Реферат: Интегралы, зависящие от параметра

--PAGE_BREAK--
2.2    Собственные интегралы, зависящие от параметра
         Пусть f: [а; b] х Y → R, где [а; b] <img width=«16» height=«13» src=«ref-2_1831429326-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1144"> R, Y- любое множество,

а [а; b] х Y = {(х, у): х <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1831387518-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1145"> [а; b], у<img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1831387518-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1146">Y}. Предположим, что <img width=«49» height=«21» src=«ref-2_1831429580-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1147">функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; b].

Определение 2.7Функцию

<img width=«121» height=«51» src=«ref-2_1831429722-422.coolpic» v:shapes="_x0000_i1148">    (2.1)

определённую на множестве Y при описанных выше условиях, будем

называть собственным интегралом, зависящим от параметра.

  

    Изучим свойства этого интеграла, ограничившись простейшим случаем:

У = [с; d] <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1831387518-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1149"> R, и введя обозначение

             

П [а b] х [с; d] = {(х, у): х <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1831387518-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1150"> [а; b], у <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1831387518-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1151"> [с; d]}.
Теорема 2.7Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда

функция I(у) непрерывна на отрезке [а; b].
Доказательство.Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества. Возьмём, поэтому, любое <img width=«33» height=«24» src=«ref-2_1831430396-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1152"> [с; d] и

любое <img width=«13» height=«21» src=«ref-2_1831430511-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1153"> > 0 и покажем, что найдётся <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_1831430601-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1154"> > 0 такое, что если у <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1831387518-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1155"> [с; d] и

<img width=«76» height=«27» src=«ref-2_1831430774-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1156">, то будет выполняться неравенство <img width=«113» height=«27» src=«ref-2_1831430967-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1157">

         Прямоугольник П — компактное множество в <img width=«21» height=«20» src=«ref-2_1831431221-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1158">, поэтому по теореме

Кантора функция f равномерно непрерывна на П, следовательно, по выбранному <img width=«13» height=«21» src=«ref-2_1831430511-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1159">>0  можно указать такое <img width=«15» height=«19» src=«ref-2_1831430601-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1160">> 0, что если
<img width=«317» height=«27» src=«ref-2_1831431504-566.coolpic» v:shapes="_x0000_i1161">
то будет выполняться неравенство
<img width=«195» height=«41» src=«ref-2_1831432070-423.coolpic» v:shapes="_x0000_i1162">
Положим х' = х"= х, у' = у, у" =<img width=«19» height=«24» src=«ref-2_1831432493-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1163">. Тогда
<img width=«535» height=«53» src=«ref-2_1831432590-1262.coolpic» v:shapes="_x0000_i1164">
Полученная оценка доказывает не только непрерывность, но и равномерную (поскольку δ не зависит от <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_1831432493-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1165"> ) непрерывность функции I(у) на

отрезке [а; b].■
Теорема 2.8Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П. Тогда

функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство
<img width=«289» height=«51» src=«ref-2_1831433949-910.coolpic» v:shapes="_x0000_i1166">        (2.2)
Доказательство. Интегрируемость I(у) вытекает из предыдущей теоремы и теоремы об интегрируемости непрерывных функций. Равенство

же 2.2 следует из теоремы о сведении кратного интеграла к повтор-

ному. для непрерывной на прямоугольнике П функции существует

<img width=«97» height=«39» src=«ref-2_1831434859-406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1167">, который может быть сведен к повторному в любом порядке. ■
Теорема 2.9Если функция f непрерывна и имеет непрерывную частную производную <img width=«19» height=«27» src=«ref-2_1831435265-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1168"> на прямоугольнике П, то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство
<img width=«248» height=«51» src=«ref-2_1831435373-760.coolpic» v:shapes="_x0000_i1169">                (2.3)

Доказательство.Так как <img width=«24» height=«25» src=«ref-2_1831436133-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1170"> непрерывна на П, то, используя предыдущую теорему, для любого у <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1831387518-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1171"> [с; d] можем написать равенство
<img width=«243» height=«51» src=«ref-2_1831436326-878.coolpic» v:shapes="_x0000_i1172">        (2.4)

    Упростим левую часть равенства 2.4 с помощью формулы Ньютона-

Лейбница.
<img width=«479» height=«51» src=«ref-2_1831437204-1252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1173">

         Обозначим через J(η) внутренний интеграл в правой части равенства

(2.4). Тогда равенство (2.4) примет вид:
<img width=«153» height=«51» src=«ref-2_1831438456-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1174">       (2.5)

    По теореме 2.7 J(η) — непрерывная на [с; d] функция. Но тогда по

теореме о производной интеграла с переменным верхним пределом правая часть равенства (3.5) (следовательно, и левая) дифференцируема на

отрезке [с; d]. По той же теореме из равенства (3.5) получаем:
<img width=«287» height=«51» src=«ref-2_1831438926-821.coolpic» v:shapes="_x0000_i1175">

что и требовалось. ■

    Рассмотрим теперь более общий случай, когда не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования зависят от параметра. Итак, пусть функция f(x, у) определена на прямоугольнике П =[а; Ь] х [с; d], интегрируема по х на отрезке [а; b] для каждого у <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1831387518-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1176"> [с; d],

функции а (у) и b(у) заданы на отрезке [с; d] и <img width=«36» height=«21» src=«ref-2_1831439831-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i1177"> [с; d] выполняется

а ≤ а(у) ≤ b(у) ≤ b. Рассмотрим интеграл
<img width=«129» height=«52» src=«ref-2_1831439953-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1178">  (2.6)
Теорема 2.10Пусть функция f(x, у) непрерывна на П, а функции а(у),

b(у) непрерывны на [с; d]. Тогда функция I(у), определённая равенством

(2.6), непрерывна на [с; d].

 

Доказательство.Пусть y <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1831387518-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1179">  [с; d]. Покажем, что <img width=«115» height=«31» src=«ref-2_1831440513-344.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">Для этого разобьём интеграл на три слагаемых, используя свойство аддитивности интеграла.

<img width=«441» height=«52» src=«ref-2_1831440857-1272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">

<img width=«451» height=«52» src=«ref-2_1831442129-1210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">     (2.7)
Здесь интегралы обозначены в порядке следования. Рассмотрим каждый

из них в отдельности.

     Первый из интегралов — интеграл с постоянными пределами вида

2.1, его непрерывность доказана в теореме 2.7. Поэтому
<img width=«127» height=«31» src=«ref-2_1831443339-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">
      Займемся вторым интегралом. Функция f(x, у) непрерывна на П, следовательно, ограничена. Поэтому существует постоянная М такая, что

<img width=«140» height=«27» src=«ref-2_1831443705-412.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184">П. Но тогда
<img width=«207» height=«56» src=«ref-2_1831444117-745.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">
А так как функция b(у) непрерывна на [с; d], то <img width=«115» height=«24» src=«ref-2_1831444862-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186"> при

<img width=«52» height=«24» src=«ref-2_1831445103-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187">, поэтому

<img width=«125» height=«31» src=«ref-2_1831445243-371.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">
    Совершенно аналогично доказывается, что и
<img width=«125» height=«31» src=«ref-2_1831445614-370.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">

Таким образом,
<img width=«353» height=«31» src=«ref-2_1831445984-784.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">

что и требовалось доказать. ■
Теорема 2.11Пусть функция f непрерывна на прямоугольнике П и

имеет на нём непрерывную частную производную <img width=«19» height=«27» src=«ref-2_1831435265-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191"> , а функции а(у) и

b(у) дифференцируемы на отрезке [с; d]. Тогда функция I(у), определяемая равенством (2.6), дифференцируема на отрезке [с; d] и её производная может быть вычислена по формуле

<img width=«380» height=«52» src=«ref-2_1831446876-965.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192">     (2.8)
Доказательство.Поскольку дифференцируемость на промежутке есть

дифференцируемость в каждой точке промежутка, то возьмём <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_1831432493-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193"> на отрезке [с; d] и покажем, что I(у) дифференцируема в точке <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_1831432493-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, и что <img width=«44» height=«24» src=«ref-2_1831448035-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195"> представляется в виде правой части формулы (2.8). Для этого воспользуемся представлением I(у) в виде (2.7) и покажем, что каждое слагаемое

правой части (2.7) дифференцируемо и вычислим его производную.

   Первый из интегралов в правой части (2.7) имеет постоянные пределы

интегрирования. Его дифференцируемость установлена в теореме 2.9.

Поэтому

<img width=«164» height=«52» src=«ref-2_1831448177-615.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196">     (2.9)

         Теперь докажем дифференцируемость и вычислим производную второго слагаемого в правой части (2.7). (Отметим, что <img width=«71» height=«24» src=«ref-2_1831448792-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">.)

       По определению производной
<img width=«352» height=«52» src=«ref-2_1831448967-985.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">

    Так как подынтегральная функция непрерывна (по х), то по свойству

определённого интеграла найдётся с = с(у), <img width=«129» height=«24» src=«ref-2_1831449952-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199"> , такое, что

 <img width=«251» height=«52» src=«ref-2_1831450220-725.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">. Но тогда

<img width=«296» height=«45» src=«ref-2_1831450945-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">

<img width=«365» height=«45» src=«ref-2_1831451634-887.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">
так как первый предел существует по теореме о трёх функциях и в силу непрерывности функции f на прямоугольнике П, а второй — в силу

дифференцируемости функции b(у). Итак,
<img width=«180» height=«25» src=«ref-2_1831452521-362.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203">.(2.10)

       

          Совершенно аналогично доказывается, что третье слагаемое в (2.7)

дифференцируемо и что
<img width=«181» height=«25» src=«ref-2_1831452883-359.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">.    (2.11)

        

        Итак, все три слагаемых в правой части равенства (2.7) дифференцируемы в точке <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_1831432493-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">, значит, и функция I(у) дифференцируема в точке <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_1831432493-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206"> и

<img width=«213» height=«25» src=«ref-2_1831453436-392.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">.       (2.12)
         Подставив сюда значения производных (формулы (2.9), (2.10), (2.11)),

получим представление (2.8) в точке <img width=«19» height=«24» src=«ref-2_1831432493-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208">.■

Замечание 2.3Условия теорем 2.7 — 2.11 являются достаточными.

декларируемые в теоремах свойства могут выполняться и при нарушении условий этих теорем. Но быть уверенным в их выполнении при нарушении условий теорем нельзя.

               Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 2.8Рассмотрим  <img width=«144» height=«51» src=«ref-2_1831453925-460.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209">

Решение. Подынтегральная функция на прямой у = х терпит разрыв.

Однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет непрерывную функцию от у на всей вещественной прямой.

1.       Пусть у≤ 0. <img width=«97» height=«51» src=«ref-2_1831454385-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210">;

2.Пусть о< у <1. I(у)=<img width=«232» height=«52» src=«ref-2_1831454746-600.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">

3.Пусть у ≥ 1. <img width=«117» height=«51» src=«ref-2_1831455346-376.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">

         Нетрудно убедиться, что функция ‚ I(у) имеет одинаковые пределы

слева и справа в точках у = 0 и у = 1, поэтому непрерывна. ■

    Пример 2.9 Рассмотрим  <img width=«131» height=«51» src=«ref-2_1831455722-474.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">
Решение. Подынтегральная функция терпит разрыв в точке (0; 0), однако, вычислив интеграл, убедимся, что он представляет интегрируемую

на отрезке [0; 1] функцию.

<img width=«392» height=«51» src=«ref-2_1831456196-994.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214">
поэтому

<img width=«247» height=«51» src=«ref-2_1831457190-721.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">

         Однако попытка проинтегрировать по параметру под знаком интеграла приведёт к иному результату.
<img width=«268» height=«51» src=«ref-2_1831457911-929.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216">
<img width=«248» height=«51» src=«ref-2_1831458840-689.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">■
Пример 2.10Рассмотрим <img width=«121» height=«55» src=«ref-2_1831459529-455.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">

Решение.Легко видеть, что интеграл удовлетворяет условиям теоремы 2.11 на любом отрезке [с; d]. Найдём производную I’(y), используяформулу 2.8.
<img width=«285» height=«55» src=«ref-2_1831459984-726.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">
<img width=«445» height=«47» src=«ref-2_1831460710-904.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220">
<img width=«139» height=«47» src=«ref-2_1831461614-333.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221">
               


                 
  2
.3   Несобственные интегралы, зависящие от параметра
         Пусть Y — произвольное множество, f: [а; +∞) х Y → R. Предположим, что для каждого у <img width=«27» height=«17» src=«ref-2_1831461947-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222">сходится
<img width=«79» height=«51» src=«ref-2_1831462052-347.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">. Тогда на множестве

Y определена функция



<img width=«127» height=«51» src=«ref-2_1831462399-435.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> (
2
.1
3
)


которую будем называть несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра.


Равномерна
я
сходимость
         Понятие равномерной сходимости для несобственных интегралов, зависящих от параметра, столь же важно, как и для функциональных рядов.
Определение 2.8Будем говорить, что интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве
Y
, если его остаток равномерно стремится к нулю на этом множестве, то есть, если <img width=«73» height=«24» src=«ref-2_1831462834-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225"> такое, что <img width=«103» height=«24» src=«ref-2_1831463017-222.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">выполняется неравенство

<img width=«128» height=«49» src=«ref-2_1831463239-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227">   (2.14)
Теорема 2.12(критерий Коши) для того, чтобы интеграл (2.13) сходился равномерно на множестве Y, необходимо и достаточно выполнение следующего условия (условие Коши): <img width=«73» height=«24» src=«ref-2_1831462834-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">, зависящее

только от <img width=«13» height=«21» src=«ref-2_1831430511-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">, такое, что <img width=«81» height=«24» src=«ref-2_1831463946-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> будет выполняться неравенство

<img width=«127» height=«49» src=«ref-2_1831464141-440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">   (2.15)

Доказательство.Пусть интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y. Тогда, взяв любое <img width=«13» height=«21» src=«ref-2_1831430511-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232"> > 0, подберем <img width=«76» height=«24» src=«ref-2_1831464671-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> так, чтобы для

любых А> А<img width=«9» height=«24» src=«ref-2_1831464854-79.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> и у<img width=«27» height=«17» src=«ref-2_1831461947-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">   выполнялось неравенство <img width=«125» height=«49» src=«ref-2_1831465038-452.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">.

Возьмём любые <img width=«72» height=«24» src=«ref-2_1831465490-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> и любое у<img width=«27» height=«17» src=«ref-2_1831461947-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">. Тогда

<img width=«279» height=«53» src=«ref-2_1831465769-930.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239">

<img width=«271» height=«53» src=«ref-2_1831466699-887.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240">

и необходимость доказана.
         Наоборот, если выполнено условие (2.15), то оно выполнено для любого фиксированного у<img width=«27» height=«17» src=«ref-2_1831461947-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">. Но тогда по теореме 2.1 для любого фиксированного у <img width=«27» height=«17» src=«ref-2_1831461947-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> интеграл (2.13) сходится, то есть, для каждого у <img width=«27» height=«17» src=«ref-2_1831461947-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243">

существует <img width=«108» height=«51» src=«ref-2_1831467901-426.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> Поэтому, положив в (2.15) <img width=«85» height=«24» src=«ref-2_1831468327-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245">и устремив А" к +∞, получим для любого у <img width=«27» height=«17» src=«ref-2_1831461947-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">


<img width=«127» height=«49» src=«ref-2_1831468626-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">
что означает равномерную на Y сходимость интеграла (2.13). ■

Теорема 2.13(Вейерштрасс) Пусть f: [a, +∞) → R и для любых

А(> а) и у<img width=«27» height=«17» src=«ref-2_1831461947-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">  функция f интегрируема по Риману на отрезке [а; A].

Пусть g: [а; +∞) →R, для всех х <img width=«13» height=«13» src=«ref-2_1831387518-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> [а; +∞), у <img width=«27» height=«17» src=«ref-2_1831461947-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> выполняется

неравенство <img width=«101» height=«27» src=«ref-2_1831469359-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251"> и <img width=«63» height=«51» src=«ref-2_1831414944-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> сходится. Тогда интеграл (2.13) сходится равномерно (и абсолютно) на множестве Y.
    продолжение
--PAGE_BREAK--