Реферат: Абстрактная теория групп

--PAGE_BREAK--7.  
Смежные классы
; классы сопряженных элементов.

             Пусть, как и выше, <img width=«63» height=«20» src=«ref-1_745390003-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173"> некоторая подгруппа. Реализуем H как группу L(H,G) левых сдвигов на группе G. Орбита  <img width=«77» height=«29» src=«ref-1_745419556-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> называется левым смежным классом  группы G по подгруппе H. Аналогично, рассматривая правые сдвиги, приходим к правым смежным классам <img width=«33» height=«25» src=«ref-1_745419850-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">.Заметим, что <img width=«84» height=«27» src=«ref-1_745420090-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> стабилизаторSt(g, L(H,G)) (как и St(g, R(H,G))  ) тривиален поскольку состоит из таких элементов <img width=«53» height=«20» src=«ref-1_745390737-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177">, что hg=g<img width=«72» height=«21» src=«ref-1_745420664-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">. Поэтому, если группа H конечна, товсе левые и все правые смежные классы состоят из одинакового числа элементов, равного <img width=«28» height=«29» src=«ref-1_745420928-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">.

Орбиты  группы <img width=«77» height=«24» src=«ref-1_745416477-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180"> называются классами сопряженных элементов группы G относительно подгруппы H и обозначаются <img width=«27» height=«28» src=«ref-1_745421444-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> Если G=H, говорят просто о классах сопряженных элементов группы G. Классы сопряженных элементов могут состоять из разного числа элементов. Это число равно <img width=«116» height=«29» src=«ref-1_745421673-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">, где Z(H,g) подгруппа H , состоящая из всех элементов h перестановочных с g.

Пример.

Пусть <img width=«59» height=«27» src=«ref-1_745422038-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"> — группа подстановок степени 3. Занумеруем ее элементы: <img width=«20» height=«27» src=«ref-1_745422312-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">=(1,2,3); <img width=«23» height=«27» src=«ref-1_745422530-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">=(1,3,2); <img width=«21» height=«27» src=«ref-1_745422750-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">=(2,1,3); <img width=«23» height=«27» src=«ref-1_745422969-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">=(2,3,1); <img width=«21» height=«27» src=«ref-1_745423189-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">=(3,1,2); <img width=«21» height=«27» src=«ref-1_745423410-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">=(3,2,1). Пусть <img width=«105» height=«27» src=«ref-1_745423631-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">. Легко проверить, что левые смежные классы суть:

<img width=«77» height=«27» src=«ref-1_745423961-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">, <img width=«124» height=«27» src=«ref-1_745424246-372.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">, <img width=«121» height=«27» src=«ref-1_745424618-364.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">.

Правые смежные классы:

<img width=«79» height=«27» src=«ref-1_745424982-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, <img width=«124» height=«27» src=«ref-1_745425255-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">, <img width=«125» height=«27» src=«ref-1_745425629-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">.

Все эти классы состоят из 2 элементов.

Классы сопряженных элементов G относительно подгруппы H:

<img width=«85» height=«28» src=«ref-1_745426008-315.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">, <img width=«113» height=«28» src=«ref-1_745426323-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">, <img width=«85» height=«28» src=«ref-1_745426679-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">, <img width=«112» height=«28» src=«ref-1_745426999-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">.

В то же время,

<img width=«84» height=«28» src=«ref-1_745427358-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">, <img width=«137» height=«28» src=«ref-1_745427671-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, <img width=«112» height=«28» src=«ref-1_745428053-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">.

Теорема Лагранжа.

Пусть H подгруппа конечной группы G. Тогда порядок H является делителем порядкаG.

Доказательство.

По свойству орбит G представляется в виде объединения непересекающихся смежных классов: <img width=«213» height=«27» src=«ref-1_745428411-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">. Поскольку все смежные классы состоят из одинакового числа элементов, <img width=«80» height=«29» src=«ref-1_745428868-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">, откуда и вытекает теорема.

Замечание. Число s левых (или правых) смежных классов называется индексом подгруппы <img width=«63» height=«20» src=«ref-1_745390003-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">.

Следствие.

Две конечные подгруппы группы G порядки которых взаимно просты пересекаются только по нейтральному элементу.

В самом деле, если <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_745429419-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> эти подгруппы, то <img width=«63» height=«20» src=«ref-1_745429722-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> их общая подгруппа и по теореме Лагранжа <img width=«68» height=«29» src=«ref-1_745429983-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">  — общий делитель порядков H и K то есть 1.
8.  
Нормальные подгруппы. Факторгруппы.

             Пусть <img width=«63» height=«20» src=«ref-1_745390003-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> любая подгруппа и <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_745393258-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">-любой элемент. Тогда <img width=«173» height=«28» src=«ref-1_745430775-436.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">также является подгруппой G притом изоморфной H, поскольку отображение сопряжения <img width=«89» height=«28» src=«ref-1_745431211-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> является изоморфизмом. Подгруппа <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_745431517-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"> называется сопряженной по отношению к подгруппе H.

Определение.

Подгруппа H называется инвариантной или нормальной в группе G, если все сопряженные подгруппы совпадают с ней самой: <img width=«157» height=«28» src=«ref-1_745431736-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">.

Равенство <img width=«72» height=«23» src=«ref-1_745432123-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">можно записать в виде Hg = gH и таким образом, подгруппа инвариантна в том и только в том случае, когда левые и правые смежные классы по этой подгруппе совпадают.

Примеры.

1.   В коммутативной группе все подгруппы нормальны, так как отображение сопряжения в такой группе тождественно.

2.   В любой группе G нормальными будут, во первых, тривиальная подгруппа <img width=«40» height=«27» src=«ref-1_745432381-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> и, во вторых, вся группа G. Если других нормальных подгрупп нет, то G называется простой.

3.   В рассмотренной выше группе <img width=«21» height=«27» src=«ref-1_745432630-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> подгруппа <img width=«105» height=«27» src=«ref-1_745423631-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">не является нормальной так как левые и правые смежные классы не совпадают. Сопряженными с H будут подгруппы <img width=«172» height=«28» src=«ref-1_745433184-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> и <img width=«171» height=«28» src=«ref-1_745433591-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">.


4.   Если <img width=«63» height=«20» src=«ref-1_745390003-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> — любая подгруппа, то ее централизатор Z = Z(H,G) — нормальная подгруппа в G , так как для всех ее элементов z <img width=«120» height=«28» src=«ref-1_745434258-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">. В частности, центр Z(G) любой группы G -нормальная подгруппа.


5.   Подгруппа H индекса 2 нормальна. В самом деле, имеем 2 смежных класса : H и Hg = G-H = gH.


Теорема (свойство смежных классов по нормальной подгруппе).

Если подгруппа H нормальна в G, то множество всевозможных произведений элементов из двух каких либо смежных классов по этой подгруппе снова будет одним из смежных классов, то есть <img width=«195» height=«27» src=«ref-1_745434592-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">.

Доказательство.

Очевидно, что для любой подгруппы H <img width=«77» height=«20» src=«ref-1_745435078-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">.Но тогда


<img width=«211» height=«27» src=«ref-1_745435336-506.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">= <img width=«89» height=«27» src=«ref-1_745435842-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">= <img width=«104» height=«27» src=«ref-1_745436188-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">= <img width=«75» height=«27» src=«ref-1_745436545-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">.

       Таким образом, в случае нормальной подгруппы H определена алгебраическая операция на множестве смежных классов. Эта операция ассоциативна поскольку происходит из ассоциативного умножения в группе G. Нейтральным элементом для этой операции является смежный класс <img width=«71» height=«20» src=«ref-1_745436865-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">. Поскольку <img width=«191» height=«28» src=«ref-1_745437120-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">, всякий смежный класс имеет обратный. Все это означает, что относительно этой операции множество всех (левых или правых) смежных классов по нормальной подгруппе является группой. Она называется факторгруппой группы G по H и обозначается G/H. Ее порядок равен индексу подгруппы H в G.


9 Гомоморфизм.

         Гомоморфизм групп — это естественное обобщение понятия изоморфизма.

Определение.

Отображение групп <img width=«124» height=«23» src=«ref-1_745437559-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">называется гомоморфизмом, если оно сохраняет алгебраическую операцию, то есть <img width=«116» height=«27» src=«ref-1_745437895-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">: <img width=«207» height=«27» src=«ref-1_745438261-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">.

Таким образом, обобщение состоит в том, что вместо взаимно однозначных отображений, которые участвуют в определении изоморфизма, здесь допускаются любые отображения.

Примеры.

1.   Разумеется, всякий изоморфизм является гомоморфизмом.

2.   Тривиальное отображение <img width=«123» height=«25» src=«ref-1_745438770-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> является гомоморфизмом.

3.   Если <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_745439128-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> — любая подгруппа, то отображение вложения <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_745439354-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> будет инъективным гомоморфизмом.

4.   Пусть <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_745439128-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> — нормальная подгруппа. Отображение <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_745439873-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> группы G на факторгруппу G/H будет гомоморфизмом поскольку <img width=«152» height=«23» src=«ref-1_745440134-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">. Этот сюръективный гомоморфизм называется естественным.

5.   По теореме С предыдущего раздела отображение сопряжения <img width=«101» height=«21» src=«ref-1_745440524-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> сохраняет операцию и, следовательно является гомоморфизмом.

6.   Отображение <img width=«55» height=«24» src=«ref-1_745440832-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">, которое каждому перемещению <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_745441081-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">   n — мерного пространства ставит в соответствие ортогональный оператор <img width=«55» height=«25» src=«ref-1_745441318-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">(см. лекцию №3) является гомоморфизмом поскольку по теореме 4 той же лекции <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_745441569-313.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">.

Теорема (свойства гомоморфизма)

Пусть <img width=«81» height=«23» src=«ref-1_745441882-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> — гомоморфизм групп, <img width=«56» height=«23» src=«ref-1_745442155-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> и <img width=«61» height=«23» src=«ref-1_745442401-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> — подгруппы. Тогда:

1.   <img width=«68» height=«23» src=«ref-1_745442660-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">, <img width=«117» height=«24» src=«ref-1_745442934-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">.

2.   <img width=«80» height=«23» src=«ref-1_745443279-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> — подгруппа.


3.   <img width=«115» height=«28» src=«ref-1_745443572-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">-подгруппа, причем нормальная, если таковой была <img width=«73» height=«27» src=«ref-1_745443922-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">.


Доказательство.

1.   <img width=«235» height=«27» src=«ref-1_745444209-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254"> и по признаку нейтрального элемента <img width=«65» height=«23» src=«ref-1_745444750-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">. Теперь имеем: <img width=«295» height=«28» src=«ref-1_745445021-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">.

2.   Пусть p = a(h), q = a(k). Тогда <img width=«80» height=«28» src=«ref-1_745445591-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> и  <img width=«319» height=«28» src=«ref-1_745445895-637.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">. По признаку подгруппы получаем 2.


3.   Пусть <img width=«121» height=«28» src=«ref-1_745446532-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> то есть элементы p = a(h), q = a(k) входят в <img width=«27» height=«27» src=«ref-1_745446910-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">. Тогда <img width=«171» height=«28» src=«ref-1_745447131-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> то есть <img width=«127» height=«28» src=«ref-1_745447570-382.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">. Пусть теперь подгруппа <img width=«27» height=«27» src=«ref-1_745446910-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">нормальна и <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_745448173-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> — любой элемент. <img width=«157» height=«28» src=«ref-1_745448444-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> <img width=«169» height=«28» src=«ref-1_745448866-454.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> и потому <img width=«127» height=«28» src=«ref-1_745449320-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"><img width=«71» height=«28» src=«ref-1_745449687-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268">.


Определение.

Нормальная подгруппа<img width=«133» height=«28» src=«ref-1_745449987-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> называется ядром гомоморфизма <img width=«81» height=«23» src=«ref-1_745441882-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">.Образ этого гомоморфизма обозначается <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_745450646-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">.

Теорема.

Гомоморфизм a инъективен тогда и только тогда, когда <img width=«107» height=«27» src=«ref-1_745450864-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">

Доказательство.

Поскольку <img width=«85» height=«27» src=«ref-1_745451211-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">, указанное условие необходимо. С другой стороны, если <img width=«119» height=«27» src=«ref-1_745451534-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">, то <img width=«256» height=«28» src=«ref-1_745451894-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> и если ядро тривиально, <img width=«59» height=«27» src=«ref-1_745452435-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> и отображение инъективно.

          Понятие гомоморфизма тесно связано с понятием факторгруппы.

Теорема о гомоморфизме.

Любой гомоморфизм <img width=«81» height=«23» src=«ref-1_745441882-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> можно представить как композицию естественного (сюръективного) гомоморфизма <img width=«159» height=«27» src=«ref-1_745452978-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">, изоморфизма <img width=«177» height=«27» src=«ref-1_745453394-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> и (инъективного) гомоморфизма <img width=«105» height=«27» src=«ref-1_745453816-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> (вложения подгруппы в группу): <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_745454137-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">.

Доказательство.

Гомоморфизмы p и i описаны выше (см. примеры) Построим изоморфизм j. Пусть <img width=«93» height=«21» src=«ref-1_745454448-298.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">. Элементами факторгруппы <img width=«57» height=«27» src=«ref-1_745454746-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283"> являются смежные классы Hg . Все элементы <img width=«72» height=«27» src=«ref-1_745455017-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> имеют одинаковые образы при отображении a: <img width=«297» height=«27» src=«ref-1_745455324-633.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">. Поэтому формула <img width=«127» height=«25» src=«ref-1_745455957-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> определяет однозначное отображение <img width=«147» height=«27» src=«ref-1_745456344-369.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">. Проверим сохранение операции <img width=«268» height=«27» src=«ref-1_745456713-527.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> <img width=«339» height=«27» src=«ref-1_745457240-633.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">.Поскольку отображение j очевидно сюръективно, остается проверить его инъективность. Если <img width=«157» height=«25» src=«ref-1_745457873-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">, то <img width=«127» height=«25» src=«ref-1_745458271-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> и потому <img width=«125» height=«29» src=«ref-1_745458627-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">. Следовательно, <img width=«100» height=«25» src=«ref-1_745458979-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> и по предыдущей теореме j инъективно.

Пусть <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_745448173-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">  — любой элемент. Имеем :<img width=«225» height=«25» src=«ref-1_745459581-514.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> <img width=«151» height=«25» src=«ref-1_745460095-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">. Следовательно, <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_745454137-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">.
10
Циклические группы.

             Пусть G произвольная группа и <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_745393258-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298"> — любой ее элемент. Если некоторая подгруппа <img width=«63» height=«20» src=«ref-1_745390003-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> содержит g, то она содержит и все степени <img width=«24» height=«28» src=«ref-1_745461292-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">. С другой стороны, множество <img width=«159» height=«28» src=«ref-1_745461516-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">очевидно является подгруппой G .

Определение.

Подгруппа Z(g) называется циклической подгруппой G с образующим элементом g. Если G = Z(g) , то и вся группа G называется циклической.

Таким образом, циклическая подгруппа с образующим элементом g является наименьшей подгруппой G, содержащей элемент g.

Примеры

1.   Группа Z целых чисел с операцией сложения является циклической группой с образующим элементом 1.

2.   Группа <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_745461945-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> поворотов плоскости на углы кратные 2p¤n является циклической с образующим элементом <img width=«33» height=«28» src=«ref-1_745462168-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> — поворотом на угол 2p¤n. Здесь n = 1, 2, ...


Теорема о структуре циклических групп.

Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Циклическая группа порядка n изоморфна Z / nZ .

Доказательство.

Пусть G = Z(g) — циклическая группа. По определению, отображение <img width=«172» height=«28» src=«ref-1_745462392-438.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"> — сюръективно. По свойству степеней <img width=«100» height=«28» src=«ref-1_745462830-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> и потому j — гомоморфизм. По теореме о гомоморфизме <img width=«119» height=«25» src=«ref-1_745463141-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">. H = KerjÌZ.Если H — тривиальная подгруппа, то <img width=«56» height=«20» src=«ref-1_745463499-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">. Если H нетривиальна, то она содержит положительные числа. Пусть n — наименьшее положительное число входящее в H. Тогда nZÌH.Предположим, что в H есть и другие элементы то есть целые числа не делящееся на n нацело и k одно из них. Разделим k на n с остатком: k = qn +r , где 0< r < n. Тогда r = k — qn ÎH , что противоречит выбору n. Следовательно, nZ = H и теорема доказана.

Отметим, что <img width=«24» height=«27» src=«ref-1_745461945-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">» Z / nZ .

Замечание.

В процессе доказательства было установлено, что каждая подгруппа группы Z имеет вид nZ , где n = 0 ,1, 2 ,...

Определение.

Порядком элемента <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_745393258-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309"> называется порядок соответствующей циклической подгруппы Z( g ) .

Таким образом, если порядок g бесконечен, то все степени <img width=«77» height=«28» src=«ref-1_745464237-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">  — различные элементы группы G. Если же этот порядок равен n, то элементы <img width=«163» height=«28» src=«ref-1_745464548-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311"> различны и исчерпывают все элементы из Z( g ), а<img width=«88» height=«28» src=«ref-1_745464954-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">N кратно n . Из теоремы Лагранжа вытекает, что порядок элемента является делителем порядка группы.Отсюда следует, что для всякого элемента g конечной группы G порядка n имеет место равенство <img width=«56» height=«28» src=«ref-1_745465241-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">.


Следствие.

Если G — группа простого порядка p, то <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_745465499-328.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> — циклическая группа.

В самом деле, пусть <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_745393258-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">  — любой элемент отличный от нейтрального. Тогда его порядок больше 1 и является делителем p, следовательно он равен p. Но в таком случае G = Z( g )»<img width=«60» height=«25» src=«ref-1_745466087-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">.
Теорема о подгруппах конечной циклической группы.

Пусть G — циклическая группа порядка n и m — некоторый делитель n. Существует и притом только одна подгруппа HÌG порядка m. Эта подгруппа циклична.

Доказательство.

По предыдущей теореме G»Z / nZ. Естественный гомоморфизм <img width=«84» height=«21» src=«ref-1_745466373-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> устанавливает взаимно однозначное соответствие между подгруппами HÌG и теми подгруппами KÌZ , которые содержат Kerp= nZ . Но, как отмечалось выше, всякая подгруппа K группы Z имеет вид kZ Если kZÉnZ , то k — делитель n и p(k) — образующая циклической группы H порядка m = n /k. Отсюда и следует утверждение теоремы.

Верна и обратная теорема: если конечная группа
G порядка
n обладает тем свойством, что для всякого делителя
m числа
n существует и притом ровно одна подгруппа
H порядка
m, то
G — циклическая группа.

Доказательство.

Будем говорить, что конечная группа G порядка N обладает свойством (Z), если для всякого делителя m числа N существует и притом только одна подгруппа HÌG порядка m. Нам надо доказать, что всякая группа, обладающая свойством (Z) циклическая. Установим прежде всего некоторые свойства таких групп.

Лемма.

Если G обладает свойством (Z), то

1.   Любая подгруппа G нормальна.

2.   Если x и y два элемента такой группы и их порядки взаимно просты, то xy = yx.


3.   Если H подгруппа порядка m такой группы G порядка N и числа m и N/m взаимно просты, то H обладает свойством (Z).


Доказательство леммы.


1. Пусть HÌG . Для любого <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_745393258-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318"> подгруппа <img width=«53» height=«28» src=«ref-1_745466925-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"> имеет тот же порядок, что и H. По свойству (Z) <img width=«93» height=«28» src=«ref-1_745467201-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> то есть подгруппа H нормальна.

2. Пусть порядок x равен p, а порядок y равен q. По пункту 1) подгруппы Z(x) и Z(y) нормальны. Значит, Z(x)y = yZ(x) и xZ(y) = Z(y)x и потому для некоторых a и b <img width=«159» height=«28» src=«ref-1_745467518-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">. Следовательно, <img width=«85» height=«28» src=«ref-1_745467920-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">. Но, поскольку порядки подгрупп Z(x) и Z(y) взаимно просты, то <img width=«153» height=«28» src=«ref-1_745468206-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">. Следовательно, <img width=«67» height=«23» src=«ref-1_745468617-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> <img width=«84» height=«24» src=«ref-1_745468869-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325"> и потому xy = yx.

4.   Используя свойство (Z) , выберем в G подгруппу K порядка N/m. По 1) эта подгруппа нормальна, а поскольку порядки H и K взаимно просты, эти подгруппы пересекаются лишь по нейтральному элементу. Кроме того по 2) элементы этих подгрупп перестановочны между собой. Всевозможные произведения hk =kh, где hÎH, kÎK попарно различны, так как <img width=«219» height=«28» src=«ref-1_745469121-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">=e поскольку это единственный общий элемент этих подгрупп. Количество таких произведений равно m N/m = <img width=«25» height=«29» src=«ref-1_745469629-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> и, следовательно, они исчерпывают все элементы G. Сюръективное отображение <img width=«88» height=«25» src=«ref-1_745469853-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> является гомоморфизмом <img width=«88» height=«25» src=«ref-1_745470195-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> с ядром K. Пусть теперь число s является делителем m. Выберем в G подгруппу S порядка s. Поскольку s и N/m взаимно просты, <img width=«131» height=«28» src=«ref-1_745470494-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330"> и потому <img width=«89» height=«25» src=«ref-1_745470872-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">  — подгруппа порядка s. Если бы подгрупп порядка s в H было несколько, то поскольку все они были бы и подгруппами G условие (Z) для G было бы нарушено. Тем самым мы проверили выполнение условия (S) для подгруппы H.

Доказательство теоремы.

Пусть <img width=«108» height=«28» src=«ref-1_745471196-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">  — разложение числа N в произведение простых чисел. Проведем индукцию по k. Пусть сначала k = 1, то есть <img width=«63» height=«28» src=«ref-1_745471515-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">. Выберем в G элемент x максимального порядка <img width=«23» height=«28» src=«ref-1_745471781-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">. Пусть y любой другой элемент этой группы. Его порядок равен <img width=«24» height=«28» src=«ref-1_745471996-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">, где u £s. Группы <img width=«67» height=«29» src=«ref-1_745472209-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336"> и <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_745472512-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337"> имеют одинаковые порядки и по свойству (Z) они совпадают. Поэтому <img width=«165» height=«31» src=«ref-1_745472778-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338"> и мы доказали, что x— образующий элемент циклической группы G. Пусть теорема уже доказана для всех меньших значений k. Представим N в виде произведения двух взаимно простых множителей N = pq (например, <img width=«61» height=«28» src=«ref-1_745473209-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">). Пусть H и K подгруппы G порядка p и q. Использую 3) и предположение индукции, мы можем считать, что H = Z(x), K = Z(y), причем xy = yx . Элемент xy имеет порядок pq = N и, следовательно, является образующим элементом циклической группы G.
    продолжение
--PAGE_BREAK--