Реферат: Решетки субнормальных и f-субнормальных подгрупп
Курсовая работа
«Решетки субнормальных и />-субнормальных подгрупп»
Введение
В теории конечных групп одним из центральных понятий является понятие />-субнормальной подгруппы. Изучению свойств субнормальных подгрупп конечных групп положило начало в 1939 г. известная работа Виландта [10], оказавшая огромное влияние на развитие всей теории конечных групп в последующие годы.
В первом разделе курсовой работы изучаются основные положения теории субнормальных подгрупп. Важнейшим достижением данной теории является результат Виландта о том, что множество всех субнормальных подгрупп любой конечной группы образует решетку.
Формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно фактор-групп и подпрямых произведений, всегда находились в поле деятельности исследователей по теории конечных групп. Однако вплоть до 1963 г. формационное развитие теории конечных групп шло лишь по пути накопления фактов, относящихся к различным конкретным формациям, из которых наиболее популярными были формация разрешимых групп и ее подформации, составленные из абелевых, нильпотентных и сверхразрешимых групп. Хотя теория конечных групп никогда не испытывала недостатка в общих методах, идеях и нерешенных проблемах, все же обилие полученных результатов с неизбежностью привело к необходимости разработки новых общих методов и систематизирующих точек зрения. Толчок, произведенный работой Гашюца [8], вызвал целую лавину исследований и привел к возникновению нового направления – теории формаций.
В теории формаций одним из важнейших понятий является понятие />-субнормальных подгрупп, которое является естественным расширением субнормальных подгрупп. Поэтому, конечно, возникает задача о построении теории />-субнормальных подгрупп, аналогичной теории субнормальных подгрупп Виландта.
Во втором разделе курсовой работы рассматриваются минимальные не />-группы.
В третьем разделе приводится описание локальных наследственных формаций, обладающих решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп.
1. Субнормальные подгпруппы и их свойства
Определение. Пусть /> – подгруппа группы />. Цепь подгрупп
/>
в которой /> для любого />, />,…, />, называется субнормальной />-цепью, а число /> – длиной этой цепи. Наименьшее />, при котором существует хотя бы одна субнормальная />-цепь длины />, называется дефектом подгруппы /> в /> и обозначается через />.
Определение. Пусть /> – подгруппа группы />. Если существует хотя бы одна субнормальная />-цепь, то подгруппа называется субнормальной, обозначается />.
Лемма. Если /> субнормальна в />, и /> субнормальна в />, то /> субнормальна в />.
/>субнормальна в />, следовательно, по определению субнормальной подгруппы существует субнормальная />-цепь
/>
/>субнормальна в />, следовательно, существует субнормальная />-цепь
/>
Таким образом, мы получили субнормальную />-цепь
/>
то есть /> субнормальна в /> по определению. Лемма доказана.
Теорема. Если подгруппа /> субнормальна, но не нормальна в />, то существует такой элемент />, что
/>
Доказательство. Пусть /> – дефект подгруппы /> в группе />. Рассмотрим субнормальную />-цепь длины />:
/>
Из того, что /> не нормальна в />, следует, что />. /> не нормальна и в />, иначе мы получаем противоречие с тем, что /> – дефект подгруппы /> в группе />, так как в этом случае подгруппу /> в цепи можно было опустить. Поэтому существует элемент /> такой, что />. Теперь имеем
/>
Так как />, то />. С другой стороны, /> и />, откуда получаем />. Теорема доказана.
Определение. Пусть /> – субнормальная подгруппа дефекта /> в />. Субнормальная />-цепь
--PAGE_BREAK--/>
называется канонической, если для любой субнормальной />-цепи
/>
имеет место />, />, />,…, />.
Другими словами, каноническая субнормальная цепь входит почленно в любую другую субнормальную цепь той же длины.
Теорема. Если /> субнормальна в />, то существует единственная каноническая субнормальная />-цепь.
Доказательство. Пусть /> – дефект подгруппы /> в группе />. Будем рассматривать все возможные субнормальные />-цепи длины />.
/>
все субнормальные />-цепи длины /> (/> – второй индекс). Положим />. Так как />, то для любого />, />,…, /> мы имеем
/>
Таким образом, цепь
/>
является субнормальной />-цепью длины /> и, следовательно, не имеет повторений. Так как /> при любых /> и />, то теорема доказана.
Теорема. Если /> субнормальна в /> и /> – подгруппа />, то пересечение /> есть субнормальная подгруппа />.
Доказательство. Рассмотрим субнормальную />-цепь минимальной длины />:
/>
Положим />. Получаем цепь
/>
Ясно, что она будет субнормальной, так как />. Действительно, пусть />, значит, /> и />. Тогда для любого />, так как /> и />.
Мы получили субнормальную />-цепь. Теорема доказана.
Следствие. Пусть /> и /> – подгруппы группы />. Если /> субнормальна в /> и /> – подгруппа />, то /> субнормальна в />.
Доказательство. Пусть /> и цепь
/>
является субнормальной />-цепью.
Положив />, получим субнормальную />-цепь
/>
что и требовалось.
Теорема. Пусть /> субнормальна в /> и /> субнормальна в />. Тогда пересечение /> есть субнормальная подгруппа в/>.
Доказательство. Пусть /> – наибольший из дефектов подгрупп /> и /> в группе />. Очевидно, существует (возможно, с повторениями) цепи
/>
/>
Положим />, />, />,…, />. Из />, /> следует, что /> нормальна в />. Следовательно, цепь
/>
является субнормальной />-цепью, что и доказывает теорему.
продолжение--PAGE_BREAK--
Лемма. Если /> субнормальна в />, а /> – нормальная подгруппа группы />, то произведение есть субнормальная подгруппа группы />.
Доказательство. /> субнормальна в />, следовательно, существует субнормальная />-цепь
/>
Следовательно, цепь
/>
будет субнормальной.
Действительно, так как /> и />, то />. Лемма доказана.
Лемма. Если подгруппы /> и /> субнормальны в /> и />, топроизведение /> есть субнормальная подгруппа группы />.
Доказательство. Если /> нормальна в />, то результат следует по лемме 1.9.
Предположим, что /> не нормальна в />, то есть />. Будем считать, что теорема верна для субнормальных подгрупп с дефектом меньшим />. Таким образом, если /> и /> субнормальны в /> причем /> и />, то по индуктивному предположению /> субнормальна в />.
Пусть /> – каноническая субнормальная />-цепь. Так как /> нормализует подгруппу />, то для любого /> цепь
/>
будет субнормальной />-цепью. По свойству канонической субнормальной />-цепи />, а значит, /> для любого />, />,…, /> (по определеделению).
Следовательно, /> содержится в /> для любого />. Так как /> и />, то по индукции /> субнормальна в />. По следствию 1.7.1 /> субнормальна в />. Так как /> и />, то />. Таким образом, />, />, а значит, по лемме 1.9 подгруппа /> субнормальна в />. К тому же />, то мы получаем />. Лемма доказана.
Теорема. Если /> и /> – субнормальный подгруппы группы />, то /> есть также субнормальная подгруппа />.
Доказательство. Положим />. Среди субнормальных подгрупп группы />, содержащихся в />, выберем подгруппу />, имеющю наибольший порядок. По следствию 1.7.1 /> субнормальна в />. Докажем, что /> нормальна в />. Предположим противное, то есть что /> не нормальна в />. Тогда по теореме 1.4 найдется такой элемент />, что />, /> и />. Так как /> субнормальна в /> и />, то /> субнормальна в />. Получается следующая ситуация: /> и /> субнормальны в />, />. По лемме 1.10 /> субнормальна в />. Ввиду выбора /> отсюда следует />, что противоречит />.
Итак, /> нормальна в />, а значит, /> и /> нормализуют подгруппу />. По лемме 1.10 /> и /> субнормальны в />. Так как /> и />, то ввиду выбора /> получаем />. Следовательно, />, откуда вытекает, что />. Теорема доказана.
Объединим теоремы 1.8 и 1.11 в один результат.
продолжение--PAGE_BREAK--
Теорема (Виландт). Множество всех субнормальных подгрупп группы /> образует подрешетку решетки />.
Отметим одно часто используемое приложение теорем 1.4 и 1.12.
Теорема. Пусть /> – некоторое непустое множество субнормальных подгрупп группы />, удовлетворяющее следующим условиям:
1) если /> и />, то />;
2) если />, />, />, />, то />.
Тогда /> для любой подгруппы />.
Доказательство. Возьмем произвольную подгруппу /> из />. Если /> не нормальна в />, то по теореме 1.4 найдется такой элемент />, что />, />, />. По условиям 1) и 2) />, />. Если /> не нормальна в />, то найдется /> такой, что />, />, />. Тогда /> и />. Если /> не нормальна, то описанную процедуру применяем к />. Так как /> конечна, то этот процесс завершится построением нормальной подгруппы />, представимой в виде />, где /> – некоторые элементы из />. Очевидно, />, и теорема доказана.
Следствие. Если /> – непустой радикальный класс, то /> содержит все субнормальные />-подгруппы группы />.
Доказательство. Пусть /> – множество всех субнормальных />-подгрупп из />. Ввиду теоремы 1.12 легко заметить, что /> удовлетворяет условиям 1) и 2) теоремы 1.13.
Следствие. Для любой субнормальной подгруппы /> группы /> справедливы следующие утверждения:
1) если /> – />-группа, то />;
2) если /> нильпотентна, то />;
3) если />/>-нильпотентна, то />;
4) если /> разрешима, то />.
2. Минимальные не />-группы
Лемма [3]. Пусть />, где /> – локальная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) группа /> монолитична с монолитом
/>
2) /> – />-группа для некоторого простого />;
3) /> – />-эксцентральный главный фактор />;
4) />;
5) если группа /> неабелева, то ее центр, коммутант и подгруппы Фраттини совпадают и имеют экспоненту />;
6) если /> абелева, то она элементарна;
7) если />, то /> – экспонента />; при /> экспонента /> не превышает 4;
8) для любой />-абнормальной максимальной подгруппы /> из /> имеет место
/>
9) любые две />-абнормальные максимальные подгруппы группы /> сопряжены в />;
10) если /> и подгруппа /> содержит />, то /> для любого полного локального экрана /> формации />;
продолжение--PAGE_BREAK--
11) если /> – />-абнормальная максимальная подгруппа группы /> и /> – некоторый полный локальный экран />, то /> – минимальная не />-группа и либо />, либо />.
Доказательство. 1) Пусть /> – минимальная нормальная подгруппа из /> такая, что />. Очевидно, что />. Противоречие. Итак, /> – минимальная нормальная подгруппа />. Так как /> – формация, то, нетрудно заметить, что /> – единственная минимальная нормальная подгруппа из />. А это значит, что
/>
Отсюда следует, что
/>
2) Выше мы показали, что /> – главный />-фактор. Покажем, что /> – />-группа. Предположим противное. Пусть простое число /> делит />, но не делит />. По лемме 4.4 из [5] />, где /> – содержащаяся в /> силовская />-подгруппа из />. Тогда
/>
Отсюда и из насыщенности /> получим />. Но тогда />, что невозможно.
Пусть /> – главный фактор группы />. Ввиду 2) /> является />-группой и />. Следовательно, каждая />-абнормальная масимальная подгруппа группы /> является />-нормализатором группы />. Так как />-нормализатор группы /> покрывает только />-центральные главные факторы, то мы получаем, что />/>-гиперцентральна в />. Согласно следствию 9.3.1 из [5] />. Отсюда следует, что />, т.е. />.
Обозначим через /> коммутант группы />. Так как /> – />-корадикал группы />, то по теореме 11.6 из [5] каждый главный фактор группы /> на участке от /> до />/>-эксцентрален. Отсюда и из />-гиперцентральности /> заключаем, что />. Так как
/>
то мы получаем тaкже рaвенство />. Таким образом, утверждения 2) – 6), 9) доказаны.
Докажем 7). Предположим, что /> неабелева. Пусть /> – произвольный элемент из />. Ввиду 4) />, причем />. Следовательно,
/>
для всех элементов />,/> из />. Это означает, что /> имеет экспоненту />. Учитывая это и то, что /> содержится в />, получаем для любых />, из /> при />:
/>
Значит, отображение /> является />-эндоморфизмом группы />. Так как
/>
то />/>-гиперцентральна в />. Вспоминая, что /> – />-эксцентральный главный фактор, получаем равенство />. Так как /> имеет экспоненту />, то утверждение 7) при /> доказано.
Пусть />. Тогда
/>
где />. Рассматривая отображение /> как и выше получаем, что />. Значит /> имеет экспоненту не больше 4.
Докажем 8). Выше мы доказали, что />. Пусть />. Тогда в /> найдется такая максимальная подгруппа />, что />. Так как />, то />. Отсюда />. Противоречие. Итак, />. По теореме 9.4 из [5] имеем /> для любой />-абнормальной максимальной подгруппы /> группы />. Нетрудно показать, что />.
продолжение--PAGE_BREAK--
По теореме 7.11 из [5],
/>
Так как />, то
/>
Ввиду того, что /> и /> – главный фактор />, имеем />. Итак, />. Пусть /> – любая />-абнормальная максимальная подгруппа группы />. Тогда />. Ясно, что
/>
Не ограничивая общности, положим />. Тогда /> – единственная минимальная нормальная подгруппа />. Легко видеть, что /> и />. Но /> – />-группа. Значит, />. По условию />. Следовательно, ввиду полноты экрана /> имеет место
/>
/>
то />. Таким образом, всякая собственная подгруппа группы /> принадлежит />. Допустим, что />. Тогда
/>
и поэтому />. Полученное противоречие показывает, что />, т.е. /> – минимальная не />-группа.
Предположим теперь, что />. Покажем, что />. Не теряя общности, можно положить, что />. Тогда />, />. Пусть />, где /> и />, где />. Для всякого /> через /> обозначим подгруппу />. Предположим, что все /> отличны от />. Так как />, то /> – дополнение к /> в />. Если /> для всех различных /> и />, то
/>
и поэтому />. Противоречие. Значит /> для некоторых различных /> и />. Из последнего вытекает
/>
что невозможно. Полученное противоречие показывает, что /> для некоторого /> и, следовательно, />. Лемма доказана.
Лемма [4]. Пусть /> – наследственная локальная формация, /> – такая нормальная подгруппа группы />, что />. Тогда /> равносильно />.
Доказательство. Пусть />. Тогда />, и если /> – произвольная максимальная подгруппа />, то />, а значит, и /> принадлежит />. Следовательно, />.
Предположим теперь, что />. Понятно, что />.Пусть /> – произвольная максимальная подгруппа />, тогда />. Пусть /> – произвольный />-главный фактор из />. Обозначим />. Пусть /> – максимальный внутренний локальный экран формации />, и пусть />. Так как />, то />. Покажем, что />. По лемме 8.7 из [6] формация /> наследственна. Следовательно, если />, то сразу получим />. Если же />, то /> вытекает из изоморфизма />. Итак, всякий />-главный фактор из />, />-централен в />. Значит, />. Таким образом, />. Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть /> – локальная наследственная формация, /> – некоторый ее полный экран. Группа /> принадлежит /> тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:
продолжение--PAGE_BREAK--
1) />;
2) />, где /> – главный />-фактор группы />, /> – минимальная не />-группа.
Доказательство. Необходимость вытекает из леммы 2.1.
Достаточность. Пусть /> и /> – произвольные максимальные подгруппы />. Покажем, что />. Если />/>-абнормальна, то ввиду леммы 2.1 имеем />. Значит, />. Пусть />. По условию
/>
Следовательно, /> и по лемме 2.1 /> – />-группа. Значит по лемме 8.2 из [6] />. Итак, />. Применяя теперь лемму 2.1 получаем, что />. Лемма доказана.
Лемма [3]. Пусть /> – локальная формация, имеющая постоянный наследственный локальный экран />. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) /> для любого /> из />;
2) /> тогда и только тогда, когда /> для любого /> из />, /> – главный /> фактор />, />.
Доказательство. 1) Пусть /> – произвольная группа из />. Покажем, что />. Предположим противное. Пусть /> – подгруппа наименьшего порядка из />, не принадлежащая />. Очевидно, что />. Так как /> – постоянный экран, то ввиду леммы 4.5 из [5] /> для любого /> из />. Если />, то из того, что /> следует />. Получили противоречие. Итак, /> – собственная подгруппа из />. Но тогда />, что невозможно.
2) Пусть />. Покажем, что />. Так как
/>
то, не ограничивая общности, можно считать, что />. Пусть /> – произвольная />-абнормальная максимальная подгруппа группы />. Тогда по лемме 2.1 />, где />. Очевидно, что />. Отсюда следует, что /> – />-группа. Так как /> и /> – постоянный экран, то />. Пусть /> – произвольная собственная подгруппа из />. Так как формация /> наследственна, то />. Кроме того, />. Отсюда />. Следовательно,
/>
Если теперь />, то />. Отсюда нетрудно заметить, что />. Противоречие. Итак, />. Из леммы 2.1 следует, что
/>
есть главный />-фактор группы />.
Пусть теперь />. Очевидно, что />. Пусть /> – собственная подгруппа из />.Рассмотрим подгруппу />. Если />, то тогда
/>
Согласно пункту 1 />. Пусть />. Тогда /> – собственная подгруппа группы />. Тогда
/>
Отсюда />. А это значит, что />. Итак, />. Так как />, то по лемме 2.1 />. Лемма доказана.
Лемма. Пусть /> – непустая наследственная формация. Тогда:
1) если /> – подгруппа группы /> и />, то />/>-субнормальна в />;
продолжение--PAGE_BREAK--
2) если />/>-субнормальна в />, /> – подгруппа группы />, то />/>-субнормальна в />;
3) если /> и />/>-субнормальные подгруппы />, то /> – />-субнормальная подгруппа />;
4) если />/>-субнормальна в />, а />/>-субнормальна в />, то />/>-субнормальна в />;
5) если все композиционные факторы группы /> принадлежат формации />, то каждая субнормальная подгруппа группы /> является />-субнормальной;
6) если /> – />-субнормальная подгруппа группы />, то />/>-субнормальна в /> для любых />.
Лемма. Пусть /> – непустая формация, /> – подгруппа группы />, /> – нормальная подгруппа из />. Тогда:
1) если />/>-субнормальна в />, то />/>-субнормальна в /> и />/>-субнормальна в />;
2) если />, то />/>-субнормальна в /> тогда и только тогда, когда />/>-субнормальна в />.
3. Формации с решеточным свойством
Лемма [1]. Пусть /> – наследственная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) /> обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп;
2) группа /> принадлежит />, если />, /> – />-субнормальные />-подгруппы группы />;
3) /> – формация Фиттинга и всякая />-субнормальная />-подгруппа группы /> содержится в />-радикале этой группы.
Установим, что из 1) следует 2).
Пусть /> – контрпример минимального порядка. В этом случае />, где />/>-субнормальная />-подгруппа группы />, />, и /> не принадлежит />. Пусть /> – минимальная нормальная подгруппа группы />. Все условия леммы для фактор-групп выполняются, поэтому в силу выбора /> имеем, что />. В виду теоремы 4.3 из [7] формация /> является насыщенной. Поэтому группа /> имеет единственную минимальную нормальную подгруппу /> и />.
Если />, то /> – простая группа. Так как /> и /> – />-субнормальная подгруппа группы />, />, то либо />, либо />. Значит, />. Противоречие с выбором группы />.
Пусть />. Рассмотрим подгруппы /> и />. Так как /> – собственная />-субнормальная подгруппа /> и />, то нетрудно видеть, что /> – собственная подгруппа />, />. Покажем, что />.
Рассмотрим два случая.
1. Пусть /> – абелева группа. Тогда /> – />-группа, /> – простое число. Так как /> и подгруппа />/>-субнормальна в />, то по лемме 2.6 получаем />, />.
продолжение--PAGE_BREAK--
2. Пусть /> – неабелева группа. В этом случае
/>
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и />.
Рассмотрим подгруппу />. Так как подгруппа />/>-субнормальна в />, то ввиду леммы 2.4 и подгруппа />/>-субнормальна в группе />. Пусть
/>
Ввиду леммы 2.5 подгруппа />/>-субнормальна в /> для любого /> из />. Так как формация /> обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп, то /> – />-субнормальная подгруппа />. Кроме того, из /> следует, что />. Если />, то />. Получили противоречие с />. Значит, />. Так как /> нормальна в />, то /> нормальна в />. Но
/>
где /> – неабелева простая группа и /> для всех />. Поэтому
/>
Из /> и наследственности формации /> следует, что />. Но тогда />. Далее, так как />, то по лемме 2.5 подгруппа />/>-субнормальна в />. Значит, она />-субнормальна и в />, />. Тогда из /> получаем что
/>
Пусть /> – добавление к подгруппе /> в группе />. Так как />, то />. В силу насыщенности формации /> из
/>
и
/>
получаем, что />. Итак, />, /> и />.
Используя тождество Дедекинда, имеем
/>
Если предположить, что />, то />. В этом случае
/>
Так как />, то /> не может быть />-субнормальной подгруппой в />. Следовательно, можно считать, что />, />.
Так как подгруппа />/>-субнормальна в группе /> и />, то из наследственности формации /> следует, что подгруппа />/>-субнормальна в />.
Так как формация /> обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп, то /> – />-субнормальная подгруппа группы />. Кроме того, из /> и наследственности формации /> имеем />. Обозначим />, />, и рассмотрим подгруппу />. Если />, то />, что невозможно ввиду />-субнормальности в /> подгруппы />.
Пусть />. Из />, нормальности /> в /> и нормальности /> в /> следует, что /> нормальна в />.
Так как
/>
продолжение--PAGE_BREAK--
то
/>
Таким образом получаем
/>
Так как />, то /> – подгруппа из />. Тогда из />-субнормальности в /> подгрупп /> и /> следует, что подгруппа
/>
/>-субнормальна в />. Это невозможно ввиду равенства />. Значит, />. Противоречие.
Докажем, что из 2) следует 3). Пусть />, где /> – нормальная />-подгруппа группы />, />. Так как
/>
и />, то />. Из наследственности формации /> получаем, что подгруппа />/>-субнормальна в />. Ввиду леммы 2.6 подгруппа /> теперь />-субнормальна в />, />. Так как выполняется условие 2) леммы, то
/>
Следовательно, /> – формация Фиттинга.
Пусть /> – />-субнормальная />-подгруппа группы />. Ввиду леммы 2.5 подгруппа />/>-субнормальна в /> для всех />. Так как выполняются условия 2) леммы, то
/>
Отсюда следует, что
/>
Наконец установим, что из 3) следует 1). Доказательство проведем индукцией по порядку группы />. Пусть /> и /> – />-субнормальные подгруппы группы /> и />. Если /> – минимальная нормальная подгруппа группы />, то можно считать, что />. Учитывая лемму 2.6 по индукции получаем, что /> – />-субнормальная подгруппа группы />. На основании леммы 2.6 тогда подгруппа />/>-субнормальна в />. Если />, то по индукции подгруппа />/>-субнормальна в />, и значит, ввиду леммы 2.5 она />-субнормальна.
Будем далее считать, что /> для любой минимальной нормальной подгруппы группы />. Ясно, что />. Если />, то в силу леммы 3.1.3 /> субнормальна в />. Но тогда ввиду [8]
/>
Это означает, что />. Противоречие. Значит /> и />. Аналогично доказывается, что />. Итак, /> и />.
По условию леммы /> – формация Фиттинга и />, />. Следовательно,
/>
Пусть /> – минимальная нормальная подгруппа группы />, содержащейся в />. Тогда
/>
Из наследственности формации /> следует, что /> – />-субнормальная подгруппа группы />.
Итак, порождение двух />-субнормальных подгрупп /> и /> группы />/>-субнормальна в />. Ввиду леммы 2.5 /> – также />-субнормальная подгруппа группы />. Значит, формация /> обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть /> – наследственная локальная формация. Если /> замкнута относительно расширений, то формация /> обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп.
продолжение--PAGE_BREAK--
Доказательство леммы следует из теоремы 5 работы [9] и теоремы 3.1.7.
Отметим, что из леммы 3.2 следует, что формации /> и /> обладают решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп.
Пусть /> обозначают некоторое подмножество множества натуральных чисел. Пусть /> – некоторое семейство классов групп. Обозначим через /> класс всех групп />, представимых в виде
/>
где /> и />, />.
Лемма [1]. Справедливы следующие утверждения:
1) пусть /> – наследственная локальная формация, обладающая решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп, />. Тогда и формация /> обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп;
2) пусть /> – некоторое семейство наследственных локальных формаций и /> для любых />. Тогда и только тогда формация
/>
обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп, когда для каждого /> формация /> обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп.
Пусть формация /> обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп, />. Ввиду леммы 3.1 /> и /> – формации Фиттинга поэтому из леммы 2.1.3 следует, что /> также является формацией Фиттинга.
Пусть /> – />-субнормальная подгруппа группы /> и />. Ясно, что подгруппа />/>-субнормальна в /> для любого />. Так как /> и />, то ввиду леммы 3.1 получаем, что /> и />. Следовательно,
/>
Теперь утверждение 1 следует из леммы 3.1.
Докажем утверждение 2). Пусть формация
/>
обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп. Отметим, что />. Отсюда ввиду утверждения 1) настоящей леммы и леммы 3.2 следует, что формация /> обладает решеточным свойством для /> — субнормальных подгрупп.
Обратно, пусть для любого /> формация /> обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп. Пусть
/>
Индукцией по порядку группы /> покажем, что любая группа />, где />, /> – />-субнормальные />-подгруппы группы /> принадлежат />.
Пусть /> – минимальная нормальная подгруппа группы />. Ввиду леммы 2.6 из соображений индукции получаем, что />. Так как /> – насыщенная формация, то /> имеет единственную минимальную нормальную подгруппу /> и />. Ясно, что
/>
Отметим также, что
/>
где /> – изоморфные простые группы для />.
Докажем, что />. Рассмотрим группу />. Так как подгруппа />/>-субнормальна в />, то />. Тогда по индукции
/>
Рассмотрим пересечение />. Если
/>
то
/>
Отсюда и из того факта, что /> – нормальная подгруппа /> и /> следует, что />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Пусть />. Так как /> – нормальная подгруппа из />, то /> – нормальная подгруппа из />. А это значит, что
/>
Из наследственности формации /> и /> получаем, что />. Но тогда />.
Из строения /> и
/>
для любых />, следует, что /> для некоторого />. Так как
/>
то нетрудно видеть, что группа /> имеeт />-холловскую подгруппу />.
Так как />, то /> – />-субнормальная подгруппа группы />. Так как />, /> и />, /> – />-субнормальные подгруппы, то по индукции имеем, что
/>
Отсюда и из /> ввиду /> получаем />. Аналогично доказывается, что />. Таким образом,
/>
Отсюда и из />-субнормальности /> и /> в /> нетрудно заметить, что />, /> – />-субнормальные подгруппы группы />. Из /> и /> ввиду наследственности /> следует, что /> и />. Так как по условию формация /> обладает решеточным свойством для /> — субнормальных подгрупп, то ввиду леммы 3.1
/>
Итак, /> содержит некоторую группу />, где />, /> – />-субнормальные />-подгруппы группы />. Следовательно, ввиду леммы 3.1 формация /> обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп. Лемма доказана.
Лемма [1]. Пусть /> – нормально наследственная разрешимая формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если в каждой разрешимой группе все />-субнормальные подгруппы образуют решетку, то /> имеет вид
/>
где /> для любых /> из />;
2) если /> – формация из пункта 1), то она обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп.
1) Покажем, что /> является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка. Очевидно, что /> и />.
Пусть /> – максимальный внутренний локальный экран формации />. Согласно лемме 2.3
/>
где /> – единственная минимальная нормальная подгруппа группы />, /> (/> – простое число), а /> – максимальная подгруппа группы />, являющейся минимальной не />-группой.
Докажем, что /> – циклическая />-группа для некоторого простого числа />. Допустим противное. Тогда в /> найдутся по крайней мере две несопряженные максимальные подгруппы /> и />. Рассмотрим в /> подгруппу />, />. Ясно, что />/>-субнормальна в />, />. Из />, /> и /> по лемме 3.1 получаем, что />. Получили противоречие с выбором />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Следовательно, /> – циклическая группа порядка />, где /> – некоторое простое число, />, /> – натуральное число. Допустим, что />. Обозначим через /> – регулярное сплетение циклических групп /> и /> соответственно порядков /> и />.
По теореме 6.2.8 из [2] /> изоморфна некоторой подгруппе группы />. Так как /> и />, то ввиду теоремы 2.4 из [5] />.
Рассмотрим регулярное сплетение />, где />. Тогда />, где /> – элементарная абелева />-группа. Так как />, то />. Из
/>
следует что />.
Рассмотрим в /> подгруппы /> и />, где /> – база сплетения />. Ясно, что />/>-субнормальна в />, />. Кроме того, />. Отсюда
/>
Так как />, то /> по лемме 3.1. Получили противоречие.
Следовательно, /> и /> – группа Шмидта. Если /> и />, то по лемме 1.1.6 /> также является группой Шмидта. Таким образом, любая разрешимая минимальная не />-группа является либо группой Шмидта, либо имеет простой порядок. Тогда по лемме 3.1.12 /> является наследственной формацией.
Покажем, что формация /> имеет такой локальный экран />, что
/>
p(F)/>p'(F)/>p(F)/> Действительно. Пусть /> – локальный экран формации />. Так как /> для любого простого числа /> из />, то />. Покажем обратное.
Пусть /> – группа минимального порядка из />. Так как /> – наследственная формация и /> – насыщенная формация, то /> – минимальная не />-группа и />. Теперь, согласно лемме 2.3
/>
где /> – единственная минимальная нормальная подгруппа группы />, причем /> – />-группа, />, а /> – минимальная не />-группа. Как показано выше /> является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть /> – группа простого порядка. Так как />, то очевидно, что />. Противоречие.
Пусть /> – группа Шмидта. Тогда /> – группа простого порядка, причем />, />. Так как />, то очевидно, что
/>
Отсюда следует, что />. Получили противоречие. Следовательно />.
Итак, /> и /> – полный локальный экран формации />.
Покажем, что /> либо /> для любых простых />, />.
Вначале докажем, что из /> следует />. Допустим противное. Пусть />. Рассмотрим точный неприводимый />-модуль /> над полем />, который существует по лемме 18.8 из [6].
Возьмем группу />. Так как /> и /> имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то ввиду леммы 18.8 из [6] существует точный неприводимый />-модуль /> над полем />. Рассмотрим группу
продолжение--PAGE_BREAK--
/>
Так как
/>
то />. Ясно, что />. Так как />, то найдется /> такой, что />. Заметим, что />. Тогда
/>
Так как />, то />/>-субнормальна в /> и />/>-субнормальна в />. По лемме 3.1 />. Получили противоречие. Таким образом, если />, то />.
Пусть теперь />. Тогда />. Предположим, что найдется такое простое число />, которое не принадлежит />. Рассмотрим точный неприводимый />-модуль /> над полем />.
Группа /> принадлежит /> ввиду /> и />. Теперь рассмотрим точный неприводимый />-модуль />. Группа /> формации /> не принадлежит, так как />. Ясно, что />. Рассуждая как и выше, можно показать, что /> для некоторого />, причем подгруппы />, />/>-субнормальны в />, причем />, /> принадлежат />. Отсюда по лемме 3.1 />. Получили противоречие.
Следовательно, если />, то />, а значит />. Более того, если
/>
где /> и />, то /> и />, а значит, />.
Таким образом, множество /> можно разбить в объединение непересекающихся подмножеств, т.е. представить в виде />, где /> для любых /> из /> и /> для />. Покажем, что
/>
Обозначим
/>
Так как для любого /> имеет место />, то включение /> очевидно.
Допустим, что множество /> непусто, и выберем в нем группу /> наименьшего порядка. Так как /> – наследственная формация, то />. Группа /> непримарна в силу равенства /> и локальности формации />. Из строения
/>
и /> нетрудно показать, что /> – группа Шмидта. Ясно, что />. Тогда по теореме 26.1 из [5] />, где /> – элементарная абелева />-группа, /> – некоторые простые числа. Так как />, то
/>
Как показано выше, /> для некоторого номера />. Но тогда />. Получили противоречие с выбором />. Следовательно,
/>
где /> для всех />.
Утверждение 2) следует из лемм 3.2 и 3.3. Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что разрешимая наследственная локальная формация /> тогда и только тогда обладает решеточным свойством для />-субнормальных подгрупп, когда
/>
Заключение
В курсовой работе рассмотрены решетки субнормальных и />-субнормальных подгрупп. Для построения теории решеток />-субнормальных подгруп, аналогичной теории решеток субнормальных подгрупп, разработанной Виландтом, используются свойства минимальных не />-групп.
В работе рассматриваются условия, при выполнении которых формация будет обладать решеточным свойством.
Список использованных источников
1. Васильев А.Ф., Каморников С.Ф., Семенчук В.Н. О решетках подгрупп конечных групп // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры: Тр./ Институт математики АН Украины. – Киев, 1993. – С. 27–54.
2. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). Новосибирск: Институт математики СО АН СССР, 1984. – 144 с.
3. Семенчук В.Н. Минимальные не />-группы // Алгебра и логика. – 1979. – Т.18, №3. – С. 348–382.
4. Семенчук В.Н. Конечные группы с системой минимальных не />-подгрупп // Подгрупповое строение конечных групп: Тр./ Ин-т математики АН БССР. – Минск: Наука и техника, 1981. – С. 138–149.
5. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М.: Наука. – 1978. – 267 с.
6. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. М.: Наука. – 1989. – 256 с.
7. Bryce R.A., Cossey J. Fitting formations of finite solubla groups // Math.Z. – 1972. – V.127, №3. – P.217–233.
8. Gaschьtz W. Zur Theorie der endlichen auflцsbaren Gruppen. – Math. Z., 1963, 80, №4, С. 300–305.
9. Kegel O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilorverband echt enthalten // Arch. Math. – 1978. – V.30. – P.225–228.
10. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untegruppen // Math.Z. – 1939.-V.45. – P.209–244.