Реферат: Шпаргалка (математика)

№1

lim (∆x→0)∆f/∆x = f’(x)

∆f/∆x =f’(x)+α(∆x), где

lim (∆x→0)α(∆x)=0

∆f =f’(x)∙∆x+ α(∆x)∙∆x

Опред-е:диф-ом к ф-ии наз-ся вел-на пропорциональная приращ-юаргумента и отлич-ся от приращ-я ф-ии на вел-ну беск. малую по сравнению сприр-м аргумента.

df(x)=k∙∆x

∆f-df(x)=0(∆x)

∆f=df(x)+ 0(∆x)

Теорема:д/того, чтобы у ф-ии f(x) сущ-ал дифф-л, необх. и достаточно, чтобы ф-ия была диф-ма в эт.(∙), т.е. чтобы у нее сущ-ла производная в эт. (∙).

df(x)= f’(x) ∙∆x

y=x

dx=∆x

df(x)= f’(x)dx

№2

Св-ва диф-а:

1)

dc=0

2)

d(cf(x))=cdf(x)

3)

d(ax+b)=ad(x), где aи b-пост. величины

4)

d(u ± v)= du ± dv

5)

d(uv)=udv+vdu

6)

d(u/v)=( vdu-udv)/v2

7)

df(u(x))=f’u(u)du

8)

dφ(u)= φ’(u)du

№3

Будемпредполагать, что приращение независ. переменной произвольно и не зависит отконкрет. Знач-я арг. Х и одно и то же д/всех значений этого аргумента.

df(x)=f’(x)dx

d(df(x))=d2f(x)=d(f’(x)dx)=dx∙d(f’(x))=dxf”(x)dx=f”(x)∙dx2

d2f(x)/ dx2= f”(x)

dnf(x)=f(n)(x)dxn– диф. n-го порядка f(x)

f(x)=x

dx=∆x

dx2=0

dxn=0

Теорема:диф-ы высшего порядка д/независ. перемен. = 0.

№4

Опред-е: первообразной д/ф-ии f(x) наз-ся ф-ия F(x), такая, что F’(x)= f(x).

(F(x)+С)’= F’(x)+ С’= f(x)

Опред-е:совокупность всех первообразных д/ф-ии f(x) наз-сянеопред. ∫ от ф-ии f(x) и обознач.: ∫ f(x)dx= F(x)+С, где d-диф-л, f(x)-подинтегр. ф-ия, f(x)dx-подинтегр.выр-е.

Св-ва:

1)

(∫f(x)dx)’=f(x)

2)

d∫f(x)dx= f(x)dx(диф-л отнеопред. ∫=подинт. выр-ю)

3)

∫dφ(x)=φ(x)+C(∫ от диф-ла люб. ф-ии = этой ф-ии с точностьюдо пост. слагаемого)

4)

∫af(x)dx=a∫f(x)dx

5)

∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

№5

∫f(φ(x))φ’(x)dx= ∫f(φ(x))dφ(x) = ∫f(u)du

u= φ(x)

Пример:

∫dx/2x+3 =∫(dt/2)/t = 1/2∫dt/t = ½ ln|t|+C = ½ ln|2x+3|+C

2x+3=t

2dx=dt

dx=dt/2

№6

d(uv)=udv+vdu

∫d(uv)= ∫udv +∫vdu

uv = ∫udv + ∫vdu

∫udv= uv — ∫vdu

Пример:

∫xsinxdx =-xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

u=x

dv=sinxdx

du=dx

v=∫sinxdx=-cosx

№7

f(x) [a, b]

n– произв. Целое положит. Число

Выберем(∙)-и t0= a<t1<t2<…<tn= b

{t0; t1; t2;… tn} = Tn–совокуп. точек – разбиение отрезка [a, b].

[ti; ti-1]

∆i= ti — ti-1– длина i-подотрезка

Ф-ия,опред-я на отрез. [a, b].

∆=max{∆1, ∆2, …∆n}

Выберемпроизв. внутр. (∙) ti-1≤ εi≤ ti

Σni=1f(εi)∆i= f(ε1)∆1+ f(ε2)∆2+…+ f(εn)∆n– это интегр-я сумма д/ф-ии f(t) соотв-й разбиению Тnи набору (∙)-ек ε1 и т.д. εn.

Σni=1f(εi)∆i= I(f(t), Тn, ε1…εn)

Опред-е:если сущ-т конеч. предел послед-ти интегр-х сумм приусл-ии, что ∆→0 и этот limнезависит от выбора разбиений Тnивыбора промеж. (∙)-ек ε1 и т.д. εn, то ф-ия f(t) наз-ся интегр-й на отрез. [a, b], а этот limназ-сяопред. ∫ от ф-ии f(t) по отрезку [a, b] и обознач-ся: a∫bf(t)dt= lim(∆→0)I(f(t), Тn, ε1…εn),где a– ниж. предел интегр-я, b– верх.предел интегр-я, f(t) – подинт. ф-ия, f(t)dt– подинт.выр-е.

№8

Д/Vф-ии f(t) a∫bf(t)dt=0

1)

a∫bdt=b-a

2)

a∫b cf(x)dx = ca∫bf(x)dx

3)

Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемы наотрез. [a, b], то ф-ия f(x)+g(x) такжеинтегр-ма на отрез. [a, b]. a∫b [f(x)+g(x)]dx = a∫bf(x)dx + a∫b g(x)dx.

4)

a∫bf(x)dx= -b∫af(x)dx– еслиизменить направ-е интегр-я, то измен-ся и знак.

5)

Если ф-ия f(x) интегр-ма наотрез. [a, b] (a<b) и (∙)-киcи dобладают св-ми a<c<d<b, то ф-ия f(x) интегр-ма и наотрез. [c, d].

6)

Если ф-ия f(x) интегр-ма наотрез. [a, b], а (∙)слежит внутри отрез. [a, b], то

a∫bf(x)dx=a∫с f(x)dx+ с∫bf(x)dx.

7)

Если ф-ия f(x) непрерывна наотрез. [a, b], то онаинтегр-ма на этом отрезке.

8)

Если ф-ия f(x) интегр-ма наотрез. [a, b] и ограниченана этом отрезке, то

m(b-a) ≤ a∫bf(x)dx ≤ M(b-a); a∫b mdx = ma∫bdx= m(b-a)

9)

Если ф-ии f(x) и g(x) интегрируемына отрез. [a, b] и во всех (∙)-ах этого отрез. Вып-ся нер-во m(b-a) ≤ a∫bf(x)dx≤ M(b-a), то f(x) не превосходит g(x): f(x) ≤ g(x);

a∫bf(x)dx≤ a∫bg(x)dx.

10)

Теорема осреднем: если ф-ия f(x) непрерыв. на отрез. [a, b], то сущ-т (∙)с, лежащая внутри этого отрезкаили на его границе, такая, что: a∫bf(x)dx= f(c)∙(b-a).

№9

Пустьф-ия f(x) определена иинтегр-ма на отрез. [a, b]. Если выбрать нек. произв-е числа a≤c<x<b, то по одному из св-в опред.∫ ф-ия f(x) будет интегр-ма и на отрез. [c,x].

Ф(х)= с∫х f(t)dt.

Св-ва ф-ии Ф(х):

предположимf(x) непрерывна

х+∆х

Ф(х+∆х)– Ф(х) = с∫х+∆х f(t)dt — с∫хf(t)dt= х∫х+∆х f(t)dt= f(с)∙∆х,где (∙)с лежит внутри интерв. (х+∆х).

1)Если ∆х→0, ф-ия непрерыв., т.е. ограничена => опред. ∫тоже непрерыв.

2)lim(∆х→0) ∆Ф/∆х = f(x)

Т.е.введенная ф-ия Ф(х) – первообраз. д/ф-ии f(x).

№10

ПустьФ(х) – какая-то первообраз-я д/ф-ии f(x), тогда можно утверждать, что:

a∫х f(t)dt= F(x)+Cд/люб. х из интерв. [a, b], тогдаa∫a f(t)dt=0; F(a)+C=0; C=-F(a)

a∫b f(t)dt = F(b) – F(a) – формулаЛейбница-Ньютона.

№11

a∫b f(х)dх= α∫βf(φ(t)) φ’(t)dt

x= φ(t)

x=a => a=φ(t), t = φ-1(a) = α

x=b => b=φ(t), t = φ-1(b) = β

dx = φ’(t)dt

№12

Будемпредполагать, что ф-ии uи vинтегр-мы на отрез. [a, b] и диффер-мы на этом отрез.

d(uv) = udv+vdu; проинтегр-м по отрез. [a, b] это рав-во

a∫bd(uv) = a∫budv+ a∫bvdu

u(b)v(b) – u(a)v(a) = a∫budv+ a∫bvdu

a∫budv= u(b)v(b) – u(a)v(a) — a∫bvdu– правило интегр-я по частям в опред. ∫.

№13

2случая: 1) ф-ия неогранич. растет в (∙); 2) интегр-ие на беск. интервале.

1)Пусть ф-ия f(х) определена на интерв. (a, b), но limf(x) = ∞, тогда a∫bf(х)dх будет наз-ся несобств.интегралом.

Подним поним-ся lim(ε→0) a+ε∫bf(x)dx

a∫b f(x)dx =lim (ε→0) a+ε∫b f(x)dx.

Еслиэтот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся.

2)Оба, или хотя бы 1 предел интегр. Неограничен.

a∫+∞ f(x)dx= lim(А→ +∞) a∫А f(x)dx

Еслиэтот предел сущ-т и конечен, то данный ∫ наз-ся сход-ся.

-∞∫bf(x)dx= lim(B→-∞) B∫bf(x)dx

-∞∫+∞f(x)dx= -∞∫0f(x)dx+ 0∫+∞f(x)dx– обобщение.

№14

Пустьф-ия f(x)>0 на отрез.[a, b]

Выберемнек. целое положит. число nи разобьемотрезок [a, b] на nодинак.подотрезков.

(b-a)/n = R

x0 = a; y0 =f(x0)

x1=a+h; y1=f(x1)

--------; ---------

xi=a+ih

xn=b=a+nh; yn=f(xn)

Si = (yi-1+ yi)/2 ∙h

S=S1+S2+…Sn= h∙[(y0+yn)/2 + y1+y2…+yn-1]

a∫b f(x)dx = h∙[(y0+yn)/2+ y1+y2…+yn-1]

№15

y=αx2+βx+γ

yi-1 = αx2i-1+βxi-1+γ= α(xi-h)2+ β(xi-h)+ γ

yi=αxi2+βxi+γ;yi-1 = αxi2 — 2αhxi + 2h2+βxi – βh +γ

yi+1 = α(xi+h)2+β(xi-h)+ γ; yi+1 = αx2i +2αhxi+2h2 + βxi + βh +γ

yi+1+ yi-1= 2 αx2i + 2αh2+2βxi + 2γ

yi+1+ yi-1= 2yi = 2αh2

α = (yi+1+ yi-1– 2yi)/ 2h2

Si = xi-1∫xi+1(αx2+βx+γ)dx= (αx3/3 + βx2/2 + γx) |xi+1xi-1= α∙[(xi+h)3 – (xi-h)3]/3+ β∙[(xi+h)2 – (xi-h)2]/2+ γ∙[(xi+h) – (xi-h)]/1 = α/3∙(6x2ih+ 2h3) + β/2∙(4xih) + 2γh = (2hαxi2+ 2hβxi + 2hγ) + 2/3∙h3α = 2hyi+ 2/3∙h3∙( yi+1+ yi-1– 2yi)/2h2 = h∙(6yi + yi+1+ yi-1 — 2yi)/3

Si= ( yi+1+ 4yi+ yi-1)/3∙h– формула Симпсона

№16

S=a∫b(f1(x) – f2(x))dx

S2= -a∫b f2(x)dx

S = a∫b(f1(x)– f2(x))dx

№17

y = f(x)

{x=φ(t)

{y=Ψ(t)

α ≤ t ≤ β

cos2φ + sin2φ= 1

{x=a∙cosφ

{y=a∙sinφ

0 ≤ φ ≤2π

S = 0∫aydx = — π/2∫0sin2φdφ =a2 0∫π/2 sin2φdφ= a2 0∫π/2 (1-cos2φ)/2 dφ= a2π/4

S= α∫βy(t)x’(t)dt–вычисление Sкривой, если ее Ур-е заданопарам-ки.

№18

l– вектор, ρ – длина вектора ОМ

{x= ρcosφ

{y= ρsinφ

ρ= √(x2+y2)

tgφ= y/x

ρ= ρ(φ) – в полярн. сис. коорд.

ρ(φ) ρ(φ+dφ)

ds= ρ2/2 dφ

α∫βds= S= ½ α∫βρ2dφ

S= ½ α∫βρ2dφ

№19

Вдугу АВ вписали ломаную.

Mi(xi, yi)

yi=f(xi)(если ур-е кривой y= f(x))

| Mi-1 Mi | = √[(xi – xi-1)2+ (yi – yi-1)2]

lлом= Σni=1√[(xi– xi-1)2+ (yi– yi-1)2]– длина ломаной линии.

Опред.:под длиной дуги АВ будем понимать limдлины впис. Ломаной, когда число звеньев неогранич-орастет, а длина maxзвена стремится к 0.

Приоч. мал. ∆х: dl= √[(dx)2 + (dy)2] = √[(dx)2 +(y’x)2 + (dx)2] =√ [1+(y’x)2] dx

lдуги ab= a∫b√ [1+(y’x)2] dx– формула д/вычисл. длины дуги.

№20

{x=φ(t)

{y=Ψ(t)

dx= φ’(t)dt

dy= Ψ’(t)dt

lдуги ab= α∫β√ [ (φ’(t))2+ (Ψ’(t))2] dt

№21

{x= ρcosφ

{y= ρsinφ

dx= (ρ’cosφ–ρsinφ)dφ

dy= (ρ’sinφ+ρcosφ)dφ

(dx)2 = (ρ’2cos2φ–2ρ’ρcosφsinφ+ ρ2sin2φ)

(dy)2 = (ρ’2sin2φ+2ρ’ρcosφsinφ+ ρ2cos2φ)

dl=√[(ρ’)2 + ρ2] dφ

l= α∫β√[(ρ’)2 + ρ2]dφ

№22

IВокруг х

a){ y= f(x)

{x = a, x = b

{y = 0

Vx= πa∫bf2(x)dx

б) Час. случай

Vx= πa∫bf2(x)dx — πa∫bg2(x)dx= πa∫b[f2(x) — g2(x)]dx

II Вокруг y

Vy= π c∫d g2(y)dy

б) Час. Случай

Vy= πc∫df2(y)dy — πc∫dg2(y)dy= πc∫d[f2(y) — g2(y)]dy

№23

Опред-е:числ. ряд – сумма беск. числа слаг-ых u1+u2+…+un=Σ∞n=1un(1), каж. из кот. – опред.число.

un= n/(n2+1)

Последов-тьчастичных сумм:

S1 = u1

S2 = u1+u2

S3 = u1+u2+u3

----------------

Sn = u1+u2+…+un

Σ∞n=1un = Sn + Σ∞k=n+1 <st1:country-region w:st=«on»><st1:place w:st=«on»>uk</st1:place></st1:country-region> =Sn + rn, rn – n-йостатокряда

Опред-е:ряд 1 наз-ся сход-ся рядом, если у него сущ-т, конеченlimпослед-ти частичных сумм, а сам этот limназ-ся суммой числ. ряда.

S= lim(n→∞) Sn

Опред-е:если у этой послед-ти частич. сумм нет limили lim=∞, торяд наз-ся расход-ся.

Теорема:д/того, чтобы ряд 1 сходился, необх-о и достат-о,чтобы остаток ряда → к 0, т.е. чтобы lim(n→∞) rn= 0

Теорема (необх. усл-е сход. ряда)2:если ряд 1 сход-ся, то lim(n→∞) un= 0.

Следствие из теор.2:если n-й член ряда не→ к 0, то ряд расх-ся.

№24

Основ. св-ва сход. рядов:

1)

Если членысход-ся ряда умнож. на 1 и то же конеч. число, то нов. получ-й ряд будет тожесход-ся, и сумма этого нов. ряда будет = произвед. эт. числа на сумму исход.ряда, т.е. Σ∞n=1un= S; Σ∞n=1λ∙un= λ∙S

2)

Если ряд 1сход-ся и к нему добавить конеч. число слаг-х, либо из него убрать конеч. числослаг-х, то получ. нов. ряд будет тоже сход-ся.

3)

Если ряд счленами unсход-ся и его сумма = Σ∞n=1un= Sи ряд с членамиvnсход-ся и его сумма = Σ∞n=1vn= σ, то ряд счл. (un+ vn)сход-ся и его сумма = Σ∞n=1(un+ vn) = S+ σ

Σ∞n=11/n= 1+1/2+1/3+…+1/n… — гармонич. ряд

№25

ПризнакДаламбера: Пусть дан ряд Σ∞n=1un, если lim(n→∞) un+1/un= k

{k<1 – ряд сх.

{k>1 – ряд расх.

{k=1 – вопр. о сход. ряда ост-ся открытым

Интегральныйпризнак: Им-ся ряд с положит. членами. un= f(n) – эта ф-ия определена на интерв. [1; +∞]. Если 1∫∞f(x)dxнесобств. интеграл сход-ся, то изнач. ряд тожесход-ся.

Σ∞n=11/n– гарм. ряд; Σ∞n=11/nα– обобщ. гарм. ряд.

f(x) = 1/xα

1∫∞ dx/xα= lim(A→∞) 1∫Adx/xα= lim(A→∞) [-αx-α+1] |A1= lim(A→∞)[α — αA-α+1] = lim(A→∞)[α– α/A-α+1]

Еслиα>1, вычит. → к 0 при А→ ∞, рядсход-ся.

Еслиα≤1, А-bположит.степ., при А→ ∞ ряд расх-ся.

№26

Σ∞n=1(-1)n+1un= u1-u2+u3 — u4+…, причем un≥0

Теорема Лейбница:если д/членов знакочеред-ся ряда справедливы соотнош-яun+1< un

иlim(n→∞) un= 0, то дан. ряд сход-ся.

Док-во:

Найдем2n частичную сумму ряда:

S2n= (u1–u2) + (u3-u4) +…+(u2n-1-u2n) = послед-ть, состав-я из четных частич-х сумм –возраст-я = u1–(u2– u3) + (u4– u5)-…-( u2n-2-u2n-1) — u2n< u1

имеемпослед-ть монотонно возр-х сумм <М1 =>она имеет lim

Рассмотримнечет. частич. сумму S2n+1= S2n+ u2n+1

lim (n→∞) S2n+1= lim (n→∞) S2n + lim (n→∞) u2n+1= S

Чтд.

Σ∞n=1(-1)n/n–знакочеред. ряд

un = 1/n, un+1= 1/(n+1)

un > un+1

lim (n→∞) un= lim (n→∞) 1/n = 0

№27

(1)

Σ∞n=1un– числа uи nмогут иметь произвол. знаки

(2)

Σ∞n=1|un| — ряд из абсолют. знач-й ряда (1)

Обозначимч/з Snn-нуючастич. сумму 1-го ряда и ч/з σn – 2-го ряда.

|Sn| = | Σnk=1uk| ≤ Σnk=1|uk| = σn

|Sn|≤ σn

Опред-е:если д/ряда (1) сход-ся ряд, состав-й из абсолют.знач-й членов ряда (1) (т.е. ряд 2), то ряд 1 наз-ся абсолютно сход-ся рядом.Если же ряд 1 сход-ся, а ряд 2 расх-ся, то ряд 1 наз-ся условно сход-ся рядрм.

№28

Рядыможно составлять и из ф-ий – функц-е ряды: Σ∞k=1fk(x)

Выберемнек. (∙)х этой области опред-я, получим числ. ряд. Мн-во тех (∙)-екх, д/кот. соотв-е числ. ряды сход-ся, наз-ся областью сход-ти функц. ряда.

f1(x0)+ f2(x0)+…+ fn(x0)+…= S(х0)

Ч/зS(х) будем обознач. ф-ию, опред. на области сход-ти,кот. наз-ся суммой эт. ряда.

Степеннымрядом наз-ся Σ∞n=0Сn(х-х0)n(1)

ЧислаСn-ные наз-ся коэф-ом степ. ряда, число х0наз-ся центром степ. ряда.

В(∙)х=х0степ. ряд сход-ся.

Теорема Абеля: утвержд.1:если ряд 1 сход-ся в нек. (∙)х1, тоон сход-ся в люб. (∙)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|<|х1-х0|.

утвержд.2:если ряд 1 расх-ся в нек. (∙)х2, то он расх-ся в люб.(∙)х, удовл-ей нерав-ву |х-х0|>|х2-х0|.

Областьюсход-ти степ-го ряда явл-ся интервал с центром в (∙)х0(х0– R, х0+ R), число R-maxрасстояние от (∙)х0до (∙), гдеряд сх-ся – радиус сход-ти степ. ряда.

R= lim(n→∞)|Cn|/|Cn+1| — правило д/нахожд. радиуса сход-ти.

№29

Св-ва степ. рядов:

1)

В интервалесход-ти степ. ряда ряд сход-ся абсолютно.

2)

В интервалесход-ти степ. ряда ряд сход-ся к непрерыв. ф-ии.

3)

Степ. рядможно почленно диффер-ть. Получ-й при этом нов. степ. ряд будет сход-ся в томже самом интерв-ле к ф-ии, кот. явл-ся производ-й суммы исход. степ. ряда.

Σ∞n=0Cn(х-х0)n= S(x)

Σ∞n=0Cnn(х-х0)n-1= S’(x)

4)

Степ. рядможно почленно интегрировать, при этом получ-й новый степ. ряд сход-ся в том жеинтервале к ф-ии = ∫ от ф-ии исход. ряда.

Σ∞n=0∫Cn(х-х0)ndx= ∫S(x)</sp

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Шпоры по теории вероятности

29 Августа 2013

Реферат по математике

Наша Вселенная не одинока