Реферат: Сборник доказательств Великой теоремы Ферма и гипотезы Биля
--PAGE_BREAK--Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
n=3
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n (1)
где n— целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= С
n
-В
n (2)
Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3.
В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:
A3 = C3 – B3 = (C-B)∙(C2 + C·B +B2) (3)
Обозначим: C – B
=
K
(4)
Отсюда: C=B+K; B=C-K (5)
Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:
A3 = K[C2+ C∙(C-K) + (C-K)2] =3K·C2 -3K2 ∙C +K3
(6)
Отсюда: 3K·C2 -3K2 ∙C
– (
A3 – K3) = 0 (7)
Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое уравнение с параметрами А и Ки переменной величиной С. Решая его, получим:
C =<img width=«155» height=«47» src=«ref-2_29153417-402.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">
(8)
Число C
будет целым только при условии, если:
<img width=«111» height=«27» src=«ref-2_29153819-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">=3N∙K2 (9)
Отсюда: 12K∙A3 – 3K4 = 9N2 ·K4
A3 = K3∙ <img width=«55» height=«44» src=«ref-2_29154073-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049"> (10)
A = K<img width=«67» height=«48» src=«ref-2_29154273-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> (11)
Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число Nдолжно быть нечетным числом.
Из анализа формулы (10) также следует, что если A
– целое число, то должно быть:
A3 = K3∙ Y3, (12)
где:
Y3 = <img width=«55» height=«44» src=«ref-2_29154073-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051"> (13)
Отсюда: A = K∙ Y
=
K<img width=«67» height=«48» src=«ref-2_29154273-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> (14)
Для ответа на вопрос, имеет ли уравнение (14) решение в целых числах, воспользуемся арифметической прогрессией и определим ее сумму:
Sn = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +n = 0,5n∙(n+1) (15)
По аналогии с уравнением (15) определим сумму арифметической прогрессии:
SN = 1 + 2 + 3 + ∙∙∙ +0,5∙(N-1), (16)
где: N- нечетное число, входящее в уравнение (14).
Тогда: SN = 0,5{ 0,5[N-1]∙[0,5(N-1) + 1]} = <img width=«47» height=«44» src=«ref-2_29155011-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053">
(17)
Запишем вспомогательное уравнение, составленное на основании анализа расчетов, выполненных по формуле (13):
Y3 = 1 + 6∙SN (18)
Из уравнения (18) следует, что все числа Y3
нечетные.
Из уравнений (17) и (18) получим:
Y3 = 1 + 6∙<img width=«47» height=«44» src=«ref-2_29155011-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">
=<img width=«55» height=«44» src=«ref-2_29154073-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">
, (19)
т.е. получили уравнение (13).
Из уравнения (19) следует: Y = <img width=«67» height=«48» src=«ref-2_29154273-269.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056"> (20)
Таким образом, для анализа уравнения (13) воспользуемся эквивалентным ему уравнением (19), записанным с учетом уравнения (17) в виде:
Y3 = 1 + 6∙<img width=«47» height=«44» src=«ref-2_29155011-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">
=1 + 6∙SN (21)
Из уравнения (21) следует: SN = <img width=«43» height=«44» src=«ref-2_29156014-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058"> (22)
Полагаем, что
Y
— целое число. Из уравнения (22) следует, что для того чтобы сумма SN была целым числом, число Y
должно быть нечетным числом. Задаваясь значениями числа Y
, определим по уравнению (22) соответствующие им значения суммы
SN
:
Y
=3, SN = 4,333…; Y
=5, SN = 20,666…; Y
=7,
SN = 57;
Y
=9, SN = 121,333…; Y
=11, SN = 221,666…; Y
=13,
SN = 366;
Y
=15, SN =562,333…; Y
=17,
SN = 818,666…; Y
=19,
SN = 1143;
Y
=21, SN =1543,333…; Y
=23, SN = 2027,666…; Y
=25, SN = 2604.
Из анализа приведенных расчетов следует, что есть значения числа Y, для которых сумма SN– дробное число. А поскольку сумма арифметической прогрессии, состоящей из целых чисел, не может быть дробным числом, то для таких значений целого числа Yв соответствии с формулами (13), (17) и (19) не существует целого числа N
, т. е.:
N
=<img width=«63» height=«48» src=«ref-2_29156177-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">— дробное число. (23)
Есть также такие значения числа Y, для которых сумма SN– целое число. Эти числа имеют особенность — они равны:
Y
=7
=1 +
6∙1
; Y
=13
=1 +
6∙
2; Y
=19
=1 +
6∙
3; Y
=25
=1 +
6∙
4.
Отсюда следует, что для чисел:
Y
=1 +
6∙
m, где: m =1, 2, 3,…
, сумма SN– целое число.
Тогда в соответствии с формулой (17) имеем:
N= <img width=«61» height=«28» src=«ref-2_29156427-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060"> (24)
Подставляя ранее полученные значения целых чисел SN, получим:
N= <img width=«67» height=«24» src=«ref-2_29156623-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">
= 21
,377… N= <img width=«75» height=«24» src=«ref-2_29156808-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> = 54,120…
N= <img width=«81» height=«24» src=«ref-2_29157010-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> = 95,629… N= <img width=«83» height=«24» src=«ref-2_29157219-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064"> = 144,336…
Отсюда следует, что и при целых числах SN числоN
— дробное число. Это объясняется тем, что полученные целые числа SN на самом деле не являются суммами арифметических прогрессий, т. е.:
SN1
=57 ≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
p
;
SN2
=
366
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
r;
SN3
=
1143
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
s
;
SN4
=
2604
≠ 1
+
2
+
3
+
∙∙∙
+
t.
Следовательно, в соответствии с
формулами (19), (20) и (23) если N
-целое число, тоY - дробное число. И,наоборот, если Y
— целое число,то N - дробное число.
Таким образом, поскольку при любом заданном целом числе N>1 числоY всегда дробное число, то в соответствии с формулой (14) число A – также всегда дробное число.
При N
=
1
из уравнения (14) следует A
=
K, а из уравнения (8): С=А=К.В этом случае из уравнения (5) следует: В=0.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=3.
О
БЩЕЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
, (1)
где n— целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= С
n
— В
n
(2)
Для доказательства великой теоремы Ферма предварительно докажем вспомогательную теорему (лемму).
продолжение
--PAGE_BREAK--
ЛЕММА: Любое натуральное числоN>2в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел:
Nn = U2 – V2 (3)
Уравнение (3) рассматриваем как параметрическое с параметром Nn и неизвестными переменными U
и V
.
Уравнение (3) запишем следующим образом:
Nn = U2 – V2
= (
U-V)∙(U+V) (4)
Пусть: U
–
V
=
M
(5)
Тогда:
U
=
V
+
M
(6)
Из уравнений (4), (5) и (6) имеем:
Nn
=
M∙
(
V
+
M
+
V
)=
M∙
(2
V
+
M
)
=
2
V∙M
+
M
2
(7)
Из уравнения (7) имеем:
Nn — M
2
=2
V∙M
(8)
Отсюда: V =<img width=«65» height=«44» src=«ref-2_29157438-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065"> (9)
Из уравнений (6) и (9) имеем: U=<img width=«65» height=«44» src=«ref-2_29157673-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066"> (1)
Из уравнений (9) и (10) следует, что необходимым условием для того чтобы числа U
и
V
были целыми, является одинаковая четность чиселNn
и M:оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (9) и (1) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа U
и
V были целыми, является делимость числа Nn
на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа Nn.
Следовательно, должно быть:
Nn=D·M
(11)
где D
— натуральное простое или составное число.
С помощью уравнений (9) и (10) определяются числа U
и
V
, удовлетворяющие условиям уравнения (3).
Отсюда следует:
Следствие 1-е: Любое натуральное числоN>2в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел.
Следствие 2-е: ЧислоN
=
2в степени n≥3равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:
<img width=«99» height=«29» src=«ref-2_29157920-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">
Следствие 3
-е: Любое составное натуральное числов любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:
<img width=«107» height=«29» src=«ref-2_29158350-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">
Доказательство теоремы Ферма
С учетом доказанной леммы можно записать:
Nn =
А
n
=
U2 – V2
(12)
Допустим, что великая теорема Ферма имеет решение в натуральных числах. Тогда с учетом уравнений (2) и (11) должны выполняться равенства:
Nn = D·M
=А
n
= С
n
— В
n
=
U2 – V2
(13)
В
n
=
V2<img width=«95» height=«53» src=«ref-2_29158817-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1069"> (14)
Cn = U2 =<img width=«83» height=«53» src=«ref-2_29159169-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1070"> (15)
В<img width=«105» height=«61» src=«ref-2_29159509-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1071"> (16)
C<img width=«107» height=«61» src=«ref-2_29159929-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1072"> (17)
В соответствии с формулами (13) и (14) число В
n
равно:
В
n
= <img width=«200» height=«53» src=«ref-2_29160355-629.coolpic» v:shapes="_x0000_i1073"> (18)
Из уравнения (15) с учетом уравнения (13) следует:
Cn = <img width=«449» height=«53» src=«ref-2_29160984-1212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1074"> (19)
Из уравнений (18) и (19) имеем:
В<img width=«125» height=«57» src=«ref-2_29162196-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1075"> (20)
C<img width=«145» height=«57» src=«ref-2_29162644-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1076"> (21)
Если допустить, что в соответствии с уравнением (20) В– целое число, то из уравнения (21) с очевидностью следует, что C– дробное число.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.
Файл
:
FERMA-KLASS
К
РАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
В
ЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
А
n
+ В
n
= С
n
(1)
где n— целое положительное число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах.
Принимаем: А
и
В– натуральные числа.
Полагаем, что С– также натуральное число, которое представимо в виде суммы двух натуральных чисел: C = k
+
m
. В этом случае число С
n
можно записать в виде бинома Ньютона:
Cn
=
(k
+m)n
Так как алгебраическое выражение (А
n
+ В
n
) не является биномом Ньютона, не может быть преобразовано в бином Ньютона, то оно не может быть равно биному Ньютона:
А
n
+ В
n
≠ (k
+m)n
Отсюда следует, что при любых заданных значениях чисел А
и
В число Cn
, равное алгебраическому выражению, не являющемуся биномом Ньютона, не может быть представлено в виде бинома Ньютона. Следовательно, С –дробное число.
Сделанный вывод справедлив и для показателя степени n = 2
для чисел, не являющихся пифагоровыми.
Таким образом, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах.
При n = 2для пифагоровых чисел А
и
В равенство:
А2 + В2 = С2 =
(k + m)2
— выполняется.
Файл
:
FERMA-KPATKO
К
РАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
В
ЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
(вариант)
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
(1)
где n— целое положительное число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= С
n
-В
n (2)
Любое натуральное число N>1может быть представлено в виде суммы двух натуральных чисел. Следовательно, такое число в степени n может быть представлено в виде бинома Ньютона:
Nn
= (
U + V)n
= Un + D1Un-1V + D2Un-2V2 + ·∙· + DkUVn-1 + Vn
,
где:D1, D2, ·∙· Dk
— биномиальные коэффициенты.
Если из этой суммы слагаемых вычесть слагаемое Un, то сумма оставшихся слагаемых не может быть преобразована в бином Ньютона, т.е. в сумму двух натуральных чисел в степени n
и, следовательно, в натуральное число в степени n
.
Учитывая изложенное, полагаем, что в уравнении (2) C и
B
натуральные числа. Очевидно, что C >B.
Пусть: С = В+
X
Тогда в соответствии с уравнением (2) запишем:
А
n
= (
B + X)n
-В
n
= Bn + D1Bn-1X + D2Bn-2X2 + ·∙· + DkBXn-1 + Xn — Bn
А
n
= (
B + X)n
-В
n
= D1Bn-1X + D2Bn-2X2 + ·∙· + DkBXn-1 + Xn
Обозначим:
А
n
=
D1Bn-1X + D2Bn-2X2 + ·∙· + DkBXn-1 + Xn
=
S
(3)
Число Sпредставляет собой сумму части слагаемых бинома Ньютона без слагаемого
Bn
. Очевидно, что при любых значениях натуральных чисел B
и Xчисло S
, как показано выше, не является натуральным числом в степени n
.Поэтому в соответствии с уравнением (3):
А=<img width=«27» height=«28» src=«ref-2_29163129-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1077"> — всегда дробное число.
Следовательно, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах.
Сделанный вывод из решения уравнения (3) справедлив и для показателя степени n = 2
для чисел, не являющихся пифагоровыми.
Для пифагоровых чисел запишем:
А2 = (
B + X)
2
–В2 =
B2 + 2BX + X2 — B2 = 2BX + X2
Отсюда:
X2 + 2BX —
А2
=
;
X = — B + <img width=«67» height=«30» src=«ref-2_29163270-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1078">
Если Аи В пифагоровы числа, то Xцелое число и, следовательно:
С = В+
X
– целое число.
Таким образом, для показателя степени n=2
для чисел, являющихся пифагоровыми, уравнение (3) имеет решение в натуральных числах. продолжение
--PAGE_BREAK--
ВЫВОДЫ: на основании изложенного можно сформулировать простое доказательство Великой теоремы Ферма:
1. В формуле (1) алгебраическое выражение А
n
+ В
n не является биномом Ньютона, поэтому
(А
n
+ В
n
) ≠ Cn
=
(a + b)n
, т.е. число С– дробное число.
2. В формуле (2) алгебраическое выражение Cn
-
В
n не является биномом Ньютона, поэтому (
Cn
-
В
n
) ≠ An
=
(c + d)n
, т.е. число A– дробное число.
Примечание: Это доказательство Великой теоремы Ферма является одним из первых выполненных мною доказательств. Оно вошло в «Сборник доказательств Великой теоремы Ферма и гипотезы Биля», защищенных свидетельством Украины № 28607 о регистрации авторского права. Это доказательство ранее нигде не публиковалось из-за его очевидной простоты. Свои отзывы направляйте по указанному здесь электронному адресу.
Файл
:
FERMA-n
4
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО
ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
n=4
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
(1)
где n— целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
Аn
= С
n
-В
n (2)
Пусть показатель степени n=4. Тогда уравнение (2) запишется следующим образом:
А
4
= С
4
–В
4
(3)
Уравнение (3) запишем в следующем виде:
А
4
= (С
2
)2 –(В
2
)2
=
(С
2
–В
2
)
∙
(С
2
+
В
2
)
(4)
Пусть: (С
2
–В
2
) =
N4
(5)
Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение 4— ой степени с параметром N и переменными B
и С. Преобразуем уравнение (5):
N4
= (С –В)·(С
+
В)
(6)
Для доказательства используем метод замены переменных. Обозначим:
C
-
B
=
M
(7)
Из уравнения (7)имеем: C
=
B
+
M
(8)
Из уравнений (6), (7)и (8)имеем:
N4
=
M∙
(
B
+
M
+
B
)=
M∙
(2
B
+
M
)
=
2
B∙M
+
M
2
(9)
Из уравнения (9)имеем: N4
—
M
2
=
2
B∙M
(10)
Отсюда: B =<img width=«236» height=«51» src=«ref-2_29163480-654.coolpic» v:shapes="_x0000_i1079"> (11)
Из уравнений (8)и (11)имеем:
C=<img width=«343» height=«51» src=«ref-2_29164134-882.coolpic» v:shapes="_x0000_i1080"> (12)
Из уравнений (11)и (12)следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа N4
на число M , т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа N4.
Из уравнений (11)и (12) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел N
иM: оба числа должны быть четными или оба нечетными.
Из уравнений (11)и (12) также следует:
С
2
+
В
2
= <img width=«256» height=«53» src=«ref-2_29165016-777.coolpic» v:shapes="_x0000_i1081">≠K4 (13)
То есть: С
2
+
В
2≠K4;
A4 ≠ N4∙K4
Другими словами, определенные по формулам (11) и (12) значения чисел Bи С
удовлетворяют только уравнению (5) и не удовлетворяют предполагаемому равенству:
С
2
+
В
2=K4
Таким образом, приведенное доказательство иллюстрирует доказательство Ферма конкретными примерами и подтверждает, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=
4
.
Файл
:
FERMA-PROST
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО
B
ЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
C
ПОМОЩЬЮ
М
АЛОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПРОСТЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
(1)
где n— целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Для доказательства Великой теоремы Ферма (ВТФ) применим Малую теорему Ферма (МТФ), в соответствии с которой:
<img width=«87» height=«44» src=«ref-2_29165793-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1082">, (2)
где: N- натуральное число;
n – простой показатель степени;
M – натуральное число.
Уравнение (2) запишем следующим образом:
Nn – N = nM
Исходя из этого уравнения, запишем:
An – A = nX
Bn – B = nY
Сложив отдельно левые и отдельно правые части этих двух уравнений, обозначив X+Y=K и произведя соответствующее преобразование, получим:
<img width=«157» height=«44» src=«ref-2_29166039-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1083">, (3)
где K – натуральное число.
Если в уравнении (1) С – натуральное число, то в соответствии с МТФ должно выполняться равенство:
<img width=«77» height=«44» src=«ref-2_29166409-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1084"> (4)
С учетом уравнения (1), если С– натуральное число, с учетом уравнения (4) должно выполняться равенство:
<img width=«120» height=«44» src=«ref-2_29166622-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1085"> (5)
Однако, для числа (
An + Bn) единственным целочисленным решением уравнения МТФ является решение в соответствии с уравнением (3). Поскольку C<(A+B),т.е. C
≠ (
A+B)
, из изложенного следует, что при любых целочисленных значениях числа C
≠ (
A+B)уравнение (5) не имеет целочисленных решений и, следовательно, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах для простых показателей степени.
Интересно знать:
<img width=«265» height=«44» src=«ref-2_29166917-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1086">
А
ЛГЕБРАИЧЕСКОЕ
РЕШЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ ТЕОРЕМЫ
П
ИФАГОРА
Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
С
2
=А
2
+ В
2
, (4)
где: С – гипотенуза; А и В – катеты.
Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых значения их сторон выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение (4) имеет бесконечное количество решений в целых числах.
Суть уравнения теоремы Пифагора не изменится, если уравнение (4) запишем следующим образом:
А2 = С2 –В2 (5)
Для решения уравнения теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B
и С. Уравнение (5) в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2=(
C
-
B
)∙(
C
+
B
)
(6)
Используя метод замены переменных, обозначим:
C
-
B
=
M
(7)
Из уравнения (7) имеем:
C
=
B
+
M
(8)
Из уравнений (6), (7) и (8) имеем:
А
2
=
M∙
(
B
+
M
+
B
)=
M∙
(2
B
+
M
)
=
2
BM
+
M
2 (9)
Из уравнения (9) имеем: А2
—
M
2
=2
BM
(10)
Отсюда:
B =<img width=«228» height=«44» src=«ref-2_29167414-558.coolpic» v:shapes="_x0000_i1087"> (11)
Из уравнений (8) и (11) имеем:
C= <img width=«339» height=«51» src=«ref-2_29167972-866.coolpic» v:shapes="_x0000_i1088"> (12)
Таким образом: B =<img width=«63» height=«44» src=«ref-2_29168838-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1089">
(13)
C<img width=«75» height=«44» src=«ref-2_29169067-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1090"> (14)
Из уравнений (13) и (14) следует, что необходимым условием для того чтобы числа В иСбыли целыми, является делимость числа A
2
на число M , т. е. число Mдолжно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа A2.
продолжение
--PAGE_BREAK--
Из уравнений (13) и (14) также следует, что числа А и M
должны иметь одинаковую четность.
По формулам (13) и (14) определяются числа
B и C
как переменные, зависящие от значения числа А, как параметра, и значения числа M
. Числа B иC
, определенные по формулам (13) и (14), с числом Аобразуют тройки пифагоровых чисел.
Из изложенного следует
:
1. Квадрат простого числа A
равен разности квадратов одной пары чисел B и C
(при
M
=1
)
.
2. Квадрат составного числа A
равен разности квадратов нескольких пар чисел B и C
.
3. Все числа N> 2являются пифагоровыми.
Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, Ви С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых значения сторон А, В и С выражаются целыми числами.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
n=3
Великая теорема Ферма для показателя степени n=3формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
А3+ В3 = С3 (1)
не имеет решения в натуральных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:
А3 = С3 –В3 (2)
Мною найден следующий алгоритм вычисления куба натуральных чисел:
N3 = N + 3[ 1∙ 2 +2∙ 3 +3∙ 4 + ∙ ∙ ∙ + (N – 1)∙ N]
(3)
В соответствии с этим запишем:
B3 = B + 3[ 1∙ 2 +2∙ 3 +3∙ 4 + ∙ ∙ ∙ + (B – 1)∙ B]
(4)
C3 = C + [ 1∙ 2 +2∙ 3 +3∙ 4 + ∙ ∙ ∙ + (B – 1)∙ B +
+ B∙(B+1) + ∙ ∙ ∙ + (C – 1)∙ C ]
(5)
Вычитая уравнение (4) из уравнения (5), получим:
С3 –В3 =(
C-B) +3[ B∙(B+1) + ∙ ∙ ∙ + (C – 1)∙ C ]
(6)
Из анализа этого уравнения следует, что оно не соответствует приведенному алгоритму вычисления куба натуральных чисел, в частности,
А≠
C-B. Поэтому:
С3 –В3≠
{A3 = A + 3[ 1∙ 2 +2∙ 3 +3∙ 4 + ∙ ∙ ∙ + (A – 1)∙ A]}
Следовательно, число A является дробным числом, поэтому Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах для показателя степени
n=3.
В общем случае для любого числа M можно записать:
M3 = X3 +{(M-X) + 3[X∙ (X+1) +(X+1)∙ (X+2) + ∙ ∙ ∙ + (M – 1)∙ M]}
гдеXпринимается в пределах:
1 ≤
X ≤ (M-1)
Следовательно, существует (M-1) вариантов определения куба числа M.
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО
В
ЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
C
ПОМОЩЬЮ
М
АЛОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
(1)
где n— целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Для доказательства Великой теоремы Ферма (ВТФ) применим Малую теорему Ферма (МТФ), в соответствии с которой:
<img width=«87» height=«44» src=«ref-2_29165793-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1091">, (2)
где: N- натуральное число;
n – простой показатель степени;
M – натуральное число.
Уравнение (2) запишем следующим образом:
Nn – N = nM
Исходя из этого уравнения, запишем:
An – A = nX
Bn – B = nY
Сложив отдельно левые и отдельно правые части этих двух уравнений, обозначив X+Y=K и произведя соответствующее преобразование, получим:
<img width=«157» height=«44» src=«ref-2_29166039-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1092">, (3)
где K – натуральное число.
Если в уравнении (1) С – натуральное число, то в соответствии с МТФ должно выполняться равенство:
<img width=«77» height=«44» src=«ref-2_29166409-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1093"> (4)
Из уравнений (1), (4) следует:
<img width=«120» height=«44» src=«ref-2_29166622-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1094"> (5)
Однако, для числа (
An + Bn) единственным целочисленным решением уравнения МТФ является решение в соответствии с уравнением (3). Поскольку C<(A+B),т.е. C
≠ (
A+B)
, из изложенного следует, что при любых целочисленных значениях числа C
≠ (
A+B)уравнение (5) не имеет целочисленных решений и, следовательно, Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах для простых показателей степени.
Числа Aи В, в свою очередь, могут быть равны соответственно:
А= а
, am, a2, a2m
;
B =b, bm, b2, b2m,
где m— простое или составное число.
Про этом если C- целое число, то должно быть: C =c, cm, c2, c2m.
Отсюда следует, что в соответствии с уравнением (5) Великая теорема Ферма не имеет решения в натуральных числах для любых, нечетных и четных, показателей степени.
Интересно знать:
<img width=«265» height=«44» src=«ref-2_29166917-497.coolpic» v:shapes="_x0000_i1095">
Д
ОКАЗАТЕЛЬСТВО
ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ
Ф
ЕРМА
ДЛЯ ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ
n=4m
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:
Аn
+ В
n
= С
n
(1)
где n- натуральное число, большее двух, не имеет решения в натуральных числах.
Из анализа возведенных в степень n=4m
натуральных чисел следует:
все нечетные числа, кроме кратных 5, в степени 4m(m=1,2, 3…) всегда оканчиваются на 1;
все четные числа, кроме кратных 10, в степени 4m(m=1,2, 3…) всегда оканчиваются на 6.
Отсюда следует:
сумма возведенных в степень 4
mдвух нечетных чисел, не кратных 5, оканчивается на2;
сумма возведенных в степень 4
mдвух, нечетного и четного, чисел, не кратных 5 и 10 соответственно, оканчивается на7.
Числа, оканчивающиеся на 2и 7, не являются натуральными числами в степени 4
m. Следовательно, Великая теорема Ферма для степени 4m
не имеет решения в натуральных числах, не кратных 5и 10.
ТЕОРЕМА О ТРЕХ БИНОМАХ НЬЮТОНА
Интерпретация Великой теоремы Ферма
Сумма двух биномоводинаковой степени n >2каждый не равна третьему биному той же степени при условии, что все слагаемые биномов натуральные числа:
(a+b)n + (c+d)n ≠ (k+m)n
Варианты:
(a+x)n + (a+y)n ≠ (a+z)n
(1+x)n + (1+y)n ≠ (1+z)n
Интерпретация гипотезы Биля
Сумма двух биномовстепени k>2 и
m>2не равна третьему биному степени n>2при условии, что все слагаемые биномов натуральные числа:
(a+b)k + (c+d)m ≠ (k+m)n
Варианты:
(a+x)k + (a+y)m ≠ (a+z)n
(1+x)k + (1+y)m ≠ (1+z)n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
ГИПОТЕЗЫ БИЛЯ
ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Гипотеза Биля формулируется следующим образом: неопределенное уравнение :
А
x
+В
y
= С
z
/1/
не имеет решения в целых положительных числах А, В, С,x
,
y
и zпри условии, что x
,
yи zбольше 2.
Суть гипотезы Биля не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А
x
= С
z
— В
y
/2/
Принимаем, в уравнении /2/ показатели степени равны:
z=
2
k; y=
2
m,
x=2n
где: k,m
и
n-простые или составные, четные или нечетные числа.
В этом случае уравнение /2/ примет вид:
A
2
n
=
Cz
-
В
y
= (
Ck)2 — (Bm)2 /3/
Уравнение /3/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A
и переменными B
и С.
Уравнение /2/ запишем в следующем виде:
А
2n
=
Cz-By = C2k-B2m
=
(С
k
)2 –(В
m
)2
=
(С
k
–В
m
)∙(С
k
+В
m
) /4/
Обозначим: Вm
=
V /5/
С
k
=
U /6/
Отсюда:
В
y
=B2m
=
V
2 /7/
С
z
=
C2k = U
2
/8/
В =<img width=«124» height=«27» src=«ref-2_29170939-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1096"> /9/
С =<img width=«127» height=«27» src=«ref-2_29171231-292.coolpic» v:shapes="_x0000_i1097"> /10/
Тогда из уравнений /2/, /7/ и /8/ следует:
А2n
= С
z
–В
y
=
U
2
-
V
2 /11/
Уравнение /11/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2n
=
(
U
-
V
)∙(
U
+
V
)
/12/
Для доказательства гипотезы Биля используем метод замены переменных. Обозначим:
U
-
V
=
X
/13/
Из уравнения /13/ имеем:
U
=
V
+
X
/14/
Из уравнений /12/, /13/ и /14/ имеем:
продолжение
--PAGE_BREAK--
еще рефераты
Еще работы по математике
Реферат по математике
Моделирование динамики урожайности зерновых культур в Нижнем Поволжье методом многократного выра
2 Сентября 2013
Реферат по математике
Экзаменационные билеты математическое моделирование экономических систем осенний семестр 2000
2 Сентября 2013
Реферат по математике
Структура статистики объектов нечисловой природы
2 Сентября 2013
Реферат по математике
Экзаменационные билеты по методам оптимизации за весенний семестр 2001 года
2 Сентября 2013