» o:><img width=«198» height=«33» src=«dopb72022.zip» v:shapes="_x0000_i1028">, задаваемые равенствами <shape id="_x0000_i1029" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image029.wmz» o:><img width=«105» height=«38» src=«dopb72023.zip» v:shapes="_x0000_i1029">, <shape id="_x0000_i1030" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image031.wmz» o:><img width=«115» height=«39» src=«dopb72024.zip» v:shapes="_x0000_i1030">.
<group id="_x0000_s1144" coordorigin=«5481,11574» coordsize=«3060,1620» o:allowincell=«f»><imagedata src=«15287.files/image033.wmz» o:><img width=«208» height=«112» src=«dopb72025.zip» v:shapes="_x0000_s1144 _x0000_s1145 _x0000_s1146 _x0000_s1147 _x0000_s1148 _x0000_s1149 _x0000_s1150 _x0000_s1151 _x0000_s1152 _x0000_s1153 _x0000_s1154 _x0000_s1155 _x0000_s1156 _x0000_s1157 _x0000_s1158 _x0000_s1159 _x0000_s1160">Допустим теперь, что задано ещё одно множество С с парой отображений f: C®A, g: C®B. Определим отображение p: C®<shape id="_x0000_i1031" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image035.wmz» o:><img width=«47» height=«19» src=«dopb72026.zip» v:shapes="_x0000_i1031"> правилом p(x)=<shape id="_x0000_i1032" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image037.wmz» o:><img width=«95» height=«28» src=«dopb72027.zip» v:shapes="_x0000_i1032">,
Тогда pА(p(x))=f(x) и pB(p(x))=g(x) для каждого хÎС. Таким образом, pA°p=f и pB°p=g, т.е. приведенная выше диаграмма коммутативна. Более того, p является единственной стрелкой, для которой эта диаграмма коммутативна. Действительно, если p(x)=<y,z>, то в силу условия pA°p=f будет pA(p(x))=f(x), т.е. y=f(x). Аналогично, если pB°p=g, то z=g(x).
Отображение p, построенное по f и g, обозначаются обычно через <f,g> и называется произведением отображений f и g.
Эти рассмотрения служат мотивировкой для следующего определения.
<group id="_x0000_s1161" coordorigin=«6381,6714» coordsize=«3060,1620» o:allowincell=«f»><imagedata src=«15287.files/image039.wmz» o:><img width=«208» height=«112» src=«dopb72028.zip» v:shapes="_x0000_s1161 _x0000_s1162 _x0000_s1163 _x0000_s1164 _x0000_s1165 _x0000_s1166 _x0000_s1167 _x0000_s1168 _x0000_s1169 _x0000_s1170 _x0000_s1171 _x0000_s1172 _x0000_s1173 _x0000_s1174 _x0000_s1175 _x0000_s1176">Определение: произведением в категории Ω двух объектов a и b называется Ω-объект, обозначаемый через <shape id="_x0000_i1033" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1033">, вместе с парой (pra:<shape id="_x0000_i1034" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1034">®a, prb:<shape id="_x0000_i1035" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1035">®b) Ω- стрелок, такой, что для произвольной пары (f:c®a, g:c®b) Ω- стрелок существует одна и только одна стрелка <f,g>:c®<shape id="_x0000_i1036" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1036">, для которой диаграмма коммутативна, т.е. pra°<f,g>=f  и prb°<f,g>=g. Стрелка <f,g> называется произведением стрелок f и g относительно проекций pra,prb.
·               <pra,prb>=1<shape id="_x0000_i1037" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1037">.
<group id="_x0000_s1177" coordorigin=«1881,13374» coordsize=«3792,2472» o:allowincell=«f»><img width=«257» height=«169» src=«dopb72030.zip» v:shapes="_x0000_s1177 _x0000_s1178 _x0000_s1179 _x0000_s1180 _x0000_s1181 _x0000_s1182 _x0000_s1183 _x0000_s1184 _x0000_s1185 _x0000_s1186 _x0000_s1187 _x0000_s1188 _x0000_s1189 _x0000_s1190 _x0000_s1191">Доказательство: изобразим данную ситуацию на диаграмме.(точнее левую часть доказываемого равенства). Видим, что стрелка <pra,prb> переводит объект <shape id="_x0000_i1038" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1038"> в объект <shape id="_x0000_i1039" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1039">. А по определению категории существует только одна единичная стрелка (та, которая переводит объект категории в себя). Значит, эти стрелки совпадают. Ч.т.д.
·               Если <f,g>=<k,h>, то f=kи g=h.
Доказательство: разберемся с условием утверждения.
a)                 Стрелка <f,g> существует по условиюÞdomf=domg. Пусть f:c®a, g:c®b. тогда стрелка <f,g>:c®<shape id="_x0000_i1040" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1040">.
b)                 Стрелка <k,h> совпадает со стрелкой <f,g> по условию. Þ dom<k,h>=dom<f,g>=c, cod<k,h>=cod<f,g>=<shape id="_x0000_i1041" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1041">. Þстрелки k,h такие, что domk=domh=c, а концы этих стрелок в объектах a и b.
c)                  Предположим, что k:c®b, h:c®a. Если это так, то стрелка <k,h>:c®<shape id="_x0000_i1042" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image051.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72031.zip» v:shapes="_x0000_i1042">. Тогда <k,h>¹<f,g>, так как у них не совпадают концы.
d)                 Получили противоречие после того, как предположили, что k:c®b, h:c®a. остается один вариант: k:c®a, h:c®b. значит f=k, g=h. Ч.т.д.
·               <f°h, g°h>=<f,g>°h
<group id="_x0000_s1192" coordorigin=«2427,7074» coordsize=«5754,2700» o:allowincell=«f»><img width=«388» height=«184» src=«dopb72032.zip» v:shapes="_x0000_s1192 _x0000_s1193 _x0000_s1194 _x0000_s1195 _x0000_s1196 _x0000_s1197 _x0000_s1198 _x0000_s1199 _x0000_s1200 _x0000_s1201 _x0000_s1202 _x0000_s1203 _x0000_s1204 _x0000_s1205 _x0000_s1206 _x0000_s1207 _x0000_s1208 _x0000_s1209 _x0000_s1210 _x0000_s1211 _x0000_s1212 _x0000_s1213">Доказательство:   Посмотрим, что означает стрелка <f°h, g°h>. Во-первых: композиция двух стрелок существует, когда конец одной стрелки является началом другой. Из условия следует, что domf=codh и domg=codh, а также dom<f,g>=codh. Т.е. стрелки f, g, <f,g> имеют одно и то же начало. Пусть h: d®c, g:c®b, f:c®a.  Изобразим диаграмму: эта диаграмма коммутативна, т.е. pra°<f,g>°h=f°h и prb°<f,g>°h=g°h. Произведением стрелок f°h, g°h является однозначно-определенная стрелка (она единственна по определению произведения). И этой стрелкой является композиция стрелок <f,g>  и h. 
1.9. Произведение отображений Для данных теоретико-множественных функций f:A®B и g:C®D определим функцию <shape id="_x0000_i1043" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image054.wmz» o:><img width=«209» height=«28» src=«dopb72033.zip» v:shapes="_x0000_i1043">. <shape id="_x0000_i1044" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image056.wmz» o:><img width=«47» height=«24» src=«dopb72034.zip» v:shapes="_x0000_i1044"> является произведением двух композиций: <shape id="_x0000_i1045" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image058.wmz» o:><img width=«187» height=«25» src=«dopb72035.zip» v:shapes="_x0000_i1045"> и <shape id="_x0000_i1046" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image060.wmz» o:><img width=«188» height=«25» src=«dopb72036.zip» v:shapes="_x0000_i1046">. Поэтому дадим следующее определение.
<group id="_x0000_s1214" coordorigin=«1161,6569» coordsize=«5065,3060» o:allowincell=«f»><img width=«342» height=«208» src=«dopb72037.zip» v:shapes="_x0000_s1214 _x0000_s1215 _x0000_s1216 _x0000_s1217 _x0000_s1218 _x0000_s1219 _x0000_s1220 _x0000_s1221 _x0000_s1222 _x0000_s1223 _x0000_s1224 _x0000_s1225 _x0000_s1226 _x0000_s1227 _x0000_s1228 _x0000_s1229 _x0000_s1230 _x0000_s1231 _x0000_s1232">Определение: если f:a®b и g:c®d – две Ω-стрелки, то через <shape id="_x0000_i1047" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image064.wmz» o:><img width=«157» height=«24» src=«dopb72038.zip» v:shapes="_x0000_i1047">обозначим Ω-стрелку <shape id="_x0000_i1048" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image066.wmz» o:><img width=«132» height=«28» src=«dopb72039.zip» v:shapes="_x0000_i1048">.
   
·               <shape id="_x0000_i1049" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15287.files/image068.wmz» o:><img width=«95» height=«27» src=«dopb72040.zip» v:shapes="_x0000_i1049">
<group id="_x0000_s1233" coordorigin=«5121,9904» coordsize=«5364,3035» o:allowincell=«f»><img width=«361» height=«206» src=«dopb72041.zip» v:shapes="_x0000_s1233 _x0000_s1234 _x0000_s1235 _x0000_s1236 _x0000_s1237 _x0000_s1238 _x0000_s1239 _x0000_s1240 _x0000_s1241 _x0000_s1242 _x0000_s1243 _x0000_s1244 _x0000_s1245 _x0000_s1246 _x0000_s1247 _x0000_s1248 _x0000_s1249 _x0000_s1250 _x0000_s1251">Доказательство: представим ситуацию диаграммой. По определению произведения стрелок стрелка <shape id="_x0000_i1050" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15287.files/image077.wmz» o:><img width=«49» height=«27» src=«dopb72042.zip» v:shapes="_x0000_i1050">:<shape id="_x0000_i1051" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1051">®<shape id="_x0000_i1052" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1052">, и эта стрелка единственна. А по определению категории, у каждого объекта существует единичная стрелка, т.е. та, которая переводит объект в себя. Значит стрелки <shape id="_x0000_i1053" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15287.files/image077.wmz» o:><img width=«49» height=«27» src=«dopb72042.zip» v:shapes="_x0000_i1053"> и <shape id="_x0000_i1054" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15287.files/image079.wmz» o:><img width=«37» height=«37» src=«dopb72043.zip» v:shapes="_x0000_i1054"> совпадают. Ч.т.д.
·               <shape id="_x0000_i1055" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image081.wmz» o:><img width=«96» height=«20» src=«dopb72044.zip» v:shapes="_x0000_i1055">
<group id="_x0000_s1252" coordorigin=«4810,3784» coordsize=«5679,3279» o:allowincell=«f»><img width=«383» height=«222» src=«dopb72045.zip» v:shapes="_x0000_s1252 _x0000_s1253 _x0000_s1254 _x0000_s1255 _x0000_s1256 _x0000_s1257 _x0000_s1258 _x0000_s1259 _x0000_s1260 _x0000_s1261 _x0000_s1262 _x0000_s1263 _x0000_s1264 _x0000_s1265 _x0000_s1266 _x0000_s1267 _x0000_s1268 _x0000_s1269 _x0000_s1270">Доказательство: для того, чтобы доказать изоморфизм двух объектов, необходимо найти изострелку. В нашем случае изострелку f:<shape id="_x0000_i1056" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1056">®<shape id="_x0000_i1057" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image051.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72031.zip» v:shapes="_x0000_i1057">. Для существования произведения <shape id="_x0000_i1058" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1058"> необходимо иметь две стрелки. Пусть g:a®b, h:b®a. тогда <shape id="_x0000_i1059" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image092.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72046.zip» v:shapes="_x0000_i1059">:<shape id="_x0000_i1060" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1060">®<shape id="_x0000_i1061" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image051.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72031.zip» v:shapes="_x0000_i1061">. Эта стрелка единственна по определению произведения.  Изобразим диаграмму.
А теперь рассмотрим стрелку <shape id="_x0000_i1062" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image094.wmz» o:><img width=«152» height=«24» src=«dopb72047.zip» v:shapes="_x0000_i1062">. Предположительно, эта стрелка является обратной к стрелке <shape id="_x0000_i1063" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image092.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72046.zip» v:shapes="_x0000_i1063">. (эта стрелка тоже единственна по определению произведения).  Действительно, композиция  (<shape id="_x0000_i1064" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image092.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72046.zip» v:shapes="_x0000_i1064">)°(<shape id="_x0000_i1065" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image096.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72048.zip» v:shapes="_x0000_i1065">):<shape id="_x0000_i1066" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1066">®<shape id="_x0000_i1067" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image041.wmz» o:><img width=«41» height=«20» src=«dopb72029.zip» v:shapes="_x0000_i1067">. Так как стрелки <shape id="_x0000_i1068" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image092.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72046.zip» v:shapes="_x0000_i1068"> и <shape id="_x0000_i1069" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image096.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72048.zip» v:shapes="_x0000_i1069"> — единственны, то и их композиция есть единственная стрелка. А по определению категории, каждый объект имеет единичную стрелку. Поэтому, (<shape id="_x0000_i1070" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image092.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72046.zip» v:shapes="_x0000_i1070">)°(<shape id="_x0000_i1071" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image096.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72048.zip» v:shapes="_x0000_i1071">)=<shape id="_x0000_i1072" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15287.files/image079.wmz» o:><img width=«37» height=«37» src=«dopb72043.zip» v:shapes="_x0000_i1072">. Аналогично (<shape id="_x0000_i1073" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image096.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72048.zip» v:shapes="_x0000_i1073">)°(<shape id="_x0000_i1074" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image092.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72046.zip» v:shapes="_x0000_i1074">)=<shape id="_x0000_i1075" type="#_x0000_t75" o:ole="" fillcolor=«window»><imagedata src=«15287.files/image098.wmz» o:><img width=«35» height=«37» src=«dopb72049.zip» v:shapes="_x0000_i1075">. Значит, по определению изострелки, стрелка <shape id="_x0000_i1076" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image092.wmz» o:><img width=«43» height=«24» src=«dopb72046.zip» v:shapes="_x0000_i1076"> является изострелкой. Þ<shape id="_x0000_i1077" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image081.wmz» o:><img width=«96» height=«20» src=«dopb72044.zip» v:shapes="_x0000_i1077"> (по определению изоморфности двух объектов). Ч.т.д.
·               <shape id="_x0000_i1078" type="#_x0000_t75" o:ole=""><imagedata src=«15287.files/image100.wmz» o:><img width=«173» height=«24» src=«dopb72050.zip» v:shapes="_x0000_i1078">
Доказательство: для доказательства этого утверждения построим диаграмму.
<group id="_x0000_s1271" coordorigin=«2241,10984» coordsize=«8460,3960» wrapcoords=«9345 0 9345 1309 6511 1718 6357 1800 6396 3927 3562 6545 -38 7036 -38 9736 1685 10473 2872 10473 2298 11209 2068 11618 2068 13827 3294 14400 4749 14400 6013 17018 6357 18327 6357 20618 7162 20945 9345 20945 9345 21518 11145 21518 11145 20945 13481 20945 14591 20536 14668 18327 15013 17018 18153 10473 19570 10473 21600 9736 21600 7036 17119 6545 17426 6545 18038 5645 18077 3518 14936 2618 15013 1800 14706 1718 11030 1309 11030 0 9345 0» o:allowincell=«f»>    продолжение
--PAGE_BREAK----PAGE_BREAK--