Реферат: Факторизация в численных методах интегрирования вырожденных эллиптических уравнений ионосферной плазмы

Н.М.Кащенко

1. Численныйметод интегрированиявырожденныхэллиптическихуравнений

Впредположенииобычных примоделированииионосферыприближенияхмалости инерционныхсил для заряженнойсоставляющейплазмы иквазипотенциальностисиловых линиймагнитногополя Землиуравненияпереноса заряженныхчастиц имеютвид [3]:

/>(1)

В этихуравненияхni — концентрациячастиц, qi — источникии потери, />— матрицакоэффициентовдиффузии, имеющаятолько продольныекомпоненты,/>— скоростьпереноса частиц.Аналогичныйвид имеют уравнениятеплопроводности.

Частоудобно решатьуравнения такихмоделей конечно-разностнымметодом напрямоугольныхсетках в сферическойсистеме координат.При этом возникаетпроблема решениявырожденныхэллиптическихуравнений сосмешаннымипроизводными.Разностнаяаппроксимациятаких уравненийприводит кразностнымсхемам, длякоторых невыполненоусловие монотонностидаже при аппроксимациив терминахпотоков. Записьэтих уравненийв дипольнойсистеме координатпосле аппроксимациипо переменнойt приводит куравнениямвида:

(-Au¢+ Bu)¢+ Cu =D, A >0, C />0, D />0. (2)

Здесьдифференцированиепроводитсяпо продольнойкоординате, которую обозначимb.

Длярешения такихуравненийпредлагаетсяв (2) факторизоватьдифференциальныйоператор(дифференциальнаяпрогонка), затемфакторизованнуюзапись преобразоватьв сферическуюсистему координати решать факторизованныеуравнения вэтой системепо схеме бегущегосчета. Послефакторизацииуравнения (2)получаем систему

/>(3)

Здесьe и z являютсявспомогательнымифункциями.Первое и второеуравненияинтегрируютсяв направлениивозрастанияb, а третьеинтегрируетсяв направленииубывания b.Систему (3) можнорешать напрямоугольнойсетке исходнойсистемы координат, используясоответствующиеразностныеаппроксимациии схемы бегущегосчета.

Пусть(x, y) — исходнаясистема координат, а (a, b)— новая системаи пусть дляформул переходасправедливосоотношение:

/>

Тогда/>поэтому />и />аппроксимируютсяразностяминазад при n> 0 и разностямивперед при n< 0, а />— разностямив обратномпорядке. Аналогичныеаппроксимацииприменяютсяи для производныхпо переменнойy. Тогда суммарнаяпогрешностьаппроксимацииимеет вид Dz+ (ADu)¢- uDe- eDu, где Dz, Du,De — погрешностиаппроксимацийв уравненияхдля z, u и e соответственно.

В зависимостиот аппроксимациинедифференциальныхчленов системы(3) получаетсясемействоразностныхсхем с разнымивеличинамисуммарнойпогрешностиаппроксимации.Параметрысемействаследует подбиратьдля получениянужного свойстваразностнойсхемы, например, для полученияаппроксимациивторого порядка.В ионосферныхмоделях длядополнительногоуменьшенияпогрешностейаппроксимацииобласть интегрированияделится пополами применяетсявстречнаядифференциальнаяпрогонка сусловиямигладкостирешения награнице деления[3]. Описаннаясхема реализованана языке программированияFortran в рамках численноймодели ионосферы.

2. Некоторыеварианты скалярнойпрогонки

Решениетрехточечныхразностныхуравненийметодом прогонкиосновано нанеявной факторизациисоответствующегоразностногооператора. В[2] рассмотренынекоторыеварианты решениятрехточечныхразностныхуравнений, но, как указанов [1], анализвычислительнойустойчивостипроведен неполностью. Вработе [1] показано, что классическаязапись прогонкидаже при диагональномпреобладанииимеет погрешностьпорядка O(n3), и тамже приведеныпримеры, показывающие, что при количествеузлов порядка300 и использованииобычной точностимогут получатьсябольшие погрешности(десятки процентови более). Тамже указаныспособы уменьшенияэтих погрешностей, в частности, с помощьюпреобразованияпрогонки кбезразностномувиду.

Рассмотримнекоторыеварианты прогонокбез разностей.В этом случае, как указанов [1], погрешностиокругленийнакапливаютсясо скоростьюне более чемO(n2), а при некоторыхусловиях накоэффициенты— O(n). Приведемнескольковариантовбезразностныхпрогонок.

1. B =0. Этот случайрассмотренв [1], а разностнаясхема для (2) имеетвид:

/>

/>

/>

ai >0, bi />0, ci > 0, di />0.

В этихуравненияхвыполненоусловие диагональногопреобладания.

Прямойход прогонки:

/>

/>

/>

Приэтом 0 <ei < 1.

Обратныйход прогонки:

/>

Здесь/>

Следовательно, формулы обратногохода можнозаписать вбезразностномвиде:

/>

Кромеуменьшенияпорядка ростапогрешностейэтот вариантпрогонки доказываетоднозначнуюразрешимостьсоответствующихразностныхуравнений.

2. B ¹0. В этом случаеразностнаясхема имеетвид:

/>

/>

/>

ai >0, bi />0, ci > 0, di />0.

В этихуравненияхусловие диагональногопреобладанияв общем случаене выполнено.

Прямойход прогонки:

/>

/>

/>

Приэтом 0 <ei < 1.

Обратныйход прогонки:

/>

Здесь/>

Следовательно, формулы обратногохода можнозаписать вбезразностномвиде:

/>

Каки в предыдущемслучае, кромеуменьшенияпорядка ростапогрешностейэтот вариантпрогонки доказываетоднозначнуюразрешимостьсоответствующихразностныхуравнений.

3. Циклическийслучай с B =0. Разностныеуравнения имеютвид:

/>

ai >0, bi />0, ci > 0, di />0,

/>

Прямойход прогонки:

/>/>

/>

/>

Вспомогательныйход прогонки:

/>

/>

ВычислениеYn:

/>

В этихформулах величиныri, si, ui соответствуютуравнениям:

/>

Обратныйход прогонки:

/>

В этомварианте прогонкитакже отсутствуютразности, что, как и в предыдущихслучаях, кромеуменьшенияпорядка ростапогрешностейдоказываетоднозначнуюразрешимостьсоответствующихразностныхуравнений.

1. ИльинВ.П. Прямой анализустойчивостиметода прогонки// Актуальныепроблемывычислительнойматематикии математическогопрограммирования.Новосибирск: Наука, Сибирскоеотделение,1985. С. 189—201

2. СамарскийА.А., НиколаевЕ.С. Методы решениясеточных уравнений.М.: Наука, 1978. 519 с.

3. КащенкоН.М., ЗахаровВ.Е. Численныйметод интегрированиясистемы уравненийпереноса ионосфернойплазмы // Докладымеждународногоматематическогосеминара.Калининград: ИздательствоКГУ, 2002. С. 287—290