Реферат: Представление чисел в виде суммы двух квадратов и ...

--PAGE_BREAK--Числа 5, 13, 17 представимы в виде суммы двух квадратов: 5=22+12, 13=22+32, 17=12+42, а остальные числа (3, 7, 11, 19) этим свойством не обладают. Можно ли объяснить этот феномен? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:
Теорема:  Для того, чтобы нечетное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1.
                                                         Доказательство (Лагранжа)
Это доказательство опирается на следующую лемму Вильсона: если p — простое число, то число (p-1)!+1 делится на p.

Чтобы не отвлекаться на доказательство этого вспомогательного факта, продемонстрирую лишь основную идею этого доказательства на примере простого числа 13. Для любого числа x, 2 <img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">x<img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">11, найдется такое число y, 2<img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030">y<img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031">11, что x* y при делении на 13 дае в остатке 1. Действительно,

(13-1)!=12!=(2* 7)(3* 9)(4* 10)(5* 8)(6* 11)* 12,

и при этом все произведения в скобках при делении на 13 дают в остатке 1, а значит, 12! при делении на 13 даст в остатке 12, откуда (для выбранного нами числа 13) следует утверждение леммы Вильсона.

Из леммы Вильсона извлечем такое следствие: если p=4n+1, где n — натуральное число, то ((2n)!)2+1 делится на p. Действительно, из леммы Вильсона следует, что (4n)!+1 делится на p, и теперь необходимое утверждение вытекает из следующей выкладки:

(4n)!+1=(2n)!(2n+1)*...*(4n)+1=
=(2n)!(p-2n)(p-2n-1)*...*(p-1)+1=
=(2n)!(-1)2n(2n)!+pk+1 <img width=«10» height=«10» src=«ref-1_296478661-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">((2n)!)2+1(mod p).

Обозначим (2n)! через N. Мы доказали, что N2<img width=«10» height=«10» src=«ref-1_296478661-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">-1(mod p).

Теперь нам предстоит преодолеть основную трудность. Рассмотрим все пары целых чисел (m,s), такие что 0 <img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">m<img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">[ <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_296479007-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">], <img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">s<img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">[<img width=«21» height=«24» src=«ref-1_296479007-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">], через [<img width=«21» height=«24» src=«ref-1_296479007-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">]обозначена целая часть числа <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_296479007-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041"> — наибольшее целое число, не превосходящее <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_296479007-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">. Число таких пар ([ <img width=«21» height=«24» src=«ref-1_296479007-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">]+1)2>p. Значит, по крайней мере для двух различных пар (m1,s1) и (m2,s2) остатки от деления m1+Ns1 и m2+Ns2 на p одинаковы, т. е. число a+Nb, где a=m1-m2, b=s1-s2, будет делиться на p. При этом |a|<img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044">[<img width=«21» height=«24» src=«ref-1_296479007-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">], |b| <img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">[<img width=«21» height=«24» src=«ref-1_296479007-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">]. Но тогда число a2-N2 b2=(a+Nb)(a-Nb) делится на p, и значит, учитывая, что N2<img width=«10» height=«10» src=«ref-1_296478661-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">-1(mod p), получим, что a2+b2 делится на p, т. е. a2+b2=rp, где r — натуральное число (r<img width=«10» height=«10» src=«ref-1_296480481-90.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">, ибо иначе пары были бы одинаковы). С другой стороны, a2+b2<img width=«8» height=«10» src=«ref-1_296478313-87.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050">2[<img width=«21» height=«24» src=«ref-1_296479007-130.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">]2<2p, т. е. r=1, и значит, a2+b2=p. Теорема  доказана.

Вопрос о представлении чисел в виде суммы двух квадратов исчерпывается следующим утверждением:

Натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые сомножители вида 4k+3 входят в разложение этого числа на простые сомножители с четными показателями.

Единственность представления простого числа в виде суммы двух квадратов                                                                                   По теореме Ферма-Эйлера любое простое число р, которое при делении на 4 дает остаток 1, представимо в виде суммы двух квадратов. Осталось доказать, что такое представление единственно с точностью до порядка слагаемых.                   Теорема: Никакое простое число не может быть представлено в виде суммы квадратов двух целых чисел существенно разными (т. е. не получающимися один из другого перестановкой слагаемых) способами.
    продолжение
--PAGE_BREAK--