Реферат: Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-43
Селюкова Н.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2004
Содержание
Введение
1. Основные определения, обозначения и используемые результаты
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Список литературы
Введение
Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах — это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли — это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.
Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.
/>1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты.
/>2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ, касающееся свойств централизаторов конгруэнций.
/>3 является основным. На основе введенного здесь понятия — конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры /> нормальна в /> (теорема(3)).
1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1 Пусть /> — некоторое непустое множество и пусть />, отображение />-ой декартовой степени /> в себя, тогда /> называют />-арной алгебраической операцией.
Определение 1.2 Универсальной алгеброй называют систему /> состоящую из некоторого множества /> с заданной на нем некоторой совокупностью операций />.
Определение 1.3 Пусть /> — некоторая универсальная алгебра и /> (/>), тогда /> называют подалгеброй универсальной алгебры />, если /> замкнута относительно операций из />.
• Для любой операции />, где /> и />.
• Для любой операции /> элемент /> фиксируемый этой операцией в /> принадлежит />.
Определение 1.4 Всякое подмножество /> называется бинарным отношением на />.
Определение 1.5 Бинарное отношение называется эквивалентностью, если оно:
• рефлексивно />
• транзитивно />/> и />
• симметрично />/>
Определение 1.6 Пусть /> некоторая эквивалентность на />, тогда через /> обозначают множество />. Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности /> содержащий элемент />. Множество всех таких классов разбиения обозначают через /> и называют фактормножеством множества /> по эквивалентности />.
Определим />-арную операцию на фактормножестве /> следующим образом:
/>
/>
Определение 1.7 Эквивалентность /> на алгебре /> называется ее конгруэнцией на />, если выполняется следующее условие:
--PAGE_BREAK--Для любой операции /> для любых элементов /> таких, что /> имеет место />.
Определение 1.8 Если /> и /> — конгруэнции на алгебре />, />, то конгруэнцию /> на алгебре /> назовем фактором на />.
/>тогда и только тогда, когда />.
/>или /> или 1 — соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры />.
Лемма 1.1 (Цорна). Если любая цепь частично упорядоченного множества /> содержит максимальные элементы, то и само множество /> содержит максимальные элементы.
Определение 1.9 Пусть /> — бинарное отношение на множестве />. Это отношение называют частичным порядком на />, если оно рефлексивно, транзитивно, антисимметрично.
Определение 1.10 Множество с заданным на нем частичным порядком называют частично упорядоченным множеством.
Теорема Мальцев А.И. Конгруэнции на универсальной алгебре />перестановочны тогда и только тогда, когда существует такой тернарный оператор />, что для любых элементов />выполняется равенство />. В этом случае оператор />называется мальцевским.
Определение 1.11 Алгебра /> называется нильпотентной, если существует такой ряд конгруэнций />, называемый центральным, что /> для любого />.
Определение 1.12 Подалгебра алгебры /> называется собственной, если она отлична от самой алгебры />.
Определение 1.13 Подалгебра /> универсальной алгебры /> называется нормальной в />, если /> является смежным классом по некоторой конгруэнции /> алгебры />.
Определение 1.14 Пусть /> и /> — универсальные алгебры с одной и той же сигнатурой, отображение /> называется гомоморфизмом, если
1) /> и /> имеет место />;
2) />, где /> и /> элементы фиксируемой операцией /> в алгебрах /> и /> соответственно.
Определение 1.15 Гомоморфизм /> называется изоморфизмом между /> и />, если обратное к нему соответствие /> также является гомоморфизмом.
Теорема Первая теорема об изоморфизмах Пусть />— гомоморфизм, />— конгруэнция, тогда />.
Теорема Вторая теорема об изоморфизмах Пусть />— есть />-алгебра, />— подалгебра алгебры />и />— конгруэнция на />. Тогда />является подалгеброй алгебры />, />— конгруэнцией на />и />.
Теорема Третья теорема об изоморфизмах Пусть />— есть />-алгебра и />и />— такие конгруэнции на />, что />. Тогда существует такой единственный гомоморфизм />, что />. Если />, то />является конгруэнцией на />и />индуцирует такой изоморфизм />.
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
Определение 2.1 Пусть /> и /> — конгруэнции на алгебре />. Тогда />централизует /> (записывается: />), если на /> существует такая конгруэнция />, что:
1) из />
всегда следует />
2) для любого элемента />
всегда выполняется />
продолжение--PAGE_BREAK--
3) если />
то />
Под термином «алгебра» в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие />.
Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом, сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1 Пусть />. Тогда:
1) существует единственная конгруэнция />, удовлетворяющая определению 2.1;
2) />;
3) если />
то />
Из леммы 2.1. и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции /> на алгебре /> всегда существует наибольшая конгруэнция, централизующая />. Она называется централизатором конгруэнции /> в /> и обозначается />.
В частности, если />, то централизатор /> в /> будем обозначать />.
Лемма 2.2 Пусть />, /> — конгруэнции на алгебре />, />, />, />. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) />;
2) />, где />;
3) если выполняется одно из следующих отношений:
/>
/>
/>
/>
4) из /> всегда следует />
Доказательство:
1) Очевидно, что /> — конгруэнция на />, удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и />.
2) /> — конгруэнция на />, удовлетворяющая определению
2.1. Значит />
3) Пусть />.
Тогда />
/>
Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор /> такой, что />
Тогда получим />
т.е. />
Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).
4) Пусть />
Тогда справедливы следующие соотношения:
/>
/>
/>
Следовательно, />
где /> — мальцевский оператор.
Тогда />
то есть />.
Так как />
то />.
Таким образом />. Лемма доказана.
Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.
Лемма. 2.3 Любая подалгебра алгебры />, содержащая диагональ />, является конгруэнцией на алгебре />.
Доказательство:
Пусть />/>
Тогда из />/>/>
продолжение--PAGE_BREAK--
следует, что />
Аналогичным образом из />/>/>
получаем, что />
Итак, /> симметрично и транзитивно. Лемма доказана.
Лемма 2.4 Пусть />. Тогда /> для любой конгруэнции /> на алгебре />.
Доказательство:
Обозначим /> и определим на алгебре /> бинарное отношение /> следующим образом: />
тогда и только тогда, когда />
где />/>
Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что /> — конгруэнция на алгебре />, причем />
Пусть />
то есть />/>
Тогда />
и, значит />
Пусть, наконец, имеет место />
Тогда справедливы следующие соотношения:
/>
/>
/>
применяя мальцевчкий оператор /> к этим трем соотношениям, получаем />
Из леммы 2.2 следует, что />
Так как /> то />
Значит, />
Но />, следовательно, />.
Итак, />
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.
Лемма 2.5 Пусть />, /> — конгруэнции на алгебре />, /> и /> — изоморфизм, определенный на />.
Тогда для любого элемента /> отображение /> определяет изоморфизм алгебры /> на алгебру />, при котором />.
В частности, />.
Доказательство.
Очевидно, что /> — изоморфизм алгебры /> на алгебру />, при котором конгруэнции />, /> изоморфны соответственно конгруэнциям /> и />.
Так как />
то определена конгруэнция />
удовлетворяющая определению 2.1.
Изоморфизм /> алгебры /> на алгебру /> индуцирует в свою очередь изоморфизм /> алгебры /> на алгебру /> такой, что
/>
для любых элементов /> и />, принадлежащих />. Но тогда легко проверить, что /> — конгруэнция на алгебре />, изоморфная конгруэнции />.
Это и означает, что />
Лемма доказана.
Определение 2.2 Если /> и /> — факторы на алгебре /> такие, что /> то конгруэнцию /> обозначим через /> и назовем централизатором фактора /> в />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Определение 2.3 Факторы /> и /> назыавются перспективными, если либо /> либо />
Теорема Пусть />, />, />, />— конгруэнции на алгебре />. Тогда:
1) если />, то />
2) если />, то />/>
3) если />, /> и факторы />, /> перспективны, то />
4) если /> — конгруэнции на /> и />, то />
где />, />.
Доказательство.
1) Так как конгруэнция /> централизует любую конгруэнцию и />, то />
2) Из первого пункта лемы 2.2 следует, что />
а в силу леммы 2.4 получаем, что />
Пусть /> — изоморфизм />. Обозначим
/>
По лемме 2.5 />, а по определению />
Следовательно, />
3) Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнции /> и /> на алгебре /> имеет место равенство />
Покажем вналале, что />
Обозначим />. Тогда, согласно определению 2.1. на алгебре /> существует такая конгруэнция />, что выполняются следующие свойства:
а) если />, то />
б) для любого элемента />, />
в) если />/>
то />
Построим бинарное отношение /> на алгебре /> следующим образом: />
тогда и только тогда, когда />
и />
Покажем, что /> — конгруэнция на />.
Пусть />
для />. Тогда />
и />
Так как /> — конгруэнция, то для любой />-арной операции /> имеем
/>
Очевидно, что />
и />
Следовательно, />
Очевидно, что для любой пары />/>
Значит, />
Итак, по лемме 2.3, /> — конгруэнция на />. Покажем теперь, что /> удовлетворяет определению 2.1, то есть /> централизует />. Пусть /> ??
Тогда />
Так как />,/> и />, то />. Следовательно, /> удовлетворяет определению 2.1.
продолжение--PAGE_BREAK--
Если />, то />
значит, />
Пусть, наконец, имеет место (1) и /> ??
Тогда />
Так как /> и />, то />, следовательно, />. Из (2) следует, что />, а по условию />. Значит, /> и поэтому
/>
Тем самым показано, что конгруэнция /> удовлетворяет определению 2.1, то есть /> централизует />.
Докажем обратное включение.
Пусть />
Тогда на алгебре /> определена конгруэнция /> удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение /> на алгебре /> следующим образом:
/> ??
тогда и только тогда, когда
/> ??
и />, />.
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что /> — конгруэнция на алгебре />. Заметим, что из доказанного включения в одну сторону следует, что />. Покажем поэтому, что /> централизует />.
Так как />/>/> то />
то есть /> удовлетворяет условию 1) определения 2.1.
Если />, то />
следовательно, />
Пусть имеет место (3) и />.
Так как />
то />
Из (4) следует, что />, следовательно, />
то есть />
На основании леммы 2.2 заключаем, что />
Следовательно, />.
А так как />, то />, то есть />
4) Обозначим />. Пусть />
и удовлоетворяет определению 2.1.
Определим бинарное отношение /> на /> следующим образом
/>
тогда и только тогда, когда
/>
Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что /> — конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1.
Это и означает, что />
Теорема доказана.
Как следствия, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Определение 3.1 Конгруэнция /> универсальной алгебры /> называется фраттиниевой, если />, для любой собственной подалгебры /> из />;
Определение 3.2 Собственная подалгебра /> универсальной подалгебры /> называется максимальной, если из того, что для некоторой подалгебры /> выполняется />, всегда следует, что либо />, либо />.
Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.
Теорема Конгруэнция />универсальной алгебры />является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры />из />имеет место равенство />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Доказательство:
Пусть /> — фраттиниева конгруэнция алгебры /> и /> — максимальная подалгебра из />.
Так как /> и />, то />.
Обратно. Пусть /> удовлетворяет свойству /> и пусть /> — любая собственная подалгебра алгебры />.
Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра /> алгебры />, что />, но />.
Тем самым теорема доказана.
Определение 3.3 Пусть /> — конгруэнция на универсальной алгебре />, тогда /> называется конгруэнцией, порожденной конгруэнцией />, если /> тогда и только тогда, когда существуют /> такие, что />.
Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры /> назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры /> и будем обозначать />.
Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.
Доказательство:
Из теоремы следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства />, где /> — произвольная подалгебра алгебры />. Напомним, что />
Так как />, то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций />, что />. Это означает, что существует последовательность элементов, что />.
Так как /> и />, то />. Аналогичным образом получаем, что />.
Следовательно, />.
Теорема доказана.
Напомним следующее определение из книги.
Определение 3.5 Пусть /> — множество всех максимальных подалгебр алгебры />, /> — конгруэнция алгебры />, порожденная всеми такими конгруэнциями /> на />, что />, />.
Лемма 3.1 Конгруэнция /> является фраттиниевой конгруэнцией на /> и всякая фраттиниева конгруэнция на /> входит в />.
Доказательство:
Пусть /> — произвольная собственная подалгебра алгебря />. Тогда найдется такая максимальная в /> подалгебра />, что />. Значит, /> и тем более />. Следовательно, /> фраттиниева конгруэнция на />.
Пусть теперь /> — произвольная фраттиниева алгебры />, /> — произвольная максимальная подалгебра из />. Тогда />, т.е. />. Следовательно, />. Лемма доказана.
Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры /> называется пересечение всех максимальных подалгебр из />, и обозначается через />.
Теорема Пусть />— алгебра. Тогда />.
Доказательство:
От противного. Предположим, что />. Тогда существует элемент /> такой, что /> не принадлежит />. Так как />, то существует /> и, следовательно, /> для любой максимальной подалгебры /> и /> — фраттиниева. Значит, /> принадлежит любой максимальной подалгебре из />. Следовательно, />. Теорема доказана.
Лемма 3.2 Пусть /> — максимальная подалгебра алгебры /> такая, что />, где />, тогда />.
Доказательство:
Определим бинарное отношение /> на алгебре /> следующим образом: /> тогда и только тогда, когда существует элементы /> и />.
продолжение--PAGE_BREAK--
Как показано в работе /> — конгруэнция на алгебре />.
Покажем, что />, т.е. /> является смежным классом по конгруэнции />.
Пусть /> и пусть />. В силу определения /> найдутся такие элементы /> и />, что />
Применим мальцевский оператор />. Отсюда получаем />
Следовательно, />.
Лемма доказана.
Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры /> является нормальной подалгеброй алгебры />.
Теорема Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры />нормальна в />.
Доказательство:
Пусть алгебра /> — нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, />, где />. Очевидно, что для любой максимальной подалгебры /> алгебры /> всегда найдется такой номер />, что /> и />.
По лемме 3.2. />. Отсюда следует, что />. Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то />.
Теорема доказана.
Заключение
В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия — конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини — универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры /> нормальна в />.
Список использованной литературы
5 Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. — М.: Наука, 1989. — 256с.
5 Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с />-центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34
5 Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.
5 Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras — Manuscript, 1994.
5 Кон П. М., Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.--351с.