Реферат: Общая характеристика аксиоматики Гильберта

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА АКСИОМАТИКИ ГИЛЬБЕРТА

Имеется принципиальная разница впостановке вопроса об аксиоматическомобосновании геометрии у Гильберта от той постановки, которая имела место до него.

Евклид в своих «Началах» наметил идеалстрого логического изложениягеометрии, хотя и не смог до конца выполнить свой замысел. Согласно этому замыслунеобходимо строго отделить минимум того, что должно быть заимствовано и абстрагировано из опыта игеометрической интуиции и с полной ясностью и отчётливостью высказано в аксиомах, от того, чтодолжно быть выведено изаксиом исключительно логическим путём без всяких обращений к очевидности иопыту. Весь длительный путь развития геометрии от Евклида до Гильбертапоказывает, насколько было трудно осуществить эту задачу. Трудность её таилась в трудности преодоления влияния очевидности, наглядныхпредставлений на логическийпроцесс при выяснении необходимых и достаточных первоначальных предпосылок геометрии.

Наше пространственное воображение,наглядные представленияи конкретное понимание геометрических понятий являются весьма ценным и необходимым спутникомнашего мышления. Они влогическом процессе играют наводящую роль и служат как бы предварительнойориентировке в изучаемых явлениях. Они дают возможность охватить эти явления в целом и наметить тотпуть, по которому следуетнаправить логические рассуждения для окончательного доказательства истины и проверки фактов,добытых при помощинаблюдения и опыта.

Короче говоря, «созерцание намечает,логика проверяет; созерцаниепредсказывает, логика устанавливает; созерцание открывает, логика доказывает» (В. Ф. Каган).

Одна логика не может нам объяснить, почему мы в качестве аксиом выбираем то или иноепредложение, почему мы выбираем .для изучения то или иное понятие. Первостепенную роль при выборе аксиом и геометрических понятийиграют опыт, индукция, наглядныепредставления, чертёж. Они играют большую роль также в нахождении самого пути логическогодоказательства, впостроении той цепи умозаключений и аргументов, которые обосновывают доказываемое предложение. Одналогика не может объяснить,почему при доказательстве избираются эти построения и преобразования, а не другие. Здесь мыимеем широкое поле действиягеометрической интуиции, наглядности, догадки*).

Во-первых, если наши геометрическиепонятия о точке, прямой ит. д. неразрывно связаны с определёнными конкретными наглядными представлениями, то это ведёт к потереобщности и ксужению поля применимости геометрических истин и логических рассуждений, ибо создаётсявпечатление, что эти истины и рассуждения справедливы только по отношению к тем объектам реальногомира, которые отражаются в наших наглядных представлениях, хотя, возможно, они имеют силу и в отношенииобъектов другой природы.Таким образом, из-за деревьев мы не видим леса.

Во-вторых, при строго логическомпостроении геометрии в геометрическихпонятиях и аксиомах должны найти своё выражение лишь те свойства и отношения объектов реального мира,которые являютсясущественными для логических рассуждений. Только эти существенные признаки и должны быть отмечены ваксиомах и определениях.Все остальные признаки и стороны этих объектов должны быть оставлены в стороне, как не играющие никакойроли в рассуждениях и неимеющие значения для дедукции. Мы должны от них отвлечься. Между тем если наши геометрическиепонятия срастаются с обычными их наглядными конкретными представлениями, тоуказанные существенные свойства сливаются в нашем представлении со многимидругими несущественными для логических выводов свойствами. Эго чрезвычайно затрудняет выделение существенных для дедукции признаков иустановление их логическихзависимостей. Вместе с тем чрезвычайно затрудняется выделение минимума исходных предпосылокгеометрии и проверка их нанепротиворечивость, независимость и полноту.

Поэтому, если мы ставим перед собойзадачу составить полный переченьаксиом геометрии, а также разработать принципы проверки их на непротиворечивость инезависимость и сохранить общностьгеометрических истин, мы прежде всего должны позаботиться о максимальном устранениивлияния наглядных представленийна наши рассуждения. Мы должны отвлечься от всего несущественного ибезразличного для логического построения геометрии, добиваясь наибольшейобщности и применимости получаемых выводов к изучению объектов реального мира.

И вот Гильбертустановил совершенно новую точку зрения на .основные' понятия и аксиомы геометрии Если до Гильберта подаксиомами геометрии понимались совершенно конкретные познавательные истины,относящиеся к вполне определённымконкретным объектам — точкам, прямым, плоскостями т. Д., которые связаны с вполне определёнными пространственными представлениями, то для Гильбертаосновные понятия геометрии (аследовательно, и производные) не связываются ни с какими конкретными объектами, они вводятся без пр я м ы хопределений и всё, что о них необходимо знать, излагается в" аксиомах. Аксиомы Гильбертаявляютсяв этомсмысле косвенными оп ре делениями основных понятий.

Гильберт, начинаяизложение своих «Оснований геометрии», предполагает существование трёх различныхсистем вещей, природа которых безразлична: «вещи первой системы мы называем точкамииобозначаем их А, В, С,...;вещивторой системы называем прямымии обозначаем их а, Ь, с,...;вещитретьей системы мы называем плоскостямии обозначаем их а, р, 7, •••'. точкиназываются также э л е ментами линейной геометрии,точки и прямые называются элементами плоской геометрии и, наконец, точки, прямые и плоскости называются элементамипространственной геометрии или элементамипространства».

Далее,предполагается, что «точки, прямые, плоскости находятся в некоторыхвзаимных отношениях, и обозначаем эти отношения словами «лежат», «между»,«параллельный», «конгруэнтный» и«непрерывный)4; точное и для математических целей полное описание этих отношений даётся аксиомамигеометрии».

Таким образом, всистеме Гильберта основные понятия и аксиомы представляют собой дальнейший процессабстракции от вещей реального мира, они становятся абстрактными формами спеременнымсодержанием. Теперь уже слова «точка», «прямая», «плоскость» и т. д. обозначают необязательно те объекты, которые под этими словами привыкли понимать обычно, а могутобозначать объекты любой другой природы, лишь бы отношения между ними «лежит», «между», «конгруэнтный»,также понимаемые определённым образом, удовлетворяли той же системе аксиом.Эго значит, что мы теперь абстрагируемся от качественной природы геометрических объектов, для насважно лишь, чтобы структура отношений между ними была такова, что для них выполняются всеаксиомы Гильберта. Но раз для различных систем объектов будут справедливы эти аксиомы, то и вселогические следствия из них, т. е. все теоремы геометрии, остаютсясправедливыми, независимо от природы рассматриваемых объектов, т. е. отпадает необходимостьповторять доказательстватеорем для каждой системы объектов.

Это приводит нас к возможности различныхистолкований одной и той же геометрии. Удаляя из геометрии всё, что связано с обычнымипространственными представлениями, и оставляя лишь её логический скелет,мы получаем возможность заполнять его различным конкретным материалом.

«Пространственноепредставление играет чрезвычайно большую роль при самом построении аксиоматики. Оноопределяет, что должно быть охвачено системой аксиом, и указывает путь, на ко котором могут бытьполучены новые результаты, новые абстрактные формулировки.

Однако в готовой ужесистеме ссылки на ту или иную конкретную интерпретацию не должны иметь место.Пространственное представление можно сравнить в этом отношении с лесами, необходимыми при постройкеаксиоматического здания, но которые убираются, когда оно закончено» (Р. Б а л ь д у с Неевклидова геометрия, ГТТИ, 1933).

Обычное понимание геометрическихэлементов и отношений между ними является лишь одним из таких возможныхистолкований. Так, например, аксиома «Через всякие две точки проходит одна и только одна прямая»может быть истолкована обычным образом. Но мы можем придать ей другой смысл, понимаяпод «точками» парывещественных чисел (х, у), под «прямой» — уравнениеах + + by+£==0,а под термином «прямая проходит через точку» — тот факт, что числа х, у удовлетворяютуказанному уравнению. Можно также под«точками» понимать обычные прямые, проходящие через данную точку О, апод «прямой» — плоскость, проходящую черездве такие прямые, и опять указанная аксиома в этом новом истолковании остаётся справедливой.

Другим примером можетслужить выполнение всех аксиом евклидовой планиметрии на орисфере в системе орициклов. Понимая под «плоскостью» орисферу, под «прямой» —• орициклна орисфере, под «точкой» — точку на орисфере, мы получаем новое истолкование всех аксиом Евклида.

Этот процесссовершенно аналогичен процессу абстрагирования , в алгебре, когда, например, под символом а + Ь спервапонимается лишь обычное сложение двухконкретных чисел, а затем сложение любых чисел, а затем под а, Ь и+ понимаются объекты и отношения другойприроды, как, например, сложение векторов, матриц, тензоров и т. д.

Однако не нужнодумать, что при таком абстрактном понимании геометрия теряет реальную почву.Наоборот, возможность различных реализаций, разнообразных конкретныхистолкований геометрии расширяет область её приложений.

Если раньше геометрия развиваласьприменительно к объектам конкретной области, то теперь, когда в аксиомах несообщается, о каких объектах идёт речь и каков конкретный смысл отношений, в которых эти объектывыступают, мы в геометрии изучаем свойства количественных отношений ипространственных форм во всей их общности. Оказалось, таким образом, что хотя геометриябыла изобретенаи развита с той целью, чтобы изучить свойства физическогопространства, но её истины имеют, однако, более общее значение иостаются в силе и для многих объектов, которые качественно отличны от объектов, связанныхс обычными нашими геометрическимипредставлениями.

Огромная степеньабстракции не уменьшает, а неизмеримо умножает возможности применения геометрии к изучению закономерностей реального мира. «Мышление, восходя отконкретного к абстрактному, неотходит,— если оно правильное, от истины, а подходит к ней… Все научные (правильные, серьезные, не вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее,полнее» (В. И. Ленин).

Таковы общиезамечания по вопросу о понимании сущности основных понятий и аксиом в системе Гильберта, которыечитатель должен иметь постоянно в виду.

С указанной точкизрения понятно, что, строго говоря, при построении геометрическойабстрактно-логической системы чертежи и обычные пространственные представленияявляются лишь вспомогательными средствами; они облегчают находить путь логическихрассуждений и позволяют проверить правильность логического выводана конкретном материале.

Изучениеаксиоматики Гильберта необходимо связать с двумя важнейшими задачами. Во-первых,читатель должен получить ясное представление о строго научном построении геометриина точноочерченной аксиоматической базе; во-вторых, будущий педагог должен врезультате этого изучения получить отчётливое понимание того, насколько школьныйкурс геометрии отличается от строго логического изложения геометрии. Он увидит, чтоцелый рядпредложений, которые со всей тщательностью, до тонких деталей доказываютсяпри строго логическом изложении, в школьном преподавании принимаются бездоказательства.просто как само собой разумеющиеся. Таковы, к примеру, предложенияо том, что точка делит прямую на два луча, что прямая делит плоскость на двеполуплоскости, что прямая содержит бесконечное множество точек, что простоймногоугольник делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, что внутренний луч, выходящий извершины треугольника, пересекаетпротивоположную сторону треугольникаи т. д. Знать это различие чрезвычайно важно для учителя. Школьный курсгеометрии по необходимости приспособляется к возрастнымособенностям учащихся, к требованиям практики и психологии, а поэтому не может совпадать со строго логическим курсом. Но знание строго научной трактовки вопросовгеометрии предостережёт педагога отряда ошибок и слепого следования учебнику;учитель будет понимать, где даётся мнимое доказательство," а гдедействительно дан строгий вывод, где даётся простое описание, а где настоящееопределение; он не будет видеть полного доказательстватам, где имеется неизбежный пробел, и будет открыто и сознательно, ане слепо допускать в случае необходимости 1акиеотступления.

Аксиомы Гильберта Делятся на 5 групп:

Группа I. Аксиомы связи (соединения, сочетания)(8аксиом).

Группа II. Аксиомы порядка или расположения (4аксиомы).

Группа III. Аксиомы конгруэнтности (5 аксиом).

ГруппаIV. Аксиоманепрерывности (1 аксиома).

Группа V. Аксиома параллельности (1 аксиома).

Всего 19 аксиом. Заметим, что в отношениипорядка и содержания аксиом групп IVи Vмыдопускаем некоторые отступления от изложения у Гильберта *).

§ 3. ГРУППА I. АКСИОМЫСОЕДИНЕНИЯ

Как уже говорилось,у Гильберта основными элементами геометрии являются неопределяемые понятия«точка», «прямая», «плоскость». Между этими элементами в первой группе аксиомустанавливаетсянекоторое отношение, выражаемое неопределяемым понятием «лежать на», связывающимточку и прямую, а также точку и плоскость. Так, мы говорим: «Точка лежит на прямой или наплоскости». Но то же отношение выражается словами: «прямая проходитчерез точку» или «плоскость проходит через точку». Для единообразия терминологиивводится единый термин «принадлежности»или «и н ц и де н т н о с т и». Мы говорим: «Точка и прямая принадлежат друг другу илиинцидентны друг другу». При этомникакого конкретного смысла в понятие «принадлежности» или «инцидентности» мыне вкладываем, это может быть любое отношение между элементами геометрии, лишь бы оно удовлетворяло аксиомам первой группы.Аксиомы соединения представляют собой косвенное определение «понятия инцидентности.

Мы всё же наряду сэтими терминами будем употреблять привычные выражения, связанные с обычныминаглядными представлениями: «точка лежит на прямой», «прямая проходит черезточку» и т. д. Будем также говорить: «на прямой а существует точка Л». Если точка А принадлежитпрямой а и прямой Ь, то мы также будем говорить: «Прямые а и dимеют общую точку Л» или «Прямые а и dпересекаются в точке A». Если прямая а принадлежит двум точкам А и В, томы будем говорить: «Прямая проходит через точки А и В или соединяет точки Aи В».

Формулируем теперь аксиомы первой группы.

I.1.Д л я любых двух точек А и В с у ще с т в у е т прямая, принадлежащая каждой из них.

(В обычнойтерминологии: через любые две точки А и В проходит прямая.)

I.2.С у щ е с т в у е т не болееоднойпрямой, принадлежащеи каждойиз двухданны х

т о ч е к А и В.

Если аксиома I.1 утверждает, что через две точки проходит не менее одной прямой, то аксиома I.2 утверждает, что через две точки проходит не более одной прямой. Отсюданепосредственно следует теорема: «Через любые две точки проходит одна и толькоодна прямая, т. е. прямая вполнеопределяется двумя точками». Эту прямую .можно обозначать через АВ или В А.

I.3. На каждой прямой существуют по крайней мере две точки.Существуют по меньшей мере триточки, не принадлежащие однойпрямой.

Аксиомы 11 3 устанавливаютсвязь между понятиями «точка» и «прямая». Следующие аксиомы выражают связимежду этими понятиями и понятием «плоскость».

I4.Для любых трёх точек А, В, С, к е принадлежащиходнойпрямой,существуетплоскость,принадлежащаякаждой из этихточек; каждой плоскостипринадлежит по меньшей мереодна точка.

I5.Каковы бы ни были три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, существуетне болееоднойплоскости,принадлежащейкаждой из трёхточекА, В, С.

Изаксиом I4и I5непосредственно вытекает предложение:

Теорема. «Черезвсякие три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой,проходит одна и только одна плоскость». Эту плоскость можно обозначить через»ABC.

I6. Еслидве точкиAи В прямойа принадлежат п л о с к о с т и а, т о и каждая точкапрямой а принадлежитплоскостиа.

Определение. Относительно прямой а,каждая точка которой принадлежит плоскостиа, будем говорить, что «прямая а принадлежит плоскости а» или что «прямая а лежит на плоскости а» или что «плоскость а проходит через прямую а».

Таким образом, понятие «принадлежности»в отношении прямой и плоскости являетсяопределяемым понятием.

I7. Если двеплоскости а и (3 имеют общую
точку A, то ониимеют по меньшеймереещё
однуобщуюточкуВ.

I8. Существуют по меньшей меречетыре
точки,не принадлежа щ и е однойплоскости.

Аксиомы11-3 называются плоскостными, аксиомы

I4_8—пространственными.

Обратим внимание на то, что аксиомы первой группы обеспечивают существование на прямой лишь двух двух точек, существование трёх точек, не лежащих на одной прямой, и существование лишь одной точки,лежащей на плоскости. Таким образом, пока наши прямые и плоскостичрезвычайно бедны точками. Если бы мы исходилииз наглядных представлений, то мы неизбежно включили бы в аксиомытребование существования на прямой и плоскости бесконечного всюду плотногомножества точек. Теперь же, поскольку это требование отсутствует,существование бесконечного множества точекна прямой должно быть строго доказано.

Заметим ещё, чтоаксиомы 11—4 соответствуют первому постулату Евклида.Аксиом, соответствующих остальным аксиомам первой группы, у Евклида нет.

Следствия аксиом соединения

Рассмотрим теперь несколько теорем,которые могут быть доказаны с помощью лишьодних аксиом первой группы.

Теорема 3. 1. Две прямые не могут иметь болееодной общей точки.

Доказательство:

Предположим, чтодве различные прямые а и Ь имеют две общие точки А и В. Нопо аксиоме I.2 существует не более одной прямой, проходящей через точки Aи В. Следовательно, прямые а и Ьсовпадают, что противоречит условию.Таким образом, две прямые а и dлибо вовсе не имеют общих точек, либо имеют только одну общую точку.

Теорема 3. 2. Две плоскости или не имеют ни одной общей точки, или имеют общую прямую, на которой лежат всеобщие точки этих двух плоскостей.

Доказательство:

Пусть две различные плоскости Mи V имеют общую точку A. Тогда у них существует по меньшей мере ещё одна общая точка В (аксиомаI7). Точки Aи В определяют единственную прямую,проходящую через эти точки (аксиомы I.1—I.2). Эта прямая AВ принадлежит каждой из плоскостей аир(аксиома I6). Никакихдругих общих точек плоскости Mи Vне имеют, ибоесли предположить противное, т. е. что существует общая точка С плоскостейVи M, не лежащая на прямой AВ, то в силу аксиом I4_5 существовала бы лишь одна плоскость AВС, проходящаячерез точки A, В, С, а потому плоскости VиMдолжны совпасть,что противоречит условию.

Теорема 3.3. Плоскостьи не лежащая на ней прямая не могут иметьболее одной общей точки.

Доказательство:

Если предположить,что прямая а, не лежащая в плоскости M, имеет с ней двеобщие точки Aи В, то по аксиоме I6каждая точкапрямой а должна лежать в плоскости M, т. е. прямая а лежит в плоскости M, что противоречит условию.

Теорема 3.4. Черезпрямую и не лежащую на ней точку проходитодна и только одна плоскость.

Доказательство:

Пусть дана прямая aи не лежащая на ней точка А, Напрямой aсуществуютпо меньшей мере две точки В и С (аксиома 13). Точки А, В иС не лежат на одной прямой.

В самом деле, если допустить противное,то проходящая через нихпрямая должна совпасть с прямой а, так как в силу аксиом I.1-I.2 существует лишь единственная прямаяа, проходящая через точки В и С.Но в таком случае прямая а, проходит через точку А, что противоречит условию. Итак, точки А, В иС не лежат на одной прямой, а потомучерез них проходит единственная плоскость а (аксиома 14 и 15).Плоскость а, проходя через точки В и С прямой а, проходит черезпрямую а (аксиома 16). Итак, плоскость а проходит через прямую а и точку А.

Теорема 3.5. Через две прямые, имеющие общую точку, проходит одна и только одна плоскость.

Доказательство:

Пусть а и Ь — две прямые с общей точкой С. Напрямой Ь существует по меньшей мереещё одна точка В, отличная от С (аксиома Is). Точка В не лежит на прямой а, ибо впротивнем случае прямые а и Ь, имеяобщие точки В и С, совпадали бы в силу аксиом Ii_2.На основании теоремы 3.4 через прямую а и точку В проходит одна и только одна плоскость а. Этаплоскость проходит через точки С и В, а следовательно, и черезпрямую Ь (аксиома 16/).

По аксиоме I4на каждой плоскости существует по меньшей мере одна точка; теперь мы можем доказать существованиена плоскости трёх точек.

Теорема 3.6. На каждой плоскости существуют по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.

Доказательство:

Пусть дана плоскость M.По аксиоме I4на плоскостисуществует точка А. По аксиоме I3существуют три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Если точки В и С лежат наплоскости M, то теоремадоказана. Если С не лежит, а В лежит на плоскости M, то найденавторая точка В, лежащая на плоскости M. Если ни В, ни С не лежат на плоскости M, то три точки A, В и С, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной итолько одной плоскости V(аксиомы I4_5).Плоскость, имея с плоскостью а общую точку A,имеет с ней ещё одну общую точку D(аксиома 17). Остаётся доказать существование ещё одной точки на плоскости а.

По аксиоме I8существует точка М,не лежащая в плоскости V.

Точки A, В и М не лежат на одной прямой, ибо прямая AВ лежитв плоскости V(aксиомаI6), а точка М нележит в этой плоскости. Если точка М лежитна плоскости M, то теорема доказана. Еслиточка М не лежит на плоскости M, то через три точки A, Bи М, нележащие на одной прямой, проходит единственная плоскость I(аксиомы14-8), имеющая с плоскостью а одну общую точку А. Поаксиоме 17 плоскости к и у имеют ещё одну общую точку F. Три точки А, Dи Fплоскости Mне лежат на одной прямой. Действительно, если бы A, Dи Fпринадлежали бы одной прямой, то, проходя через точки Aи Dплоскости I.3, эта прямая поаксиоме I6лежала бы вплоскости V, а проходя через точки Aи F, ока принадлежала быплоскости у, т. е. эта прямая была бы общейпрямой плоскостей Vи M.Кроме того, точка В, не лежащая на этой прямой (ибо она не лежит в плоскости M), также является общей точкой плоскостей (В и у. По теореме 3.4 плоскости и долyна насовпасть и, следовательно, точка М должна лежать плоскости V. Полученное противоречие и доказывает,что точки A, Dи Fне лежат на. одной прямой.

Как впоследствии будет доказано, при помощи одних лишь аксиом соединения нельзя доказатьсуществование бесконечного множестваточек у прямой или плоскости. Но если мывоспользуемся аксиомами следующей группы, аксиомами порядка, то это окажется возможным.

§ 4. ГРУППА IIАКСИОМЫ ПОРЯДКА

В аксиомах второй группы описываютсяосновные свойства неопределяемогопонятия «лежать м е ж д у», выражающего некоторое отношение трёхточек,лежащих на одной прямой.Напоминаем ещё раз, что никакого конкретного содержания и наглядного представления мы с термином«лежать между» не связываем.

II1. ЕслиточкаВ лежит между точкой Aи точкой С, то A, В, С— различные точки одной прямой иВ лежит такжемежду С и заметим, что в этой аксиоме фигурируют три точки прямой, одна ко их существование не постулируется, а даётсяусловно («если...»). В следующейаксиоме прямая обогащается ещё одной точкой.

II 2. Если A и В — две точки, то на прямой ЛВ всегда существует по меньшей мере одна такая точка С, что В лежит между A и С.

II

3. Из трёх точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.

Эта аксиома означает, что для трёхточек А, В, С прямой не может быть одновременно, чтобы В лежала между Aи С, Aлежала между В и С и С лежала между Aи В. Может иметь место не более одного из указанныхположений. Однако будет ли обязательно иметь место одно из них, об этом ваксиоме не говорится ибудет впоследствии доказано.

Заметим, что аксиома II3означает незамкнутостьпрямой.Если точки A, В и С лежат, например,на окружности, то каждая из этих точек, будет лежать между двумя другими.

Определение. Система двух точек прямой Aи В называется отрезком ABили ВA; точки Aи В называются концами отрезка;точки, лежащие между А и В (еслитакие точки существуют), называются точками отрезка АВ или внутреннимиточками отрезка АВ;все остальные точки прямой АВ называются в не ш нимииточками к отрезку АВ.

Заметим, что аксиомы II.1-3не утверждают существования

внутренних точек отрезка, но из аксиомыП2 вытекает, что для всякого отрезка существует по крайней мере одна внешняя точка.

Аксиомы III.1-3 называются линейными аксиомами порядка;

следующая аксиома является плоскостной.

П4. (Аксиома Паша.) Пусть А, В, С — т р и т о ч

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Пропись цифр. Методика прописи цифр

29 Августа 2013

Реферат по математике

Петер Дирихле