Реферат: Рекомендации по улучшению работы смо; стр. 21 Заключение; стр. 22

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Новосибирский Государственный Технический Университет

Кафедра «Высшей математики»

Расчётно-графическая работа по теме:

Математические методы исследования экономики.

(системы массового обслуживания)

Выполнили: Аникин С.А. Проверил: Джафаров К.А.
Сердцев В.С. Дата

Студенты групп ФБЭ – 52, Оценка:

ФБЭ – 51
Дата 21.05.07

Новосибирск

2007г

Содержание:

1. Введение;………………………………………………………………………… стр. 3

2. Информация о рассматриваемой системе массового обслуживания (СМО); … …………………………………………………………………………………… стр. 4

3. Сводная таблица результатов по выборке;…………………………………… стр. 5

4. Проверка статистических гипотез (ПСГ) при помощи критерия «χ2 » Пирсона:……………………………………………………………………..…… стр. 6

4.1. Проверка статистических гипотез для количества поступивших клиентов систему (X);

4.2. Проверка статистических гипотез для количества обслуженных клиентов системой (Y).

5. Расчёт показателей СМО;………………………………………………...…… стр. 13

6. Расчёт показателей СМО после улучшений, произведённых в системе;…стр. 15

7. Экономическая обоснованность улучшений;………………………….……стр. 19

8. Рекомендации по улучшению работы СМО;…………….…………….……стр. 21

9. Заключение;……………………………………………………………………стр. 22

10. Список используемой литературы;………………………………...………… стр. 23

1. Введение.

Данная работа представляет собой анализ системы массового обслуживания. В ней проводится расчёт основных показателей СМО, которые непосредственно влияют на её работу.

Целью данной расчётно-графической работы является получение теоретических и практических знаний и навыков по анализу систем массового обслуживания (на примере парикмахерской).

При проведении анализа были использованы элементы теории массового обслуживания, а так же элементы теории вероятностей и математической статистики.

Визитная карточка организации

2. Информация о рассматриваемой системе массового обслуживания (СМО).

Наименование организации: …

Род деятельности: парикмахерская

Место расположения: …

Контактный телефон: …

Время работы: с 9.00 до 20.00, без обеда и выходных

Необходимые данные для анализа системы:

Рассматриваемый промежуток времени:

с 19 марта 2007 по 27 апреля 2007г.

Рассматриваемый вид обслуживания:

стрижка

Рассматриваемое количество обслуживающих приборов:

2

Рассматриваемые дни:

дни с понедельника по пятницу включительно.

Рассматриваемый интервал времени:

11 часов (полное рабочее время).

3. Сводная таблица результатов по выборке.

Рассматриваемый месяц	День месяца	Xi	Yi	Кол-во клиентов получивших отказ (U)
i	Кол-во поступивших клиентов	i	Кол-во обслуженных клиентов
Март	19	1	32	1	22	10
20	2	40	2	30	10
21	3	32	3	25	7
22	4	31	4	22	9
23	5	34	5	21	13
Март	26	6	36	6	25	11
27	7	36	7	24	12
28	8	32	8	24	8
29	9	30	9	19	11
30	10	36	10	26	10
Апрель	2	11	31	11	22	9
3	12	27	12	17	10
4	13	31	13	23	8
5	14	32	14	21	11
6	15	42	15	29	13
Апрель	9	16	35	16	24	11
10	17	36	17	25	11
11	18	26	18	17	9
12	19	37	19	27	10
13	20	33	20	23	10
Апрель	16	21	33	21	23	10
17	22	40	22	29	11
18	23	27	23	20	7
19	24	32	24	21	11
20	25	37	25	24	13
Апрель	23	26	35	26	26	9
24	27	30	27	20	10
25	28	23	28	17	6
26	29	31	29	22	9
27	30	39	30	25	14
Итого	-/-	-/-	996	-/-	693	303

4. Проверка статистических гипотез (ПСГ) при помощи критерия «χ2 » Пирсона.

Проверка статистических гипотез необходима для определения закона распределения генеральной совокупности, если этот закон нам заранее не известен.

4.1. Проверка статистических гипотез для количества поступивших клиентов в систему (X).

1. Формулируем гипотезы:

H0– выборка из распределения Пуассона с параметрами λ и μ [F(x)=F0(x)].

H1 – выборка не из распределения Пуассона [F(x)≠F0(x)].

2. Выбираем уровень значимости критерия, необходимого для проверки гипотез:

α = 0,01

3. Выбираем статистику критерия, для этого рассчитаем значения параметров:

xi – количество поступивших клиентов в систему в i-тый день;

λ () — среднее количество клиентов, поступивших в систему:

ni – количество дней, соответствующее xi ;

ni2 – количество дней, соответствующее xi, в квадрате;

Pi – вероятность свершения i-ого события;

Pk – вероятность того, что случайная величина X = k [Pk = P(x = k)];

χ2расч – расчётное значение критерия «χ2 » Пирсона.

,

,

,

.

3.1 Строим таблицу для расчёта среднего значения:

Примечание: в данной и последующих проверках для получения среднего значения λ () интервальные ряды не строились, поскольку нас интересуют точные значения среднего.

Все расчёты проводились в ручном и машинном варианте, последний из которых представлен ниже (использованы средства Microsoft Excel 2003):

Число единиц	Частоты (ni )	xi	xi *ni
1	23	1	23	23
2	26	1	26	26
3	27	2	27	54
4	30	2	30	60
5	31	4	31	124
6	32	5	32	160
7	33	2	33	66
8	34	1	34	34
9	35	2	35	70
10	36	4	36	144
11	37	2	37	74
12	39	1	39	39
13	40	2	40	80
14	42	1	42	42
Итого	30	996

Среднее значение ( λ)

33,2

3.2 Строим интервальный ряд:

,

,

где: xmax = 42; xmin = 23;

R – вариационный размах;

K – число интервалов (К = 7);

γ – длина интервалов.

R = 42 – 23 = 19

γ = 19/7 = 2,714

k	Pk
1	0,0000000000
2	0,0000000000
3	0,0000000000
4	0,0000000002
5	0,0000000013
6	0,0000000071
7	0,0000000336
8	0,0000001396
9	0,0000005151
10	0,0000017102
11	0,0000051616
12	0,0000142805
13	0,0000364702
14	0,0000864864
15	0,0001914233
16	0,0003972034
17	0,0007757149
18	0,0014307630
19	0,0025000700
20	0,0041501162
21	0,0065611361
22	0,0099013509
23	0,0142923848
Итого	0,0403449685

k	Pk
1	23	0,040345
2	26	0,033527
3	27	0,041226
4	30	0,061931
5	31	0,066326
6	32	0,068813
7	33	0,069230
8	34	0,067601
9	35	0,064124
10	36	0,059137
11	37	0,053063
12	39	0,039466
13	40	0,032757
14	42	0,302454
Итого	1

Интервалы	Pi	n*Pi	Частоты (ni )	Pi	n*Pi	ni2	ni2 / n*Pi
1	[23;25,714)	0,040345	1,210349	Объединение	10	0,243354	7,300622	100	13,69746
2	[25,714;28,428)	0,074753	2,242582
3	[28,428;31,142)	0,128256	3,847691
4	[31,142;33,856)	0,138043	4,141288	14	0,328905	9,867161	196	19,86387
5	[33,856;36,57)	0,190862	5,725873
6	[36,57;39,284)	0,092529	2,775884	6	0,427741	12,83222	36	2,805438
7	[39,284;42]	0,335211	10,05634
Итого	1	30	1	30	36,36677

Хи 2 -расчётное

6,366769

4. Вычисляем критическую (S) и доверительную (D) область:

По таблице распределения χ2 при заданном α = 0,01 и числу степеней свободы находим χ2крит .

Число степеней свободы = K – L – 1, где

K – число «интервалов»,

L = 1.

Число степеней свободы = 3 – 1 – 1 = 1.

Следовательно, χ2крит = 6,6

Значит критическая и доверительная области выглядят следующим образом:

D [0; χ2крит ). S [χ2крит; + ∞);

D [0; 6,6). S [6,6; + ∞).

5. Поскольку χ2расч входит в доверительную область D, то нет оснований отвергать основную гипотезу о Пуассоновском распределении.

4.2. Проверка статистических гипотез для количества обслуженных клиентов системой (Y).

1. Формулируем гипотезы:

H0– выборка из распределения Пуассона с параметрами λ и μ [F(y)=F0(y)].

H1 – выборка не из распределения Пуассона [F(y)≠F0(y)].

2. Выбираем уровень значимости критерия, необходимого для проверки гипотез:

α = 0,01

3. Выбираем статистику критерия, для этого рассчитаем значения параметров:

xi – количество обслуженных клиентов системой в i-тый день;

λ () — среднее количество клиентов, обслуженных системой:

ni – количество дней, соответствующее xi ;

ni2 – количество дней, соответствующее xi, в квадрате;

Pi – вероятность свершения i-ого события;

Pk – вероятность того, что случайная величина X = k [Pk = P(x = k)];

χ2расч – расчётное значение критерия «χ2 » Пирсона.

,

,

,

.

3.1 Строим таблицу для расчёта среднего значения:

Все расчёты проводились в ручном и машинном варианте, последний из которых представлен ниже (использованы средства Microsoft Excel 2003):

Число единиц	Частоты (ni )	xi	xi *ni
1	17	3	17	51
2	19	1	19	19
3	20	2	20	40
4	21	3	21	63
5	22	4	22	88
6	23	3	23	69
7	24	4	24	96
8	25	4	25	100
9	26	2	26	52
10	27	1	27	27
11	29	2	29	58
12	30	1	30	30
Итого	30	693

Среднее значение ( λ)

23,1

3.2 Строим интервальный ряд:

,

,

где: xmax = 30; xmin = 17;

R – вариационный размах;

K – число интервалов (К = 7);

γ – длина интервалов.

R = 30 – 17 = 13

γ = 13/7 = 1,857

k	Pk
1	0,0000000021
2	0,0000000248
3	0,0000001908
4	0,0000011016
5	0,0000050895
6	0,0000195946
7	0,0000646622
8	0,0001867122
9	0,0004792281
10	0,0011070169
11	0,0023247354
12	0,0044751157
13	0,0079519363
14	0,0131206949
15	0,0202058701
16	0,0291722250
17	0,0396399057
Итого	0,1187541059

k	Pk
1	17	0,118754
2	19	0,061849
3	20	0,071435
4	21	0,078579
5	22	0,082508
6	23	0,082866
7	24	0,079759
8	25	0,073697
9	26	0,065477
10	27	0,056019
11	29	0,036813
12	30	0,192243
Итого	1,0

Интервалы	Pi	n*Pi	Частоты (ni )	Pi	n*Pi	ni2	ni2 / n*Pi
1	[17;18,857)	0,118754	3,562623	Объединение	6	0,252038	7,561141	36	4,761186
2	[18,857;20,714)	0,133284	3,998517
3	[20,714;22,571)	0,161086	4,832593	14	0,323712	9,711354	196	20,18256
4	[22,571;24,428)	0,162625	4,87876
5	[24,428;26,285)	0,139174	4,175233	7	0,195194	5,855813	49	8,367753
6	[26,285;28,142)	0,056019	1,680581
7	[28,142;30]	0,229057	6,871702	3	0,229057	6,871702	9	1,309719
Итого	1	30	1	30	34,62122

Хи2 -расчётное

4,62122

4. Вычисляем критическую (S) и доверительную (D) область:

По таблице распределения χ2 при заданном α = 0,01 и числу степеней свободы находим χ2крит .

Число степеней свободы = K – L – 1, где

K – число «интервалов»,

L = 1.

Число степеней свободы = 4 – 1 – 1 = 2.

Следовательно, χ2крит = 9,2

Значит критическая и доверительная области выглядят следующим образом:

D [0; χ2крит ). S [χ2крит; + ∞);

D [0; 9,2). S [9,2; + ∞).

5. Поскольку χ2расч входит в доверительную область D, то нет оснований отвергать основную гипотезу о Пуассоновском распределении.

5. Расчёт показателей СМО.

Согласно проверенным выше гипотезам, мы описываем систему массового обслуживания вида:

<М│М│2> (с очередью).

где: <М│ — функция распределения промежутка времени между приходами вызовов (т.е. характеристика входного потока);

│М│ — функция распределения времени обслуживания (т.е. характеристика времени обслуживания);

│2> – число приборов в системе;

(с очередью) – дисциплина обслуживания.

λк = λ

μк =

λк = 33,2

μк =

Рассмотрим стационарность данной системы:

,

.

λ = = 33,2, т.е. среднее количество клиентов, поступивших в систему в единицу времени = 33,2.

= = 23,1 => μ = = 11,55, т.е. среднее количество клиентов, обслуженных 1 прибором системы = 11,55.

Для того, что бы существовала стационарность, необходимо, чтобы коэффициент загруженности системы (ρ) был меньше числа обслуживающих приборов (m), т.е. ρ<2.

,

ρ>2.

Вывод: стационарности нет! Значит нам необходимо провести изменения в системе, что бы её добиться, а именно установить дополнительный (третий) прибор для увеличения производительности системы (увеличение интенсивности – скорости обслуживания – не представляется возможным).

6. Расчёт показателей СМО после улучшений, произведённых в системе.

Рассмотрим систему:

<М│М│3> (с очередью).

где: <М│ — функция распределения промежутка времени между приходами вызовов (т.е. характеристика входного потока);

│М│ — функция распределения времени обслуживания (т.е. характеристика времени обслуживания);

│3> – число приборов в системе;

(с очередью) – дисциплина обслуживания.

λк = λ

μк =

λк = 33,2

μк =

Рассмотрим стационарность данной системы:

,

.

λ = = 33,2, т.е. среднее количество клиентов, поступивших в систему в единицу времени = 33,2.

= = 34,65 => μ = = 11,55, т.е. среднее количество клиентов, обслуженных 1 прибором системы = 11,55.

Примечание: в расчёте использовано число 1039.5, поскольку мы не хотим уменьшить среднее значение μ, в связи с возможным увеличением количества клиентов.

Для того, что бы существовала стационарность, необходимо, чтобы коэффициент загруженности системы (ρ) был меньше числа обслуживающих приборов (m), т.е. ρ<3.

,

ρ<3.

Вывод: стационарности есть!

Рассчитаем вероятность того, что в системе никого нет (доля времени простоя системы):

,

,

P0= 0,00978 < 0.1 (допустимое значение параметра)

Рассчитаем вероятность того, что в системе k клиентов (доля времени, в течении которого система занята k клиентами):

,

.

Например:

1. В системе 1 клиент. Вероятность этого равна:

2. В системе 2 клиента. Вероятность этого равна:

3. В системе 3 клиента. Вероятность этого равна:

4. В системе 4 клиента. Вероятность этого равна:

5. В системе 5 клиентов. Вероятность этого равна:

и т.д.

Рассчитаем среднее время, проведённое клиентом в очереди:

,

где П – вероятность того, что все приборы заняты,

.

,

что равно примерно 7 часам.

Рассчитаем среднее время пребывания клиента в системе:

,

где — среднее время обслуживания клиента (≈0,08658 [0,95 часа]),

что равно примерно 7,92 часа.

Рассчитаем среднее число клиентов в системе в единицу времени:

,

человек.

7. Экономическая обоснованность улучшений.

Рассчитаем финансовую сторону данных изменений, располагая ниже приведёнными данными (в месяц):

· Арендная плата (за производственную площадь) – 300р за м2 ;

· Производственная площадь – 20 м2 ;

· Средняя з/п (включая дополнительную и ЕСН) – 10 000р.;

· Средний доход с 1 клиента – 250р.;

· Прочие расходы (инструменты, амортизация и т.д.) – 12 000р.;

· Закупка и установка дополнительной единицы оборудования – 20 000р.;

1. Для системы <М│М│2> (с очередью).

Выручка за месяц = μ*(средний доход с 1 клиента)*(кол-во дней в месяце) = 23,1*250*30 = 173 250р.

Прибыль от оказания услуг = (выручка за месяц) — (постоянные + переменные расходы) = 173 250 – 300*20 – 10 000*2 – 12 000 = 135 250р.

Чистая прибыль = (прибыль от оказания услуг) – (налог на прибыль) = 135 250 – 135 250*0,24 =102 790р.

Итого: чистая прибыль за 1 месяц = 102 790р.

2. Для системы <М│М│3> (с очередью).

Выручка за месяц = μ*(средний доход с 1 клиента)*(кол-во дней в месяце) = 33,2*250*30 = 249 000р.

Прибыль от оказания услуг = (выручка за месяц) — (постоянные + переменные расходы) = 249 000 – 300*20 – 10 000*3 – 15 000 = 198 000р.

Чистая прибыль = (прибыль от оказания услуг) – (налог на прибыль) = 198 000 – 198 000*0,24 =150 480р.

Итого: чистая прибыль за 1 месяц = 150 480р.

После вычета средств, потраченных на закупку и установку оборудования: 150 480 – 20 000 = 130 480р.

Итого: прибыль на конец месяц = 130 480р. Что, как видно из расчётов, всё равно выше, чем в предыдущем случае.

Это означает: если не будет установлена дополнительная обслуживающая единица, парикмахерская будет терять почти 28 000р чистой прибыли ежемесячно!

8. Рекомендации по улучшению работы СМО.

Уважаемый ...

Согласно предоставленным нам данным был осуществлён анализ вашей системы массового обслуживания. Исходя из полученных результатов, можно сделать определённые выводы, а именно:

· Создание данной структуры является экономически обоснованным и действительно необходимым для данного района;

· Система обеспечивает широкий выбор предлагаемых услуг;

· Анализируемый отдел работает на максимуме своих возможностей;

· Существует довольно большое кол-во вынужденных отказов при предоставлении услуг, что представляет собой «проблему».

В связи с этим мы предлагаем вам провести некоторые улучшения.

Поскольку система работает на максимуме своих возможностей, то увеличение скорости обслуживания не представляется реальным; к тому же от этого может пострадать качество обслуживания, что в свою очередь приведёт к уменьшению числа клиентов. Поэтому, единственный способ решить данную проблему, это установить дополнительную единицу оборудования, а в ближайшем будущем возможно и ещё одну.

Данное решение – не просто слова, а экономически обоснованное предложение. Согласно расчётам в пункте 7, после установки оборудования парикмахерская будет получать ежемесячно около 28 000р чистой прибыли сверх текущей. А если учесть, что при увеличении кол-ва обслуживающих устройств может произойти возрастание потока клиентов, то и прибыль будет больше.

Данные рекомендации не являются обязательными к выполнению, но если фирма планирует расширение своих возможностей и увеличение числа обслуживаемых клиентов, то они могут представлять основу для анализа перспектив.

С уважением, Аникин С.А. и Сердцев В.С.

9. Заключение.

Нами были приобретены навыки и умения по анализу систем массового обслуживания.

10. Список используемой литературы.

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 1977.

2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания: учебное пособие / Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко. – М.: Наука, 1987.

3. Джафаров К.А. Элементы теории массового обслуживания: курс лекций / К.А. Джафаров, А.А. Могульский. – Новосибирск: НГТУ, 1997.

4. Организация нового производства: методические указания / В.К. Стародубцева, Р.Г. Тишкова. – Новосибирск: НГТУ, 2006.