Реферат: Предельные точки

--PAGE_BREAK--, то получится, что множество подмножеств, т. е. совокупность последовательностей, составленных из нулей и единиц, не эквивалентно <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1408848757-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">.

Мощность множеств, эквивалентных множеству всех последовательностей, составленных из нулей и единиц, называется мощностью континуума.

Утверждение 4. Множество <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1408836887-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157"> точек отрезка <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_1408853764-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158"> имеет мощность континуума.

Доказательство: в двоичной записи каждая точка единичного отрезка <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_1408853764-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159"> может быть записана в виде
<img width=«191» height=«25» src=«ref-1_1408854030-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">
Такая запись единственна, за исключением чисел вида <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_1408854482-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">.А числам такого вида соответствуют в точности две записи (у одной, начиная с некоторого номера, все цифры равны нулю, а у другой – все единицы). Для всех точек, за исключением точек вида <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1408854697-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">, установим соответствие так:

<img width=«171» height=«23» src=«ref-1_1408854825-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">

А так как множество точек вида <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1408854697-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164"> счетно, то счетным множеством является также множество последовательностей, им соответствующих. Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между точками отрезка <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_1408853764-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> и множеством последовательностей, составленных из нулей и единиц, т. е. множество точек отрезка имеет мощность континуума.
2. Замкнутые и открытые множества
Пусть задано множество <img width=«53» height=«20» src=«ref-1_1408855471-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">.

Точка <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_1408855608-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167"> называется предельной точкой множества <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168">, если из того, что <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1408855832-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169"> и <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1408855970-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170">, следует, что <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1408856104-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171">.

Предельная точка <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172"> может принадлежать и не принадлежать <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">, но если все предельные точки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174"> принадлежат <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">, то множество <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> называет­ся замкнутым.

Таким образом, множество <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> замкнуто, если из того, что <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1408855832-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178"> и <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1408855970-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">, следует, что <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1408856104-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">.

Пустое множество считается замкнутым.

Пример 1. Пусть <img width=«123» height=«24» src=«ref-1_1408857170-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181"> есть функция, определенная и непрерывная на <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1408857541-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182"> и <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_1408857644-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1408857725-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> — любое число.

Множества 1) <img width=«120» height=«23» src=«ref-1_1408857798-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">,<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1408857725-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> 2) <img width=«121» height=«23» src=«ref-1_1408858252-383.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">, 3) <img width=«121» height=«24» src=«ref-1_1408858635-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188"> замкнуты.

Доказательство в случае 1). Пусть <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1408859002-150.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189"> и <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1408859152-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">; тогда <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_1408859295-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> и <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_1408859580-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">. Но тогда и <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_1408859977-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">, т.е. <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1408860263-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">.

Пример 2. Шар V=<img width=«69» height=«27» src=«ref-1_1408860412-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> есть замкнутое множество в силу

примера 1, потому что функция <img width=«77» height=«27» src=«ref-1_1408860698-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"><img width=«56» height=«36» src=«ref-1_1408860991-296.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">определена и непрерывна на <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1408857541-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">.

Отметим, что если<img width=«53» height=«20» src=«ref-1_1408855471-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">— замкнутое множество, то <img width=«84» height=«21» src=«ref-1_1408861527-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">— открытое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то в <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1408861707-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201"> существовала бы точка <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1408861816-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">, которая не есть внутренняя точка<img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1408861707-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">. Выходит, что, каково бы ни было натуральное число <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1408862023-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">, должна найтись точка<img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1408855832-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">, для которой


<img width=«161» height=«41» src=«ref-1_1408862250-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">
Мы получили бы последовательность точек <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1408855832-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207"> , <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1408859152-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">. Но <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> по условию замкнуто, и потому<img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1408862982-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">. Мы получили противоречие с тем, что предполагалось, что <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1408863119-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">.

Обратно, если <img width=«53» height=«20» src=«ref-1_1408855471-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212"> — открытое множество, то <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1408861707-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213"> — замкнутое множество.

В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы последова­тельность точек <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1408863521-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">,<img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1408859152-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215"> и <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1408862982-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">. Но <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217"> — открытое множество, и <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1408861816-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218"> можно покрыть шаром с центром в ней, полностью при­надлежащим <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">. Получилось противоречие с тем, что любой такой шар содержит точки <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1408863521-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">.

Пример 3. Пусть <img width=«81» height=«24» src=«ref-1_1408864393-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> — непрерывная функция. 1) множество <img width=«115» height=«23» src=«ref-1_1408864682-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> замкнуто, а <img width=«124» height=«23» src=«ref-1_1408865047-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> открыто. 2) множество <img width=«115» height=«23» src=«ref-1_1408865440-355.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> замкнуто, а <img width=«125» height=«23» src=«ref-1_1408865795-391.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"> открыто.

Если задано произвольное непустое множество <img width=«53» height=«20» src=«ref-1_1408855471-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">, отличное от <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1408857541-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">, то <img width=«21» height=«20» src=«ref-1_1408857541-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> можно представить в виде суммы трех непересекающихся попарно множеств:
<img width=«121» height=«25» src=«ref-1_1408866529-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">,
где <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1408866768-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> — совокупность внутренних точек <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231"> — это открытое ядро <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">, <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_1408867055-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> — совокупность внутренних точек <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1408861707-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> — это открытое ядро <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1408861707-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">, <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1408867377-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236"> — совокупность точек, каждая из которых не есть внутренняя для <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">, но и не есть внутренняя для <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1408861707-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">. Такие точки называются граничными точками <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">, а <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1408867377-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> называется границей <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">; <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1408866768-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> открыто, <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_1408867055-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> открыто, <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1408866768-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">+<img width=«21» height=«23» src=«ref-1_1408867055-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> тоже открыто, <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1408867377-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">=<img width=«95» height=«24» src=«ref-1_1408868491-310.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> замкнуто.

Таким образом, граница есть замкнутое множество.

Любую граничную точку <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1408861816-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> множества <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> можно определить как такую точку <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1408868991-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">, что любой шар с центром в ней содержит как точки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">, так и точки <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1408861707-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">. Сама точка <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1408861816-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253"> может принадлежать и не принадлежать <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">.

Пустое множество считается одновременно замкнутым и открытым.

Любое из множеств <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_1408869528-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">, входящих в теоретико-множественную сумму (1), может оказаться пустым.

Пример 4. Пусть <img width=«129» height=«24» src=«ref-1_1408869697-365.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">; тогда <img width=«121» height=«25» src=«ref-1_1408870062-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> , <img width=«135» height=«24» src=«ref-1_1408870302-373.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1408857725-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> — открытое ядро<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">, <img width=«137» height=«24» src=«ref-1_1408870840-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">— открытое ядро <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1408861707-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">,<img width=«136» height=«25» src=«ref-1_1408871325-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">— граница <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> (не принадлежит <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">).

Пример 5. <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266"> — множество точек <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1408871977-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267"> с рациональными координатами. <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1408866768-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> — открытое ядро <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> — пустое множество, <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_1408867055-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> — открытое ядро <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1408861707-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"> — пустое множество, <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1408872506-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> — граница <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">.

В следующих двух теоремах устанавливаются основные свойства замкнутых множеств. При этом рассматриваются множества, содержащиеся в одном и том же метрическом пространстве <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">.

Теорема 1. Сумма конечного числа замкнутых множеств также – замкнутое множество.

Доказательство. Так как сумму любого конечного числа множеств можно образовать последовательным прибавлением по одному множеству, то достаточно доказать теорему для суммы двух множеств.

Пусть <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1408872828-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275"> и <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_1408872928-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">  — замкнутые множества, <img width=«200» height=«24» src=«ref-1_1408873029-431.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> и <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1408873460-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">. В последовательности <img width=«31» height=«24» src=«ref-1_1408873591-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279"> существует бесконечная частичная последовательность <img width=«35» height=«25» src=«ref-1_1408873795-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280">, состоящая целиком из точек одного из данных множеств, например <img width=«55» height=«25» src=«ref-1_1408874028-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">. Но <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1408874235-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282"> тоже стремится к <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1408836611-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">, и так как <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1408872828-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> замкнуто, то <img width=«43» height=«23» src=«ref-1_1408874579-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">, а потому <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1408874711-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">.

Теорема 2. Пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто.

Доказательство. Пусть <img width=«69» height=«36» src=«ref-1_1408874831-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287"> и все <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1408875124-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288"> замкнуты. Если <img width=«52» height=«24» src=«ref-1_1408873460-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> и <img width=«116» height=«24» src=«ref-1_1408875358-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290">, то все <img width=«53» height=«24» src=«ref-1_1408875674-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291"> при любом <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1408857725-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"><img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1408833468-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">, а потому и <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1408875977-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294"> при любом <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1408833468-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">. Следовательно, <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1408874711-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">, и <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1408850544-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297"> замкнуто.

В дальнейшем важную роль будет играть операция замыкания произвольного множества <img width=«47» height=«17» src=«ref-1_1408876410-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">, заключающаяся в присоединении к множеству <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408832416-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299"> пределов всех сходящихся последовательностей его точек. Получаемое таким образом множество обозначается <img width=«24» height=«23» src=«ref-1_1408876632-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300"> и называется замыканием множества <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408832416-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">.

В <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1408876844-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> замыканием интервала <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_1408876946-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">, будет отрезок <img width=«35» height=«23» src=«ref-1_1408877165-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">. Однако в произвольном метрическом пространстве для замыкания открытого шара имеет место лишь включение <img width=«113» height=«23» src=«ref-1_1408877306-397.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">, но равенство вовсе не обязательно.

Лемма 1: всякая точка <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_1408877703-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> представима в виде <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_1408877864-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">, где <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1408878026-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">.

Лемма 2: для того чтобы <img width=«48» height=«23» src=«ref-1_1408877703-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">, необходимо и достаточно, чтобы, каково бы ни было <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1408878322-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">, существовала такая точка <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1408878439-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">, что <img width=«77» height=«23» src=«ref-1_1408878566-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">.

Теорема 3. Замыкание любого множества замкнуто.

Теорема 4. Замыкание <img width=«24» height=«23» src=«ref-1_1408876632-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313"> есть наименьшее замкнутое множество, содержащее <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408832416-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">.

Пусть <img width=«53» height=«20» src=«ref-1_1408855471-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">. Если к множеству <img width=«53» height=«20» src=«ref-1_1408855471-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> добавить все его предельные точки, то получим множество, называемое замыканием <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408833192-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> и обозначим его так: <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1408879422-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">.

У замкнутого множества <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408832416-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319"> предельных точек, не принадлежащих ему, нет. В самом деле, любая точка <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1408879610-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> есть внутренняя точка множества <img width=«25» height=«19» src=«ref-1_1408879745-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">. Таким образом, если <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1408832416-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> — замкнутое множество, то <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1408879945-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">.

Точка <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1408880073-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> называется точкой сгущения множества M, если в каждой ее окрестности содержится хоть одна точка множества M, отличная от <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_1408880073-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">.

Точки сгущения для открытой области, не принадлежащие ей, называются пограничными точками этой области. Пограничные точки в их совокупности образуют границу области. Открытая область вместе с границей называется замкнутой областью. Напомню, что открытой областью называется множество, целиком состоящее из внутренних точек.
3. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве
Пусть функция <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1408880305-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326"> задана на множестве <img width=«53» height=«20» src=«ref-1_1408855471-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">. Говорят, что она не­прерывна в точке <img width=«48» height=«21» src=«ref-1_1408862982-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">    продолжение
--PAGE_BREAK--