Реферат: Упругопластическая деформация трубы

--PAGE_BREAK--Рассмотрим упругопластическое состояние трубы радиусов <img width=«91» height=«24» src=«ref-1_1287557644-395.coolpic» v:shapes="_x0000_i1180">, находящейся под действием внутреннего давления <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1287558039-109.coolpic» v:shapes="_x0000_i1181">, в случае плоской деформации.


<img width=«249» height=«188» src=«ref-1_1287558148-4782.coolpic» v:shapes="_x0000_i1182">
Цель данной задачи – определить выражения для компонент напряжений, скоростей перемещений и скоростей деформации.

Методом решения задачи является метод малого параметра, в качестве которого выбирается величина <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1287562930-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1183">, характеризующая возмущения границ трубы.

Приведем основные обозначения:

<img width=«89» height=«28» src=«ref-1_1287563105-356.coolpic» v:shapes="_x0000_i1184"> — компоненты напряжений,

<img width=«81» height=«28» src=«ref-1_1287563461-334.coolpic» v:shapes="_x0000_i1185">  — компоненты деформаций,

<img width=«31» height=«19» src=«ref-1_1287563795-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1186">  — радиальное и тангенциальное перемещения,

<img width=«41» height=«23» src=«ref-1_1287563964-177.coolpic» v:shapes="_x0000_i1187"> — внутренний и внешний радиусы осесимметричной трубы,

<img width=«13» height=«15» src=«ref-1_1287503311-86.coolpic» v:shapes="_x0000_i1188">  — полярный радиус,

<img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1287463351-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1189">  — полярный угол,

<img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1287564402-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1190">  — полярный радиус границы пластической зоны,

<img width=«19» height=«20» src=«ref-1_1287524532-97.coolpic» v:shapes="_x0000_i1191">  — модуль сдвига.

Индекс <img width=«17» height=«20» src=«ref-1_1287564593-95.coolpic» v:shapes="_x0000_i1192"> указывает на принадлежность компонента к пластической зоне, индекс <img width=«13» height=«16» src=«ref-1_1287564688-85.coolpic» v:shapes="_x0000_i1193">  — к упругой.

Все величины, имеющие размерность напряжения, отнесём к величине предела текучести <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1287564773-94.coolpic» v:shapes="_x0000_i1194">, величины, имеющие размерность длины, — к внешнему радиусу <img width=«13» height=«20» src=«ref-1_1287564867-92.coolpic» v:shapes="_x0000_i1195">.

Обозначим:
<img width=«61» height=«48» src=«ref-1_1287564959-290.coolpic» v:shapes="_x0000_i1196"><img width=«167» height=«48» src=«ref-1_1287565249-554.coolpic» v:shapes="_x0000_i1197">  — внешний радиус;

<img width=«313» height=«48» src=«ref-1_1287565803-871.coolpic» v:shapes="_x0000_i1198">
2.2 Математическая постановка задачи

Предположим, что искомое решение зависит от некоторого параметра <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1287562930-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1199">. Будем искать решение в виде рядов по степеням этого параметра
<img width=«131» height=«52» src=«ref-1_1287566849-543.coolpic» v:shapes="_x0000_i1200">, <img width=«132» height=«52» src=«ref-1_1287567392-555.coolpic» v:shapes="_x0000_i1201">, <img width=«144» height=«52» src=«ref-1_1287567947-550.coolpic» v:shapes="_x0000_i1202">,

<img width=«123» height=«52» src=«ref-1_1287568497-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1203"> , <img width=«124» height=«52» src=«ref-1_1287569017-541.coolpic» v:shapes="_x0000_i1204">, <img width=«132» height=«52» src=«ref-1_1287569558-556.coolpic» v:shapes="_x0000_i1205">,

 <img width=«116» height=«52» src=«ref-1_1287570114-469.coolpic» v:shapes="_x0000_i1206">, <img width=«113» height=«52» src=«ref-1_1287570583-458.coolpic» v:shapes="_x0000_i1207">. (2.2.1)
Линеаризация по параметру <img width=«16» height=«20» src=«ref-1_1287562930-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1208"> заключается в разложении всех исходных соотношений: уравнений равновесия, граничных условий и т.п. в ряды по этому параметру. Далее выделяются члены разложения при одинаковых степенях этого параметра, которые определяют систему уравнений, позволяющую развить метод последовательных приближений, если решение при <img width=«45» height=«20» src=«ref-1_1287571216-245.coolpic» v:shapes="_x0000_i1209"> является известным.

Уравнения равновесия линейны относительно компонент напряжений, поэтому они имеют место для любого приближения. Соотношения связи между компонентами перемещений и деформаций также линейны относительно компонент деформаций и перемещений, поэтому они сохраняют свой вид для любого приближения.

Рассмотрим граничные условия в напряжениях. Ограничимся случаем, когда граничные условия заданы на контуре <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1287501857-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1210"> в плоскости двух переменных <img width=«17» height=«16» src=«ref-1_1287571561-168.coolpic» v:shapes="_x0000_i1211">, <img width=«19» height=«24» src=«ref-1_1287571729-200.coolpic» v:shapes="_x0000_i1212">. Пусть на границе заданы нормальные и касательные усилия
<img width=«63» height=«25» src=«ref-1_1287571929-153.coolpic» v:shapes="_x0000_i1213">, <img width=«59» height=«25» src=«ref-1_1287572082-149.coolpic» v:shapes="_x0000_i1214"> на <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1287501857-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1215">. (2.2.2)
Уравнение границы <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1287501857-100.coolpic» v:shapes="_x0000_i1216"> представим в виде
 <img width=«207» height=«52» src=«ref-1_1287572431-741.coolpic» v:shapes="_x0000_i1217">, <img width=«137» height=«52» src=«ref-1_1287573172-599.coolpic» v:shapes="_x0000_i1218">. (2.2.3)
Подставляя в (2.2.2) разложение и учитывая, что для компонент <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_1287573771-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1219">, <img width=«20» height=«25» src=«ref-1_1287573874-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1220"> справедливы разложения, аналогичные (2.2.1), получим при <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_1287573975-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1221"> разложение
 <img width=«351» height=«124» src=«ref-1_1287574099-2113.coolpic» v:shapes="_x0000_i1222"> (2.2.4)
Ограничиваясь четвертым приближением, из (2.2.4) получим, что при <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_1287573975-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1223"> имеет место


<img width=«468» height=«111» src=«ref-1_1287576336-2063.coolpic» v:shapes="_x0000_i1224"> (2.2.5)
Совершенно аналогично записываются выражения линеаризованных граничных условий для <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1287578399-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1225">: чтобы получить линеаризованные граничные условия для <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1287578399-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1226">, надо в (2.2.5) заменить <img width=«24» height=«25» src=«ref-1_1287578601-104.coolpic» v:shapes="_x0000_i1227"> на <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1287578399-101.coolpic» v:shapes="_x0000_i1228">.

В линеаризованных задачах теории пластичности необходимо уметь записывать граничные условия (2.2.2) через компоненты основной системы координат. Для этого следует учесть угол поворота напряжений при переносе их на исходную окружность (<img width=«45» height=«25» src=«ref-1_1287573975-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1229">).
<img width=«199» height=«157» src=«ref-1_1287578930-4968.coolpic» v:shapes="_x0000_i1230">
Рассмотрим рис 1.8. Угол <img width=«15» height=«20» src=«ref-1_1287463351-175.coolpic» v:shapes="_x0000_i1231">, образован нормалью к контуру <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1287584073-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1232">;

<img width=«87» height=«29» src=«ref-1_1287584175-190.coolpic» v:shapes="_x0000_i1233">  — угол поворота напряжений при переносе их на исходный контур. Из известных формул теории упругости будем иметь
 <img width=«408» height=«63» src=«ref-1_1287584365-3016.coolpic» v:shapes="_x0000_i1234"> (2.2.6)
Если уравнение границы тела <img width=«21» height=«25» src=«ref-1_1287584073-102.coolpic» v:shapes="_x0000_i1235"> записать в виде <img width=«140» height=«25» src=«ref-1_1287587483-443.coolpic» v:shapes="_x0000_i1236">, то




<img width=«325» height=«57» src=«ref-1_1287587926-1141.coolpic» v:shapes="_x0000_i1237"> (2.2.7)
Согласно (2.2.3) можно записать
<img width=«303» height=«87» src=«ref-1_1287589067-2549.coolpic» v:shapes="_x0000_i1238"> (2.2.8)
Учитывая, что
 <img width=«296» height=«63» src=«ref-1_1287591616-2406.coolpic» v:shapes="_x0000_i1239"> (2.2.9)
Из (2.2.9), (2.2.7), (2.2.8) получим
<img width=«452» height=«61» src=«ref-1_1287594022-1933.coolpic» v:shapes="_x0000_i1240"> (2.2.10)
Обозначая <img width=«61» height=«52» src=«ref-1_1287595955-203.coolpic» v:shapes="_x0000_i1241">, найдем
<img width=«336» height=«63» src=«ref-1_1287596158-1785.coolpic» v:shapes="_x0000_i1242"> (2.2.11)
<img width=«508» height=«97» src=«ref-1_1287597943-1640.coolpic» v:shapes="_x0000_i1243"> (2.2.12)


Используя (2.2.1), (2.2.5), (2.2.6), (2.2.11), (2.2.12), получим искомые линеаризованные граничные условия: при <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_1287573975-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1244"> должно иметь место
<img width=«549» height=«172» src=«ref-1_1287599707-3213.coolpic» v:shapes="_x0000_i1245"> (2.2.13)
Перейдем к условиям сопряжения решений. На <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1287602920-103.coolpic» v:shapes="_x0000_i1246"> — границе упругой и пластической областей, должно иметь место
<img width=«395» height=«25» src=«ref-1_1287603023-851.coolpic» v:shapes="_x0000_i1247"> (2.2.14)
Уравнение контура <img width=«23» height=«24» src=«ref-1_1287603874-98.coolpic» v:shapes="_x0000_i1248"> запишется в виде
<img width=«345» height=«43» src=«ref-1_1287603972-1142.coolpic» v:shapes="_x0000_i1249"> (2.2.15)
Учитывая разложение (2.2.1), подставляя в (2.2.14) выражение (2.2.15), получим исходное линеаризованное условие сопряжения. Очевидно, что условия сопряжения могут быть получены из (2.2.5), если заключить левые части в квадратные скобки, поменять в них <img width=«43» height=«31» src=«ref-1_1287605114-237.coolpic» v:shapes="_x0000_i1250"> на <img width=«41» height=«31» src=«ref-1_1287605351-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1251">, …, а <img width=«17» height=«25» src=«ref-1_1287605584-96.coolpic» v:shapes="_x0000_i1252"> на <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_1287605680-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1253">.

Выпишем условия сопряжения для компоненты <img width=«41» height=«31» src=«ref-1_1287605351-233.coolpic» v:shapes="_x0000_i1254">:




 <img width=«463» height=«127» src=«ref-1_1287606018-2105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1255"> (2.2.16)
Условие сопряжения для компонент <img width=«195» height=«25» src=«ref-1_1287608123-411.coolpic» v:shapes="_x0000_i1256"> имеют вид, вполне аналогичный (2.2.16).

Рассмотрим граничные условия в перемещениях:
<img width=«152» height=«28» src=«ref-1_1287608534-345.coolpic» v:shapes="_x0000_i1257"> на <img width=«32» height=«25» src=«ref-1_1287608879-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1258">.
Уравнение границы <img width=«32» height=«25» src=«ref-1_1287608879-105.coolpic» v:shapes="_x0000_i1259"> представим в виде (2.2.3). Учитывая, что для компонент <img width=«52» height=«28» src=«ref-1_1287609089-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1260"> справедливы разложения, аналогичные (2.2.3), получим при <img width=«45» height=«25» src=«ref-1_1287573975-124.coolpic» v:shapes="_x0000_i1261"> разложения, аналогичные (2.2.4), (2.2.5).

Распишем основные соотношения, используемые для решения задачи:

Уравнения равновесия
<img width=«265» height=«113» src=«ref-1_1287609429-2198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1262"> (2.2.17)
Формулы Коши
<img width=«136» height=«123» src=«ref-1_1287611627-821.coolpic» v:shapes="_x0000_i1263"> (2.2.18)




Условие пластичности
<img width=«177» height=«33» src=«ref-1_1287612448-520.coolpic» v:shapes="_x0000_i1264"> (2.2.19)
Закон Гука
<img width=«157» height=«100» src=«ref-1_1287612968-1158.coolpic» v:shapes="_x0000_i1265"> (2.2.20)
Граничные условия:

<img width=«61» height=«32» src=«ref-1_1287614126-287.coolpic» v:shapes="_x0000_i1266">, <img width=«61» height=«32» src=«ref-1_1287614413-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1267">,

<img width=«84» height=«32» src=«ref-1_1287614707-303.coolpic» v:shapes="_x0000_i1268"> при <img width=«49» height=«20» src=«ref-1_1287615010-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1269">; (2.2.21)

<img width=«61» height=«29» src=«ref-1_1287615261-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1270"> при <img width=«49» height=«20» src=«ref-1_1287615010-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1271">;

<img width=«63» height=«32» src=«ref-1_1287615681-299.coolpic» v:shapes="_x0000_i1272"> при <img width=«44» height=«24» src=«ref-1_1287615980-224.coolpic» v:shapes="_x0000_i1273">.

Решение будем искать в виде:
 <img width=«147» height=«108» src=«ref-1_1287616204-1258.coolpic» v:shapes="_x0000_i1274"> (2.2.22)
Уравнения равновесия (2.2.17) удовлетворяются, если ввести некоторую функцию <img width=«52» height=«21» src=«ref-1_1287617462-157.coolpic» v:shapes="_x0000_i1275">, называемую функцией напряжений. Это функция <img width=«59» height=«24» src=«ref-1_1287617619-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1276"> связана с компонентами напряжения следующими зависимостями:




 <img width=«195» height=«180» src=«ref-1_1287618017-2440.coolpic» v:shapes="_x0000_i1277"> (2.2.23)
2.3 Решение задачи

Осесимметричное (невозмущенное) состояние

Пластичность

Определим компоненты напряжений в пластичной области <img width=«83» height=«24» src=«ref-1_1287620457-394.coolpic» v:shapes="_x0000_i1278">.

Так как материал трубы считается несжимаемым, то имеет место условие несжимаемости:
<img width=«89» height=«28» src=«ref-1_1287620851-331.coolpic» v:shapes="_x0000_i1279">. (2.3.1)
Труба осесимметрическая, следовательно компоненты и напряжения, и перемещения от <img width=«13» height=«19» src=«ref-1_1287468618-91.coolpic» v:shapes="_x0000_i1280"> не зависят:
 <img width=«112» height=«32» src=«ref-1_1287621273-492.coolpic» v:shapes="_x0000_i1281">, <img width=«104» height=«32» src=«ref-1_1287621765-476.coolpic» v:shapes="_x0000_i1282">,

 <img width=«88» height=«29» src=«ref-1_1287622241-329.coolpic» v:shapes="_x0000_i1283">, <img width=«89» height=«29» src=«ref-1_1287622570-324.coolpic» v:shapes="_x0000_i1284">.
Условие пластичности (2.2.19) в начальном состоянии имеет вид:
<img width=«113» height=«33» src=«ref-1_1287622894-338.coolpic» v:shapes="_x0000_i1285">. (2.3.2)
Из условий равновесий (2.2.17) вытекает:


<img width=«111» height=«60» src=«ref-1_1287623232-602.coolpic» v:shapes="_x0000_i1286">.
Получили дифференциальное уравнение:
<img width=«84» height=«60» src=«ref-1_1287623834-542.coolpic» v:shapes="_x0000_i1287">.
Решим:
<img width=«496» height=«87» src=«ref-1_1287624376-2075.coolpic» v:shapes="_x0000_i1288">
Из граничных условий (2.2.21) имеем
<img width=«317» height=«25» src=«ref-1_1287626451-806.coolpic» v:shapes="_x0000_i1289">.
Тогда
 <img width=«201» height=«111» src=«ref-1_1287627257-1634.coolpic» v:shapes="_x0000_i1290"> (2.3.3)
Определим компоненты перемещений.

Из формул Коши (2.2.18) следует:




<img width=«581» height=«51» src=«ref-1_1287628891-1178.coolpic» v:shapes="_x0000_i1291">
При <img width=«51» height=«20» src=«ref-1_1287630069-251.coolpic» v:shapes="_x0000_i1292"> из граничных условий (2.2.21) следует
<img width=«200» height=«48» src=«ref-1_1287630320-490.coolpic» v:shapes="_x0000_i1293">

<img width=«104» height=«53» src=«ref-1_1287630810-418.coolpic» v:shapes="_x0000_i1294">
Упругость

Найдем компоненты деформации в упругой области <img width=«73» height=«24» src=«ref-1_1287631228-366.coolpic» v:shapes="_x0000_i1295">.

Из закона Гука (2.2.20) вытекает
 <img width=«197» height=«32» src=«ref-1_1287631594-740.coolpic» v:shapes="_x0000_i1296"> (2.3.4)
Формулы Коши (2.2.18) примут вид:
<img width=«345» height=«171» src=«ref-1_1287632334-2045.coolpic» v:shapes="_x0000_i1297">
Из уравнений равновесий (2.2.17):
<img width=«121» height=«61» src=«ref-1_1287634379-685.coolpic» v:shapes="_x0000_i1298">


Решим:
<img width=«527» height=«113» src=«ref-1_1287635064-2547.coolpic» v:shapes="_x0000_i1299">
Из граничных условий (2.2.21) <img width=«63» height=«32» src=«ref-1_1287637611-300.coolpic» v:shapes="_x0000_i1300"> при

<img width=«103» height=«24» src=«ref-1_1287637911-272.coolpic» v:shapes="_x0000_i1301"><img width=«452» height=«55» src=«ref-1_1287638183-1241.coolpic» v:shapes="_x0000_i1302">
Тогда
 <img width=«320» height=«124» src=«ref-1_1287639424-1957.coolpic» v:shapes="_x0000_i1303"> (2.3.5)


    продолжение
--PAGE_BREAK--