Реферат: Побудова экономичной модели украинск..

--PAGE_BREAK--Рішення.
1-й крок:

1.1)          взяти декартову систему координат на площині;

1.2)          відкласти на ній точки (Xi; Yi), і=1,…..,n;

1.3)          обвести всі  відкладені точки замкнутою кривою – отримати хмару розсіяння експерементальних даних;

1.4)          на око провести криву, яка відповідає усередненим значенням.

<img width=«590» height=«311» src=«ref-1_807682886-2255.coolpic» v:shapes="_x0000_s1026">
У нашому випадку, по розташуванню крапок на графіку 1, можна припустити,  що рівняння прямої будемо знаходити у вигляді

<img width=«80» height=«24» src=«ref-1_807685141-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1025"> 

2-й крок:

2.1) визначити параметри моделі методом найменших квадратів (МНК) за формулами:

<img width=«219» height=«95» src=«ref-1_807685434-1093.coolpic» v:shapes="_x0000_i1026">

<img width=«156» height=«44» src=«ref-1_807686527-444.coolpic» v:shapes="_x0000_i1027">

<img width=«200» height=«95» src=«ref-1_807686971-1010.coolpic» v:shapes="_x0000_i1028">

<img width=«144» height=«44» src=«ref-1_807687981-420.coolpic» v:shapes="_x0000_i1029">

2.2)обчислити значення <img width=«17» height=«24» src=«ref-1_807688401-216.coolpic» v:shapes="_x0000_i1030"> для кожного значення <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_807688617-198.coolpic» v:shapes="_x0000_i1031"> і занести в таблицю у якості додаткового стовбця;

<img width=«571» height=«307» src=«ref-1_807688815-2511.coolpic» v:shapes="_x0000_s1027">
2.3)побудувати графік регресійної функції <img width=«80» height=«24» src=«ref-1_807685141-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1032">

3-й крок:

3.1)обчислити залишкову дисперсію за формулою:
<img width=«128» height=«69» src=«ref-1_807691619-639.coolpic» v:shapes="_x0000_i1033">, де n– довжина  вибірки, m– число факторів(m=1)
<img width=«193» height=«47» src=«ref-1_807692258-473.coolpic» v:shapes="_x0000_i1034">

3.2) обчислити відносну похибку розрахункових значень регресії за формулою:
<img width=«100» height=«49» src=«ref-1_807692731-361.coolpic» v:shapes="_x0000_i1035">,

а середнє значення відносної похибки, як

<img width=«69» height=«64» src=«ref-1_807693092-448.coolpic» v:shapes="_x0000_i1036">,          <img width=«169» height=«41» src=«ref-1_807693540-398.coolpic» v:shapes="_x0000_i1037">

4-й крок:

4.1) обчислити коефіцієнти еластичності за формулою:

<img width=«61» height=«44» src=«ref-1_807693938-283.coolpic» v:shapes="_x0000_i1038">,     де

<img width=«65» height=«64» src=«ref-1_807694221-429.coolpic» v:shapes="_x0000_i1039">,    <img width=«68» height=«64» src=«ref-1_807694650-434.coolpic» v:shapes="_x0000_i1040">
<img width=«144» height=«41» src=«ref-1_807695084-358.coolpic» v:shapes="_x0000_i1041">;      <img width=«137» height=«41» src=«ref-1_807695442-378.coolpic» v:shapes="_x0000_i1042">

<img width=«231» height=«44» src=«ref-1_807695820-532.coolpic» v:shapes="_x0000_i1043">
5-й крок:

5.1) обчислити центровані значення <img width=«16» height=«24» src=«ref-1_807696352-204.coolpic» v:shapes="_x0000_i1044"> за формулою:

<img width=«73» height=«24» src=«ref-1_807696556-259.coolpic» v:shapes="_x0000_i1045">

5.2) знайти коефіцієнт Стьюдента <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_807696815-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1046">, де a=1-p,k=n-2( з таблиці, яку наведено звичайно у будь-якій книзі із статистики),

в нашому випадку <img width=«25» height=«25» src=«ref-1_807696815-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1047">=1.75

5.3) обчислити дисперсію:

<img width=«132» height=«64» src=«ref-1_807697225-557.coolpic» v:shapes="_x0000_i1048">

<img width=«191» height=«41» src=«ref-1_807697782-430.coolpic» v:shapes="_x0000_i1049">
5.4) обчислити <img width=«25» height=«24» src=«ref-1_807698212-230.coolpic» v:shapes="_x0000_i1050"> за формулою:

<img width=«175» height=«52» src=«ref-1_807698442-516.coolpic» v:shapes="_x0000_i1051">

<img width=«581» height=«268» src=«ref-1_807698958-2181.coolpic» v:shapes="_x0000_s1028">
5.5) з'єднати неперервною лінією на графіку всі значення <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_807701139-291.coolpic» v:shapes="_x0000_i1052"> і <img width=«68» height=«24» src=«ref-1_807701430-293.coolpic» v:shapes="_x0000_i1053"> та отримані дані занести у таблицю (<img width=«12» height=«23» src=«ref-1_807701723-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1054">отримуємо надійну зону).

6-й крок:

6.1) обчислити збурювальну змінну за формулою

<img width=«76» height=«24» src=«ref-1_807701892-277.coolpic» v:shapes="_x0000_i1055">, де <img width=«9» height=«17» src=«ref-1_807702169-185.coolpic» v:shapes="_x0000_i1056">=1, 2,….,n

6.2) визначити d— статистику за формулою

<img width=«204» height=«88» src=«ref-1_807702354-796.coolpic» v:shapes="_x0000_i1057">

6.3) знайти верхню (<img width=«19» height=«24» src=«ref-1_807703150-205.coolpic» v:shapes="_x0000_i1058">) і нижню (<img width=«20» height=«23» src=«ref-1_807703355-210.coolpic» v:shapes="_x0000_i1059">) межу (із додатку в кінці будь-якої книги із статистики ) – d-статистика(Критерій Дарбіна-Уотсона);<img width=«63» height=«24» src=«ref-1_807703565-257.coolpic» v:shapes="_x0000_i1060">; <img width=«61» height=«23» src=«ref-1_807703822-254.coolpic» v:shapes="_x0000_i1061">
6.4) зробити висновок про автокореляцію.

Так як <img width=«269» height=«24» src=«ref-1_807704076-475.coolpic» v:shapes="_x0000_i1062"> , то ряд не містить автокореляцію.
7-й крок:

7.1) у рівняння <img width=«153» height=«25» src=«ref-1_807704551-375.coolpic» v:shapes="_x0000_i1063"> підставити значення <img width=«23» height=«25» src=«ref-1_807704926-236.coolpic» v:shapes="_x0000_i1064">;

Коли Xp=15, Yp=25,88365.

Коли Xp=17, Yp=28,61847.

Коли Xp=20, Yp=32,7207.
7.2) знайти межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень за формулою

<img width=«237» height=«75» src=«ref-1_807705162-844.coolpic» v:shapes="_x0000_i1065">
Коли Xp=15, <img width=«12» height=«23» src=«ref-1_807701723-169.coolpic» v:shapes="_x0000_i1066">DYp=12,318.

Коли Xp=17, DYp=15,207.

Коли Xp=20, DYp=19,567.
7.3) записати межі надійних інтервалів індивідуальних прогнозованих значень (  <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_807706175-294.coolpic» v:shapes="_x0000_i1067">; <img width=«68» height=«25» src=«ref-1_807706469-297.coolpic» v:shapes="_x0000_i1068">  ).

(13,56565; 38,20165)

(13,41147; 43,82547)

(13,1537; 52,2877)


--PAGE_BREAK--Таблиця 2

--PAGE_BREAK--Рішення:

       Припустимо, що між показником  Ŷ і чинниками Х1  Х2  Х3  існує лінійна залежність  Ŷ=А1Х1+А2Х2+А3Х3 .Знайдемо оцінки параметрів, використовуючи матричні операції.Запишеио систему нормальних рівнянь у матричній формі: [X]T[X]ā=[X]TY.Якщо помножити матричне рівняння зліва на матрицю [[X]T[X]]-1, то для оцінки параметрів вектора ā отримаємо формулу:

  ā=[[X]T[X]]-1[X]Ty, звідки а1 =0,0603; а2=0,151; а3=0,859.
Складемо таблицю:



І

     D(i)

     S(i)

      L(i)

      C(i)

     Cроз  (i)

1

1

10,11

12,29

9

9,08

10,1954

1,1154

2

12,72

11,51

8,03

10,92

9,4018

-1,5182

3

11,78

11,46

9,66

12,42

10,7376

-1,6824

4

14,87

11,55

11,34

10,9

12,3803

1,4803

5

15,32

14

10,99

11,52

12,4768

0,9568

6

16,63

11,77

13,23

14,88

14,1429

-0,7371

7

16,39

13,71

14,02

15,2

15,1

-0,1

8

17,93

13,4

12,78

14,08

14,0809

0,0009

9

19,6

14,01

14,14

14,48

15,4418

0,9618

10

18,64

16,25

14,67

14,7

16,1774

1,4774

11

18,92

16,72

15,36

18,34

16,8579

-1,4821

12

21,22

14,4

15,69

17,22

16,9296

-0,2904

13

21,84

18,19

17,5

19,42

19,0939

-0,3261


Коефіцієнт множинної детермінації:

                13                       13        

R2=1-Σ(yi-ŷi)2/Σ(y-ỳ)2=0.863

          I=1                    i=1


Визначимо автокореляцію за формулою:

     13                           13

d=Σ(lt–lt-1 )2/Σlt2=2.0531. 

     t=2                         t=1

Оскільки значення d-статистики близьке до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.Для визначення мультиколінеарності використаємо критерій Х2   . Розрахункове значення  Х2  знаходимо за формулою:

             Х2р=[n-1-1/6(2m+5)]ln│[X]T [X]│=3.1025  

Для довірчої ймовірності р=0.95 і числа ступенів волі 1/2m(m-1)=3  X2=7.8.Оскільки розрахункове значення менше критичного, то можна вважати, що загальноі мультиколінеарності не існує.
Відповідь:
Коефіцієнт детермінації R2=0.863, автокореляція та загальна мультиколінеарність відсутні.      
Завдання 4.

       Проаналізуйте модель виробничої функції типу Кобба-Дугласа, що описує залежність між продуктивністю праці y=y/l та фондоозброєністю x=k/l з урахуванням впливу технічного прогресу у виробництво регіону.Оцініть параметри моделі, коефіцієнти детермінації та автокореляції за такими статистичними показниками  Y ,k та L за 12 років.


T

Y(t)

k(t)

L(t)

1

54,24

4,41

11,89

2

49,56

4,97

11,04

3

52,32

6,63

11,46

4

73,92

7,39

15,56

5

67,2

7,44

15,67

6

64,44

8,31

17,44

7

80,04

8,9

15,71

8

93,12

12,12

19,91

9

95,4

14,77

16,52

10

90,54

15,06

21,54

11

116,94

14,21

17,9

Рішення:

        Виробничою функцією називають функцію, яка описує кількісну залежність причинно-наслідкових відносин між результатом економічного процесу і умовами його одержання, хоча б частина з яких керована.В загальному випадку функція Кобба-Дугласа має вигляд:ŷ=b0x1b1x2b2…xmbm, де ŷ  -продуктивність; x1, x2,…, xm –впливові фактори ;b0-нормований множник; b1, b2, bm -коефіціенти еластичності.

         Припустимо, що між показником у – продуктивність праці і фактором х- фондоозброєність існує стохастична залежність: ŷ=bx2 (виробнича регресія Кобба-Дугласа).для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величинY1=Ln(y), X1=Ln(x)та b1=lnb отримаємо приведену лінійну регресію Y1= b1+aX1 .Оцінки параметрів і  для цієї  регресії визначаються за формулами:      
                                      n                   n          n               n                   n 

                             a=(nΣX1i   Y1i -  Σ X1iΣY1i)/(n  Σ X 21i -(Σ X1i)2)=0.3695

                                                         i=1                             i=1            i=1                      i=1                          i=1



          -      —

b1=Υ1-aΧ1=1.7655,b=exp(b1)=5.8444.
Складемо таблицю:



t

Y(t)

k(t)

L(t)

x=k/l

x

y

y

y

1

54.24

4,41

11,89

0,3709

-0,9918

1,5177

1,39896

4,0651

2

49.56

4,97

11,04

0,4502

-0,7981

1,5017

1,470543

4,3516

3

52.32

6,93

11,46

0,6047

-0,503

1,5185

1,579598

4,853

4

73.92

7,39

15,56

0,4749

-0,7446

1,5583

1,490325

4,4385

5

67.20

7,44

15,67

0,4748

-0,7449

1,4559

1,490214

4,438

6

64.44

8,31

17,44

0,4765

-0,7413

1,307

1,491533

4,4439

7

80.04

8,90

15,71

0,5665

0,5682

1,6282

1,555488

4,7374

8

93.12

12,12

19,91

0,6087

-0,4964

1,5427

1,582051

4,8649

9

95.40

14,77

16,52

0,8941

-0,112

1,7535

1,724102

5,6075

10

90.64

15,06

21,54

0,6992

-0,3579

1,4359

1,633232

5,1204

11

116.94

14,21

17,9

0,7939

-0,2309

1,8769

1,68017

5,3665



Коефіцієнт множинної детермінації 

                 11                            11        

R2=1-Σ(y1i-ŷ1i)2/Σ(yl1-э1)2 =0,4370.

             t=1                           t=1
Визначемо наявність автокореляції обчисливши d-статистику за формулою:

                                                                               11                           11

               d  =  Σ(lt — lt-1 )2/Σlt2 = 2,4496.

                                                      t=2                            t=1
Оскільки значення d-статистики наближене до 2 то можна вважати автокореляцію відсутньою.
    продолжение
--PAGE_BREAK--