Реферат: Атомические разложения функций в пространстве Харди

--PAGE_BREAK--
Глава
I
.


Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах <img width=«25» height=«23» src=«ref-1_1937641416-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224">, <img width=«29» height=«23» src=«ref-1_1937641617-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">и <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_1937641823-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">

§
I
.1.
Интеграл Пуассона.
Пусть ¦(x), g(x),xÎR1 –суммируемые на [-p, p], 2p— периодические, комплекснозначные функции. Через   f
*
g(x) будем обозначать свертку

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">                  f*
g(x)  =<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"><img width=«114» height=«50» src=«ref-1_1937686694-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">dt<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">   <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">

Из теоремы  Фубини  следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p]и

                    cn ( f*g ) = cn ( f )×c-n ( g ) ,                  n = 0, ±1, ±2, ...            ( 1 )
где {cn ( f )}— коэффициенты Фурье функции  f ( x ) :

                             cn (f)= <img width=«73» height=«51» src=«ref-1_1937687407-343.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">-i n tdt ,                          n = 0, ±1,±2,¼       

Пусть  ¦ÎL1 (-p,p). Рассмотрим при  £r <1 функцию

                   ¦r( x ) = <img width=«35» height=«45» src=«ref-1_1937687750-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">n ( f ) r|n |ei n x   ,            x Î[-p,p]  .                  ( 2 )

Так как <img width=«145» height=«35» src=«ref-1_1937688000-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">  для  любых  x Î[-p,p], n = 0, ±1,±2,¼, а ряд <img width=«65» height=«45» src=«ref-1_1937688376-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций <img width=«60» height=«29» src=«ref-1_1937688724-273.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> стремятся к нулю при <img width=«48» height=«15» src=«ref-1_1937688997-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">), то по признаку Вейерштрассаряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного   r ,  £r <1. Коэффициенты   Фурье функции    ¦r(х)    равны cn ( fr ) = cn (f)×r|n  |,    n = 0, ±1,±2,¼,а это  значит, что ¦r (x )можно представить в виде свертки :<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">

                          ¦r( x ) = <img width=«135» height=«51» src=«ref-1_1937649289-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> ,                                                       ( 3 )

где

                          <img width=«115» height=«45» src=«ref-1_1937649758-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> ,                                   t Î[-p,p].                  ( 4 )

          Функция двух переменных  Рr(t) ,   0 £ r<1,  t Î[-p,p],называется ядром Пуассона ,  а  интеграл (3)  -  интегралом Пуассона.

<img width=«96» height=«23» src=«ref-1_1937690083-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"><img width=«96» height=«23» src=«ref-1_1937690083-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"><img width=«563» height=«91» src=«ref-1_1937690302-2028.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">

Следовательно,

                     Pr ( t ) = <img width=«104» height=«44» src=«ref-1_1937692403-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">     ,    0£r <1,   t Î[-p,p].                     ( 5 )  

Если  ¦ÎL1( -p,p)  -действительная функция, то, учитывая, что

c-n  ( f ) = <img width=«43» height=«27» src=«ref-1_1937692685-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249">, n = 0,±1,±2,¼,из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) = <img width=«275» height=«45» src=«ref-1_1937692832-735.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">

=<img width=«216» height=«41» src=«ref-1_1937693567-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">  ,                                                                      ( 6 )

где

                          F ( z ) = c0( f ) + 2 <img width=«97» height=«45» src=«ref-1_1937694079-385.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252">            ( z = reix  )                     ( 7 )

-                     аналитическая в единичном круге функция каксумма равномерно сходящегося по х  ряда [5].Равенство (6) показывает, что для любой действительной функции ¦ÎL1( -p, p) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая в единичном круге функция

                  u ( z ) = ¦r(eix )  , z = reix    ,  0 £ r <1  ,   x Î[ -p, p] .

При этом гармонически сопряженная  с  u (z)  функция  v (z)  c  v (0) = 0  задается формулой

                  v (z) = Im F (z) = <img width=«175» height=«45» src=«ref-1_1937694464-553.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">   .                                     ( 8 )

Утверждение1.

Пусть  u (z) — гармоническая ( или аналитическая ) в круге   |z |<1+e  (e>)функция  и ¦(x)= u (eix), xÎ[-p, p].Тогда

                  u (z) = <img width=«136» height=«51» src=«ref-1_1937695017-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">                ( z = reix  ,    |z |<1)               ( 10 )

Так как  ядро Пуассона  Pr (t) — действительная функция, то равенство (10) достаточно проверить в случае, когда u (z) — аналитическая функция:

                                             <img width=«97» height=«45» src=«ref-1_1937695483-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> =<img width=«73» height=«45» src=«ref-1_1937695858-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256">,          |z |<1+ e.

Но тогда коэффициенты Фурье функции <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1937696190-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> связаныс коэффициентами Фурье функции  <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_1937696283-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258"> следующим образом :

                                       <img width=«301» height=«53» src=«ref-1_1937696406-845.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259">

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).
Прежде чем перейти к изучению  поведения функции ¦r (x) при r®1,отметим некоторые свойства ядра Пуассона:

а) <img width=«225» height=«23» src=«ref-1_1937650177-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> ;

б) <img width=«183» height=«51» src=«ref-1_1937650555-509.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> ;                                                                   (11)

в) для любого d>0

    <img width=«255» height=«36» src=«ref-1_1937651064-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262">  

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б) достаточно положить в (2) и (3)  ¦(х)º1.<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции <img width=«48» height=«24» src=«ref-1_1937651799-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">( -p, p), 1 £p < ¥, имеет место равенство<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">

                                          <img width=«144» height=«31» src=«ref-1_1937652009-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">  ;

если же ¦(x) непрерывна на  [ -p, p]  и  ¦(-p) = ¦(p) ,то

                                          <img width=«140» height=«31» src=«ref-1_1937652368-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">.

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

                     <img width=«286» height=«51» src=«ref-1_1937699588-710.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> .                                  ( 12 )

Для любой функции <img width=«283» height=«44» src=«ref-1_1937700298-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269"> , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона, находим<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">

<img width=«435» height=«54» src=«ref-1_1937700971-1162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">

<img width=«460» height=«51» src=«ref-1_1937702206-1175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">.

Следовательно,

                            <img width=«96» height=«29» src=«ref-1_1937703381-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"><img width=«161» height=«51» src=«ref-1_1937703642-534.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">.

Для данного e>  найдем  d= d(e) такое, что  <img width=«196» height=«41» src=«ref-1_1937704176-405.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">. Тогда для  r  , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим  оценку

<img width=«96» height=«29» src=«ref-1_1937703381-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"><img width=«340» height=«49» src=«ref-1_1937704842-962.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278"><img width=«185» height=«41» src=«ref-1_1937705804-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">.

Аналогично,  второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

                            <img width=«96» height=«29» src=«ref-1_1937706248-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"><img width=«153» height=«53» src=«ref-1_1937706478-533.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">.

Теорема 1 доказана.
Дадим определения понятий «максимальная функция» и «оператор слабого типа», которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.
Определение
I
.
1.

Пусть функция <img width=«87» height=«24» src=«ref-1_1937707011-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">, суммируема на любом интервале (a,b), a<b, <img width=«59» height=«24» src=«ref-1_1937707211-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">  . Максимальной функцией для функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">  называется функция

                          <img width=«252» height=«40» src=«ref-1_1937707498-643.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">,

где  супремум берется по всем интервалам   I  , содержащим точку х.

Определение
I.
2.

Оператор <img width=«221» height=«24» src=«ref-1_1937708141-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286"> называется оператором слабого типа (р, р), если для любого y > 0

<img width=«244» height=«45» src=«ref-1_1937708528-720.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">  ,  <img width=«79» height=«25» src=«ref-1_1937709248-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">.


Теорема 2 (Фату).

Пусть <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289"> — комплекснозначная функция из <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_1937652815-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> . Тогда

                               <img width=«111» height=«29» src=«ref-1_1937652988-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">             для  п.в.  <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">.

Доказательство.

Покажем, что  для  <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> и  <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1937710390-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">

                                                <img width=«124» height=«27» src=«ref-1_1937710528-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">       ,                                          ( 13 )

где  С — абсолютная константа, а  M ( f, x ) — максимальная функция для  f (x)*). Для этой цели  используем легко выводимую из (5) оценку

              <img width=«388» height=«41» src=«ref-1_1937710815-567.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">

(К — абсолютная константа).

Пусть  <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1937711382-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">-  такое число, что

<img width=«116» height=«21» src=«ref-1_1937711561-264.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">.

Тогда  для  <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">

<img width=«209» height=«53» src=«ref-1_1937712017-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">

<img width=«224» height=«53» src=«ref-1_1937712696-780.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"><img width=«172» height=«52» src=«ref-1_1937713476-581.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"><img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303">

<img width=«263» height=«52» src=«ref-1_1937714130-805.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304"><img width=«240» height=«52» src=«ref-1_1937714935-803.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305">

<img width=«303» height=«47» src=«ref-1_1937715738-786.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306">.

Неравенство (13) доказано. Возьмем слабый тип (1,1) оператора  <img width=«112» height=«21» src=«ref-1_1937716524-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">. Используя его, найдем такую последовательность функций <img width=«136» height=«29» src=«ref-1_1937716756-401.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308"> , что

<img width=«125» height=«24» src=«ref-1_1937717157-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">,

<img width=«263» height=«27» src=«ref-1_1937717415-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">                                                  ( 14 )

<img width=«304» height=«31» src=«ref-1_1937717831-552.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">   для п.в. <img width=«76» height=«23» src=«ref-1_1937718383-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">.
Согласно (13) при   xÎ(-p,p)

<img width=«463» height=«32» src=«ref-1_1937718653-892.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">

<img width=«361» height=«29» src=«ref-1_1937719545-670.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314">

Учитывая, что по теореме 1  <img width=«139» height=«31» src=«ref-1_1937720215-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315"> для каждого xÎ[-p,p] и (14)

из последней оценки  получим

<img width=«121» height=«27» src=«ref-1_1937720539-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316">  при  r®1.

Теорема 2 доказана.

Замечание
1
.

Используя вместо (13)  более сильное неравенство (59), которое мы докажем позже, можно показать, что для п.в. xÎ[-p,p]   <img width=«91» height=«23» src=«ref-1_1937720804-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317">,  когда точка reit  стремится к  eix по некасательному к окружности  <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1937721007-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">  пути.

     продолжение
--PAGE_BREAK--
§
I
.2.Пространства
Hp.<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">

Определение
I
.3.

Пространство <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_1937721222-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> — совокупность аналитических в единичном круге функций F (z) ,  для  которых конечна норма

                                               <img width=«201» height=«59» src=«ref-1_1937661681-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321"> .                               (15)

Пусть комплекснозначная функция  <img width=«117» height=«24» src=«ref-1_1937722170-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322"> удовлетворяет условиям

         <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">                         <img width=«209» height=«51» src=«ref-1_1937722487-505.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324">                                          (16)

тогда функция  F (z), определенная равенством

                     <img width=«348» height=«51» src=«ref-1_1937722992-755.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">                       (17)

принадлежит пространству <img width=«27» height=«20» src=«ref-1_1937644454-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">,  причем

                                                      <img width=«121» height=«29» src=«ref-1_1937664837-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327"> .                                             (18)     

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328"> 

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329">Действительно,  аналитичность функции  F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того,  в силу неравенства   <img width=«249» height=«41» src=«ref-1_1937724336-626.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330">    мы имеем

<img width=«295» height=«51» src=«ref-1_1937724962-811.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">                       (*)

С другой  стороны ,  по теореме 1  ( а  при  р=¥  в силу теоремы 2)

<img width=«268» height=«48» src=«ref-1_1937725773-716.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">  .   Отсюда        <img width=«135» height=«29» src=«ref-1_1937726489-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">    (**)    

Учитывая  (*)  и  (**) ,  получим  (18).
Ниже мы докажем,  что любую функцию  <img width=«55» height=«20» src=«ref-1_1937726837-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">  <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1937665174-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">  можно  представить в виде  (17). Для этого нам потребуется

Теорема 3.

Пусть комплекснозначная функция  j(t)  имеет ограниченную вариацию на       [ -p,p]  и 

<img width=«228» height=«51» src=«ref-1_1937727158-537.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">                              (19)

Тогда   j(t)  абсолютно непрерывна  на  [-p,p].

Замечание2.

В (19) и ниже  рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса,  построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации j(t). Мы говорим, что

j(t)=u(t)+ i v(t)  имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u(t)  и   v(t) имеют ограниченную вариацию(соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

<img width=«260» height=«51» src=«ref-1_1937727695-760.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">

определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t) , а также если

<img width=«87» height=«23» src=«ref-1_1937728455-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338">  — характеристическая функция замкнутого множества  <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1937728657-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">.

Доказательство теоремы 3.

Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества  <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1937728657-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">,

<img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937729015-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341"> ,

<img width=«113» height=«51» src=«ref-1_1937729181-410.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">                                                   (20)

Для этой цели убедимся, что справедлива

Лемма 1.

Пусть F — замкнутое, а   V— открытое множества, причем      <img width=«113» height=«21» src=«ref-1_1937729591-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343"> и

<img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937729015-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344">. Тогда для всякого <img width=«103» height=«23» src=«ref-1_1937729970-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> ,  существует функция  <img width=«116» height=«25» src=«ref-1_1937730173-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346"> вида

<img width=«124» height=«45» src=«ref-1_1937730417-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347">      ,                                         (21)  

обладающая свойствами:

а)     <img width=«199» height=«27» src=«ref-1_1937730856-341.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348"> ;

б)          <img width=«177» height=«27» src=«ref-1_1937731197-320.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">  ;                                                          (22)

в)           <img width=«85» height=«29» src=«ref-1_1937731517-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350">    .
Выведем из леммы 1 оценку (20), а затем докажем саму лемму 1.

Пусть <img width=«156» height=«36» src=«ref-1_1937731746-451.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351">  ,  где    <img width=«131» height=«24» src=«ref-1_1937732197-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352">   — конечная или бесконечная последовательность дополнительных интервалов множества F,  и для  <img width=«144» height=«21» src=«ref-1_1937732433-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">

<img width=«347» height=«45» src=«ref-1_1937732645-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">.

Очевидно, что <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1937733479-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355"> — открытое множество и <img width=«57» height=«25» src=«ref-1_1937733593-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">.

Рассмотрим для данных  <img width=«128» height=«21» src=«ref-1_1937733746-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">  функцию  <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_1937733957-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358">,  построенную в лемме 1 для числа e  и  множества <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1937733479-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">. Тогда  нетрудно проверить[3], что если    <img width=«61» height=«17» src=«ref-1_1937734285-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">,  а  <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1937734427-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361"> , то разность

<img width=«232» height=«51» src=«ref-1_1937734549-664.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">.                               (23)

Но в силу (19) и равномерной сходимости ряда (21) (так как ряд Фурье бесконечно дифференцируемой функции сходится равномерно)

<img width=«288» height=«51» src=«ref-1_1937735213-844.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363"> ,     

и мы получаем равенство (20).
Перейдем к доказательству  леммы 1. Нам понадобится

Определение
I
.4.

Средние Фейера — это средние вида

<img width=«573» height=«51» src=«ref-1_1937736057-1450.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">  <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1937737507-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">, где <img width=«140» height=«48» src=«ref-1_1937737664-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">,  <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1937738135-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367">,  <img width=«72» height=«23» src=«ref-1_1937738282-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">  — ядро Дирихле,

<img width=«155» height=«45» src=«ref-1_1937738471-512.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">, <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1937737507-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370"> — ядро Фейера.

Отметим, что при <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1937737507-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371"> ядро Фейера обладает следующими свойствами:         а) <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_1937739297-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372">, <img width=«72» height=«23» src=«ref-1_1937738282-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">;             б) <img width=«107» height=«51» src=«ref-1_1937739668-407.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">,

Мз которых вытекает, что для <img width=«91» height=«23» src=«ref-1_1937656105-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">  и  <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">

<img width=«289» height=«51» src=«ref-1_1937740558-793.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377">,  <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1937737507-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378">

Также известно [3], что средние Фейера <img width=«63» height=«24» src=«ref-1_1937741508-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379"> равномерно сходятся к <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_1937741671-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380">.
Пусть  f(t)— непрерывная на  [-p, p]  функция, для которой

<img width=«112» height=«29» src=«ref-1_1937741790-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381"><img width=«144» height=«21» src=«ref-1_1937742034-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382"> и  <img width=«145» height=«21» src=«ref-1_1937742285-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">

Так как средние Фейера  <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1937742546-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">равномерно сходятся  к   <img width=«32» height=«21» src=«ref-1_1937741671-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385"> и

<img width=«180» height=«29» src=«ref-1_1937742831-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">  ,  то существует тригонометрический полином

<img width=«109» height=«39» src=«ref-1_1937743223-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">                                               (24)

такой, что

<img width=«423» height=«29» src=«ref-1_1937743626-694.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">           (25)

Пусть <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_1937744320-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">.  Рассмотрим для каждого d>  такую функцию <img width=«111» height=«24» src=«ref-1_1937744526-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">, что

<img width=«189» height=«41» src=«ref-1_1937744765-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391">,   <img width=«296» height=«41» src=«ref-1_1937745143-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">

<img width=«96» height=«29» src=«ref-1_1937745698-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393">

(функцию  <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1937745974-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394"> можно построить следующим образом:  взять замкнутое множество <img width=«253» height=«21» src=«ref-1_1937746108-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395">   с мерой  <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1937746462-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396"> ,  достаточно близкой  к  2p,  и положить

<img width=«372» height=«45» src=«ref-1_1937746600-857.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">   ).

Так как    <img width=«284» height=«39» src=«ref-1_1937747457-763.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">    (здесь число m  то же,  что в (24)), то  для  достаточно малых  d>  функция    <img width=«179» height=«39» src=«ref-1_1937748220-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399">  удовлетворяет соотношениям

<img width=«404» height=«27» src=«ref-1_1937748763-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">                  (26)

При этом  <img width=«64» height=«24» src=«ref-1_1937749340-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401">,  если  <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_1937749507-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402">.   Тогда  средние Фейера  <img width=«61» height=«24» src=«ref-1_1937749667-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403"> функции  h(t)  имеют вид

<img width=«260» height=«48» src=«ref-1_1937749828-789.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404">

и при достаточно большом  N

<img width=«409» height=«27» src=«ref-1_1937750617-576.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405">               (27)

Положим

<img width=«120» height=«45» src=«ref-1_1937751193-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">  ,                 <img width=«123» height=«48» src=«ref-1_1937751635-457.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">                           (28)

Так как h(t) — действительная функция, то <img width=«193» height=«27» src=«ref-1_1937752092-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408"> ,  n=,±1,±2,¼.Поэтому

<img width=«93» height=«27» src=«ref-1_1937752436-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">   и   <img width=«196» height=«41» src=«ref-1_1937752652-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">.                       (29)

Определим искомую функцию g(t) :

<img width=«271» height=«49» src=«ref-1_1937753060-744.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">

Ясно, что   <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_1937753804-235.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">, а из (24) и (28) следует, что  <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_1937754039-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> при n<0,  т.е.

<img width=«124» height=«45» src=«ref-1_1937730417-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">                                                   (30)

В силу  соотношений (25), (27) и (29)  для  <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1937754647-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">

<img width=«476» height=«39» src=«ref-1_1937754764-848.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416"> ,

а для  <img width=«92» height=«21» src=«ref-1_1937755612-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">

<img width=«253» height=«53» src=«ref-1_1937755813-650.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> .

Наконец, для любого  <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1937756463-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419">

<img width=«141» height=«29» src=«ref-1_1937756634-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420">.

Таким образом, функция g(t)  обладает всеми нужными свойствами (22). Лемма1, а вместе с ней и теорема 3 доказаны.
Теорема 4.

Пусть функция <img width=«132» height=«24» src=«ref-1_1937756940-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421">. Тогда для п.в. <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422"> существует предел

<img width=«124» height=«31» src=«ref-1_1937757371-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423">                                                  (31)

При этом

1)     <img width=«257» height=«51» src=«ref-1_1937662720-661.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424">  ,      <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1937663381-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">  , <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426"> ;

2)      <img width=«196» height=«32» src=«ref-1_1937664186-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427">      <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1937664659-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428"> ;

3)      <img width=«121» height=«29» src=«ref-1_1937664837-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429">         <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1937665174-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430">.

Доказательство:

Нам достаточно доказать, что для каждой функции <img width=«52» height=«20» src=«ref-1_1937759814-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431"> найдется функция <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_1937759956-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432"> такая, что имеет место 1).  Действительно, если <img width=«132» height=«24» src=«ref-1_1937756940-256.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433">, то тем более  <img width=«52» height=«20» src=«ref-1_1937759814-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434"> и из 1) и теоремы 2 вытекает справедливость равенства (31) для п.в. <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435">. При этом <img width=«236» height=«35» src=«ref-1_1937760737-584.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">  и  по теореме 1  <img width=«196» height=«32» src=«ref-1_1937664186-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437">

<img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1937664659-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">. Наконец, из 1) следует, что

<img width=«216» height=«51» src=«ref-1_1937761972-510.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439">

а тогда

<img width=«121» height=«29» src=«ref-1_1937664837-337.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440">.

Пусть <img width=«52» height=«20» src=«ref-1_1937759814-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441">. Для построения  искомой функции  <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_1937759956-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> положим

<img width=«129» height=«51» src=«ref-1_1937763169-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">,      <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1937756463-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> ,     <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1937710390-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445">.

Функции <img width=«37» height=«23» src=«ref-1_1937763918-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446">,  <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1937710390-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447">,  имеют равномерно ограниченную по r вариацию на <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1937764191-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448">:

<img width=«213» height=«51» src=«ref-1_1937764333-646.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449">.

Следовательно, по теореме Хелли [2] найдутся функция ограниченной вариации <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_1937764979-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450"> и последовательность <img width=«252» height=«29» src=«ref-1_1937765102-519.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> , такие, что <img width=«91» height=«25» src=«ref-1_1937765621-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452"> в каждой точке  <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1937756463-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453"> и

<img width=«347» height=«51» src=«ref-1_1937766070-980.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">                (32)

для любой функции <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1937767050-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455">. При этом  для  n=1,2,...

<img width=«233» height=«51» src=«ref-1_1937767245-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">

(мы учли аналитичность  функции F(z)в единичном круге) и, следовательно, по теореме 3 <img width=«31» height=«21» src=«ref-1_1937764979-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"> абсолютно непрерывна: существует функция  <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_1937759956-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458">, для которой

 <img width=«109» height=«53» src=«ref-1_1937768265-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459">,       <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1937756463-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460">

Тогда

<img width=«229» height=«51» src=«ref-1_1937768848-698.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461">    , <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1937767050-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462">                (33)

Зафиксируем число  <img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1937769741-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> .  Функция  <img width=«179» height=«24» src=«ref-1_1937769904-304.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464">, аналитична в круге <img width=«117» height=«51» src=«ref-1_1937770208-350.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">,  поэтому согласно  утверждению 1

<img width=«235» height=«51» src=«ref-1_1937770558-636.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466"> ,        <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467">.

В пределе  при <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1937771369-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468">  из  последнего равенства вытекает, что

<img width=«349» height=«51» src=«ref-1_1937771501-889.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469"> ,   <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1937663381-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> , <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471">.

Равенство 1) ,  а вместе с ним  и теорема 4 доказаны.    продолжение
--PAGE_BREAK--


§I
.3.Пространства    <img width=«33» height=«25» src=«ref-1_1937772707-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"> и  <img width=«64» height=«25» src=«ref-1_1937772945-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">. 
Обозначим через <img width=«27» height=«21» src=«ref-1_1937644560-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474"> <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1937665174-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> класс тех функций <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1937668623-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476">, <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">, которые являются граничными значениями функций из <img width=«27» height=«20» src=«ref-1_1937644454-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478">, т.е. представимы в виде

<img width=«124» height=«31» src=«ref-1_1937774003-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479">  для п.в. <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480">,   <img width=«55» height=«20» src=«ref-1_1937726837-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481">.

В силу пунктов3)  и  2)  теоремы 4  <img width=«112» height=«24» src=«ref-1_1937774620-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482">  и каждая функция  <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1937774844-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483"> удовлетворяет условию (16). С другой стороны, выше мы доказали, что для произвольной <img width=«97» height=«24» src=«ref-1_1937774990-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">  с условием (16) интеграл Пуассона (17) определяет функцию из <img width=«27» height=«20» src=«ref-1_1937644454-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485">. Следовательно,

<img width=«349» height=«53» src=«ref-1_1937775306-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486">.                    (34)

Из (34) вытекает, что <img width=«27» height=«21» src=«ref-1_1937644560-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">(замкнутое) —  подпространство пространства  <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_1937669973-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">, а  <img width=«27» height=«20» src=«ref-1_1937644454-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">  — банахово пространство  с нормой (15).

Пусть <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937662560-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">. Положим

<img width=«203» height=«25» src=«ref-1_1937776689-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">,

<img width=«240» height=«53» src=«ref-1_1937777168-651.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492">,                               (35)

<img width=«364» height=«24» src=«ref-1_1937777819-713.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">
ОпределениеI
.
5.

Если функция  <img width=«93» height=«25» src=«ref-1_1937778532-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">, то сопряженной к ней функцией называется функция       <img width=«315» height=«68» src=«ref-1_1937778742-1016.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">,   <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496">,

где интеграл понимается в смысле главного значения, т.е. как предел при <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1937734427-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497"> интегралов                           <img width=«144» height=«61» src=«ref-1_1937780072-560.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">.

В дальнейшем нам понадобится

Утверждение2.

Для любой функции <img width=«93» height=«25» src=«ref-1_1937778532-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499"> сопряженная функция <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1937780842-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500"> существует и конечна п.в. на <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_1937780977-232.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501">; при этом

а) <img width=«272» height=«45» src=«ref-1_1937781209-816.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502"> ,  y>0;

б) если <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1937782025-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">, <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937669678-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">, то  <img width=«97» height=«27» src=«ref-1_1937782385-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505"> и <img width=«180» height=«36» src=«ref-1_1937782603-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">.

Теорема 5.

Следующие условия эквивалентны <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1937665174-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">:

а)    <img width=«76» height=«25» src=«ref-1_1937783241-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508"> ;

б)     <img width=«117» height=«24» src=«ref-1_1937722170-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">,   <img width=«109» height=«51» src=«ref-1_1937783681-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">,   <img width=«109» height=«51» src=«ref-1_1937784071-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">,  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937671245-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512"> ;

в)      <img width=«316» height=«51» src=«ref-1_1937784612-766.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513"> ;

г)      <img width=«132» height=«25» src=«ref-1_1937785378-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514"> ,  где  <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1937782025-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515"> — такая действительная функция, что ее сопряженная <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1937780842-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> также принадлежит пространству <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_1937669973-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">:

<img width=«367» height=«65» src=«ref-1_1937786165-1081.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">.         (36)

Доказательство:

Эквивалентность условий а) и б) непосредственно вытекает из (34),  а эквивалентность условий а) и в) — из  теорем 4 и 2.

Докажем, что из г) следует б). Для этого достаточно проверить, что в случае, когда функция и ее сопряженная суммируемы :<img width=«111» height=«27» src=«ref-1_1937787246-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">, имеют место равенства

<img width=«165» height=«27» src=«ref-1_1937787482-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">,   <img width=«97» height=«21» src=«ref-1_1937787806-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">                         (37)

Непосредственный подсчет по формуле (36) показывает, что

<img width=«101» height=«21» src=«ref-1_1937787997-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">,   <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937788188-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">,     <img width=«112» height=«21» src=«ref-1_1937788337-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">,     <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937671245-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525"> 

<img width=«227» height=«83» src=«ref-1_1937788681-731.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526">. Следовательно, равенства (37) выполняются, если <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1937696190-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527"> — произвольный тригонометрический полином.

Пусть <img width=«97» height=«21» src=«ref-1_1937787806-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> фиксировано. Для произвольной функции <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_1937675042-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529"> и <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530"> положим

<img width=«179» height=«53» src=«ref-1_1937790052-573.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531"> ,        <img width=«236» height=«53» src=«ref-1_1937790625-696.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">,

 где   <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1937756463-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533">,   <img width=«53» height=«41» src=«ref-1_1937791492-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">,   <img width=«148» height=«21» src=«ref-1_1937791671-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">.

Покажем, что равенство (37) для фиксированного нами номера nвытекает из следующих свойств функций <img width=«124» height=«27» src=«ref-1_1937791911-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536"> (наличие этих свойств мы установим  ниже):

1)   <img width=«260» height=«41» src=«ref-1_1937792174-719.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537">,         <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1937666476-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538">,     <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539">;

2)   при <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1937771369-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540"> функции  <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_1937793290-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541"> , <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_1937793437-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">, сходятся по мере к     

      <img width=«179» height=«51» src=«ref-1_1937793604-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">;

3)  <img width=«264» height=«41» src=«ref-1_1937794119-730.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544"> ,    <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1937666476-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545"> ,    <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">,

     где  С — абсолютная константа.
Итак, предположим, что имеют место соотношения 1) — 3).

Легко видеть, что  <img width=«103» height=«27» src=«ref-1_1937795114-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547">,  где  <img width=«187» height=«25» src=«ref-1_1937795358-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">,  поэтому из 2) вытекает сходимость по мере последовательности функций <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_1937795706-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">,<img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">:

<img width=«107» height=«28» src=«ref-1_1937796010-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551"> по мере <img width=«60» height=«21» src=«ref-1_1937796263-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">.                                (38)

Для произвольного <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1937796416-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553"> найдем тригонометрический полином <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1937796571-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> такой, что

<img width=«137» height=«23» src=«ref-1_1937796706-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">,      <img width=«140» height=«47» src=«ref-1_1937796973-416.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556"> .                        (39)

Тогда согласно 3)

<img width=«320» height=«45» src=«ref-1_1937797389-834.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557">                       (40)

и при <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1937798223-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558">

<img width=«268» height=«45» src=«ref-1_1937798360-679.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">.                           (41)

Так как  <img width=«39» height=«23» src=«ref-1_1937796571-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">  — полином, то  <img width=«171» height=«27» src=«ref-1_1937799174-340.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561"> и

<img width=«443» height=«41» src=«ref-1_1937799514-929.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562"> .         (42)

Учитывая, что <img width=«113» height=«27» src=«ref-1_1937800443-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">, и пользуясь оценками (40)-(42), мы находим  <img width=«305» height=«29» src=«ref-1_1937800750-720.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564"> , <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1937798223-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">,

что вместе с (38) доказывает равенство (37).
Докажем теперь, что для произвольной функции <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_1937675042-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566"> справедливы соотношения 1)-3). Оценка 1) сразу следует из неравенства Чебышева, так как <img width=«349» height=«47» src=«ref-1_1937801814-937.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">.

Чтобы доказать 2), фиксируем произвольное <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1937796416-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568"> и представим функцию <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">в виде

<img width=«125» height=«21» src=«ref-1_1937803032-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">,   <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1937767050-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571">,  <img width=«97» height=«44» src=«ref-1_1937803479-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572"> .                 (43)

Из непрерывности функции <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1937803803-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573"> легко следует, что

<img width=«165» height=«51» src=«ref-1_1937803930-535.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574"> 

 равномерно по  <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_1937793437-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">. Поэтому при достаточно больших <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937804632-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576"> с учетом (43) мы будем иметь

<img width=«427» height=«53» src=«ref-1_1937804800-1283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577">,   <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_1937793437-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578">   (44)

Кроме того,  в силу 1) и (43)

<img width=«293» height=«45» src=«ref-1_1937806250-730.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579"> ;

из этого неравенства и (44) вытекает, что при   <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1937806980-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">

<img width=«496» height=«56» src=«ref-1_1937807109-1262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">.

Для доказательства оценки 3) заметим, что

<img width=«260» height=«51» src=«ref-1_1937808371-845.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">,

где <img width=«188» height=«47» src=«ref-1_1937809216-577.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583">. Применяя неравенство а) утверждения 2 для функции <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_1937809793-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">и учитывая, что <img width=«156» height=«31» src=«ref-1_1937809915-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">, получим 3).

Свойства 1)-3) доказаны. Тем самым установлено, что из условия г) в теореме 5 следует б). Для завершения доказательства теоремы 5 достаточно показать, что из в) вытекает г).

Пусть   <img width=«133» height=«21» src=«ref-1_1937810296-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586">  (<img width=«75» height=«21» src=«ref-1_1937810558-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587">,<img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1937810730-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">,<img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937810893-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">)  и

<img width=«167» height=«25» src=«ref-1_1937811054-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590">. Тогда  по теореме 4  <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1937782025-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">, <img width=«95» height=«24» src=«ref-1_1937811584-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592"> и надо доказать только, что <img width=«83» height=«25» src=«ref-1_1937811789-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593"> для п.в. <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_1937810558-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">.

Так как ядро Пуассона — действительная функция, мы можем утверждать,  что при <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1937663381-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595"> и <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596">

<img width=«184» height=«24» src=«ref-1_1937812484-342.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">,  <img width=«188» height=«27» src=«ref-1_1937812826-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">.

С другой стороны, из 2), 8) и (37) вытекает, что для любого <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1937813183-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">, 

                                                      <img width=«93» height=«25» src=«ref-1_1937813342-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600">,  <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_1937810558-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">.                               (45)

Согласно теореме 1

<img width=«271» height=«31» src=«ref-1_1937813736-562.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602">.                   (46)

Кроме того, в силу утверждения 2, из сходимости <img width=«76» height=«27» src=«ref-1_1937814298-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603">(<img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1937651685-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604">) следует сходимость по мере функций <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_1937814607-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605"> к <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1937780842-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">. Таким образом,

<img width=«96» height=«25» src=«ref-1_1937814887-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607"> по мере  (<img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1937651685-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">),

а потому, учитывая (46), <img width=«83» height=«25» src=«ref-1_1937811789-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609"> для п.в. <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">.

Теорема 5 доказана.

Следствие 1.

а) Если <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1937680882-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">,  то  <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_1937815786-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">;

б) если <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1937680882-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613"> и  <img width=«88» height=«51» src=«ref-1_1937816151-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">, то  <img width=«65» height=«25» src=«ref-1_1937816499-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615">;

в) если <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_1937816662-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">, <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1937816843-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">,   <img width=«67» height=«44» src=«ref-1_1937817021-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618">,  <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937662560-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619">,  то

<img width=«208» height=«51» src=«ref-1_1937817388-617.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620">.                               (47)

Доказательство.

Соотношения а) и б) сразу следуют из эквивалентности условий а) и г) в теореме 5.

Чтобы получить в), положим

<img width=«163» height=«25» src=«ref-1_1937818005-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621">,

<img width=«165» height=«24» src=«ref-1_1937818471-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">.

Согласно теореме 5 <img width=«55» height=«25» src=«ref-1_1937818897-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">,  <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_1937819053-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624">, а следовательно, <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_1937819211-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">. Но тогда (для п.в. <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_1937810558-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626">) <img width=«319» height=«32» src=«ref-1_1937819569-809.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">, и из определения класса <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1937820378-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628"> мы получим, что

<img width=«109» height=«51» src=«ref-1_1937820499-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629">.                                                    (48)

Из (48) непосредственно вытекает равенство (47).

Замечание 3.

Если <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937669678-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630">, то в силу п. г) теоремы 5 и утверждения 2 пространство <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_1937644671-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631"> совпадает с <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_1937669973-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632">. Для  р=1 это не так. Пространство <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1937645396-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633"> уже, чем <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_1937652815-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">, и состоит согласно п. г) теоремы 5 из функций <img width=«92» height=«24» src=«ref-1_1937670460-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">, для которых  и  <img width=«93» height=«25» src=«ref-1_1937670664-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">.

<img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1937645396-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">  — банахово пространство с нормой

<img width=«203» height=«35» src=«ref-1_1937822233-523.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">.                                (49)

Полнота <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1937645396-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639"> с нормой (49) следует из утверждения 2  и полноты пространства <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_1937652815-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">: если <img width=«121» height=«27» src=«ref-1_1937823071-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641">  при <img width=«65» height=«17» src=«ref-1_1937823366-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">, то  <img width=«77» height=«28» src=«ref-1_1937823518-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">,  <img width=«76» height=«28» src=«ref-1_1937823717-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">, <img width=«108» height=«24» src=«ref-1_1937823918-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">,  и так как <img width=«56» height=«27» src=«ref-1_1937824148-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">по мере  при <img width=«48» height=«15» src=«ref-1_1937688997-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">, то <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1937824429-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">и <img width=«115» height=«27» src=«ref-1_1937824563-276.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649"> при <img width=«48» height=«15» src=«ref-1_1937688997-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650">.

Замечание 4.

Согласно замечанию 3 равенство (47) выполняется, в частности, в случае, когда <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1937782025-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651">, <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_1937825169-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652">, <img width=«67» height=«44» src=«ref-1_1937817021-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653">, <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937669678-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">.

Отметим также, что, взяв в (47) вместо <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655">  функцию <img width=«36» height=«25» src=«ref-1_1937780842-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656"> и учитывая б), мы получим

<img width=«199» height=«51» src=«ref-1_1937825994-613.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657">,   если <img width=«88» height=«51» src=«ref-1_1937816151-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">.                    (50)    продолжение
--PAGE_BREAK--
§
I
.4.Произведение Бляшке,

нетангенциальная максимальная функция.

Пусть последовательность ненулевых комплексных чисел (не обязательно различных) — <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_1937826955-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659"> удовлетворяет условию

<img width=«47» height=«27» src=«ref-1_1937827200-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660"> ,  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937671245-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661">,  <img width=«104» height=«45» src=«ref-1_1937827501-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">.                             (51)

Рассмотрим произведение(произведение Бляшке)

<img width=«237» height=«48» src=«ref-1_1937827907-665.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">.                              (52)                             

Для фиксированного <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1937828572-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664">,  <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1937710390-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">,  при  <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_1937828792-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666"> имеет место оценка

<img width=«252» height=«53» src=«ref-1_1937828939-809.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667">.                            (53)

Так как ряд (51) сходится, то из (53) легко вывести, что произведение (52) сходится абсолютно и равномерно в круге <img width=«41» height=«27» src=«ref-1_1937828792-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668">, т.е. функция <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1937673720-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669"> аналитична в единичном круге и имеет нули в точках <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1937671148-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">,  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937671245-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671">, и только в этих точках. При этом, пользуясь неравенством <img width=«80» height=«27» src=«ref-1_1937830266-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672"> (<img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1937830484-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673">, <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937671245-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674">), мы находим

<img width=«61» height=«27» src=«ref-1_1937830779-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675"> ,   <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1937830484-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">.                                               (54)

Допустим теперь, что <img width=«104» height=«24» src=«ref-1_1937831115-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677"> (<img width=«47» height=«27» src=«ref-1_1937827200-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678">) — нули некоторой функции <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1937672594-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679"> с  <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1937831628-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680">, причем каждый из них повторяется со своей кратностью. Докажем, что ряд (51) сходится. Положим

<img width=«131» height=«51» src=«ref-1_1937831791-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681"> ,   <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1937832220-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">

Функция <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1937832376-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683"> (<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1937832220-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">) аналитична в круге  радиуса больше единицы, и <img width=«71» height=«27» src=«ref-1_1937832674-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">, если  <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1937721007-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686"> .  Следовательно, <img width=«195» height=«27» src=«ref-1_1937833011-471.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687"> и согласно п.3 теоремы 4 <img width=«99» height=«27» src=«ref-1_1937833482-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688">. Но тогда

<img width=«373» height=«104» src=«ref-1_1937833782-1553.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689">

и

<img width=«127» height=«52» src=«ref-1_1937835335-515.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690">,   <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1937832220-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691">                                       (55)

Так как  <img width=«47» height=«27» src=«ref-1_1937827200-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692">, <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937671245-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693">, то из (55) вытекает сходимость произведения <img width=«47» height=«45» src=«ref-1_1937836307-244.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">, а значит, и сходимость ряда (51).

Определение
I
.6.

Пусть  <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937670878-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">  — аналитическая в круге <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1937671006-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696"> функция и <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1937671148-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">, <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937671245-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698"> (<img width=«72» height=«27» src=«ref-1_1937671393-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699">) -  ее нули, повторяющиеся со своей кратностью. Пусть также <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1937672261-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700">  — кратность нуля функции <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1937672389-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701"> при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1937672480-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702">. Произведение

<img width=«139» height=«36» src=«ref-1_1937837588-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">                                              (56)

называется произведением Бляшке функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937670878-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704">.

Справедлива

Теорема 6.

Каждая функция  <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1937672594-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705"> представима в виде

<img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1937672774-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">,

где <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937673017-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707"> не имеет нулей в круге <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1937671006-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708"> и

<img width=«52» height=«21» src=«ref-1_1937673287-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">,  <img width=«91» height=«27» src=«ref-1_1937673433-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710">,

а <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1937673720-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711">  — произведение Бляшке функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937670878-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712">.

Доказательство.

Пусть <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1937671148-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713">, <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937671245-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714"> (<img width=«72» height=«27» src=«ref-1_1937671393-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">) — нули функции <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1937672389-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716"> ( или, что то же самое, нули функции <img width=«60» height=«41» src=«ref-1_1937839984-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">) Тогда, как отмечалось выше, <img width=«35» height=«21» src=«ref-1_1937673720-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718">  — аналитическая в круге <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1937671006-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719"> функция и

<img width=«61» height=«27» src=«ref-1_1937840447-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720"> ,   <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1937671006-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721">.                                               (57)

При этом функция <img width=«121» height=«23» src=«ref-1_1937840774-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722"> также аналитична в единичном круге, не имеет в нем нулей и <img width=«91» height=«27» src=«ref-1_1937841028-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723"> .

Для доказательства обратного неравенства рассмотрим частные произведения (56):

<img width=«148» height=«45» src=«ref-1_1937841325-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724">,   <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1937832220-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725">,   <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1937830484-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">.

Так как <img width=«80» height=«29» src=«ref-1_1937842046-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727"> для любого <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">, то по теореме 4

<img width=«101» height=«52» src=«ref-1_1937842448-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">

и

<img width=«143» height=«51» src=«ref-1_1937842868-641.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730"> , если <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1937710390-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">.

Устремив в последнем неравенстве числоmк бесконечности и учитывая, что <img width=«128» height=«25» src=«ref-1_1937843647-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732"> (<img width=«52» height=«15» src=«ref-1_1937843914-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733">) равномерно по <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734">, мы получим

<img width=«136» height=«51» src=«ref-1_1937844219-608.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735">,  <img width=«59» height=«19» src=«ref-1_1937710390-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736">,

т.е. <img width=«52» height=«21» src=«ref-1_1937673287-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737">,  <img width=«91» height=«27» src=«ref-1_1937673433-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738">.

Теорема 6 доказана.

Определение
I
.7.

Пусть <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1937673974-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739">,  <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1937674063-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">, — произвольное число. Обозначим через <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_1937674208-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">, <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742">, область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_1937674528-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743"> к окружности <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_1937674630-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744">, и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками касания ( при <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1937674779-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745"> <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_1937674208-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746"> вырождается в радиус единичного круга). Для <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_1937675042-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">положим

<img width=«148» height=«37» src=«ref-1_1937675249-479.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748"> , <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749">,

где <img width=«40» height=«23» src=«ref-1_1937651551-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750">  — интеграл Пуассона функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">. Функция <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_1937676163-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752"> называется нетангенциальной максимальной функцией для <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753">.

В силу теоремы 2

<img width=«95» height=«27» src=«ref-1_1937847858-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754"> для п.в. <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755">.                            (58)

Установим, что для произвольной функции <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_1937675042-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">  величина <img width=«43» height=«25» src=«ref-1_1937676163-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757"> не превосходит (по порядку) значения максимальной функции <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1937848630-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758">*) в точке х, т.е.

<img width=«131» height=«25» src=«ref-1_1937848773-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759">,   <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">.                           (59)

Нам понадобится

утверждение 3.

а) если функция <img width=«96» height=«27» src=«ref-1_1937849226-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761">, то для любого <img width=«35» height=«19» src=«ref-1_1937849459-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762">

<img width=«243» height=«51» src=«ref-1_1937849573-768.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">;

б) если функция <img width=«100» height=«27» src=«ref-1_1937850341-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">,<img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937850581-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765"> то <img width=«181» height=«31» src=«ref-1_1937850740-571.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">,

где <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1937851311-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767">  — постоянная, зависящая  только от числа р.
Пусть <img width=«92» height=«28» src=«ref-1_1937851421-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768"> и <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1937851639-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769">. По определению интеграла Пуассона

<img width=«361» height=«51» src=«ref-1_1937851786-911.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770">

Положим <img width=«131» height=«51» src=«ref-1_1937852697-437.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771">. Тогда будем иметь

<img width=«539» height=«51» src=«ref-1_1937853134-1135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">

и, в силу неравенства <img width=«121» height=«27» src=«ref-1_1937854269-281.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773">, <img width=«71» height=«21» src=«ref-1_1937756463-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774">, и периодичности <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_1937854721-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775">,

<img width=«327» height=«53» src=«ref-1_1937854849-920.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776">.                     (60)

Так как обе функции <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1937855769-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777">  и   <img width=«85» height=«23» src=«ref-1_1937855921-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778"> положительны при  <img width=«69» height=«23» src=«ref-1_1937856126-266.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779">   и отрицательны при  <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1937856392-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780"> ( из (5)), то, предполагая без ограничения общности, что <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1937856647-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781">, мы получим

<img width=«324» height=«52» src=«ref-1_1937856772-931.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782">.                    (61)

Для  <img width=«104» height=«19» src=«ref-1_1937857703-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783"> имеют место оценки

<img width=«301» height=«53» src=«ref-1_1937857892-833.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784">,

<img width=«325» height=«53» src=«ref-1_1937858725-866.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785">.

Следовательно,  для доказательства неравенства (59) достаточно проверить, что

<img width=«111» height=«27» src=«ref-1_1937859591-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786"> при  <img width=«152» height=«21» src=«ref-1_1937859848-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787">,                     (62)

если <img width=«88» height=«25» src=«ref-1_1937860088-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788">. Пусть <img width=«45» height=«21» src=«ref-1_1937860294-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789">, тогда

<img width=«233» height=«41» src=«ref-1_1937860417-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790">.

В остальных случаях неравенство (62) очевидно. Из (58), (59) и утверждения 3 вытекает, что для любой функции <img width=«96» height=«24» src=«ref-1_1937782025-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791">,  <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937669678-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792">,

<img width=«260» height=«32» src=«ref-1_1937861279-581.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793">,                        (63)

где <img width=«32» height=«25» src=«ref-1_1937861860-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794">  — постоянная, зависящая только от <img width=«65» height=«17» src=«ref-1_1937861981-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795"> .

Теорема 7.

Пусть <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1937676676-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796"> (<img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937647915-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797">),  <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1937674063-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798"> и

<img width=«133» height=«36» src=«ref-1_1937862599-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799"> , <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800">.

<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_1937651936-73.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801">Тогда <img width=«123» height=«25» src=«ref-1_1937677158-262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802"> и

<img width=«212» height=«32» src=«ref-1_1937677420-532.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803">.                                  (64)

Доказательство.

Утверждение теоремы 7 в случае, когда <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937669678-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804">, есть прямое следствие оценки (63) и теоремы 4. Пусть теперь <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1937672594-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805">. По теореме 6 <img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1937672774-243.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806">, где <img width=«61» height=«27» src=«ref-1_1937830779-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807">,  <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1937864830-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808">, если <img width=«39» height=«27» src=«ref-1_1937671006-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809">  и  <img width=«91» height=«27» src=«ref-1_1937673433-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810">. Из функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937673017-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811"> можно извлечь корень: существует функция <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1937865546-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812"> такая, что <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1937865729-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813">, и, следовательно из (64) при р=2, получим

<img width=«479» height=«51» src=«ref-1_1937865938-1253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814">.

Оценка снизу для <img width=«71» height=«32» src=«ref-1_1937867191-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815"> вытекает из (58).

Теорема 7 доказана.
Глава
II
. Атомические разложения функции

в пространстве <img width=«56» height=«33» src=«ref-1_1937867445-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816">, пространство ВМО.

§
II
.1.Пространство <img width=«56» height=«33» src=«ref-1_1937867445-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817">, критерий принадлежности функции из <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1937868159-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818"> 

пространству <img width=«56» height=«33» src=«ref-1_1937867445-357.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819">.
Рассмотрим <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_1937644671-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820"> (<img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937662560-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821">) — пространство функций <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1822">, являющихся граничными значениями действительных частей функций из пространства <img width=«27» height=«20» src=«ref-1_1937644454-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1823">:

<img width=«143» height=«31» src=«ref-1_1937869235-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1824">  для п.в. <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1937663523-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1825">,   <img width=«55» height=«20» src=«ref-1_1937726837-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1826">.               (65)

Ранее мы доказали, что

<img width=«267» height=«25» src=«ref-1_1937869880-593.coolpic» v:shapes="_x0000_i1827">,   <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937662560-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1828">,               (66)

и что <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_1937644671-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1829"> — банахово пространство с нормой

<img width=«233» height=«36» src=«ref-1_1937870773-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i1830">;                                (67)

при этом, если в (65) <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1937871324-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1831">, то

<img width=«240» height=«28» src=«ref-1_1937871511-566.coolpic» v:shapes="_x0000_i1832">    (<img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937662560-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1833">) .                (68)

В замечании 3 уже говорилось о том, что при <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937669678-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1834"> пространство <img width=«47» height=«21» src=«ref-1_1937644671-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1835"> совпадает с пространством <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_1937669973-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1836"> и из утверждения 2 следует, что

<img width=«261» height=«29» src=«ref-1_1937872704-570.coolpic» v:shapes="_x0000_i1837">    (<img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937669678-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1838">).

Последнее соотношение теряет силу при <img width=«37» height=«21» src=«ref-1_1937873429-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1839">  — нетрудно проверить, что при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1937873548-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1840">

<img width=«147» height=«41» src=«ref-1_1937873667-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1841">,

где

<img width=«205» height=«72» src=«ref-1_1937874073-701.coolpic» v:shapes="_x0000_i1842">

и, следовательно, существует функция <img width=«93» height=«24» src=«ref-1_1937874774-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1843">, для которой <img width=«93» height=«25» src=«ref-1_1937874981-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1844">. Таким образом, <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1937645396-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1845">  — собственное подпространство в <img width=«65» height=«24» src=«ref-1_1937652815-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1846">. Ниже мы дадим критерий принадлежности функций к пространству  <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1937645396-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1847">.

ОпределениеII
.
8.

Множество <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1937875656-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1848"> мы будем называть обобщенным интервалом, если <img width=«157» height=«24» src=«ref-1_1937875826-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1849">   — дуга на единичной окружности, т.е. <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1937678739-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1850">  — либо интервал из  <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1937680266-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1851">, либо множество вида

<img width=«125» height=«21» src=«ref-1_1937876491-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1852">  (<img width=«104» height=«19» src=«ref-1_1937680697-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1853">).                             (69)

Точку <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1937876917-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i1854"> назовем центром обобщенного интервала <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1937678739-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1855">, если <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1937877083-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1856">  — центр дуги <img width=«32» height=«23» src=«ref-1_1937877183-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1857">. Длиной обобщенного интервала <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1937678739-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1858"> естественно назвать величину

<img width=«284» height=«48» src=«ref-1_1937877479-936.coolpic» v:shapes="_x0000_i1859">

Определение
II
.9.

Действительную функцию <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_1937678409-330.coolpic» v:shapes="_x0000_i1860"> назовем атомом, если существует обобщенный интервал <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1937678739-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1861"> такой, что

а) <img width=«93» height=«21» src=«ref-1_1937678824-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1862">;

б) <img width=«155» height=«51» src=«ref-1_1937679031-508.coolpic» v:shapes="_x0000_i1863">;

в) <img width=«109» height=«32» src=«ref-1_1937679539-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1864">.

Атомом назовем также функцию <img width=«71» height=«41» src=«ref-1_1937679856-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1865">, <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1866">.

Теорема 8.

Для того, чтобы выполнялось включение: <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1937680882-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1867">, необходимо и достаточно, чтобы функция <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1868"> допускала представление в виде*)

<img width=«123» height=«36» src=«ref-1_1937681189-408.coolpic» v:shapes="_x0000_i1869">,  <img width=«73» height=«36» src=«ref-1_1937681597-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1870">,                              (70)

где <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1937681928-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1871">, <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1872">, — атомы. При этом

<img width=«215» height=«36» src=«ref-1_1937682212-633.coolpic» v:shapes="_x0000_i1873">,                           (71)

где infберется по всем разложениям вида (70) функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1874">, а   с и С <img width=«104» height=«21» src=«ref-1_1937682971-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1875">   — абсолютные константы.

Доказательство.

Достаточность.

Пусть для функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1876"> нашлось разложение вида (70). Покажем, что <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1937680882-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1877"> и  <img width=«116» height=«36» src=«ref-1_1937882873-442.coolpic» v:shapes="_x0000_i1878"> . Для этого достаточно проверить, что для любого атома <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_1937883315-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1879"> имеет место неравенство

<img width=«76» height=«41» src=«ref-1_1937883439-271.coolpic» v:shapes="_x0000_i1880">.                                                 (72)

Пусть <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1937678739-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1881"> — такой обобщенный интервал, что

<img width=«93» height=«21» src=«ref-1_1937678824-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1882">,  <img width=«83» height=«39» src=«ref-1_1937884002-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1883"> , <img width=«109» height=«32» src=«ref-1_1937679539-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1884">                     (73)

(случай   <img width=«71» height=«41» src=«ref-1_1937884644-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1885"> тривиален). Так как <img width=«96» height=«51» src=«ref-1_1937884863-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1886"> , то нам остается доказать, что

<img width=«108» height=«51» src=«ref-1_1937885244-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1887">.                                            (74)

Для любого измеримого множества <img width=«81» height=«23» src=«ref-1_1937885650-199.coolpic» v:shapes="_x0000_i1888">, применяя неравенство Коши и пользуясь утверждением 2  и соотношениями (73), мы находим

<img width=«505» height=«55» src=«ref-1_1937885849-1396.coolpic» v:shapes="_x0000_i1889">,  (75)

откуда сразу вытекает (74), в случае, когда  <img width=«63» height=«41» src=«ref-1_1937887245-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1890">.

Допустим теперь, что <img width=«63» height=«41» src=«ref-1_1937887461-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1891">, и обозначим через <img width=«17» height=«20» src=«ref-1_1937887674-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1892"> обобщенный интервал длины <img width=«31» height=«27» src=«ref-1_1937887770-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1893"> с тем же центром, что и <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1937678739-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1894">. Из (75) следует, что

<img width=«231» height=«44» src=«ref-1_1937887987-649.coolpic» v:shapes="_x0000_i1895">.

Нам остается оценить интеграл <img width=«85» height=«43» src=«ref-1_1937888636-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1896">. Мы воспользуемся очевидным неравенством

<img width=«128» height=«45» src=«ref-1_1937889028-466.coolpic» v:shapes="_x0000_i1897">,   <img width=«89» height=«20» src=«ref-1_1937889494-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1898">,

где <img width=«44» height=«23» src=«ref-1_1937889668-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1899"> — длина наименьшей из двух дуг единичной окружности, соединяющих точки <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_1937674528-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1900"> и <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1937877083-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1901">,  а  <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1937890107-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1902">  — абсолютная постоянная. В силу (73) при <img width=«99» height=«24» src=«ref-1_1937890228-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1903"> мы имеем

<img width=«572» height=«83» src=«ref-1_1937890453-1734.coolpic» v:shapes="_x0000_i1904">где <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1937892187-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1905"> — центр обобщенного интервала <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1937678739-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1906">. Из последнего соотношения, учитывая, что  <img width=«109» height=«32» src=«ref-1_1937679539-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1907"> и  <img width=«97» height=«27» src=«ref-1_1937892674-346.coolpic» v:shapes="_x0000_i1908">,  мы находим

<img width=«264» height=«71» src=«ref-1_1937893020-1160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1909">, <img width=«99» height=«24» src=«ref-1_1937890228-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1910">, где <img width=«125» height=«29» src=«ref-1_1937894405-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1911"> .

Следовательно,

<img width=«380» height=«53» src=«ref-1_1937894826-1125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1912">.

Оценка (74), а потому и оценка (72) доказаны.

Необходимость.

Построим для данной функции <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1937680882-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1913"> разложение (70), для которого

<img width=«121» height=«36» src=«ref-1_1937896132-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1914">.

Пусть функция  <img width=«71» height=«24» src=«ref-1_1937672594-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1915"> с  <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1937871324-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1916"> такова, что выполнено соотношение (65), и пусть <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1937896951-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1917"> (<img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1937897098-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1918">) — нетангенциальная максимальная функция для <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937670878-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1919">, т.е.

<img width=«133» height=«36» src=«ref-1_1937862599-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1920"> , <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1921">,                                (75')

где <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_1937674208-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1922"> — область, ограниченная двумя касательными, проведенными из точки  <img width=«20» height=«21» src=«ref-1_1937674528-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1923"> к окружности <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_1937674630-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1924">, и наибольшей дугой окружности <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_1937674630-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1925">, заключенной между точками касания.

Теорема 7 утверждает, что <img width=«143» height=«32» src=«ref-1_1937898528-404.coolpic» v:shapes="_x0000_i1926">, поэтому нам достаточно найти такое разложение функции  <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1927"> на атомы (70), что 

<img width=«140» height=«37» src=«ref-1_1937899058-503.coolpic» v:shapes="_x0000_i1928">,                                       (76)

где постоянные С  и  <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1937673974-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1929">(<img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1937897098-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1930">) не зависят от <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1937696190-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1931">. Для построения разложения (70) с условием (76) фиксируем число <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1937673974-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1932">: пусть, например, <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1937899975-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1933">. Не ограничивая общности, мы можем считать, что

<img width=«95» height=«32» src=«ref-1_1937900133-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1934">.                                            (77)

Рассмотрим на отрезке <img width=«51» height=«23» src=«ref-1_1937646298-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1935"> множества

<img width=«85» height=«24» src=«ref-1_1937900571-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1936"> ,  <img width=«201» height=«25» src=«ref-1_1937900774-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1937"> ,  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1938">           (78)

Так как при любом <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1937901414-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1939"> множество точек единичной окружности <img width=«105» height=«25» src=«ref-1_1937901538-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1940"> открыто, то ясно, что при <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1941"> множество <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1937902032-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1942"> (если оно непустое) представимо (единственным образом) в виде суммы непересекающихся обобщенных интервалов:

<img width=«80» height=«39» src=«ref-1_1937902138-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1943">,  <img width=«89» height=«27» src=«ref-1_1937902452-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1944"> при <img width=«35» height=«20» src=«ref-1_1937902759-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1945">,  <img width=«91» height=«21» src=«ref-1_1937902873-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1946"> ,  <img width=«123» height=«25» src=«ref-1_1937903053-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1947">.    (79)

Положим              <img width=«132» height=«51» src=«ref-1_1937903305-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1948">  и  при  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1949">

<img width=«344» height=«75» src=«ref-1_1937903906-1047.coolpic» v:shapes="_x0000_i1950">               (80)

Так как  <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1937896951-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1951"> конечна для п.в. <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1952">, то из определения функций <img width=«40» height=«24» src=«ref-1_1937905292-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1953">, <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1954">, следует, что для п.в. <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1955">      <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_1937905770-202.coolpic» v:shapes="_x0000_i1956">  при  <img width=«59» height=«21» src=«ref-1_1937905972-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1957">, а значит,  для п.в. <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1958">

<img width=«223» height=«45» src=«ref-1_1937906324-633.coolpic» v:shapes="_x0000_i1959"> .

Отсюда, учитывая, что <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_1937906957-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1960">, а следовательно из (80), <img width=«148» height=«24» src=«ref-1_1937907124-285.coolpic» v:shapes="_x0000_i1961"> при <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1937907409-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1962">, мы находим, что

<img width=«268» height=«45» src=«ref-1_1937907551-725.coolpic» v:shapes="_x0000_i1963">,                           (81)

где <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_1937908276-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1964"> — характеристическая функция множества <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1937902032-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1965">.  Из (81), учитывая, что <img width=«80» height=«39» src=«ref-1_1937902138-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1966">, мы для функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1967"> получаем следующее разложение:

<img width=«183» height=«47» src=«ref-1_1937909030-595.coolpic» v:shapes="_x0000_i1968">     для п.в. <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1969">,              (82)

где

<img width=«213» height=«27» src=«ref-1_1937909817-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1970">,    <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937910337-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1971">,  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937910488-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1972">          (83)

С помощью функций <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_1937910636-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1973"> мы и построим нужное нам разложение вида (70). Прежде всего отметим, что при  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937910337-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1974">,  <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937910488-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1975">

  <img width=«101» height=«43» src=«ref-1_1937911087-400.coolpic» v:shapes="_x0000_i1976"> , <img width=«120» height=«25» src=«ref-1_1937911487-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1977"> .                       (84)

Докажем теперь, что для п.в. <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1978">

<img width=«95» height=«27» src=«ref-1_1937911938-246.coolpic» v:shapes="_x0000_i1979"> , <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937910337-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i1980"> ,                             (85)

где постоянная <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937912335-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1981"> зависит только от числа <img width=«16» height=«15» src=«ref-1_1937673974-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1982">, зафиксированного нами ранее.

Так как из (65) и (75') <img width=«101» height=«27» src=«ref-1_1937912587-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i1983"> для п.в.<img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1984">, то из  (77) следует, что

<img width=«300» height=«53» src=«ref-1_1937913032-919.coolpic» v:shapes="_x0000_i1985">.

Пусть теперь <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1986">,  <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1937914100-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1987">  — один из обобщенных интервалов  в представлении (79), тогда из (77) и (78)  <img width=«99» height=«27» src=«ref-1_1937914241-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1988"> , и если <img width=«25» height=«21» src=«ref-1_1937914474-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1989">,  <img width=«27» height=«21» src=«ref-1_1937914607-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1990">  — концевые точки дуги <img width=«116» height=«24» src=«ref-1_1937914745-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1991"> (<img width=«109» height=«23» src=«ref-1_1937915138-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1992">), то <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1937915351-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1993">, а значит,

<img width=«81» height=«25» src=«ref-1_1937915540-208.coolpic» v:shapes="_x0000_i1994">,  <img width=«44» height=«21» src=«ref-1_1937915748-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1995">.                                           (86)

Из неравенств (86) согласно (75') следует, что

<img width=«81» height=«27» src=«ref-1_1937915875-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1996">  при  <img width=«143» height=«24» src=«ref-1_1937916093-421.coolpic» v:shapes="_x0000_i1997">.                         (87)

Легко видеть (учитывая,  что <img width=«59» height=«27» src=«ref-1_1937916514-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1998">  и  <img width=«59» height=«23» src=«ref-1_1937899975-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1999">), что множества  <img width=«155» height=«27» src=«ref-1_1937916849-493.coolpic» v:shapes="_x0000_i2000">  и  <img width=«156» height=«27» src=«ref-1_1937917342-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i2001"> пересекаются в одной точке:

<img width=«32» height=«24» src=«ref-1_1937917844-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i2002"> с   <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937917966-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i2003"> ,  <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1937918120-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2004">.                                      (88)

Пусть <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1937918241-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i2005">,  <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1937918342-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i2006">, — отрезок, соединяющий точки <img width=«28» height=«23» src=«ref-1_1937918479-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i2007">  и  <img width=«32» height=«24» src=«ref-1_1937917844-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i2008">. Так как  <img width=«107» height=«25» src=«ref-1_1937918741-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i2009"> , <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1937918342-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i2010">, то из непрерывности функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937670878-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i2011"> при <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_1937919383-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i2012">и неравенства (87) вытекает, что <img width=«81» height=«27» src=«ref-1_1937915875-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i2013">, если <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1937919749-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i2014">, <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1937918342-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i2015">, и  <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_1937919383-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i2016">. Поэтому, учитывая (88)

<img width=«79» height=«47» src=«ref-1_1937920165-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i2017"> , <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1937919749-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i2018">,<img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1937918342-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i2019">,   <img width=«45» height=«27» src=«ref-1_1937919383-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i2020">.                         (89)



Рассмотрим область <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1937920882-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2021">, ограниченную

отрезками <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1937920976-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2022"> и  <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1937921071-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2023"> и дугой  <img width=«116» height=«24» src=«ref-1_1937914745-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i2024">;

пусть, далее, для <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_1937921561-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i2025">

<img width=«145» height=«27» src=«ref-1_1937921816-403.coolpic» v:shapes="_x0000_i2026"> ,

<img width=«171» height=«36» src=«ref-1_1937922219-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i2027">,  <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1937918342-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i2028">.



<img width=«265» height=«283» src=«ref-1_1937922843-16499.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025">


По теореме Коши [5]             <img width=«115» height=«49» src=«ref-1_1937939342-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i2029">.

Отсюда и из (89), учитывая, что для любой дуги <img width=«228» height=«24» src=«ref-1_1937939786-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i2030"> справедливо равенство <img width=«159» height=«51» src=«ref-1_1937940255-551.coolpic» v:shapes="_x0000_i2031">,

мы получим

<img width=«337» height=«69» src=«ref-1_1937940806-1250.coolpic» v:shapes="_x0000_i2032">.

Но в силу теорем 4 и 5

<img width=«183» height=«56» src=«ref-1_1937942056-592.coolpic» v:shapes="_x0000_i2033">,  <img width=«132» height=«25» src=«ref-1_1937785378-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i2034">,

и так как <img width=«92» height=«36» src=«ref-1_1937942923-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i2035">,  <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1937918342-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i2036">, то мы находим, что

<img width=«169» height=«56» src=«ref-1_1937943321-711.coolpic» v:shapes="_x0000_i2037"> .                                    (89')

Легко видеть, что отношение <img width=«100» height=«27» src=«ref-1_1937944032-384.coolpic» v:shapes="_x0000_i2038">   ограничено сверху числом, зависящим только от s, поэтому

<img width=«137» height=«56» src=«ref-1_1937944416-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i2039"> , <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1937912335-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i2040">.                             (90)

Так как  <img width=«105» height=«21» src=«ref-1_1937945134-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i2041">, то из соотношений (90) и (80) вытекает, что для <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_1937945358-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i2042">, <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937682063-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i2043">, справедливо неравенство (85). Для п.в. <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_1937945648-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i2044"> неравенство (85) сразу следует из определения функций <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1937945789-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i2045"> и множеств <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_1937945930-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i2046">.

Пользуясь оценкой (85), из (83) мы получаем, что <img width=«159» height=«35» src=«ref-1_1937946037-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i2047">, а это значит, что функции

<img width=«163» height=«52» src=«ref-1_1937946413-446.coolpic» v:shapes="_x0000_i2048">  , <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937910337-151.coolpic» v:shapes="_x0000_i2049"> , <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1937910488-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i2050">,

являются атомами. Тогда, преобразуя неравенство (82), мы получаем разложение функции <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1937649037-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i2051"> на атомы:

<img width=«220» height=«53» src=«ref-1_1937947284-704.coolpic» v:shapes="_x0000_i2052">  для  п.в. <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1937653250-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i2053"> ,

где                 <img width=«93» height=«56» src=«ref-1_1937948180-374.coolpic» v:shapes="_x0000_i2054"> ,  <img width=«127» height=«29» src=«ref-1_1937948554-280.coolpic» v:shapes="_x0000_i2055">.

Оценим сумму модулей коэффициентов указанного разложения. Учитывая равенство (77), имеем

<img width=«429» height=«53» src=«ref-1_1937948834-1266.coolpic» v:shapes="_x0000_i2056"><img width=«380» height=«51» src=«ref-1_1937950100-982.coolpic» v:shapes="_x0000_i2057">.

Неравенство (76), а потому и теорема 8 доказаны.    продолжение
--PAGE_BREAK--