Реферат: Шпаргалка по высшей математике

--PAGE_BREAK--a
(
b

*
`
c
)

=

(
a
b
)
`
c
;4)дистрибьютивное (распределительное; 5)существование нулевого вектора, такого, что `
c
+

=
`
c

"
`
c; 6)для любого `cсуществует такой противоположный  -`c, что `
c
+
(
-
`
c
)
=

"
`
c; 7)для любого `cсправедливо: `
c
*
1
=
`
c
.                                                                                                                                                                                                         

3 (18). Векторное пространство, его размерность. Понятие Базиса.

N
-мерным векторомназывается упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде `x
=(
x
1
,
x
2
,
x
i
,
x
n
), где Xi-компонента `X. Два N-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: `x=`y, если xi=yi"i. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее всем сво-вам суммы( коммутативное, ассоциативные), называется векторным пространством.  Размерность векторного пространства равна количеству векторов в базисе этого пространства. Совокупность n-мерных векторов, рассматриваемая с определёнными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число, называется n
-мерным координатным пространством. Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом R
n(R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства Rразлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства. Теорема: для того, чтобы — 1)2 вектора на плоскости (2)3-в пространстве) были линейно не зависимы необходимо и достаточно, чтобы они были не  1) коллиниарны (2) компланарны). Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или параллельны одной плоскости. Два вектора `а и`в называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Теорема: если диагональная система является частью n-мерных векторов, то она же является базисом этой системы. Теорема: любой вектор системы векторов единственнымобразов разлагается по векторам её базиса.                                                                                                                                                                                                               

4 (19). Базис на плоскости. Разложение вектора по базису R
.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом R
n(R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства Rразлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

5 (20). Базис в пространстве. Разложение вектора по базису R
.

Система n—мерных лин. независимых векторов называется базисом R
n(R2-плоскость,R3-пространство), если каждый вектор этого пространства Rразлагается по векторам этой системы. Базисом называется совокупность всех лин. независимых векторов системы пространства.

6 (21). Линейные операции над векторами, заданные координатами.

7 (22). Проекция вектора а на вектор b
. Направляющие косинусы вектора.

8 (23). Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения.

Скалярным произведением2-х векторов `а и`в называется число, равное произведению модулей, перемноженных на cosугла между ними: а *
`
в
=
ï
`
а
ï
*
ï
`
в
ï
*
Cos
j, где j-угол`а между`в. Скалярное произведение может быть найдено также по формуле: `а
*
`
в =
ï
`
а
ï
*
пр.
а

`
в =
ï
`
в
ï
*
пр.
в

`
а®скалярное произведение 2-х векторов равно произведению модуля одного из них на проекцию на него другого вектора. Свойства скалярного произведения: 1)Переместительное (`а*`в=`в *`а); 2)Сочетательное относительно числового множителя (l
(
`
а
*
`
в)=
l
`
а
*
l
`
в); 3)Распорядительное ( (`
а +
`
в )
×
`с=`
а
×
`
с
+
`
в
×
`
с); 4)Если скалярное пр-е равно 0, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо Cosугла между ними, т.е. векторы перпендикулярны.  Скалярное произведение само на себя равно квадрату его модуля.

9 (24). Скалярное произведение ортов. Скалярное произведение векторов, заданных координатами.

10 (25). Определение угла между двумя векторами.

11 (26). Условия параллельности и перпендикулярности двух векторов.

12 (27). Векторное произведение.

Векторным произведениемвектора `а на вектор `в называется вектор `с, который определяется следующим образом: 1) модуль `с численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах úсú=úаú×úвú×Sinj. 2) вектор с перпендикулярен обоим перемножаемым векторам; 3) направление вектора с таково, что если смотреть из его конца вдоль вектора а к вектору в, осуществляется против часовой стрелки. Геометрич. смысл векторного произведения –модуль векторн.пр-я равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах. Если векторы заданы в координатной форме, то их векторн. Произведение находится по формуле: `а
×
`
в =
ú
i   
j
  
k
ú


                                  
ú
a
x
 
a
y
 
a
z
ú


                                 
ú
b
x
  
b
y
 
b
z
ú
.


13 (28). Свойства векторного произведения.

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет свой знак на противоположный, сохраняя при этом свой модуль: `а ×`в =(`в) ×`а. 2)Векторн.пр-е обладает сочетательным св-вом относительно числового (скалярного) множителя: l×(`а×`в)=(l`а)×`в=`а×(l×`в). 3)Векторн.пр-е обладает распределительным св-ом. 4) Если векторн.пр-е 2-х векторов равно 0-вектору, то либо равен 0 один из перемножаемых векторов, любо синус угла между ними, т.е. векторы коллиниарны (параллельны). ÞДля того, чтобы 2 ненулевых вектора были коллиниарны необходимо и достаточно, чтобы их векторное пр-е было равно нуль-вектору.

14 (29). Векторное произведение ортов.
15 (30). Векторное произведение векторов, заданных проекциями.

16 (31). Смешанное произведение векторов. Свойства смешанного произведения. Геометрический смысл смешанного произведения.

<img width=«52» height=«50» src=«ref-1_303872919-228.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1063">Рассмотрим произведение векторов а, в и с, составленное следующим образом: (`а *`в) – векторно, а затем полученной произведение умножают на `с скалярно. (`а *`в) ×`с. Такое произведение называется векторно-скалярным или смешанным. Оно  представляет собой некоторое число.  Скалярным произведением двух векторовназывается произведение длин двух векторов на косинус угла между ними.  Смешанное произведениеравно определителю 3-го порядка, в строках которого стоят соответствующие проекции перемножаемых векторов.
<img width=«52» height=«51» src=«ref-1_303873147-242.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1046">Свойства: 1)если внутри смешанного произведения в векторном произведении поменять множители местами, то смешанное пр-е поменяет свой знак на противоположный, т.е. (`а *`в) ×`с = — (`в *`а) ×`с;  (`а *`в) ×`с =  `с ×(`а *`в). 2)Для того, чтобы 3 вектора а, в и с были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось 0: (`а *`в) ×`с=0. Векторы, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называются компланарными.  Геометрич. смысл смешанного произведения: состоит в том, что смешанное пр-е с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах.

1 (32). Координаты на прямой. Деление отрезка в данном отношении.

<img width=«52» height=«52» src=«ref-1_303873389-228.coolpic» v:shapes="_x0000_s1045">Положение каждой точки на оси определяется числом, равным отношению длины отрезка прямой от точки 0 до заданной точки к выбранной единице длины. Положение каждой точки на вертикальной оси определяется координатой, которая называется ордината. Координата на горизонтальной оси называется абсцисса.  Метод координат на плоскости ставит в соответствие каждой точки плоскости упорядоченнуюпару действительных чисел – координаты этой точки. Расстояние между 2-мя точками возможно найти 2-мя путями: 1)если обе точки лежат на одной оси, то расстояние между ними по оси ординат (или абсцисс) равно 0, а по оси абсцисс (ординат) абсолютной величине разности между абсциссами конца и начала отрезка +рис.; 2) если 2 точки лежат в одной плоскости, длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат концов отрезков.            

Деление отрезков в данном отношении: даны 2 точкиМ1
(
c
1
g
1
)
и М2
(
c
2
g
2
)
. Требуется найти внутри отрезка точку М с координатами (
c
;
g
)
,такую, что отрезок М1М2 поделится точкой М в соотношении М1М/М2М=l. Найти координаты М, удовлетворяющие данному равенству.Решение: М1М/М2М=АА1/АА2. АА1=X-X1, AA2=X2-X. M1M/M2M=(X-X1)/(X2-X) =l. X-X1=l(X2-X), X-X1=lX2-lX. X+lX=X1+lX2ÞX (1+l) =X1+lX2, X=X1+lX2/1+l.

2 (33). Общее уравнение прямой и его исследование.

<img width=«52» height=«70» src=«ref-1_303873617-260.coolpic» v:shapes="_x0000_s1044">Рассмотрим ур-е первой степени с двумя переменными в общем виде: Ax
+
By
+
C
=0, в котором коэффициенты А и В не равны одновременно нулю, т.е.А2+В2 ¹0. 1)Пусть В¹0. Тогда ур-е Аx
+
By
+
C
=0можно записать в виде y= -Ax/B– C/B. Обозначим k= -А/В, b= -C/B. Если А¹0, С¹0, то получим y=kx+b(ур-е прямой, проходящей ч/з начало координат); если А=0, С¹0, то y=b(ур-е прямой, параллельной оси Оy); если А=0, С=0, то y=0 (ур-е оси Оx). 2)Пусть В=0, А¹0. Тогда ур-е Аx
+
By
+
C
=0примет вид x= — C/A. Если С¹0, то получим x=a(ур-е прямой, параллельной оси Оy); если С=0, то x=0 (ур-е оси Оy). Таким образом, при любых значениях коэффициентов А, В (не равных одновременно нулю) и С ур-е Ax
+
By
+
C
=0 есть ур-е некоторой прямой линии на плоскости Оxy. Это ур-е называется общим ур-ем прямой. Ур-е прямой, заданное  в общем виде, не даёт представления о расположении прямой на плоскости, но из него легко находятся все основные хар-ки прямой: 1)k= -A/B; 2)начальная ордината b= — C/B; 3) отрезки, отсекаемые прямой на осях ординат: Ax+By+C=0    /¸(-C)

                                         -Ax/C-By/C=1

                                          a= — C/A; b= — C/B.

3 (34).     продолжение
--PAGE_BREAK--Уравнение прямой, проходящей через точку М (x
,
y
) перпендикулярно нормальному вектору
n
(
A
,
B
).

4 (35). Уравнение прямой, проходящей через точку М (x
,
y
) параллельно направляющему вектору
q
(
l
,
m
).

5 (36). Уравнение прямой, проходящей через две точки         М 1
(
x
1
,
y
1
)  М
2
(
x
2
,
y
2
).

Это ур-е является частным случаем ур-я пучка прямых. Прямая задана 2-мя  лежащими на ней точками М1(x1;y1)  и M2(x2;y2), x1¹x2, y1¹y2(при равенстве — применение ур-япрямой, проход.ч.з 2 точки, невозможно). Для составления ур-я прямой М1М2 необходимо ур-е пучка прямых, проходящих ч/з точку М1: y-y1=k(x-x1). Т.к. точка  M2(x2;y2) лежит на данной прямой, то чтобы выделить её из пучка, подставим в ур-е пучка прямых координаты М2 и найдём угловой коэффициент: k=y2-y1/x2-x1.

Теперь ур-е прямой, проходящеё через 2 заданные точки, примет вид: y-y1=(x-x1) *y2-y1/x2-x1Þy-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1.

(др. способ: после ур-я углового коэф-та вывожу: tga=M2*N/M1*N, M2N=y2-y1; M1N=x2-x1Þtga=K=y2-y1/x2-x1. Подставим это ур-е в ур-е пучка прямых: y-y1=(x-x1)*y2-y1/

<img width=«52» height=«52» src=«ref-1_303873877-216.coolpic» v:shapes="_x0000_s1043">/x2-x1     |¸( y2-y1)Þy-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1. )
6 (37). Уравнение прямой в отрезках.

<img width=«107» height=«38» src=«ref-1_303874093-255.coolpic» hspace=«12» v:shapes="_x0000_s1047">Прямая задана отрезками, которые она отсекает на осях координат. Найду ур-е прямой по заданным отрезкам а¹0 и b¹0, отсекаемым на осях координат. Используя ур-е прямой, проходящей через точки А(а;0) и В(0;b) — y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1—ур-е прямой в отрезках примет вид:y
-0/
b
-0=
x
-
a
/0-
a
  или:    -ay= b(x-a),                              -ay-bx+ab=0  |¸ab; -y/b-x/a+1=0   |¸(-1);  

x
/
a
+
y
/
b
=1.
 А-отрезок, отсекаемый на оси Оx; В-отрезок на оси Оy. Тогда прямую можно определить как прямую, заданную двумя точкамиÞA(a;b) на осиOxи B(0:b) на оси Oy. Подставив координаты этих точек в ур-е прямой, проходящей через две заданные точки, получим ур-е прямой в отрезках.

7 (38). Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент прямой- одна из характеристик расположения прямой на плоскости; её наклон относительно оси Оx(за угол наклона принимается Ða, отсчитываемый от оси Оxпротив движения  часовой стрелки до этой прямой); tgугла наклона этой прямой к оси Оx. Если k>, то a-острый; если  a=0, то k=0, прямая параллельна оси Оx; если a=90°, то прямая параллельна оси Оy, k-не существует. Пусть положение прямой в прямоугольной системе координат задано величиной отрезка, отсекаемого этой прямой на оси Оyи kэтой прямой.  Возьмём произвольную точку М (c;g). Тогда tgугла aнаклона прямой найдём из прямоугольного треугольника МВN: tga= MN/NB= y-b/x. Введём угловой коэффициент прямой k=tga; получим k=y-b/x. y
=
kx
+
b
  -  ур-е прямой с угловым коэффициентом. В зависимости от величин kи bвозможны следующие варианты расположения прямой: 1) при в>0, прямая пересекает ось Оxвыше начала координат; при в<0, прямая Ç  Оxниже начала координат. 2)при k>0, прямая образует острый угол  с Оx; при k<0,-тупой угол; при k=0-параллельна оси Оx; при k=µ-перпендикулярна Оx.

8 (39). Уравнение прямой, проходящей через данную точку   М (x
,
y
) с данным угловым коэффициентом
k
.

9 (40). Нормальное уравнение плоскости.

Нормальное ур-е плоскости: x
(Cos
a
) +
y
(Cos
b
)+
z
(Cos
g
)+
r
=0, где Cosa, Cosb, Cosg-направляющие Cos–сы нормального вектора; r-расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель.

10 (41). Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

<img width=«56» height=«73» src=«ref-1_303874348-305.coolpic» hspace=«12» alt=«Подпись: 2)» v:shapes="_x0000_s1066">1)Если прямые параллельны, то они образуют с осью OXодинаковые углы. Поэтому угловые коэф-ты k1 и k2 этих прямых равны. Обратно, если  k
1=
k
2,то углы наклона прямых  к оси OXодинаковы, откуда следует, что данные прямые параллельны. Условием параллельности 2-х прямых яв-ся равенство их угловых коэффициентов. 2)Формула tga=k2-k1/1+k1k2 определяет угол aмежду пересекающимися прямыми через tga. Если a=90, то эта формула оказывается неприменимой, т.к. tg=90 не существует. Если прямые взаимно перпендикулярны, то j2=j1+90, откуда tgj2= tg(j1+90)= -Сtgj1. tgj2= — 1/ tgj1. Заменяя tgj1 и Сtgj2 через k1 и k2, находим: k2= 1/ k1 или 1+ k1k2=0. Обратно, пусть k2= 1/ k1, это значит, что tgj2= -1/tgj1 откуда получаем j2=j1+90. Следовательно, угол между двумя данными прямыми равен 90, т.е. прямые взаимно перпендикулярны. Условие перпендикулярности 2-х прямых состоит в том, что угловые коэф-ты этих прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку:  k
2= -1/
k
1.

11 (42). Угол между прямыми.

Угол aмежду 2-мя параллельными прямыми равен 0, тогда tga=0; с другой стороны, из условия параллельности, т.е. из равенства k1= k2, следует, что k1- k2=0 и по формуле tga=k2-k1/1+k1k2-угол между 2-мя пересекающимися прямыми-получаем:  k1-k2/1+k1k2=0.

12 (43). Плоскость в пространстве. Виды уравнений плоскости.

Существуют следующие виды ур-ий плоскости: 1) Общее ур-е плоскости: Ax+By+Cz+D=0, где `n=(A,B,C)- нормальный вектор плоскости. 2) ур-е плоскости, проходящей через точкуМ1(x1;y1;z1) перпендикулярно вектору`n=(A,B,C): A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. 3)Ур-е плоскости в отрезках: x/a+y/b+z/c=1, где  a,b,c-величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат. 4)Нормальное ур-е плоскости: x
(Cos
a
) +
y
(Cos
b
)+
z
(Cos
g
)+
r
=0, где Cosa, Cosb, Cosg-направляющие Cos–сы нормального вектора; r-расстояние от начала координат до плоскости. Общее ур-е приводится к нормальному виду путём умножения на нормирующий множитель. 5)Ур-е плоскости, проходящей через три заданные точки: М1(x1;y1;z1), М2(x2;y2;z2), М3(x3;y3;z3).

|x-x1      y-y1      z-z1|

|x2-x1   y2-y1   z2-z1|=0.

|x3-x1   y3-y1   z3-z1|

13 (44). Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

14 (45). Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой в пространстве.

Взаимное ур-е 2-х прямых в пространстве: а) пусть прямые заданы своими канонич.ур-ями: x-x1/L1=y-y1/m1=z-z1/n1,

x-x2/L2=y-y2/m2=z-z2/n2; где `q1(L1;m1;n1), `q2 (L2;m2;n2)- направляющие векторы. Тогда прямые параллельны, если параллельны их направляющие векторы:`q1úú`q2 ÞL1/L2=m1/m2=n1/n2.  б) пусть прямые заданы аналогично случаю а). Две прямые ^тогда и только тогда, когда их направляющие векторы перпендикулярны (`q1^`q2).

L1L2+m1m2+n1n2=0.  Существуют следующие виды ур-ий прямой в пространстве: 1)Общее ур-е прямой: прямая задаётся как линия пересечения 2-х плоскостей.

{A1x+B1y+C1z+D1=0

{A2x+B2y+C2z+D2=0, где А1, В1, С1-непропорциональные коэффициентам А2, В2, С2.

2)Ур-е прямой, проходящей через две точки (выводится аналогично ур-ю прямой на плоскости):

x-x2/x2-x1=y-y2/y2-y1=z-z2/z2-z1.

3)Каноническое уравнение прямой в пространстве (ур-е прямой, проходящей ч/з заданную точку М0 (x0;y0;z0), параллельно направляющему вектору `q(l;m;n)):

x-x/l=y-y/m=z-z/n.

4)Параметрическое ур-е прямой: прямая задаётся при помощи точки, лежащей на прямой, и направляющего вектора. М(x0;y0;z0), `q (l;m;n).   íx=x0+lt

                                                        íy=y0+mt

                                                        íz=z0+nt, t-параметр.

5)Угол между 2-мя прямыми в пространстве – это, практически, угол между их направляющими векторами:

Cosj=L1L2+m1m2+n1n2/ÖL12 +m12+n12  *ÖL22+m22+n22 .

15 (46).     продолжение
--PAGE_BREAK--