Реферат: Вивчення нильпотентної довжини кінцевих груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп

--PAGE_BREAK--розглядалися — доповнюваність (якщо перетинання підгрупи з додаванням циклічне)<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223">, — щільність (якщо для будь-яких двох підгруп <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1513255188-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> підгруп <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">групи, з яких перша не максимальна в другий, <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226"> в існує що доповнюється (абелева) підгрупа, що строго втримується між ними), і ін. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [10].

Подібна тематика досліджується й у теорії формацій. У роботах В.А. Ведерникова [5,6], Го Вень Биня [11], А.Н. Скиби [7], Л.А. Шеметкова [8] і інших авторів досліджувалися формації із системами що доповнюються підформацією. Огляд результатів цього напрямку можна знайти в [9].

Однак умова існування доповнень до окремих підгруп є досить сильним обмеженням. Далеко не всі підгрупи мають доповнення. Разом з тим кожна підгрупа має мінімальне додавання. Тому для дослідження будови кінцевих груп із системами підгруп, що додаються, необхідно вводити додаткові обмеження на мінімальні додавання.

У дипломній роботі викладені основи теорії нильпотентною довжини кінцевої розв'язної групи. Метою дипломної роботи є дослідження величини нильпотентною довжини кінцевих розв'язних груп з відомими додаваннями до максимальних підгруп. У роботі розглянуті наступні питання: підгрупа Фиттинга кінцевої розв'язної групи і її властивості; нильпотентна довжина й інші інваріанти кінцевої розв'язної групи; ознаки можливості розв'язання кінцевої групи з извесними додаваннями до максимальних підгруп; знаходження величини нильпотентною довжини розв'язної групи з відомими додаваннями до максимальних підгруп.

Робота складається із трьох глав.

У першому розділі «Підгрупа Фиттинга і її властивості» вивчені властивості підгрупи Фиттинга.

Визначення. Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> називають підгрупою Фиттинга групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228"> й позначають через <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513238919-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">.

Визначення. Нильпотентною довжиною розв'язної групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230"> називають найменше <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">, для якого <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1513256007-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">. Нильпотентну довжину розв'язної групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233"> позначають через <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1513244943-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234">.

На основі підгрупи Фиттинга вводиться наступна

Теорема А. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Також розглядається доказ теореми К. Дерка.

Теорема B. Якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513256415-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235">  — максимальна підгрупа розв'язної групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">, те<img width=«103» height=«21» src=«ref-1_1513256603-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237">, де <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513256822-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238">.

Доведено теорему Монахова В.С.

Визначення. Підгрупа <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1513242351-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> називається максимальною підгрупою, якщо <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1513242351-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241"> не втримується ні в якій іншій підгрупі, відмінної від <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242">.

Визначення. Підгрупою Фратіні групи називається перетинання всіх її максимальних підгруп. Підгрупа Фратіні групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> позначається через <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513238591-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244">.

Теорема C. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентної групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

У другому розділі "<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> — довжина <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246">- розв'язної групи" дані наступні визначення.Визначення. Нехай <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247">  — просте число. Назвемо групу <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248">- групою, якщо її порядок не ділиться на <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> й, як звичайно, <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250">- групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">. Кінцеву групу <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> будемо називати <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">- розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">- групою, або <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255">-групою. Таким чином, група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257">- розв'язна для всіх простих <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">. Ясно, що група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260">-розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд
<img width=«201» height=«24» src=«ref-1_1513259087-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261">
у якому кожна факторгрупа <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1513259410-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> є або <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263">-групою, або <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264">-групою.

Визначення. Найменше ціле число <img width=«9» height=«19» src=«ref-1_1513259746-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265">, для якого <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1513259828-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">, ми назвемо <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">-довгої групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> й позначимо його <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1513260160-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">, або, якщо необхідно, <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_1513244613-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270">.<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">-довжину <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272">-розв'язної групи можна також визначити як найменше число <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">-факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274">-ряду
<img width=«332» height=«24» src=«ref-1_1513260763-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">
Доводиться

Теорема D. Якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276">- <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277">-розв'язна група, де <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">  — непарне просте число, то


(i) <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_1513261511-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">
(ii) <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1513261666-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> якщо <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281"> не є простим числом Ферма, і <img width=«100» height=«41» src=«ref-1_1513261904-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">, якщо <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">  — просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

У главі «Група з нильпотентними додаваннями до підгруп» доведена важлива теорема.

Визначення. Група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284"> називається <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">- сверхразрешимою, якщо її головні фактори або <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513262460-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">-групи, або мають прості порядки. <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">-Сверхразрешимой називають групу, у якої фактори головного ряду або мають порядок <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">, або є <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">-групами. Група, у якої всі фактори головного ряду мають прості порядки, називається сверхразрешимой.

Теорема E. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимим підгруп ізоморфна <img width=«85» height=«24» src=«ref-1_1513262837-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> або <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1513263044-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">, де <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292">  — нильпотентна група, а <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293"> й <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_1513263418-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">  — прості числа.

Також доведений наслідок із цієї теореми.

Наслідок. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі, ізоморфна <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1513263536-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295"> або <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1513263044-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296">, де <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">  — <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1513264029-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">- група, або <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1513264115-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">, де <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300">  — <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1513264406-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301">-група.




1. Підгрупа Фиттинга і її властивості
Добуток всіх нормальних нильпотентних підгруп групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302"> називають підгрупою Фиттинга групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> й позначають через <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513238919-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1304">. Множина простих дільників порядку групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1305"> позначається через <img width=«41» height=«21» src=«ref-1_1513264911-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1306"> а найбільшу нормальну <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1307">-підгрупу групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1308">  — через <img width=«47» height=«25» src=«ref-1_1513239988-152.coolpic» v:shapes="_x0000_i1309">.

Лема 1.1. (1) <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513238919-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1310">  — найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1311">;
(2) <img width=«125» height=«23» src=«ref-1_1513265618-399.coolpic» v:shapes="_x0000_i1312">;

(3) <img width=«63» height=«16» src=«ref-1_1513266017-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1313">.
Proof. (1) Нехай <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1314"> і <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1315">  — нильпотентние нормальні підгрупи групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1316"> й нехай <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_1513266465-113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1317"> і <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1513266578-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1318">  — силовські <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1319">-підгрупи з <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1320"> і <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1321">. Тому що <img width=«76» height=«25» src=«ref-1_1513266970-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i1322">, а <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1513246042-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1323">, те <img width=«55» height=«25» src=«ref-1_1513267297-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1324"> по лемі 4.1, с. 35. Аналогічно, <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_1513267455-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1325">, тому <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_1513267611-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1326">. Ясно, <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1513267799-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1327">  — <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1328">-група. Покажемо, що вона силовська в. <img width=«29» height=«17» src=«ref-1_1513268036-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1329"> Для цього обчислимо її індекс:
<img width=«215» height=«44» src=«ref-1_1513268150-716.coolpic» v:shapes="_x0000_i1330"><img width=«124» height=«41» src=«ref-1_1513268866-485.coolpic» v:shapes="_x0000_i1331">
Тому що чисельник не ділиться на <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1332">, те <img width=«44» height=«25» src=«ref-1_1513267799-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1333">  — силовська <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1334">-підгрупа групи <img width=«29» height=«17» src=«ref-1_1513268036-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i1335">. Отже, добуток двох нормальних нильпотентних підгруп є нормальна нильпотентна підгрупа. Тому <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513238919-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1336">  — найбільша нормальна нильпотентна підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1337">.

(2) Ясно, що <img width=«97» height=«25» src=«ref-1_1513270021-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1338"> для всіх <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1339">, тому
<img width=«78» height=«23» src=«ref-1_1513270345-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1340">


Обернено, якщо <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513233003-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1341">  — силовська <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1342">-підгрупа групи <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513238919-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1343">, те <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_1513270954-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i1344"> й <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513233003-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1345"> нормальна в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1346">, тому <img width=«73» height=«25» src=«ref-1_1513271346-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i1347"> й
<img width=«135» height=«39» src=«ref-1_1513271537-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1348">
(3) Якщо <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1513271930-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1349">, те <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1513272094-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1350"> й <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1513272306-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1351"> нильпотентна, тому <img width=«148» height=«21» src=«ref-1_1513272476-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1352"> по (1) і <img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1513272767-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1353">.

Лема 1.2. (1) <img width=«91» height=«21» src=«ref-1_1513272978-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1354">; якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1355"> розв'язно й <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1513273287-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1356">, те <img width=«92» height=«21» src=«ref-1_1513273417-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1357">;

(2) <img width=«175» height=«21» src=«ref-1_1513273633-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1358"> (3) якщо <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1513246363-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1359">, те <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_1513274101-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1360">; якщо, крім того, <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513246500-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1361"> абелева, те <img width=«93» height=«21» src=«ref-1_1513274428-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1362">

Proof. (1) Оскільки підгрупа Фратіні <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513238591-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1363">  — нильпотентна нормальна підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1364">, те <img width=«91» height=«21» src=«ref-1_1513272978-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1365">. Нехай <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1366">  — розв'язна неодинична група. Тоді <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1513275183-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1367"> розв'язна й неодинична. Нехай
<img width=«129» height=«21» src=«ref-1_1513275346-268.coolpic» v:shapes="_x0000_i1368">
Тому що <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1513275614-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1369">  — <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1370">-група для деякого простого <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1371">, то по наслідку 4.2, с. 35, підгрупа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1372"> нильпотентна й <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1513276049-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i1373">. Отже, <img width=«92» height=«21» src=«ref-1_1513276219-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1374">.

(2) Якщо <img width=«147» height=«21» src=«ref-1_1513276432-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1375">, те <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1376">  — нильпотентна нормальна в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1377"> підгрупа по теоремі 4.3, с. 35, тому <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513276917-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1378"> й
<img width=«173» height=«21» src=«ref-1_1513277092-332.coolpic» v:shapes="_x0000_i1379">
Зворотне включення треба з визначення підгрупи Фиттинга.

(3) Для мінімальної нормальної підгрупи <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513246500-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1380"> або <img width=«97» height=«21» src=«ref-1_1513277521-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1381">, або <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513277732-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1382">. Якщо <img width=«97» height=«21» src=«ref-1_1513277521-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1383">, то


<img width=«232» height=«24» src=«ref-1_1513278122-419.coolpic» v:shapes="_x0000_i1384">
Якщо <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513277732-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i1385">, то <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513246500-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1386">  — елементарна абелева <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1387">-група для деякого простого <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1388">. Тому що <img width=«160» height=«21» src=«ref-1_1513278997-302.coolpic» v:shapes="_x0000_i1389">, те <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1513279299-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1390">. З іншого боку, <img width=«73» height=«19» src=«ref-1_1513279427-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1391"> по теоремі 4.4, с. 35, тому <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1513279590-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1392">.

Теорема 1.3. <img width=«201» height=«25» src=«ref-1_1513279719-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1393"> для кожного <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1513280109-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1394">. Зокрема, якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1395"> розв'язно, те <img width=«124» height=«24» src=«ref-1_1513280370-263.coolpic» v:shapes="_x0000_i1396">

Proof. Нехай <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1513280633-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1397">, <img width=«75» height=«24» src=«ref-1_1513280801-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1398">. Тому що <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1513280979-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1399"> по лемі 4.5, с. 35, те <img width=«84» height=«19» src=«ref-1_1513281107-187.coolpic» v:shapes="_x0000_i1400">. Припустимо, що <img width=«99» height=«25» src=«ref-1_1513281294-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1401"> для деякого <img width=«64» height=«21» src=«ref-1_1513280109-166.coolpic» v:shapes="_x0000_i1402"> й нехай
<img width=«200» height=«25» src=«ref-1_1513281690-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1403">
Ясно, що <img width=«95» height=«21» src=«ref-1_1513282057-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1404"> й <img width=«75» height=«19» src=«ref-1_1513282260-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1405"> Нехай <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513233003-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1406">  — силовська <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1407">-підгрупа групи <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1513282602-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1408">. Тому що
<img width=«317» height=«21» src=«ref-1_1513282730-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1409">
<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1410">-група, те<img width=«105» height=«21» src=«ref-1_1513283293-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1411">, а оскільки <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1513283508-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i1412">    продолжение
--PAGE_BREAK--, те <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1513283633-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i1413"> й <img width=«71» height=«19» src=«ref-1_1513283825-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1414">. Тепер, <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1513282602-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1415">  — нильпотентна нормальна підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1416"> й <img width=«72» height=«19» src=«ref-1_1513284205-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1417">. Таким чином, <img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1513284364-229.coolpic» v:shapes="_x0000_i1418"> і перше твердження доведене. Якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1419"> розв'язно, то <img width=«41» height=«19» src=«ref-1_1513284688-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1420"> розв'язно, тому <img width=«69» height=«19» src=«ref-1_1513284817-160.coolpic» v:shapes="_x0000_i1421"> й <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1513284977-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1422">.

Говорять, що підгрупа <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1423"> групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1424"> доповнюємо в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1425">, якщо існує така підгрупа <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1426">, що <img width=«57» height=«19» src=«ref-1_1513285483-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1427"> й <img width=«77» height=«17» src=«ref-1_1513285630-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1428">. У цьому випадку підгрупу <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1429"> називають доповненням до підгрупи <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1430"> в групі <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513285982-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1431">

Теорема 1.4. Якщо <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1432">  — нильпотентна нормальна підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1433"> й <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1513286267-212.coolpic» v:shapes="_x0000_i1434">, те <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1435"> дополняема в.<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1436">

Proof. За умовою <img width=«73» height=«21» src=«ref-1_1513286668-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1437"> а по теоремі 4.6, с. 35, комутант <img width=«76» height=«21» src=«ref-1_1513286850-186.coolpic» v:shapes="_x0000_i1438">. По теоремі 4.7, с. 35, підгрупа Фратіні <img width=«97» height=«21» src=«ref-1_1513287036-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1439"> а за умовою <img width=«101» height=«21» src=«ref-1_1513287260-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1440"> Тому <img width=«51» height=«17» src=«ref-1_1513287471-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1441"> й <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1442"> абелева. Нехай <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513287697-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1443">  — додавання до <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1444"> в. <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1445"> По лемі 4.8, с. 35, <img width=«99» height=«21» src=«ref-1_1513287977-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i1446"> Оскільки <img width=«72» height=«17» src=«ref-1_1513288184-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1447"> й <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1513288342-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i1448"> те <img width=«75» height=«19» src=«ref-1_1513288461-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i1449"> й по теоремі 4.7, с. 35,
<img width=«159» height=«21» src=«ref-1_1513288625-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1450">
Отже, <img width=«73» height=«17» src=«ref-1_1513288903-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1451"> і <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513287697-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1452">  — доповнення до <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1453"> в.<img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1454">

Теорема 1.5. Факторгрупа <img width=«80» height=«21» src=«ref-1_1513289339-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1455"> є прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1513275183-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1456">.

Proof. Припустимо спочатку, що <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1513289702-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1457"> й позначимо через <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513289874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1458"> підгрупу Фиттинга <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1513289965-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1459"> По теоремі 4.6 комутант <img width=«75» height=«21» src=«ref-1_1513290102-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i1460"> Але <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1513290284-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1461"> значить <img width=«120» height=«21» src=«ref-1_1513290422-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1462"> по теоремі 4.7, с. 35. Тому <img width=«48» height=«17» src=«ref-1_1513290667-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1463"> й <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513289874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1464"> абелева. Нехай <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513287697-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1465">  — прямий добуток абелевих мінімальних нормальних підгруп групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1466"> найбільшого порядку. Тоді <img width=«43» height=«17» src=«ref-1_1513291072-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1467"> й по теоремі 1.4 існує підгрупа <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1468"> така, що <img width=«65» height=«21» src=«ref-1_1513291289-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1469"> По тотожності Дедекинда <img width=«107» height=«21» src=«ref-1_1513291458-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i1470"> Але <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513289874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1471"> абелева, тому <img width=«109» height=«21» src=«ref-1_1513291770-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1472"> а тому що <img width=«69» height=«19» src=«ref-1_1513291983-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1473">, те <img width=«75» height=«19» src=«ref-1_1513292141-162.coolpic» v:shapes="_x0000_i1474"> На вибір <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513287697-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1475"> перетинання <img width=«72» height=«19» src=«ref-1_1513292394-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1476"> й <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1513292549-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1477">

Нехай тепер <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1513292670-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1478"> і <img width=«88» height=«25» src=«ref-1_1513292846-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i1479"> По лемі 1.2(2) <img width=«135» height=«25» src=«ref-1_1513293057-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i1480"> Тому що <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_1513293341-184.coolpic» v:shapes="_x0000_i1481"> те для <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1513293525-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1482"> твердження вже доведене.

Наслідок 1.6. У розв'язній групі з одиничною підгрупою Фратіні підгрупа Фиттинга є прямий добуток мінімальних нормальних підгруп. <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1513293623-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1483">

Теорема 1.7. Підгрупа Фиттинга збігається з перетинанням централізаторов головних факторів групи.

Proof. Нехай
<img width=«305» height=«27» src=«ref-1_1513293723-666.coolpic» v:shapes="_x0000_i1484">
По наслідку 4.9, с. 35, підгрупа <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513294389-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1485"> нормальна в. <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1486"> Якщо


<img width=«225» height=«24» src=«ref-1_1513294577-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1487">
головний ряд групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1488">, те
<img width=«180» height=«24» src=«ref-1_1513295001-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1489">

<img width=«175» height=«24» src=«ref-1_1513295295-286.coolpic» v:shapes="_x0000_i1490">
нормальний ряд групи <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513294389-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1491">. Тому що підгрупа <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513294389-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1492"> втримується в кожній підгрупі <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1513295767-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i1493">, те
<img width=«231» height=«24» src=«ref-1_1513295960-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1494">
для <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1513296350-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1495">. По теоремі 4.10, с. 35, підгрупа <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513294389-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1496"> нильпотентна, тому <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1513296586-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1497">.

Перевіримо зворотне включення. Нехай <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1513296758-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1498">  — головний фактор групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1499">. Тому що
<img width=«199» height=«21» src=«ref-1_1513296973-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1500">
те по лемі 4.11, с. 35, або
<img width=«168» height=«21» src=«ref-1_1513297336-314.coolpic» v:shapes="_x0000_i1501"> або <img width=«116» height=«21» src=«ref-1_1513297650-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i1502">
У першому випадку <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1513297897-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1503">, тому
<img width=«304» height=«24» src=«ref-1_1513298114-502.coolpic» v:shapes="_x0000_i1504">




У другому випадку з нильпотентності підгрупи <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1513298616-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1505"> по лемі 1.2 одержуємо, що
<img width=«149» height=«21» src=«ref-1_1513298797-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1506">
Знову <img width=«115» height=«24» src=«ref-1_1513299094-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1507">. Таким чином, <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1513299348-174.coolpic» v:shapes="_x0000_i1508"> і <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513299522-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1509">.

Лема 1.8. <img width=«183» height=«23» src=«ref-1_1513299691-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1510">.

Proof. Нехай <img width=«77» height=«23» src=«ref-1_1513300030-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i1511">. Ясно, що <img width=«148» height=«23» src=«ref-1_1513300213-295.coolpic» v:shapes="_x0000_i1512"> й <img width=«173» height=«24» src=«ref-1_1513300508-306.coolpic» v:shapes="_x0000_i1513">. Тому що
<img width=«149» height=«23» src=«ref-1_1513300814-308.coolpic» v:shapes="_x0000_i1514">
те <img width=«157» height=«23» src=«ref-1_1513301122-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1515"> й <img width=«83» height=«23» src=«ref-1_1513301445-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1516"> ізоморфна нормальної нильпотентною підгрупі групи <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_1513301649-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1517">. Тому
<img width=«153» height=«23» src=«ref-1_1513301755-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1518">

<img width=«183» height=«23» src=«ref-1_1513299691-339.coolpic» v:shapes="_x0000_i1519">
Нехай <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1520">  — група й нехай
<img width=«75» height=«24» src=«ref-1_1513302510-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1521">

<img width=«97» height=«23» src=«ref-1_1513302695-218.coolpic» v:shapes="_x0000_i1522">

<img width=«200» height=«23» src=«ref-1_1513302913-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1523">

<img width=«215» height=«24» src=«ref-1_1513303280-381.coolpic» v:shapes="_x0000_i1524">
Ясно, що




<img width=«293» height=«24» src=«ref-1_1513303661-467.coolpic» v:shapes="_x0000_i1525">
У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фиттинга відмінна від одиничної підгрупи по лемі 1.2. Тому для розв'язної групи існує натуральне <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1526"> таке, що <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1513256007-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1527">.

Нильпотентною довжиною розв'язної групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1528"> називають найменше <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1529">, для якого <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1513256007-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1530">. Нильпотентну довжину розв'язної групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1531"> позначають через <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1513244943-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1532">. Таким чином, якщо група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1533"> розв'язна й <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1513305074-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1534">, те
<img width=«303» height=«24» src=«ref-1_1513305235-478.coolpic» v:shapes="_x0000_i1535">

<img width=«195» height=«24» src=«ref-1_1513305713-360.coolpic» v:shapes="_x0000_i1536">
Тому побудований ряд нормальний і його фактори <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1513306073-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i1537"> нильпотентни.

Ясно, що <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1513306293-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1538"> тоді й тільки тоді, коли група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1539"> нильпотентна.

Приклад 1.9. <img width=«205» height=«24» src=«ref-1_1513306544-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1540">. <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1513293623-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1541">

Непосредсвенно з визначення нильпотентною довжини випливає

Лема 1.10. Нехай <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1542">  — розв'язна група. Тоді:
(1) <img width=«141» height=«21» src=«ref-1_1513307093-278.coolpic» v:shapes="_x0000_i1543">;

(2) <img width=«143» height=«24» src=«ref-1_1513307371-288.coolpic» v:shapes="_x0000_i1544">. <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1513293623-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1545">
Лема 1.11. (1) Якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1546">  — розв'язна група, то довжина будь-якого нормального ряду групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1547"> з нильпотентними факторами не менше, ніж <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1513244943-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1548">.

(2) Нильпотентна довжина розв'язної групи збігається з довжиною самого короткого нормального ряду з нильпотентними факторами.

Proof. (1) Застосуємо індукцію один по одному групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1549">. Нехай


<img width=«232» height=«24» src=«ref-1_1513308177-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1550">
нормальний ряд групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1551"> з нильпотентними факторами. Тому що <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_1513308607-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1552">  — нормальна нильпотентна підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1553">, те <img width=«128» height=«23» src=«ref-1_1513308808-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1554"> й <img width=«119» height=«21» src=«ref-1_1513309066-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1555">. Тут <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1513280633-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1556">. Факторгрупа <img width=«60» height=«23» src=«ref-1_1513309475-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1557"> має порядок менше, ніж порядок групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1558"> й володіє поруч
<img width=«268» height=«25» src=«ref-1_1513309728-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1559">
де <img width=«84» height=«27» src=«ref-1_1513310126-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i1560">. Ясно, що це нормальний ряд, його довжина <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1513310327-143.coolpic» v:shapes="_x0000_i1561"> і його фактори
<img width=«272» height=«27» src=«ref-1_1513310470-496.coolpic» v:shapes="_x0000_i1562">

<img width=«311» height=«24» src=«ref-1_1513310966-511.coolpic» v:shapes="_x0000_i1563">
нильпотентни. По індукції <img width=«185» height=«21» src=«ref-1_1513311477-316.coolpic» v:shapes="_x0000_i1564"> й <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1513311793-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1565">.

(2) треба з (1).Лема 1.12. Нехай <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1566">  — розв'язна група. Тоді:

(1) якщо <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1513245399-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1567">, те <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_1513312180-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i1568">;

(2) якщо <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1513312389-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1569">, те <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1513312521-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1570">;

(3) якщо <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_1513312751-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1571"> й <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_1513312858-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1572">, те
<img width=«203» height=«23» src=«ref-1_1513313011-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1573">
зокрема, якщо <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1513313401-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1574"> й <img width=«21» height=«23» src=«ref-1_1513301649-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1575">  — розв'язні групи, те
<img width=«211» height=«23» src=«ref-1_1513313611-388.coolpic» v:shapes="_x0000_i1576">

(4) <img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1513313999-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1577">.


Proof. Нехай <img width=«61» height=«21» src=«ref-1_1513305074-161.coolpic» v:shapes="_x0000_i1578"> і <img width=«72» height=«24» src=«ref-1_1513314421-181.coolpic» v:shapes="_x0000_i1579">. Тоді
<img width=«209» height=«24» src=«ref-1_1513314602-319.coolpic» v:shapes="_x0000_i1580">
(1) Нехай <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1513314921-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1581">. Тоді ряд
<img width=«227» height=«24» src=«ref-1_1513315106-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1582">
буде нормальним рядом підгрупи <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1583"> з нильпотентними факторами
<img width=«175» height=«24» src=«ref-1_1513315548-305.coolpic» v:shapes="_x0000_i1584">

<img width=«172» height=«24» src=«ref-1_1513315853-317.coolpic» v:shapes="_x0000_i1585">
По лемі 1.11.<img width=«111» height=«21» src=«ref-1_1513316170-231.coolpic» v:shapes="_x0000_i1586">

(2) Нехай <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1513312389-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1587"> і <img width=«80» height=«27» src=«ref-1_1513316533-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1588">. Тоді ряд
<img width=«224» height=«23» src=«ref-1_1513316733-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1589">
буде нормальним рядом групи <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1513317089-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1590"> з нильпотентними факторами
<img width=«257» height=«27» src=«ref-1_1513317209-488.coolpic» v:shapes="_x0000_i1591">

<img width=«281» height=«24» src=«ref-1_1513317697-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i1592">
По лемі 1.10.<img width=«124» height=«21» src=«ref-1_1513318183-258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1593">

(3) Ясно, що <img width=«163» height=«23» src=«ref-1_1513318441-335.coolpic» v:shapes="_x0000_i1594">. Позначимо <img width=«92» height=«23» src=«ref-1_1513318776-217.coolpic» v:shapes="_x0000_i1595">. Тоді <img width=«165» height=«23» src=«ref-1_1513318993-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1596"> по лемі 1.10, а по індукції




<img width=«280» height=«23» src=«ref-1_1513319327-504.coolpic» v:shapes="_x0000_i1597">

<img width=«341» height=«23» src=«ref-1_1513319831-549.coolpic» v:shapes="_x0000_i1598">
Тому <img width=«197» height=«23» src=«ref-1_1513320380-390.coolpic» v:shapes="_x0000_i1599">. Тому що <img width=«197» height=«23» src=«ref-1_1513320770-386.coolpic» v:shapes="_x0000_i1600"> по (1), те маємо
<img width=«201» height=«23» src=«ref-1_1513321156-387.coolpic» v:shapes="_x0000_i1601">
(4) Покладемо <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513321543-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i1602">. По лемі 1.2 для неодиничної розв'язної групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1603"> маємо <img width=«45» height=«17» src=«ref-1_1513321811-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i1604"> й
<img width=«220» height=«23» src=«ref-1_1513321938-380.coolpic» v:shapes="_x0000_i1605">
Тому <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1513322318-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1606">.

Наступна теорема належить К. Дерку.

Теорема 1.13. Якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513256415-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1607">  — максимальна підгрупа розв'язної групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1608">, те<img width=«103» height=«21» src=«ref-1_1513256603-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1609">, де <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513256822-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1610">.

Приклад. Скористаємося індукцією один по одному групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1611">. Нехай <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513246500-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1612">  — мінімальна нормальна підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1613">. Якщо <img width=«49» height=«21» src=«ref-1_1513323405-146.coolpic» v:shapes="_x0000_i1614">, то <img width=«49» height=«20» src=«ref-1_1513323551-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1615"> й <img width=«103» height=«21» src=«ref-1_1513256603-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1616">, де <img width=«57» height=«21» src=«ref-1_1513323919-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1617">. Тому можна припустити, що всі мінімальні нормальні підгрупи групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1618">    продолжение
--PAGE_BREAK-- втримуються в. <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513256415-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i1619"> Якщо група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1620"> містить дві різні мінімальні нормальні підгрупи, те <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1513324358-227.coolpic» v:shapes="_x0000_i1621"> й по індукції
<img width=«301» height=«21» src=«ref-1_1513324585-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1622">
Оскільки
<img width=«149» height=«21» src=«ref-1_1513325076-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1623">


те теорема справедлива. Отже, можна вважати, що група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1624"> містить у точності одну мінімальну нормальну підгрупу. Якщо <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513325472-180.coolpic» v:shapes="_x0000_i1625">, то <img width=«123» height=«21» src=«ref-1_1513313999-261.coolpic» v:shapes="_x0000_i1626"> по лемі 1.12 і знову
<img width=«301» height=«21» src=«ref-1_1513324585-491.coolpic» v:shapes="_x0000_i1627">
Оскільки
<img width=«149» height=«21» src=«ref-1_1513325076-301.coolpic» v:shapes="_x0000_i1628">
те знову теорема справедлива.

Отже, можна вважати, що <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1513289702-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i1629"> й <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513326877-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1630"> по наслідку 1.6. По індукції
<img width=«320» height=«21» src=«ref-1_1513327052-501.coolpic» v:shapes="_x0000_i1631">
Якщо <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1513327553-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1632">, то твердження справедливо. Нехай <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1513327783-226.coolpic» v:shapes="_x0000_i1633">, тобто <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513328009-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1634">. Уважаємо, що <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513246500-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1635">  — <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1636">-група. Тоді <img width=«60» height=«23» src=«ref-1_1513328373-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1637">  — <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1638">-група. Нехай <img width=«99» height=«23» src=«ref-1_1513328649-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1639">. Якщо <img width=«75» height=«23» src=«ref-1_1513328859-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i1640">, то <img width=«81» height=«23» src=«ref-1_1513329047-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i1641"> й <img width=«117» height=«21» src=«ref-1_1513329243-240.coolpic» v:shapes="_x0000_i1642">, тому
<img width=«272» height=«21» src=«ref-1_1513329483-439.coolpic» v:shapes="_x0000_i1643">
і теорема справедлива.

Залишається випадок, коли <img width=«72» height=«23» src=«ref-1_1513329922-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1644">. Тому що <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513330107-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1645">  — <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1646">-підгрупа, те
<img width=«271» height=«24» src=«ref-1_1513330331-487.coolpic» v:shapes="_x0000_i1647">
причому <img width=«60» height=«23» src=«ref-1_1513328373-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1648">  — <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1649">-група. Протиріччя.

Приклад 1.14.

Всі три значення <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513256822-167.coolpic» v:shapes="_x0000_i1650"> в теоремі 1.13 мають місце. Значення <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1513331261-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i1651"> виконується на будь-який нильпотентною неодиничній групі. Значення <img width=«31» height=«19» src=«ref-1_1513331372-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1652"> виконується на групі <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513331478-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1653"> з максимальною підгрупою <img width=«43» height=«21» src=«ref-1_1513331580-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1654">. Значення <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1513331720-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1655"> виконується на групі <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1513331828-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1656">, у якої силовська <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513331931-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1657">-підгрупа максимальна. <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1513293623-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1658">

Якщо факторгрупа <img width=«55» height=«21» src=«ref-1_1513332117-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1659"> нильпотентна, то групу <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1660"> називають метанильпотентною.

Теорема 1.15. (1) У розв'язній неодиничній групі підгрупа Фратіні збігається з перетинанням максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

(2) У розв'язної ненильпотентною групі перетинання максимальних підгруп, що містять підгрупу Фиттинга, метанильпотентно.

Proof. Позначимо через <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_1513332370-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1661"> перетинання всіх максимальних підгруп групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1662">, що не містить <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513238919-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1663">, а через <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1513332755-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1664"> перетинання максимальних підгруп групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1665">, що містять <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513238919-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1666">. Ясно, що підгрупи <img width=«49» height=«25» src=«ref-1_1513332370-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1667"> й <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1513332755-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1668"> характеристичні в групі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1669"> й
<img width=«167» height=«25» src=«ref-1_1513333541-322.coolpic» v:shapes="_x0000_i1670">
(1) У факторгрупи <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1513275183-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1671"> підгрупа Фиттинга
<img width=«171» height=«21» src=«ref-1_1513334026-325.coolpic» v:shapes="_x0000_i1672">
по лемі 1.2, тому
<img width=«193» height=«25» src=«ref-1_1513334351-377.coolpic» v:shapes="_x0000_i1673">
Припустимо, що <img width=«117» height=«25» src=«ref-1_1513334728-265.coolpic» v:shapes="_x0000_i1674"> й нехай <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1513334993-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1675">  — мінімальна нормальна підгрупа групи <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1513275183-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1676">, що втримується в. <img width=«89» height=«25» src=«ref-1_1513335319-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i1677"> Тому що підгрупа <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1678"> нормальна в групі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1679"> й факторгрупа <img width=«56» height=«21» src=«ref-1_1513334993-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1680"> нильпотентна, те по теоремі 4.3, с. 35, підгрупа <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1681"> нильпотентна й <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513276917-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1682">. Але тепер
<img width=«196» height=«25» src=«ref-1_1513336169-363.coolpic» v:shapes="_x0000_i1683">
протиріччя. Тому допущення невірно й <img width=«117» height=«25» src=«ref-1_1513336532-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1684">, тобто <img width=«101» height=«25» src=«ref-1_1513336789-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1685">.

(2) Нехай <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1686">  — розв'язна ненильпотентна група. Ясно, що <img width=«100» height=«23» src=«ref-1_1513337120-234.coolpic» v:shapes="_x0000_i1687"> <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513238919-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1688"> й
<img width=«181» height=«23» src=«ref-1_1513337488-348.coolpic» v:shapes="_x0000_i1689">
Тому підгрупа <img width=«49» height=«23» src=«ref-1_1513332755-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1690"> метанильпотентна.

Приклад 1.16. У нерозв'язній групі <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1513337989-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1691"> центр, підгрупа Фратіні й підгрупа Фиттинга збігаються й мають порядок <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513331931-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1692">. Тому в групі <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1513337989-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1693"> немає максимальних підгруп, що не містять підгрупу Фиттинга.

Отже, твердження (1) теореми 1.15 у нерозв'язних групах порушується.
2. <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1694">- довжина <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1695">- розв'язної групи
Нехай <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1696">  — просте число. Назвемо групу <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1697">- групою, якщо її порядок не ділиться на <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1698"> й, як звичайно, <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1699">- групою, якщо її порядок дорівнює ступеня числа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1700">. Кінцеву групу <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1701"> будемо називати <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1702">- розв'язної, якщо кожний з її композиційних факторів є або <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1703">- групою, або <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1704">-групою. Таким чином, група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1705"> розв'язна у звичайному змісті тоді й тільки тоді, коли вона <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1706">-розв'язна для всіх простих <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1707">. Ясно, що група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1708"> <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1709">- розв'язна тоді й тільки тоді, коли вона має нормальний ряд


<img width=«201» height=«24» src=«ref-1_1513259087-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i1710">
у якому кожна факторгрупа <img width=«43» height=«24» src=«ref-1_1513259410-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1711"> є або <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1712">-групою, або <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1713">-групою. Тому для такої групи ми можемо индуктивно визначити верхній <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1714">-ряд.
<img width=«319» height=«24» src=«ref-1_1513340609-470.coolpic» v:shapes="_x0000_i1715">
зажадавши, щоб <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513341079-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1716"> була найбільшої нормальною <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1717">-підгрупою в <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513341323-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1718">, а <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_1513341460-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1719">  — найбільшої нормальної <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1720">-підгрупою в.<img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513341323-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1721">

Найменше ціле число <img width=«9» height=«19» src=«ref-1_1513259746-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1722">, для якого <img width=«51» height=«24» src=«ref-1_1513259828-147.coolpic» v:shapes="_x0000_i1723">, ми назвемо <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1724">-довгої групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1725"> й позначимо його <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1513260160-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1726">, або, якщо необхідно, <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_1513244613-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1727">.

<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1728">-довжину <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1729">-розв'язної групи можна також визначити як найменше число <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1730">-факторів, що зустрічаються в якому або ряді виду (2.1), оскільки мінімум досягається для верхнього <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1731">-ряду (2.2). Підгрупи <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513342863-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1732"> й<img width=«23» height=«24» src=«ref-1_1513342966-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1733">, мабуть, характеристични в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1734">, і <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_1513342966-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i1735"> містить всі нормальні підгрупи групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1736"> з <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1737">-довгої, не переважаючого числа <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1513249256-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1738">. Помітимо також, що
<img width=«151» height=«25» src=«ref-1_1513343559-311.coolpic» v:shapes="_x0000_i1739">
для <img width=«112» height=«25» src=«ref-1_1513343870-239.coolpic» v:shapes="_x0000_i1740">

Підгрупи й факторгрупи <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1741">-розв'язної групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1742"> також <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1743">-розв'язні, і їхня довжина не перевищує <img width=«40» height=«25» src=«ref-1_1513244613-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1744">. Якщо групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1745"> й <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1746"> обидві <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1747">-розв'язні, то таке ж їхній прямий добуток <img width=«44» height=«19» src=«ref-1_1513344808-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1748"> і <img width=«205» height=«25» src=«ref-1_1513344936-393.coolpic» v:shapes="_x0000_i1749">

Нехай <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1750">  — <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1751">-розв'язна група й <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1752">- її силовська <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1753">-підгрупа. Розумно припустити, що чим більше <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1754">-довго <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1513260160-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1755"> групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1756">, тим більшої повинна бути складність силовської підгрупи <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1757">. Додамо точний зміст цьому твердженню й доведемо його декількома способами, обираючи різні критерії складності <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1758">. Найбільш природні із цих критеріїв, силовські <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1759">-інваріанти групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1760">, такі:

(i) <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1513346345-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i1761"> де <img width=«28» height=«28» src=«ref-1_1513346455-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i1762">  — порядок <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1763">,

(ii) <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1513346667-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1764">  — клас нильпотентності <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1765">, тобто довжина (верхнього або) нижнього центрального ряду <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1766">,

(iii) <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1513346946-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1767">  — довжина ряду комутантів <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1768">,

(iv) <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1513347148-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1769"> де <img width=«28» height=«28» src=«ref-1_1513347252-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i1770">  — експонента <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1771">, тобтонайбільший з порядків елементів <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1772">. Експонента самої групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1773">, тобто найменшого загальне кратне порядків її елементів, дорівнює тому <img width=«45» height=«43» src=«ref-1_1513347644-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i1774">. Очевидно, рівність нулю кожного з інваріантів <img width=«61» height=«25» src=«ref-1_1513347858-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1775"> або <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1513348027-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1776"> рівносильно тому, що <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1777"> є <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1778">-групою.

В основних теоремах обмежимося випадком непарних простих чисел <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1779">, і навіть тоді результати будуть трохи різними, залежно від того, чи є <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1780"> простим числом Ферма <img width=«40» height=«20» src=«ref-1_1513348499-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1781"> чи виду ні.

Справедлива наступна теорема.

Теорема 2.1. Якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1782">- <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1783">-розв'язна група, де <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1784">  — непарне просте число, те
(i) <img width=«53» height=«25» src=«ref-1_1513261511-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i1785">
(ii) <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1513261666-148.coolpic» v:shapes="_x0000_i1786"> якщо <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1787"> не є простим числом Ферма, і <img width=«100» height=«41» src=«ref-1_1513261904-282.coolpic» v:shapes="_x0000_i1788">, якщо <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1789">  — просте число Ферма. Крім того, ці оцінки не можна поліпшити.

Ми встановимо також нерівності, що зв'язують <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1513349662-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1790"> c <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1513260160-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1791"> і <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1513346667-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1792"> з <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1513260160-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1793">, але тут наші результати будуть тільки для простих чисел, що не є простими числами Ферма. Всі ці результати тривіальні для <img width=«37» height=«25» src=«ref-1_1513350059-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i1794">, і ми доведемо їхньою індукцією по <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1513260160-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1795">. Припустимо, що <img width=«39» height=«25» src=«ref-1_1513350288-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1796"> й що <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1797">, як завжди володіє верхнім <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1798">-поруч (2.2). Нехай<img width=«36» height=«24» src=«ref-1_1513350601-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1799"> підгрупа Фратіні <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1800">-групи <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513350826-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i1801">. Усякий елемент групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1802"> індуцирує внутрішній автоморфізм групи <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513233003-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1803"> й, отже, групи <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513351150-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1804">. Але, як відоме, <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513351150-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1805"> є елементарної абелевой <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1806">-групою; тому її можна ототожнити з аддитивной групою векторного простору над простим полем характеристики <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1807">, а її автоморфізм — з лінійними перетвореннями цього простору. Автоморфизми групи <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513351150-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1808">, індуковані елементами <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1809">, утворять тому лінійну групу над полем характеристики <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1810">. Ця група, мабуть, є гомоморфним образом групи <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513351150-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i1811">, і ми покажемо, що в дійсності вона ізоморфна групі <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_1513352019-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1812">, і тому є <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1813">-розв'язною групою, не утримуючої нормальної підгрупи, відмінної від одиниці.

Теорема 2.2. Нехай <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1814">  — розв'язна лінійна група над полем характеристики <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1815">, не утримуюча неодиничну нормальну <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1816">-підгрупу. Нехай <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513352511-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1817">  — елемент порядку <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_1513234705-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1818"> в. <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1819"> Тоді мінімальне рівняння для <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513352511-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1820"> має вигляд <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1513352886-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i1821">    продолжение
--PAGE_BREAK--.

Число <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1513353051-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i1822"> задовольняє наступній умові. Нехай <img width=«69» height=«24» src=«ref-1_1513353133-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i1823"> найменше ціле число (якщо воно існує), для якого <img width=«49» height=«27» src=«ref-1_1513353296-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1824"> є ступенем простого числа <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513353438-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1825"> із властивістю <img width=«72» height=«25» src=«ref-1_1513353525-189.coolpic» v:shapes="_x0000_i1826">. Якщо <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1513353714-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1827"> не існує, то <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_1513353816-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i1828">; у противному випадку
<img width=«164» height=«27» src=«ref-1_1513353950-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1829">
Цей результат, доповнений більше детальними відомостями про елементи <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513352511-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1830">, для яких <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_1513354334-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1831">, буде ключем до доказу теореми А. Треба помітити, що нерівність <img width=«47» height=«24» src=«ref-1_1513354334-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1832"> може виконуватися тільки тоді, коли <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513354604-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i1833"> або коли <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1834">  — простої число Ферма. Теорема В и подібні їй теореми доводяться в основному прямим визначенням найменшої групи, що задовольняє цим умовам, і прямим обчисленням. При цьому відіграє важливу роль наступна теорема, цікава сама по собі.

Теорема 2.3. Нехай <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1513354817-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1835">  — якась <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i1836">-група, на яку діє <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1837">-група <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1838">, причому деякий елемент <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1513249256-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1839"> групи <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1840"> діє нетривіально на <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1513354817-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1841">, але тривіально на кожну щиру <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1842">-інваріантну підгрупу групи <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1513354817-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1843">. Тоді існує таке просте число <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513353438-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1844">, що <img width=«16» height=«21» src=«ref-1_1513354817-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1845"> є або елементарної абелевой <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513353438-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1846">-групою, або <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513353438-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1847">-групою класу нильпотентності 2, у якої центр і комутант збігаються, факторгрупа по комутанту <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1513356021-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1848">  — елементарна абелева група й подання <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1849"> на <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1513356021-133.coolpic» v:shapes="_x0000_i1850"> неприводимо.

Слід зазначити, що якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1851">  — розв'язна група, то обмежник <img width=«36» height=«37» src=«ref-1_1513356473-248.coolpic» v:shapes="_x0000_i1852"> тягне обмеженість довжини ряду комутантів <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513356721-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1853"> групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1854">.

Нехай <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513250803-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1855"> означає наступне твердження:

<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513250803-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1856">: для кожного позитивного цілого числа <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1513249256-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1857"> існує таке ціле число <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1513357201-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1858">, що всяка розв'язна група експоненти <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1859">, породжувана <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1513249256-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1860"> елементами, має порядок не більше <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1513357201-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1861">.

Теорема 2.4. <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513250803-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1862"> істинно, якщо <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1513357717-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i1863"> істинно для всіх ступенів простих чисел <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513353438-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1864">, що ділять <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1865">.

Зокрема, тому що відомо, що <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1513357994-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1866">, <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513331478-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1867"> і <img width=«19» height=«23» src=«ref-1_1513331828-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1868"> щирі, те щирі <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513358302-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1869"> й <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_1513358403-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i1870">. У цих випадках, як і завжди, коли <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1871"> ділиться тільки на два простих числа, ми можемо слово «розв'язна» замінити у формулюванні <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513250803-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1872"> словом «кінцева». Якщо <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1873">  — число, вільне від квадратів, ми навіть можемо обчислити <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1513357201-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i1874">, коли <img width=«27» height=«25» src=«ref-1_1513358902-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i1875"> відомі для всіх простих <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1876">, що ділять <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1877">, і всіх <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_1513243053-80.coolpic» v:shapes="_x0000_i1878">. Так, порядок найбільшої кінцевої <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1513249256-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1879">-породженої групи експоненти 6 дається формулою
<img width=«113» height=«41» src=«ref-1_1513359363-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1880"> де <img width=«139» height=«39» src=«ref-1_1513359633-307.coolpic» v:shapes="_x0000_i1881"> й <img width=«111» height=«21» src=«ref-1_1513359940-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i1882">
Нехай потрібно довести індукцією один по одному групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1883"> нерівність


<img width=«117» height=«21» src=«ref-1_1513360254-249.coolpic» v:shapes="_x0000_i1884">
Тут <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1513360503-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1885"> і <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1513360635-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i1886">  — числові інваріанти, для деякого класу кінцевих груп, що ми вважаємо замкнутим. Ми вважаємо, що (2.3) виконується для досить малих <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1887">, отже й для <img width=«39» height=«19» src=«ref-1_1513360862-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i1888">, і, крім того, що:

(I) якщо <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1889">  — підгрупа <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1890">, те <img width=«87» height=«21» src=«ref-1_1513361168-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1891">;

(II) <img width=«191» height=«21» src=«ref-1_1513361373-352.coolpic» v:shapes="_x0000_i1892">;

(III) якщо <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1893">  — факторгрупа <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1894">, те <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_1513361914-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1895">.

Тоді справедлива

Лема 2.5. У доказі нерівності (2.3) індукцією один по одному групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1896"> можна припустити, що <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1897"> володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою.

Справді, якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1898"> володіє двома мінімальними нормальними підгрупами <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1899"> й <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1900">, ми одержимо, що <img width=«71» height=«17» src=«ref-1_1513362594-154.coolpic» v:shapes="_x0000_i1901">, так що <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1902"> ізоморфно підгрупі прямого добутку <img width=«97» height=«21» src=«ref-1_1513362843-223.coolpic» v:shapes="_x0000_i1903">. Так як <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513232741-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1904">  — інваріант, що має однакові значення для ізоморфних груп, останні (I) і (II) дають
<img width=«195» height=«21» src=«ref-1_1513363150-367.coolpic» v:shapes="_x0000_i1905">
У силу припущення індукції <img width=«117» height=«21» src=«ref-1_1513363517-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i1906"> й у силу умови (III) <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1513363772-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1907">. Таким чином, <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1513364005-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1908">, і точно також <img width=«99» height=«21» src=«ref-1_1513364235-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1909">, так що <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_1513364465-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1910">, що й було потрібно.

Помітимо, що всі силовські <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1911">-інваріанти, згадані раніше, крім <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1513349662-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1912">, задовольняють умовам (I), (II) і (III). Те ж вірно й для інваріанта <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513356721-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1913"> розв'язної групи й інваріанта <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1513260160-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1914"> <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1915">-розв'язної групи; <img width=«19» height=«25» src=«ref-1_1513349662-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1916"> задовольняє умові (III). Таким чином, якщо <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513232741-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i1917"> задовольняє умовам (I) і (II), те цим же умовам задовольняє будь-яка функція <img width=«36» height=«21» src=«ref-1_1513365329-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1918">, а якщо <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1513365457-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i1919"> задовольняють умові (III), те цій же умові задовольняє будь-яка функція <img width=«97» height=«24» src=«ref-1_1513365633-215.coolpic» v:shapes="_x0000_i1920">, що не убуває по кожному з <img width=«12» height=«15» src=«ref-1_1513365848-83.coolpic» v:shapes="_x0000_i1921"> аргументів. Тому що всі наші нерівності тривіальні для досить малих груп <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1922">, то легко бачити, що твердження останньої леми можна застосовувати щораз, коли це необхідно.

Теорема 2.6. Якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1923">  — розв'язна група, те <img width=«73» height=«37» src=«ref-1_1513366121-321.coolpic» v:shapes="_x0000_i1924">.

Доводячи теорему індукцією один по одному <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1925">, можна припустити, що <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1926"> володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Тому що <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1927"> розв'язно, ця підгрупа буде <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1928">-групою для деякого простого числа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1929">. Тоді у верхньому <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1930">-ряді (2.2) групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1931"> підгрупа <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1513367092-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1932">. Звідси
<img width=«248» height=«25» src=«ref-1_1513367232-461.coolpic» v:shapes="_x0000_i1933">
Але <img width=«116» height=«25» src=«ref-1_1513367693-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i1934"> й <img width=«108» height=«25» src=«ref-1_1513367963-252.coolpic» v:shapes="_x0000_i1935">-1, у той час як при <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513368215-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1936"> інваріанти <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1513346946-107.coolpic» v:shapes="_x0000_i1937"> й <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1513260160-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1938"> мають однакові значення для <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_1513352019-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1939"> й <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1940">.

Нехай пропозиція індукції, застосована до групи <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_1513352019-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i1941">, дає
<img width=«191» height=«37» src=«ref-1_1513368899-548.coolpic» v:shapes="_x0000_i1942">
Звідси треба теорема.

Нам знадобитися далі важлива властивість верхнього <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1943">-ряду <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1944">-розв'язної групи, що зручно вивести в небагато більше загальному контексті. Нехай <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1945">  — деяка множина простих чисел, а <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513262460-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1946">  — додаткове до <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1947"> множина. <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1948">-група — це кінцева група, порядок якої ділиться тільки на прості числа, що входять в. <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1949"> Кінцева група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1950"> <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1951">-розв'язна, якщо кожний її композиційний фактор є або <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1952">-групою, або <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513262460-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1953">-групою. Така група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1954"> володіє верхнім <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1955">-поруч, для якого ми використовуємо ті ж позначення, що й у випадку, коли <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1956"> містить одне просте число <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1957">. Таким чином, ми пишемо


<img width=«225» height=«24» src=«ref-1_1513370815-354.coolpic» v:shapes="_x0000_i1958">
для ряду нормальних підгруп, вимагаючи, щоб факторгрупа <img width=«41» height=«24» src=«ref-1_1513341079-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i1959"> була найбільшої нормальною <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513262460-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1960">-підгрупою в <img width=«33» height=«24» src=«ref-1_1513371412-129.coolpic» v:shapes="_x0000_i1961">, а факторгрупа <img width=«49» height=«24» src=«ref-1_1513341460-159.coolpic» v:shapes="_x0000_i1962">  — найбільшої нормальної <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1963">-підгрупою в.<img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513341323-137.coolpic» v:shapes="_x0000_i1964">

Лема 2.7. Якщо <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1965">-розв'язна група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1966"> не містить неодиничну <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513262460-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1967">-підгрупу, так що <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1513367092-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i1968">, то група <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1969"> містить свій централізатор у групі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1970">.

Нехай <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513372540-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1971">  — централізатор групи <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1972">. Якщо лема не вірна й <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_1513372728-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1973">, то ми можемо вибрати нормальну підгрупу <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1513242351-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1974"> групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1975">, таку, що <img width=«89» height=«23» src=«ref-1_1513373080-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1976"> й мінімальну при цьому умові. Тому що група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1977"> <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1978">-розв'язна, факторгрупа <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513373469-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1979"> виявляється або <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1980">-групою, або <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513262460-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1981">-групою, а по визначенню групи <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1982"> вона не може бути <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i1983">-групою. Отже, факторгрупа <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513373469-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1984"> є <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513262460-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1985">-група й порядки груп <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513373469-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i1986"> і <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1987"> взаємно прості. По теоремі Шура, група <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1988"> має доповнення <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513374539-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1989"> в групі <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1513242351-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1990">. Тому що <img width=«57» height=«23» src=«ref-1_1513374737-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i1991">, трансформування групи <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1992"> елементом з <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513374539-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1993"> індуцірує її внутрішній автоморфізм, а тому що порядки <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1994"> й <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513374539-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1995"> взаємно прості, цей автоморфізм може бути тільки тотожним. Тоді <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1513242351-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1996">  — прямий добуток <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1997"> і <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513374539-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1998">. Тому <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513374539-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1999"> є характеристичною підгрупою в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2000">, а отже, нормальною підгрупою в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2001">, у протиріччі із припущенням, що <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1513367092-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i2002">. Це протиріччя доводить лему. Помітимо, що припущення <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1513367092-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i2003"> насправді зайво, тому що в загальному випадку ми можемо застосувати лему до факторгрупи <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513376143-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i2004">.

Наслідок 2.8. Нехай <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513287697-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2005">  — деяка підгрупа <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2006">, індекс якої не ділиться ні на яке просте число з <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2007">, тоді центр групи <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513287697-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2008"> втримується в центрі групи <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2009">.

Дійсно, підгрупа <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513287697-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2010"> повинна містити нормальну <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2011">-підгрупу <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2012"> групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2013">.

Наслідок 2.9. Нехай <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2014">  — деяка підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2015">, що містить <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2016">, тоді <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2017"> не володіє неодиничної нормальної <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513262460-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2018">-підгрупою.

Дійсно, нормальна <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513262460-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2019">-підгрупа групи <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2020"> повинна втримуватися в центролизаторе групи <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2021">.

Під <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2022">-підгрупою кінцевої групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2023"> ми маємо на увазі таку підгрупу, порядок і індекс якої взаємно прості. Якщо група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2024">    продолжение
--PAGE_BREAK-- розв'язна і її порядок дорівнює <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_1513378162-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2025">, де <img width=«71» height=«23» src=«ref-1_1513378283-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i2026">, то група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2027"> володіє <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2028">-підгрупами порядку <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2029"> й будь-які дві з них сполучені, а тому ізоморфні.

Теорема 2.10. Якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2030">  — розв'язна група порядку <img width=«61» height=«24» src=«ref-1_1513378824-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i2031">, де <img width=«71» height=«25» src=«ref-1_1513378973-178.coolpic» v:shapes="_x0000_i2032"> при <img width=«31» height=«19» src=«ref-1_1513379151-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i2033">, і якщо підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2034"> порядку <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1513379355-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2035"> має клас нильпотентності <img width=«100» height=«24» src=«ref-1_1513379449-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2036"> те
<img width=«129» height=«24» src=«ref-1_1513379644-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i2037">
Зокрема, для будь-якої кінцевої розв'язної групи <img width=«47» height=«28» src=«ref-1_1513379881-225.coolpic» v:shapes="_x0000_i2038">. <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2039">-підгрупа деякої факторгрупи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2040">, порядок якої ділить <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1513379355-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2041">, має клас нильпотентності, не перевищуючий <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1513380386-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2042">, так що ми можемо застосувати твердження леми 2.5 і одержати результат індукцією один по одному групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2043">, допустивши що <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2044"> володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою. Це буде <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2045">-група для деякого простого числа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2046">, і ми можемо тому предполодить, що її порядок ділить <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1513379355-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2047">. Тоді, якщо ми візьмемо в якості <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2048"> множина простих долителей числа <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1513379355-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2049">, виявиться виконаної передумова леми 2.5. Якщо <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2050">  — найбільша нормальна <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2051">-підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2052"> й <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513372540-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2053">  — її центр, то по наслідку леми 2.5 <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513372540-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2054"> містить центр <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2055">-підгрупи групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2056">, що має порядок <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1513379355-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2057">. Порядок <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2058">-підгрупи групи <img width=«31» height=«19» src=«ref-1_1513381965-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2059"> ділить <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1513379355-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2060">, тому клас нильпотентності її не більше <img width=«36» height=«23» src=«ref-1_1513382173-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2061">. Для <img width=«31» height=«19» src=«ref-1_1513379151-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i2062"> <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2063">-підгрупи груп <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2064"> і <img width=«31» height=«19» src=«ref-1_1513381965-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2065"> порядку <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_1513379355-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2066"> ізоморфні, так що в силу припущення індукції, застосованої до <img width=«31» height=«19» src=«ref-1_1513381965-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2067">, одержимо




<img width=«177» height=«21» src=«ref-1_1513382911-379.coolpic» v:shapes="_x0000_i2068">
Тому що <img width=«120» height=«21» src=«ref-1_1513383290-255.coolpic» v:shapes="_x0000_i2069">, той доказ по індукції проведено.

Перш ніж застосовувати лему 2.5 до доказу нерівності для <img width=«16» height=«25» src=«ref-1_1513260160-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2070">, зручно уточнити її для випадку, при якому <img width=«15» height=«15» src=«ref-1_1513233094-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2071"> складається з одного простого числа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2072">. Нехай <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2073"> є <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2074">-розв'язна група з верхнім <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2075">-поруч (2.2). Тоді лема 2.5, застосована до групи <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513376143-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i2076">, показує, що якщо <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513352511-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2077">  — елемент групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2078">, що не входить в <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2079">, те трансформування елементом <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513352511-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2080"> індуцируе у <img width=«36» height=«24» src=«ref-1_1513384599-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i2081"> нетотожний автоморфізм. Необхідне уточнення складається в заміні групи <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513350826-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i2082"> групою <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513351150-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i2083">, де <img width=«36» height=«24» src=«ref-1_1513350601-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i2084">  — підгрупа Фратіні групи <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513350826-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i2085">. Тепер <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513350826-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i2086">  — <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2087">-група, і в такий спосіб <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513351150-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i2088">  — елементарна абелева <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2089">-група. Ясно тому, що автоморфізм групи <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513351150-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i2090">, індукований групи <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2091">, тотожний. Таким чином, множина елементів групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2092">, що тотожно трансформує <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513351150-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i2093">, є нормальною підгрупою <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2094"> групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2095">, такий, що <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_1513386349-141.coolpic» v:shapes="_x0000_i2096">. По визначенню <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2097"> фактор група <img width=«32» height=«23» src=«ref-1_1513386587-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i2098"> не може бути <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2099">-групою, відмінної від 1, тому якщо <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_1513386805-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i2100">, те група <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2101"> повинна містити елемент <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513352511-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2102">, що не входить в <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2103"> і порядку, взаємно простого <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2104">. Тоді <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513352511-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2105"> індуцірує автоморфізм групи <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513350826-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i2106"> порядку, взаємно простого с.<img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2107"> Але автоморфізм <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2108">-групи, по модулю підгрупі Фратіні, має порядок, рівний ступені числа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2109">. Таким чином, <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513352511-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i2110"> індуцірує у <img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513351150-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i2111"> нетотожний автоморфізм, що суперечить визначенню групи <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2112">. Виходить, <img width=«45» height=«23» src=«ref-1_1513388117-136.coolpic» v:shapes="_x0000_i2113">, що й було потрібно. У такий спосіб:

Лема 2.11. Якщо <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2114"> є <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2115">-розв'язна група з верхнім <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2116">-поруч (2.2) і якщо <img width=«36» height=«24» src=«ref-1_1513350601-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i2117">  — підгрупа Фратіні групи <img width=«37» height=«24» src=«ref-1_1513350826-138.coolpic» v:shapes="_x0000_i2118">, те автоморфизми групи<img width=«33» height=«23» src=«ref-1_1513351150-126.coolpic» v:shapes="_x0000_i2119">, які індуковані трансформуваннями елементами групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2120">, представляють <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_1513352019-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i2121"> точно.

Наслідок 2.12. <img width=«107» height=«25» src=«ref-1_1513389150-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i2122">.

По лемі група <img width=«32» height=«19» src=«ref-1_1513389401-116.coolpic» v:shapes="_x0000_i2123"> не володіє неодиничної нормальної <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513241204-99.coolpic» v:shapes="_x0000_i2124">-підгрупою, і наступні члени її верхнього <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2125">-ряду являють собою фактор групи по <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513289874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2126"> відповідних членів верхнього <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2127">-ряду групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2128">.

Теорема 2.13. Для кожної <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2129">-розв'язної групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2130">
(I) <img width=«108» height=«41» src=«ref-1_1513390167-289.coolpic» v:shapes="_x0000_i2131">

(II) <img width=«51» height=«25» src=«ref-1_1513390456-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i2132">
Ми можемо використовувати індукцію один по одному групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2133"> й припустити, що <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2134"> володіє тільки одною мінімальною нормальною підгрупою <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2135">. Очевидно, ми можемо також припустити, що <img width=«108» height=«25» src=«ref-1_1513390886-253.coolpic» v:shapes="_x0000_i2136">, звідки наслідку з леми 2.11 <img width=«39» height=«17» src=«ref-1_1513391139-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2137">, а, отже, <img width=«45» height=«24» src=«ref-1_1513367092-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i2138">, і <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2139">  — елементарна абелева <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2140">-група. Тепер, думаючи <img width=«61» height=«25» src=«ref-1_1513391580-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2141">, ми одержимо, що <img width=«96» height=«25» src=«ref-1_1513391748-221.coolpic» v:shapes="_x0000_i2142">, так що по припущенню індукції містимо, що <img width=«129» height=«41» src=«ref-1_1513391969-336.coolpic» v:shapes="_x0000_i2143">. Якщо <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2144">  — група порядку <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1513392402-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2145">, то порядок її групи автоморфизмов <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2146"> дорівнює
<img width=«196» height=«24» src=«ref-1_1513392597-323.coolpic» v:shapes="_x0000_i2147">
так що <img width=«117» height=«41» src=«ref-1_1513392920-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i2148">. Відповідно до леми 2.11, група <img width=«31» height=«23» src=«ref-1_1513352019-128.coolpic» v:shapes="_x0000_i2149"> ізоморфна деякій підгрупі групи <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2150">, так що <img width=«112» height=«25» src=«ref-1_1513393434-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i2151">, звідки <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1513393694-112.coolpic» v:shapes="_x0000_i2152">. Таким чином,
<img width=«208» height=«41» src=«ref-1_1513393806-468.coolpic» v:shapes="_x0000_i2153">




що й було потрібно.

З іншої сторони відповідно до наслідку 1 леми 2.7, <img width=«16» height=«23» src=«ref-1_1513372348-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2154"> містить центр силовської <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2155">-підгрупи групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2156">, так що <img width=«132» height=«25» src=«ref-1_1513394556-279.coolpic» v:shapes="_x0000_i2157">. Тому що <img width=«124» height=«25» src=«ref-1_1513394835-267.coolpic» v:shapes="_x0000_i2158">, те індукція для (II) проводиться відразу.

Нерівності, отримані десь, аж ніяк не є найкращими. Для непарних <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2159"> їх значно можна підсилити. Однак при <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513354604-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i2160"> теорему 2.13 поліпшити не можна.

Останню теорему можна застосувати для короткого доказу тверджень <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1513358302-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i2161"> і <img width=«23» height=«23» src=«ref-1_1513358403-108.coolpic» v:shapes="_x0000_i2162">.
3.Група з нильпотентними додаваннями до підгруп
У справжньому главі описані нерозв'язні кінцеві групи з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп. До цього класу груп ставляться, зокрема, і кінцеві групи із примарними індексами несверхразрешимих груп. Доводиться

Теорема 3.1. Кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до несверхразрешимих підгруп ізоморфна <img width=«85» height=«24» src=«ref-1_1513262837-207.coolpic» v:shapes="_x0000_i2163"> або <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1513263044-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i2164">, де <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2165">  — нильпотентна група, а <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2166"> й <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_1513263418-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2167">  — прості числа.

Наслідок 3.2. Кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешими, ізоморфна <img width=«89» height=«21» src=«ref-1_1513263536-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i2168"> або <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1513263044-194.coolpic» v:shapes="_x0000_i2169">, де <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2170">  — <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1513264029-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2171">-група, або <img width=«79» height=«21» src=«ref-1_1513264115-195.coolpic» v:shapes="_x0000_i2172">, де <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2173">  — <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1513264406-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2174">-група.

Відзначимо, що кінцеві групи з нильпотентними підгрупами непримарного індексу вивчені С. С. Левищенко [13]. Серед них немає нерозв'язних груп.

Розглядаються тільки кінцеві групи. Всі позначення, що зустрічаються, і визначення стандартні, їх можна знайти в [2,14].

Нам знадобиться наступна

Лема 3.3. Нехай у кінцевій групі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2175"> кожна несверхразрешима група володіє нильпотентним додаванням. Тоді в будь-якій підгрупі й у будь-який фактор-групі групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2176"> кожна несверхразрешима підгрупа володіє нильпотентним додаванням.

Proof. Нехай <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2177">  — довільна підгрупа кінцевої групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2178">, і нехай <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2179">  — несверхразрешимая підгрупа з <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2180">. У групі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2181"> існує нильпотентное додавання <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251269-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2182"> до підгрупи <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2183">. Тому <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1513398022-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i2184">, а <img width=«100» height=«21» src=«ref-1_1513398164-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i2185">. Тепер <img width=«47» height=«17» src=«ref-1_1513398373-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i2186">  — нильпотентна, і до <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2187"> можна взяти нильпотентне додавання в підгрупі <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2188">.

Нехай <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513398689-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2189">  — нормальна в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2190"> підгрупа, і <img width=«29» height=«19» src=«ref-1_1513398872-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i2191">  — несверхразрешимая в <img width=«29» height=«19» src=«ref-1_1513398983-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i2192"> підгрупа. Тоді <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2193"> несверхразрешима, і існує нильпотентна підгрупа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251269-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2194"> така, що <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1513398022-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i2195">. Тепер <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1513399418-121.coolpic» v:shapes="_x0000_i2196"> нильпотентна й <img width=«112» height=«19» src=«ref-1_1513399539-211.coolpic» v:shapes="_x0000_i2197">, тобто до підгрупи <img width=«29» height=«19» src=«ref-1_1513398872-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i2198"> можна знайти в <img width=«29» height=«19» src=«ref-1_1513398983-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i2199"> нильпотентное додавання.

Доведемо теорему.

Приклад. Шлях <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2200">  — кінцева нерозв'язна група з нильпотентними додаваннями до підгруп. Тому що <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2201"> не <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513331931-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2202">-нильпотентна, те в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2203"> існує <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513331931-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2204">-замкнута підгрупа Шмидта <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1513400428-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i2205">, де <img width=«15» height=«19» src=«ref-1_1513291198-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2206">  — нормальна в <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2207"> силовська 2-підгрупа, підгрупа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513233003-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2208">  — циклічна [14,c. 434]. Оскільки <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2209"> не є сверхразрешимої, те існує нильпотентна підгрупа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251269-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2210"> така, що <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1513398022-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i2211">. З урахуванням парності порядку <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2212"> з теореми 2.8 [15] містимо, що фактор-група <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1513317089-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2213"> ізоморфна <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1513401394-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2214"> або <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_1513401562-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i2215">, де <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2216">  — деяке просте число, а <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1513249256-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2217">  — найбільша розв'язна нормальна в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2218"> підгрупа. Крім того,
<img width=«120» height=«28» src=«ref-1_1513402046-274.coolpic» v:shapes="_x0000_i2219"> а <img width=«88» height=«28» src=«ref-1_1513402320-220.coolpic» v:shapes="_x0000_i2220">
Тут <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_1513402540-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i2221"> і <img width=«20» height=«24» src=«ref-1_1513402646-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i2222">  — 'елементарна абелева й циклічна підгрупи порядку <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1513249256-89.coolpic» v:shapes="_x0000_i2223">. З теореми 2.10 [15] одержуємо, що <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1513402840-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i2224">  — простої число.

У випадку, коли <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2225"> й <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_1513263418-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2226">  — прості числа в простій групі <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1513401394-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2227">    продолжение
--PAGE_BREAK--, кожна несверхразрешима підгрупа ізоморфна групі <img width=«71» height=«28» src=«ref-1_1513403382-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i2228">. Остання підгрупа має в <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1513401394-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2229"> циклічне доповнення <img width=«41» height=«28» src=«ref-1_1513403743-140.coolpic» v:shapes="_x0000_i2230">. Тому група <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1513401394-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2231"> у випадку, коли <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2232"> й <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_1513263418-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2233">  — прості числа, задовольняє умові теореми.

Перевіримо, що група <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_1513401562-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i2234"> не задовольняють умові теореми. Нехай
<img width=«123» height=«24» src=«ref-1_1513404469-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i2235">

<img width=«89» height=«24» src=«ref-1_1513404720-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i2236">
Відомо, що <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513404925-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2237">  — нормальна в <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513374539-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2238"> підгрупа, а <img width=«32» height=«19» src=«ref-1_1513405113-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i2239">  — циклічна група порядку <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2240">. Для силовської <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513331931-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2241">-підгрупи <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1513405398-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i2242"> з <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513404925-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2243"> маємо
<img width=«383» height=«28» src=«ref-1_1513405589-677.coolpic» v:shapes="_x0000_i2244">

<img width=«132» height=«28» src=«ref-1_1513406266-275.coolpic» v:shapes="_x0000_i2245">
Тепер
<img width=«149» height=«24» src=«ref-1_1513406541-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i2246">
Оскільки <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2247"> й <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_1513263418-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2248">  — прості числа, то в <img width=«52» height=«23» src=«ref-1_1513407042-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i2249"> існує підгрупа <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513289874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2250"> порядку <img width=«29» height=«21» src=«ref-1_1513407291-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i2251">. Для <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1513407402-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i2252"> підгрупа <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513289874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2253"> <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513331931-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2254">-замкнута, і зовнішній автоморфізм <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1513401394-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2255"> не централізує силовскую <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513331931-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2256">-підгрупу, тому <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513289874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2257"> несверхразрешима. Тому що в <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513374539-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2258"> немає нильпотентною підгрупи порядку <img width=«97» height=«24» src=«ref-1_1513408138-213.coolpic» v:shapes="_x0000_i2259">, то <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_1513401562-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i2260"> не задовольняє умові теореми при <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1513407402-117.coolpic» v:shapes="_x0000_i2261">. Якщо <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1513408684-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i2262">, то в <img width=«88» height=«24» src=«ref-1_1513401562-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i2263"> для підгрупи Шмидта, ізоморфній знакозмінній групі <img width=«20» height=«23» src=«ref-1_1513409015-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i2264"> ступеня <img width=«13» height=«17» src=«ref-1_1513409118-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2265">, повинна найтися нильпотентна підгрупа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251269-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2266"> порядку, що ділиться на <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513409297-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2267">. Але такий нильпотентною підгрупи в <img width=«81» height=«21» src=«ref-1_1513409393-201.coolpic» v:shapes="_x0000_i2268"> немає.

Отже, якщо <img width=«40» height=«17» src=«ref-1_1513409594-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i2269">, те <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2270"> ізоморфна <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1513401394-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2271">, де <img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1513234621-84.coolpic» v:shapes="_x0000_i2272"> й <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_1513263418-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2273">  — прості числа.

Нехай тепер <img width=«40» height=«19» src=«ref-1_1513410178-123.coolpic» v:shapes="_x0000_i2274">. Припустимо, що <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2275"> не є мінімальною нормальною в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2276"> підгрупою, і нехай <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513398689-88.coolpic» v:shapes="_x0000_i2277">  — мінімальна нормальна в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2278"> підгрупа, що втримується в. <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2279"> По індукції, <img width=«115» height=«21» src=«ref-1_1513410771-214.coolpic» v:shapes="_x0000_i2280">, де <img width=«19» height=«20» src=«ref-1_1513410985-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i2281">  — нильпотентна, а <img width=«17» height=«20» src=«ref-1_1513411085-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2282"> ізоморфна <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1513401394-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2283"> або <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1513337989-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i2284">. Тому що <img width=«40» height=«21» src=«ref-1_1513411505-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i2285">, те <img width=«17» height=«20» src=«ref-1_1513411085-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2286">  — власна в <img width=«19» height=«21» src=«ref-1_1513411728-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2287"> підгрупа, і для її прообразу <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513289874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2288"> в групі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2289"> по індукції одержуємо, що <img width=«69» height=«23» src=«ref-1_1513412012-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i2290">, де <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_1513412176-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i2291"> або <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1513337989-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i2292">. Підгрупа <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1513412536-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2293"> характеристична в <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513289874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2294">, а <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513289874-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2295"> нормальна в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2296">, тому <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1513412536-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2297"> нормально в. <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2298"> Тому що
<img width=«336» height=«23» src=«ref-1_1513413104-486.coolpic» v:shapes="_x0000_i2299"> те <img width=«151» height=«23» src=«ref-1_1513413590-270.coolpic» v:shapes="_x0000_i2300">
Оскільки для несверхразрешимої підгрупи <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251177-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i2301"> з <img width=«17» height=«23» src=«ref-1_1513412536-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i2302"> існує нильпотентна підгрупа <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251269-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2303"> така, що <img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1513398022-142.coolpic» v:shapes="_x0000_i2304">, те
<img width=«224» height=«23» src=«ref-1_1513414283-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i2305">
буде нильпотентною підгрупою.

Тепер розглянемо випадок, коли <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2306">  — мінімальна нормальна в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2307"> підгрупа. Припустимо, що комутант <img width=«20» height=«19» src=«ref-1_1513239243-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i2308">  — власна в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2309"> підгрупа. Тому що
<img width=«155» height=«21» src=«ref-1_1513415064-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i2310"> те <img width=«63» height=«19» src=«ref-1_1513415354-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i2311">
З мінімальності <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2312"> одержуємо, що
<img width=«153» height=«19» src=«ref-1_1513415605-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i2313"> Тому що <img width=«117» height=«24» src=«ref-1_1513415862-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i2314">




де <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513246500-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2315"> й <img width=«49» height=«19» src=«ref-1_1513416216-122.coolpic» v:shapes="_x0000_i2316">  — прості числа, то в цьому випадку теорема доведена.

Отже, нехай <img width=«48» height=«19» src=«ref-1_1513416338-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i2317">. Якщо <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2318">  — власна підгрупа у своєму централізаторі, то із простоти <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1513317089-120.coolpic» v:shapes="_x0000_i2319"> треба, що <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2320"> втримується в центрі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2321">. Тепер група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2322"> ізоморфна <img width=«60» height=«24» src=«ref-1_1513401394-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i2323"> або <img width=«53» height=«21» src=«ref-1_1513337989-156.coolpic» v:shapes="_x0000_i2324"> по теоремі VI.25.7 [14].

Нехай <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2325"> само централізована. Оскільки <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2326"> розв'язно, те <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2327">  — <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1513353051-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i2328">-група для деякого простого <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1513353051-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i2329">. Допусти, що існує простої <img width=«33» height=«16» src=«ref-1_1513417750-106.coolpic» v:shapes="_x0000_i2330">, що ділить порядок <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2331">, і нехай <img width=«15» height=«17» src=«ref-1_1513287697-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2332">  — силовська <img width=«9» height=«16» src=«ref-1_1513418042-81.coolpic» v:shapes="_x0000_i2333">-підгрупа з <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2334">. Якщо підгрупа <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_1513418218-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i2335"> сверхразрешима, то <img width=«88» height=«19» src=«ref-1_1513418345-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i2336"> нильпотентна й <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2337"> не само централізована. Якщо <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_1513418218-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i2338"> не сверхразрешима, то за умовою теореми існує нильпотентна підгрупа <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513294389-93.coolpic» v:shapes="_x0000_i2339"> така, що <img width=«88» height=«21» src=«ref-1_1513418851-206.coolpic» v:shapes="_x0000_i2340">. Але тепер
<img width=«135» height=«19» src=«ref-1_1513419057-250.coolpic» v:shapes="_x0000_i2341">
буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп, протиріччя. Отже, <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1513353051-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i2342">  — найбільше просте число, що ділить порядок <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2343">.

Допустимо, що <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2344"> не втримується в. <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251269-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2345"> Тоді <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251269-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2346">  — власна в <img width=«28» height=«17» src=«ref-1_1513419762-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i2347"> підгрупа й <img width=«77» height=«19» src=«ref-1_1513419872-170.coolpic» v:shapes="_x0000_i2348">. Тому що <img width=«76» height=«24» src=«ref-1_1513420042-182.coolpic» v:shapes="_x0000_i2349">, <img width=«72» height=«21» src=«ref-1_1513420224-172.coolpic» v:shapes="_x0000_i2350"> і <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2351">  — <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1513353051-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i2352">-група, те <img width=«28» height=«17» src=«ref-1_1513419762-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i2353">  — група непарного порядку. Підгрупа <img width=«60» height=«19» src=«ref-1_1513400428-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i2354"> має порядок <img width=«67» height=«24» src=«ref-1_1513420839-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i2355"> і <img width=«39» height=«20» src=«ref-1_1513263418-118.coolpic» v:shapes="_x0000_i2356">  — просте число. Тому <img width=«83» height=«17» src=«ref-1_1513421126-173.coolpic» v:shapes="_x0000_i2357"> й тепер <img width=«77» height=«21» src=«ref-1_1513421299-188.coolpic» v:shapes="_x0000_i2358">, а фактор-група
<img width=«131» height=«19» src=«ref-1_1513421487-247.coolpic» v:shapes="_x0000_i2359">
буде розв'язної як добуток двох нильпотентних підгруп. Протиріччя.

Отже, <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2360"> утримується в <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251269-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2361"> і із <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2362"> й нильпотентності <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251269-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2363"> одержуємо, що <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513251269-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i2364">  — <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1513353051-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i2365">-група для найбільшого простого <img width=«12» height=«13» src=«ref-1_1513353051-82.coolpic» v:shapes="_x0000_i2366">, що ділить порядок <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2367">. З теореми 2.1 [15] одержуємо, що <img width=«85» height=«21» src=«ref-1_1513422458-209.coolpic» v:shapes="_x0000_i2368">, а <img width=«36» height=«19» src=«ref-1_1513422667-111.coolpic» v:shapes="_x0000_i2369">. Але тепер <img width=«28» height=«17» src=«ref-1_1513422778-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i2370">  — підгрупа непримарного індексу. Тому вона сверхразрешима, а тому що її порядок дорівнює <img width=«33» height=«21» src=«ref-1_1513422888-114.coolpic» v:shapes="_x0000_i2371">, те <img width=«28» height=«17» src=«ref-1_1513422778-110.coolpic» v:shapes="_x0000_i2372"> нильпотентна, і знову <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2373"> не само централізована. Протиріччя.

Теорема доведена повністю.

Розглянемо доказ наслідку.

Proof. Нехай <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2374">  — кінцева нерозв'язна група, у якій всі підгрупи непримарного індексу сверхразрешимі. Якщо <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2375">  — несверхразрешима в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2376"> підгрупа, те<img width=«80» height=«24» src=«ref-1_1513423492-192.coolpic» v:shapes="_x0000_i2377">, де <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2378">  — просте число. Тепер <img width=«63» height=«25» src=«ref-1_1513423774-171.coolpic» v:shapes="_x0000_i2379"> для силовської <img width=«16» height=«17» src=«ref-1_1513231446-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i2380">-підгрупи <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1513240614-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i2381"> з <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2382">, тобто група <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2383"> задовольняє умові теореми. Тому
<img width=«115» height=«24» src=«ref-1_1513424334-238.coolpic» v:shapes="_x0000_i2384"> або <img width=«83» height=«21» src=«ref-1_1513424572-197.coolpic» v:shapes="_x0000_i2385">
де <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2386">  — нильпотентна група. Якщо
<img width=«117» height=«24» src=«ref-1_1513424865-241.coolpic» v:shapes="_x0000_i2387">
те в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2388"> є несверхразрешима підгрупа <img width=«71» height=«28» src=«ref-1_1513403382-193.coolpic» v:shapes="_x0000_i2389"> індексу <img width=«79» height=«24» src=«ref-1_1513425394-196.coolpic» v:shapes="_x0000_i2390">. Тому що цей індекс повинен бути примарним, те <img width=«63» height=«21» src=«ref-1_1513425590-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i2391"> або <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1513425734-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2392">, тому <img width=«37» height=«19» src=«ref-1_1513408684-115.coolpic» v:shapes="_x0000_i2393"> або <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1513264406-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2394">, а <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2395">  — або <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1513264029-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2396">-група, або <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1513264406-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2397">-група. Якщо
<img width=«111» height=«21» src=«ref-1_1513426289-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i2398">
те в <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2399"> є несверхразрешимая підгрупа Шмидта порядку <img width=«21» height=«17» src=«ref-1_1513426614-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i2400">, а її індекс дорівнює <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1513426714-134.coolpic» v:shapes="_x0000_i2401"> й повинен бути примарним, тобто <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2402"> повинна бути <img width=«12» height=«19» src=«ref-1_1513264029-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i2403">-групою. Наслідок доведений.
4.Використовувані результати
Лема 4.1. Нехай <img width=«76» height=«19» src=«ref-1_1513427030-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i2404">. Тоді:

(1) якщо <img width=«68» height=«19» src=«ref-1_1513427195-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i2405">, <img width=«65» height=«19» src=«ref-1_1513427360-163.coolpic» v:shapes="_x0000_i2406">, те <img width=«67» height=«19» src=«ref-1_1513427523-164.coolpic» v:shapes="_x0000_i2407">;

(2) якщо <img width=«68» height=«19» src=«ref-1_1513427195-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i2408">, <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1513312389-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i2409">, те <img width=«47» height=«19» src=«ref-1_1513246042-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i2410">.

Наслідок 4.2. Якщо <img width=«67» height=«21» src=«ref-1_1513428116-183.coolpic» v:shapes="_x0000_i2411"> нильпотентна, те <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2412"> нильпотентна.

Теорема 4.3. Нехай <img width=«75» height=«19» src=«ref-1_1513428394-165.coolpic» v:shapes="_x0000_i2413">, <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513428559-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i2414"> і <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1513428734-131.coolpic» v:shapes="_x0000_i2415">. Якщо <img width=«33» height=«19» src=«ref-1_1513428865-119.coolpic» v:shapes="_x0000_i2416"> нильпотентна, то <img width=«17» height=«17» src=«ref-1_1513249345-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i2417"> нильпотентна.

Теорема 4.4. (1) Центр <img width=«39» height=«21» src=«ref-1_1513250386-135.coolpic» v:shapes="_x0000_i2418"> неодиничної нильпотентною групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2419"> відмінний від одиниці й <img width=«109» height=«21» src=«ref-1_1513429310-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i2420">.

(2) У нильпотентною групі кожна власна підгрупа відмінна від свого нормализатора.

(3) У нильпотентною групі <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2421"> перетинання неодиничної нормальної підгрупи <img width=«19» height=«19» src=«ref-1_1513246500-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i2422"> із центром групи відмінно від одиниці й <img width=«141» height=«21» src=«ref-1_1513429738-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i2423">.

Лема 4.5. Нехай <img width=«19» height=«17» src=«ref-1_1513245532-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i2424">  — нормальна підгрупа групи <img width=«17» height=«19» src=«ref-1_1513236005-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i2425">. Тоді:

(1) якщо <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1513430204-127.coolpic» v:shapes="_x0000_i2426">, те<img width=«53» height=«19» src=«ref-1_1513430331-144.coolpic» v:shapes="_x0000_i2427"> й <img width=«72» height=«17» src=«ref-1_1513430475-155.coolpic» v:shapes="_x0000_i2428">;

(2) якщо <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1513430630-125.coolpic» v:shapes="_x0000_i2429">, те<img width=«55» height=«19» src=«ref-1_1513430755-145.coolpic» v:shapes="_x0000_i2430"> й <img width=«73» height=«19» src=«ref-1_1513430900-158.coolpic» v:shapes="_x0000_i2431">;

(3)<img width=«77» height=«24» src=«ref-1_1513431058-191.coolpic» v:shapes="_x0000_i2432"> ;

(4)<img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513431249-176.coolpic» v:shapes="_x0000_i2433"> .

Теорема 4.6. Група нильпотентна тоді й тільки тоді, коли її комутант утримується в підгрупі Фратіні.

Теорема 4.7. Нехай <img width=«45» height=«19» src=«ref-1_1513312389-132.coolpic» v:shapes="_x0000_i2434">. Тоді:

(1) <img width=«93» height=«21» src=«ref-1_1513431557-219.coolpic» v:shapes="_x0000_i2435">;

(2) <img width=«136» height=«21» src=«ref-1_1513431776-284.coolpic» v:shapes="_x0000_i2436">;

(3) якщо <img width=«69» height=«21» src=«ref-1_1513432060-179.coolpic» v:shapes="_x0000_i2437">, те <img width=«125» height=«21» src=«ref-1_1513432239-260.coolpic» v:shapes="_x0000_i2438">;

(4) якщо <img width=«43» height=«19» src=«ref-1_1513432499-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i2439"> й <img width=«68» height=«21» src=«ref-1_1513432629-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i2440">    продолжение
--PAGE_BREAK--