Реферат: Название работы
VII зональная научно-практическая конференция «Шаг в будущее»
Направление: Математика
Название работы:
« Задачи на смеси и их практическое применение»
Автор: Ветошкина Юлия, ученица 9 а класса
Место выполнения работы: МОУ ООШ № 21 г. Оленегорска
Мурманской области
Научный руководитель: Прокопенко Надежда Ивановна,
учитель математики МОУ ООШ №21
2008 г .
СОДЕРЖАНИЕ
- Введение 3
- Различные способы решения задач 5
- Задачи на изменение концентрации 7
- Задачи на «высушивание» 14
- Задачи на смешивание 17
- Задачи на переливание 21
- Задачи на добавление 26
- Заключение 30
- Список литературы 31
1. Введение
Цели и задачи исследования:
1. Выяснить существуют ли другие (неизвестные нам) способы решения задач на смеси, если да, то изучить и применить при решении задач.
2. Исследовать, как меняются формулы для нахождения количества «чистого» вещества и процентного содержания «чистого» вещества в полученной смеси после «п» переливаний в зависимости оттого, что дано в начале: смесь или «чистое» вещество.
3. Систематизировать задачи по уровню сложности.
Почему мы выбрали данную тему?
1. Задачи на смеси ежегодно включают в варианты ЕГЭ 11 класса, а теперь и в 9 классе, но многие ученики не приступают к решению, так как испытывают сложности при решении этих задач.
2. Тема «Задачи на смеси» имеет практическую направленность. Собираясь в школу, мы пьем чай (не задумываясь о концентрации сахара в чае, однако кладем столько сахара, чтобы не пересластить), летом мы ходим за грибами, затем их сушат и мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше в них остается воды, и при этом количество «сухого» вещества не меняется. Врач выписывает рецепт, и мы идем в аптеку, где готовят лекарство (смесь). Когда начинается эпидемия гриппа, технички моют пол, добавляя хлорку в воду для того, чтобы «убивать» микробы (если хлорки положить больше нормы, то можно отравиться). Мы пьем воду, которую предварительно обработали (на «Водоканале» воду очищают от примесей и обеззараживают). Наши родители работают на ГОКе и их зарплата зависит от %-ного содержания железа в добытой руде. И т. д.
3. Мы выбрали тему «Задачи на смеси» еще и потому, что нас заинтересовали задачи на переливание:
Из сосуда, где находится p %-ный раствор вещества, отливают а литров смеси и доливают a литров воды. Какова доля вещества после n переливаний и сколько вещества в полученной смеси?
Мы вывели формулы ; ,а затем решили проверить как изменятся (или не изменятся) формулы, если вначале в сосуде находилось «чистое» вещество (кислота, спирт и так далее), получили , . Оказалось, что в новых формулах нет 0,01р. Теперь появилась возможность быстро решить задачи данного типа с числовыми данными.
В чем практическая значимость нашей работы?
По справочникам и учебным пособиям мы выбрали задачи на смеси и, решив, распределили их по блокам. А поскольку в ходе работы мы узнали новый способ решения задач на смеси – «старинный », то, изучив его, смогли решить задачи несколькими способами. В конце каждой задачи мы указали, начиная с какого класса можно ее решать. Это позволит учителю одну и ту же задачу (или ей подобную) включать в 5 классе (или в 6 классе) при изучении темы, а потом её же включить при повторении в 9 классе. Так как задачи решены различными способами, то ученики имеют возможность сравнивать способы решения, выбирать наиболее рациональный, кроме того, ученики повторяют, как найти часть от числа и число по части, прямую и обратную пропорциональность, решение уравнений и другое.
Практическая значимость работы заключается в возможности использования полученных в ходе исследования данных для работы на уроках.
2. Различные способы решения задач
Говоря о смесях, растворах, сплавах – будем употреблять термин «смесь» – независимо от ее вида (твердая, жидкая, сыпучая и т.д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и примеси. Что такое чистое вещество – определяем в каждой задаче отдельно.
Долей (a) чистого вещества в смеси называется отношением количества чистого вещества (m) в смеси к общему количеству смеси (М).
Например. В колбе 140 мл. 10%-ного раствора марганцовки. Долили 60 мл 30%-ного раствора марганца. Определить %-ное содержание марганца в полученном растворе.
m | М | a | |
Было | 0,1× 140 = 14 (мл) | 140 мл | 0,1 |
Добавили | 0,3 × 60 = 18 (мл) | 60 мл | 0,3 |
Стало | 32 мл | 200 мл | ? |
– процентное содержание марганца в полученном растворе |
Поменяем условие задачи: Сколько нужно взять 10%-ного раствора марганцовки и 30%-ного раствора, чтобы получить 200 мл. 16%-ного раствора марганца.
1 способ.
m | М | a |
0,1 × х мл | Х мл | 0,1 |
0,3(200 – х) мл | (200 – х) мл | 0,3 |
(0,1 + 0,3×(200 – х)) мл | (200 – х) мл | 0,16 |
0,1х + 0,3(200 – х) = 0,16 × 200
0,1х + 60 – 0,3х = 32
0,2х = 28 х = 140
10%-ного раствора надо взять 140 мл,
30%-ного раствора 60 мл.
2 способ.
10% взяли х мл, 30% — y мл; получили 200 мл, где 200 × 0,16 = 32 (мл) марганца, то
Получили: х = 140, y = 60
Решим эту задачу «старинным » способом:
Друг под другом пишут содержания веществ (в задаче это %-ное содержание марганца) имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание вещества в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединим записанные числа черточками, получим схему
Теперь из большего числа вычитаем меньшее, т.е. 16 – 10 = 6; 30 – 16 = 14
10 14
Получаем: 16
30 6
Из схемы делается заключение, что 10%-ного раствора надо взять 14 частей, а 30%-ного раствора – 6 частей.
Значит, в 200 мл: 14 + 6 = 20 (частей)
200: 20 × 14 = 140 (мл) – 10%-ного раствора
200: 20 × 6 = 60 (мл) – 30%-ного раствора
3. Задачи на изменение концентрации
3.1. Имеется бутылка 20%-ного раствора кислоты и бутылка 40%-ного раствора кислоты.
1) Смешали 200 г из I бутылки и 300 г из II. Сколько «чистой» кислоты содержится в смеси? Определить % — ное содержание кислоты в полученном растворе.
m | M | a |
0,2 × 200 = 40 (г) | 200 | 0,2 |
0,4 × 300 = 120 (г) | 300 | 0,4 |
160 г | 500 | 160 500 |
160 г чистой кислоты в смеси
— процентное содержание кислоты.
2) Взяли 300 г из I бутылки. Сколько надо долить из II, чтобы получить 32%-ный раствор?
m | M | a |
0,2 × 300 = 60 (г) | 300 | 0,2 |
0,4 × х = 120 (г) | Х | 0,4 |
(60 + 0,4х) г | (300 + х) г | 0,32 |
60 + 0,4х = 0,32(300 + х)
60 + 0,4 х = 96 + 0,32х
0,08х = 36 х = 450
Надо долить 450 г II-го раствора.
3) Верно ли, что если из II бутылки берут на 50% больше, чем из I, то смесь всегда оказывается 32%-ным раствором кислоты?
m | M | a |
0,2х л | х л | 0,2 |
0,4 × 1,5х л = 0,6х (л) | 1,5х л | 0,4 |
0,8х л | 2,5х л | 0,8х 2,5х |
3.2. Вода содержит 18% сахара. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг сладкой воды, чтобы содержание сахара составило 15%? (с 5 кл.)
1 способ.
Решение:
Пусть х – количество воды, которую надо добавить.
m M a
0,18 · 40=7,2 кг 40кг 0,18
0,15 · (40+х) (40+х)кг 0,15
Так как количество сахара не изменилось, то
0,15 · (40+х)=7,2
6 + 0,15х = 7,2
0,15х = 1,2
х = 8
Значит, нужно добавить 8кг пресной воды.
Ответ: 8 кг пресной воды
2 способ.
18 15
15
0 3 в 40 кг 15 частей
40: 15 × 3 = 8 (кг)
3.3. Сколько граммов раствора марганцовки, концентрация которой 35%, надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация составила 10%? (с 6 кл.)
Решение:
m M a
исходный раствор 0,35х х г 0,35
вода 325г
полученный раствор 0,35х (х+325)г 0,1
Получили уравнение:
0,1·(х+325)=0,35х 0,1х+32,5=0,35х
0,1х – 0,35х= -32,5 -0,25х= — 32,5
х = 32,5:0,25 х = 130
Значит, 130г надо добавить.
Ответ: 130г.
2 способ
35 10
10
0 25 325: 25 × 10 = 130 (г)
3.4 Сколько граммов воды нужно добавить к 5% — ой йодной настойке массой 100г, чтобы ее концентрация уменьшилось до 1%?(С 5 кл)
Решение:
Пусть х – количество воды, которую надо добавить.
m M a
I раствор 5г 100г 0,05
вода х г
II раствор 5г (х+100)г 0,01
Получили уравнение:
0,01·(х+100) = 5
0,01х + 1 = 5
0,01х = 4
х = 400
Значит, 400 г воды надо добавить.
Ответ: 400 г.
2 способ
5 1
1
0 4 100: 1 × 4 = 400 (г)
3 способ
1) 100 × 0,05 = 5 (г) йода
2) 5 г это 1%
3) 500 – 100 = 400 (г)
3.5 Кусок сплава массой 36 кг содержит 45 % меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60%?( с 6 кл)
Решение:
45 = 45%
36 · 0,45 = 16,2
Пусть масса меди, которую надо добавить в сплав х кг, тогда (36 + х) кг – масса сплава после добавления меди, (16,2 + х) кг – масса меди в сплаве после добавки.
Зная, что медь в сплаве после добавки составила 60%, составим и решим уравнение:
16,2 + х
———— = 0,6
36 + х
16,2 + х = (36 + х)·0,6
16,2 + х = 21,6 + 0,6х
х – 0,6х = 21,6 -16,2
0,4х = 5,4
х=13,5
Ответ: 13,5 кг меди нужно добавить.
2 способ
45 40
60
100 15 36 кг: 40 × 15 = 13,5 (кг)
3.6. Какую массу воды надо добавить к раствору сода + вода массой 90кг, содержащему 5% соды, чтобы получить раствор, содержащий 3% соды?(с 5кл)
Решение:
Пусть х – количество воды, которую надо добавить.
m M a
вода х кг
вода+сода 4,5 кг 90 кг 0,05
сода 4,5 кг (90 + х) кг 0,03
Получили уравнение:
(90 + х)· 0,03 = 4,5
2,7 + 0,03х = 4,5
0,03х = 1,8
х = 60
Значит, 60 кг воды нужно добавить.
Ответ:60 кг воды нужно добавить.
2 способ
5 3
3
0 2 90 г: 3 × 2 = 60 (г)
3 способ
1) 90 × 0,05 = 4,5 (кг)
2) 4,5 кг это 3%
4,5: 0,03 = 150 (кг)
3) 150 – 90 = 60 (кг)
3.7. Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 40 кг морской, чтобы содержание соли в полученной воде составило 2%?(с 5 кл)
Решение:
В 40 кг. морской воды 40· 0,05 = 2(кг) соли и в полученном растворе 2 кг соли. То 2: 0,02 =100(кг).
m M a
2 кг 40 кг 0,05
2 кг 100 кг 0,02
100 – 40 = 60 (кг) пресной воды нужно добавить.
Ответ: 60 кг.
2 способ
5 2
2
0 3 40 кг: 2 × 3 = 60 (кг)
3 способ
m | М | a |
40 × 0,05 = 2 (кг) | 40 кг | 0,05 |
х кг | ||
2 кг | (40 + х) кг | 0,02 |
2 = 0,02 × (40 + х)
2 = 0,8 + 0,02х
0,02х = 1,2 х = 60
3.8. В морской воде содержится 5% соли. Сколько кг пресной воды надо добавить к 55 кг морской для получения 4% раствора. ( с 5 кл)
Ответ: 13,75 кг.
3.9. Было 12 кг воды. В нее добавили несколько кг сахара и получили 4% раствор. Какое количество сахара было добавлено в воду?( с 6 кл)
Решение:
Пусть х – количество сахара, которое добавили.
m M a
12кг
+
х кг х кг
———————————————————————————————
х кг (12 + х)кг 0,04
(12 + х)· 0,04 = х
0,48 + 0,04х = х
0,96х = 0,48
х = 0,5
Значит, 0,5 кг сахара добавили.
Ответ: 0,5кг
2 способ
0 96
4
100 4 12 кг: 96 × 4 = 0,5 (кг)
3.10. В апельсиновом соке содержится 12% сахара. Сколько воды нужно добавить к 5л сока, чтобы содержание сахара стало 8%? ( с 5 кл)
Решение:
Пусть х – количество воды, которую надо добавить.
m M a
5·0,12 = 0,6 кг 5л 0,12
0,6 кг (5+х) 0,08
Получили уравнение:
0,08·(5+х) = 0,6
5+х = 0,6:0,08
5+х = 7,5
х = 7,5 – 5
х =2,5
Значит, 2,5 л воды надо добавить.
Ответ: 2,5л.
2 способ
12 8
8
0 4 5 л: 8 × 2 = 2,5 (л)
3 способ
1) 5 л × 0,12 = 0,6 (л)
2) 0,6 л это 8%
0,6: 0,08 = 7,5 (л)
3) 7,5 л – 5 л = 2,5 (л)
3.11. Соляная кислота содержит 16% соли. Сколько кг пресной воды надо добавить к 60 кг соляной кислоты, чтобы содержание соли стало 10%? (с 5 кл)
Ответ: 3,6кг.
3.12. К 15л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор соли. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?
(с 6 кл)
Решение:
Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х)л, в котором содержится 0,8·(15 + х)л соли. В 15л 10%-ного раствора содержится 15·0,1 = 1,5л соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0, 05х л соли. Составим и решим уравнение:
1,5 + 0,05х = 0,08· (15 + х)
1,5 + 0,05х = 1,2 + 0,08х
0,05х – 0,08х = 1,2 – 1,5
0, 03х = 0,3
х = 10
Значит, 10л 5%-ного раствора добавили.
Ответ: 10л.
2 способ
m | М | a |
0,1 × 15 = 1,5 (л) | 15 л | 0,1 |
0,05х л | Х л | 0,05 |
(1,5 + 0,05х) л | (15 + х) л | 0,08 |
1,5 + 0,05х = 0,08 (15 + х)
х = 10
3 способ
10 3
8
5 2 15 л: 3 × 2 = 10 (л)
3.13. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди? ( с 5 кл)
Решение:
Т.к масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, то можно записать след. уравнение:
(12 + х ) 0,4 =12·0,45
Решив его, получим х = 1,5.
Значит, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.
Ответ:1,5кг.
2 способ
55 40
60
100 5 12: 40 × 5 = 1,5 (кг)
3 способ
1) Определим, сколько меди в 12 кг.
2) 5,4 кг это 40%
5,4: 0.4 = 13,5 (кг) вес нового сплава
3) 13,5 – 12 = 1,5 (кг)
3.14 В 5%-ный раствор соли добавили 55г соли, после этого раствор стал 10%-ным. Сколько грамм 5%-ного раствора было?( с 6 кл.)
m M a 0,05 х г х г 0,05
(0,05х+55)г (х+55)г 0,1
Получили уравнение:
0,05х+55=0,1·(х+55)
0,05х+55=0,1х+5,5
0,1х-0,05х=55-5,5
0,05х=49,5
х=990
Значит, было 990г 5%-ного раствора.
2 способ
5 90
10
100 5
5% раствора 90 частей
в 55 г 5 частей, то
55: 5 × 90 = 990 (г) Ответ: 990г.
3.15.Имеется творог двух сортов: « жирный» содержит 20% жира, «нежирный» содержит 5% жира. Определить процент жирности полученного творога, если смешали:
а) 2 кг «жирного» и 3 кг «нежирного» творога.
б) 3 кг «жирного» и 2 кг «нежирного» творога. (с 5кл)
1 способ
40 – 2х = 3х – 15 5х = 55 Х = 11 | 60 – 3х = 2х – 10 5х = 70 х = 14 |
2 способ
m М a 2 × 0,2 = 0,4 (кг) 2 кг 0,2 3 × 0,05 = 0,15 (кг) 3 кг 0,2 0,4+0,15=0,55 (кг) 5 кг ? | m М a 0,6 3 0,2 0,1 2 0,05 0,7 5 ? |
3 способ
4. Задачи на «высушивание»
4.1. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили их влажность стала составлять 20%. Чему равна масса цветков после сушки?(с 5кл)
Решение:
Так как сухого вещества в 8 кг равно 15%, то сухого вещества 0,15х8=1,2кг. После сушки сухое вещество равно 80%, т.е. 1,2:0,8=1,5 кг.
Ответ: 1,5 кг.
4.2. Из 22кг свежих грибов получается 2,5кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах? (с 5кл)
Решение:
Свежие грибы всего 22кг % — ?
Сухие грибы всего 2,5кг 12% воды 88% сухого вещества
2,5 ×0,88 = 2,2кг – сухое вещество
2,2: 22 × 100% = 10% сухого вещества содержится в свежих грибах.
100% — 10% = 90% воды в свежих грибах
Ответ: 90%
4.3.Свежие яблоки содержат 80% воды, а сухие 10%. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить из них 6кг сухих? (с 5кл)
Если в сухих яблоках 10% воды, то сухое вещество составляет 90%. Найдем сколько кг сухого вещества содержится в 6кг сухих яблоках.
6 × 0,9 = 5,4 кг
Такое же количество сухого вещества было в свежих яблоках, причем оно составляет 20% от количества свежих яблок.
То есть 5,4 это 20%
5,4: 0,2 = 27кг Ответ: 27кг.
4.4.Если из 10кг абрикос получается 8кг кураги, содержащей 12% воды, то сколько процентов воды содержат свежие абрикосы? (с 5кл)
Решение:
42% = 0,42
100% — 42% = 58%
58%= 0,58
0,58 × 8 = 4,64(кг) – сухое вещество
4,64: 10 ×100% = 46,4 %
100% — 46,4% = 53,6% Ответ:53,6%
4.5.Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели пролежал на воздухе?(с 5кл)
Решение:
Только что добытый уголь 2% воды 98% сухого вещества
Уголь после 2-х недель 12% воды 88% сухого вещества
1т = 1000кг
1000 × 0,98= 980 кг- сухого вещество в добытом угле
980 кг это 88%
980: 0,88 »1114(кг) – масса угля после 2-х недель
1114-1000=114 (кг)- увеличилась масса
Ответ: на 114 кг
4.6 В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько кг свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30кг сушеных? (с 5кл)
Решение:
m M λ
27кг 30кг 0,9 сухие
27кг 27: 0,3=90кг 0,3 свежие
(остается) 90кг
Ответ: 90кг свежих грибов надо для того, чтобы получить 30кг сушеных.
4.7.Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие – 1,2% воды. Сколько получится сухих грибов из 22кг свежих грибов? (с 5кл)
Решение:
В 22кг свежих грибов содержится 10% сухого вещества, т.е.
0,1 × 22 = 2,2кг
Когда грибы подсушили, то сухое вещество стало составлять 88%
2,2 кг это 0,88
2,2 × 0,88 = 2,5кг
Ответ: из 22кг свежих грибов получится 2,5 кг сухих.
4.8 Трава при высыхании теряет около 28% своего веса. Сколько было накошено травы, если из неё было получено 1,44 т сена? (с 5кл)
Решение:
Х кг – 100%
1,44 кг – 72%
0,72Х = 1,44
Х = 2
Значит, было накошено 2т травы
Ответ: 2 тонны.
4.9. Хранившееся на складе зерно имело влажность 20%. После просушивания влажность его стала 15%. Какова стала масса зерна, если при первоначальной влажности она была равна 51т? (с 5кл)
Решение:
m M a
51 ·0,8=40,8 т 51т 0,8 (100%-20%)
40,8 т? 0,85 (100%-15%)
Значит, масса зерна стала 40,8:0,85 = 48т. Ответ:48т.
2 способ
m | М | a |
51 × 0,8 m | 51 m | 0,8 m |
0,85 × x m | X m | 0,85 |
51 × 0,8 = 0,85 × x
x = 48
4.10.Сколько кг воды надо выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 25% целлюлозы? (с 6кл)
Решение:
m M a
0,5·15=0,75т 0,5т 0,15
0,25(0,5 — х) (0,5 — х)т 0,25
Получили уравнение:
0,5·0,15 = 0,25·(0,5 — х)
0,015 = 0,125 – 0,25х
0,25х = 0,05
х = 0,2
Значит, 0,2 т воды надо выпарить.
2 способ
0,5 m = 500 кг
1) В 500 кг целлюлозной массы
500 × 0,15 = 75 (кг)
2) 75 кг это 25%
75: 0,25 = 300 (кг) вес полученной массы
3) 500 – 300 = 200 (кг)
Ответ:200 кг.
4.11. Из 60%-ного водного раствора спирта испарилась половина воды и 2 /3 спирта. Каково % содержание спирта в получившемся растворе? (с 6кл)
Пусть вес раствора был х гр, в нем 60% спирта, т.е. (0,6·х) г и 40% воды, т.е. 0,4х г. Осталось 0,6х·1 /3 =0,2х(г) спирта и 0,4х·1 /2 =0,2х(г)-воды
0,2х
———— ·100%= 2 /4 ·100%=50%
0,2х+0,2х
Ответ:50%.
4.12. Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мед, освобождая его от воды. Исследования показали, что нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мед – только 20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения одного килограмма меда? (с 5кл)
Решение:
В 1 кг меда 80% «чистого вещества», то есть 1·0,8=0,8(кг)
0,8 кг составляет 100%-84%=16% «чистого вещества», которое находится в нектаре, значит надо переработать 0,8:0,16=5(кг)
Ответ: 5 кг.
5. Задачи на смешивание
5.1 При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140г 30%-ного раствора. Сколько грамм каждого раствора было взято?
(с 6кл)
Решение:
I способ m M a
0,05х х 0,05х
0,4(140-х) 140–х 0,4
0,05х + 0,4(140-х) 140 0,3
Получили уравнение:
0,05х+0,4(140-х)=140·0,3
0,35х=14, х=40
Ответ :40г и 100г.
II способ
Пусть взяли х г 5%-ного раствора, в котором находится 0,05х г кислоты и у г 40%-ного раствора, где находится 0,4у г кислоты.
В 140г нового раствора содержится 30% кислоты, т. е. 140·0,3=42 г
Получили {х+у=140
0,05х+0,4у =42
х=140 –у
0,05(140-у)+0,4у=42, 7-0,05у+0,4у=42 у=100 х=40
III способ
Смешали 5%-ный раствор кислоты и 40%-ный раствор.
5
40-30=10
30
30-5=25
40
Получили: 5%-ного раствора надо взять 10 частей; 40%-ного – 25 частей.
Значит, 140г это 35 частей
140:35·10=40г – 5%-ного
140:25·10=100г – 40%-ного
(140-40=100г)
Ответ: 40г и 100г.
5.2.Один раствор содержит 20% соли, а второй – 70%. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100л 50%-ного соляного раствора? (с 5кл.)
m M a
0,2х л х л 0,2
0,7(100-х)л (100-х)л 0,7
(0,2х+0,7(100-х))л 100кг 0,5
Получили уравнение:
0,2х+0,7(100-х)=100·0,5
0,2х+70-0,7х=50
-0,5х=-20
х=40
Значит, I раствора взяли 40кг, II-60кг.
Ответ: 40кг и 60кг
2 способ
100 л: (30 + 20) = 2л
2 × 30 = 60 (л) – надо взять 20%-ного
2 × 20 = 40 (л) надо взять 70%-ного
5.3. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? (с 6кл)
Решение:
Состояние смеси m(г) M (г) a
I 0,3x x 0,3
II 0,1(600-x) 600-x 0,1
I+II 0,3x+0,1(600-x) 600 0,15
Получили уравнение:
0,3x+0,1(600-x)= 600·0,15
х=150
Значит, 150г 30%-ного раствора и 600-150=400г 10%-ного раствора.
Ответ:150г и 450г.
5.4. Смешали клубничный сироп, содержащий 40% сахара, и содержащий 20% сахара малиновый сироп. В итоге получили сироп из смеси ягод, содержащий 25% сахара. Какое количество каждого сиропа было изначально, если масса ягодного сиропа 360г. (с 6кл)
m(сахар) | M | a | |
Клубничный сироп | 0,4х г | Х г | 0,4 |
Малиновый сироп | 0,2(360-х) | (360-х) г | 0,2 |
Ягодный сироп | 0,4+0,2(360-х) г | 360 г | 0,25 |
0,4х+0,2(360-х)=360×0,25
0,4х+72-0,2х=90
0,2х+72=90
0,2х=18
х=90
90 г-масса клубничного сиропа
360-90=270 (г) – масса малинового сиропа
Ответ: изначально было 90 г клубничного и 270 г малинового сиропа
5.5 Имеется руда из двух пластов с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» получить 20т с содержанием меди 8%?(с 6кл)
Решение:
1способ
m | M | a | |
1 | 0,06х | х | 0,06 |
2 | 2,2-0,11х | 20-х | 0,11 |
2,2-0,05х | 20 | 0,08 |
2,2-0,05х=20×0,08
2,2-0,05х=1,6
0,6=0,05х
х=12. Значит, 12т «бедной» руды надо взять.
2способ
11%=0,11
8%=0,08
6%=0,06
Пусть х т «бедной» руды содержит 0,06хт меди, то 0,11×(20-х) т меди – «богатой» руды
20 т содержит 20×0,08 т меди
Составим и решим уравнение:
0,06х+0,11×(20-х)=20×0,08
0,06х+2,2-0,11х=1,6
-0,05х+2,2=1,6
-0,05х=-0,6
х=12 Ответ: 12т
5.6. Имеется 36 л раствора 3% азотной кислоты. Сколько литров раствора 6% азотной кислоты надо влить в сосуд, чтобы после добавления воды получить 54 л раствора 5% азотной кислоты?
Решение:
Пусть х литров надо влить в сосуд
m | М | λ | |
было | 1,08л | 36 | 0,03 |
прибавили | 0,06 х | х | 0,06 |
стало | 1,08 +0,06 х | 36 +х | |
Стало, после прибавления воды | 2,7л | 54л | 0,05 |
Т.к. после прибавления воды чистое вещество в растворе не изменилось, то:
1,08 + 0,06 х = 2,7л
0,06 х = 2,7 – 1,08
0,06 х = 1,62
х = 27
Значит 27л 6%-ной азотной кислоты надо влить в сосуд.
Ответ: 27л
5.7. Требуется приготовить 1кг 15%-ного раствора аммиака из 25%-ного раствора. Сколько необходимо для этого взять граммов 25%-ного раствора аммиака и воды?
Решение:
m | M | a |
0,15 | 1кг | 0,15 |
0,15 | 0,6кг | 0,25 |
Значит, нужно взять 0,6 кг=600 г раствора, и 1000 г-600 г=400 г воды.
Ответ: 600г раствора, 400г воды.
2 способ
1000: (15 + 10) – 15 = 600 (г) – аммиака
1000: 25 × 10 = 400 (г) – воды
6. На переливание
6.1. В сосуде, объем которого А л, находится p %-ый раствор соли. Из сосуда выливают а л воды, после чего раствор перемешивают. Эта процедура повторяется n раз. Какова доля соли после n перемешиваний?
m | M | a |
0,01р × А | А | 0,01р |
1) | A – a + a | |
2) | A – a + a | |
3) | A – a + a = A |
Следовательно, после n перемешиваний доля соли станет ,
а соли станет .
6.2. Проверим как изменится формула, если в сосуде А л чистого раствора спирта. Отливают а л и доливают а л воды. Какова доля спирта после n переливаний?
m | M | a |
А л | А л | 1 |
1) А л – а л | А л– а л+ а л | |
2) | (А – а + а ) л | |
3) Спирта после трех переливаний | (А – а + а ) л | для спирта после трех переливаний |
Значит, после n переливаний будет спирта, – доля спирта.
6.3. Из сосуда, наполненного 20 л спирта, отливают 1 л и дополняют сосуд водой, потом отливают 1л смеси и опять дополняют сосуд водой; так поступают в третий, в четвертый и т.д. раз. Сколько спирта в сосуде после 10 отливаний?
Применим формулу: , где n =10 А = 20 а = 1
6.4. Из полного бака, содержащего 729 л кислоты, отлили а л и долили бак водой. После перемешивания отлили а л раствора и снова долили бак водой. После того как такая процедура была повторена 6 раз, раствор в баке содержал 64 л кислоты. Найти а .
; (729 – а )6 = 26 × (36 )5; (729 – а )6 = (2 × 35 )6
729 – а = 2 × 35; 729 – а = 486; а = 243
6.5. Сколько литров чистого спирта останется в сосуде, если из 50 л 80%-ного его раствора 20 раз отлили по 1 л раствора, каждый раз добавляя 1 л воды? (с 8 кл)
Применим формулу , где А = 50, Р = 80, n = 20
6.6 В сосуде объёмом 10 литров содержится 20 % раствор соли. Из сосуда вылили 2 л смеси и долили воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется 2 раза. Определить концентрацию соли после первой процедуры и после второй процедуры. (с 7 кл)
Решение:
Первоначальное количество соли рассчитывается по формуле pV:100 ,
где p – первоначальный % (в нашем случае – 20%)
V – объём(10 л )
20×10:100=2 кг соли первоначально было в растворе.
После того, как вылили 2 л смеси, соли осталось V×p:100-a×p:100, где а – объём вылитого (2 л)
10×20:100-2×20:100=2-0,4=1,6 кг соли, а её концентрация после добавления воды стала равной 16 %.
Вторая процедура:
10×(16:100)-2×(16:100)=1,6 – 0,32=1,28 (кг соли, оставшейся в растворе)
После добавления воды концентрация стала 12,8% х=1,28×100:10=12,8%
Ответ: после первой процедуры соли было 16%, после второй процедуры соли стало 12,8%
2 способ
Воспользуемся формулой:
– a соли
если n = 1, то
если n = 2, то
6.7. В первый сосуд, вместимостью 6 л налито 4 л 70%-ного раствора спирта, во второй сосуд той же вместимости налито 3 л 90%-ного раствора спирта. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в первом сосуде получился p%-ный раствор спирта? При каких p задача имеет решение? (с 8 кл.)
Решение:
m M a
I 0,7·4=2,8(л) 4л(из 6л) 0,7
II 0,9·3=2,7(л) 3л(из 6л) 0,9
Из II перелили в I p% раствор
Пусть перелили а л раствора из II сосуда в I сосуд, причем 0<a£2
Тогда в I сосуде стало (a+4)л смеси, где чистого вещества (спирта) станет 2,8л+0,9·а л
2,8+0,9а
———— · 100%=p%
а+4
2,8+0,9а р
———— = ——; 280+90а=ар+4р; 90а-ар=4р-280;
а+4 100
а(90-р)=4р-280
4р-280
а = ——— — столько литров раствора перелили
90-р
4р-280
0< ———— £ 2
90-р
По смыслу задачи р<90, то 90-р>0. Тогда получим, что 0<4р-280£2(90-р)
4р-280>0
4p-280£2(90-p)
4p>280
4p-280£180-2p
p>70
6p£460
p>70
p£76 2 /3 Þ70<p£76 2 /3
6.8 Из сосуда ёмкостью 54 л наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз? (с 8 кл.)
Решение:
I способ
Пусть в I раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54-х)л кислоты. Значит, в 1л смеси содержится (54-х):54 кислоты (концентрация раствора)
Во II раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве содержится (54-х):54·х л кислоты.
Таким образом, в I раз было вылито х л кислоты, во II – (54-х):54·х л кислоты, а всего за два раза вылито 54-24=30(л) кислоты.
х+(54-х):54·х=30
х1 =18 х2 =90 не удовлетворяет условию задачи
Значит, в I раз вылито 18л кислоты.
II способ
m M aбыло 54л 54л 1
1 раз (54-х)л (54-х+хH2O )л (54-х):54
2 раз (54-х)л-(54-х):54·х л (54-х+хH2O )л
Получили уравнение:
(54-х)л-(54-х):54·х=24
(54-х) (54-х) =24
54
(54-х)²=54·24
(54-х)²=1296
|54-х |=36
54-х=36 или 54-х=-36
х=18 или х=90 (не удовлетворяет условию задачи)
Значит, в I раз вылито 18л кислоты. Ответ:18л
6.9. Сосуд ёмкостью 8л наполнен смесью кислорода и азота, причем на долю кислорода приходится 16% емкости сосуда. Из этого сосуда выпускают некоторое количество смеси, дополняют сосуд азотом и вновь выпускают такое же количество смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате кислорода в сосуде стало 9%. Сколько литров смеси выпустили из сосуда в первый раз? (с 8кл)
Решение:
Предположим, что каждый раз выпускали х л азота и выпускали х л азота. После первого выпуска в сосуде осталось (8-х)·0,16л кислорода, которые растворились в 8л смеси (после второго выпуска азота). Концентрация кислорода на этом этапе равна
(8-х)·0,16
8, т.е. (8-х)·0,02.
После второго выпуска х л смеси в сосуде осталось (8-х)л смеси с концентрацией кислорода, равной (8-х)·0,02, т.е. (8-х)·(8-х)·0,02 л кислорода, которые растворились в 8л смеси(после второго впуска азота). Концентрация кислорода на этом этапе равна (8-х)²·0,02:8, а процентное содержание (8-х)²·0,02:8·100.
Получили уравнение:
(8-х)²·0,02:8·100=9
х=14 или х=2
не удовлетворяет условию задачи
Значит, в первый раз выпустили 2 л смеси.
Ответ: 2 л.
7. Задачи на добавление
7.1. 40кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде чистой соли оказалось на 2кг больше, чем в I сосуде. Если во II сосуд добавить 1кг соли, то количество соли в нем будет в 2 раза больше, чем в I сосуде. Найти массу раствора, находящегося в I сосуде.(с 7кл.)
Решение:
I 40кг II
у кг (40-у)кг
х% соли х% соли
II + 1кг соли, то будет соли в 2р. больше, чем в I
у·0,01·х<(40-у)·0,01х на 2кг
(40-у)·0,01х-0,01ху=2
(40-у)·0,01х+1=2·0,01ху
0,4х-0,01ху-0,01ху=2
0,4х-0,01ху-0,02ху=-1
0,4х-0,02ху=2
0,4х-0,03ху=-1
0,01ху=3
ху=300 х=300: у
4 300 300 2 300
—— · —— — 0,01·у · —— — —— ·у· —— = -1
10 у у 100 у
120: у-9=-1
120: у=8
у=15
Значит, 15 кг – масса раствора, находящегося в I сосуде. Ответ: 15 кг.
7.2 Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845г больше, чем меди. Если бы к нему добавили некоторое количество чистого серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально содержащегося в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра? (с 7кл)
Решение:
Пусть в сплаве х г серебра, то меди (х-1845)г. Значит, вес сплава (2х-1845)г.
Добавили 1 /3 х г серебра, масса нового сплава (21 /3 х-1845)г, в котором 11 /3 х г серебра.
Значит, в новом сплаве доля серебра:
11 /3 х
21 /3 х-1845 или 0,835
4 /3 х =0,835; х=2505
7 /3 х
Масса сплава 2·2505-1845=3165(г)
2505 167
—— · 100%= —— · 100%=79,1%
3165 211 Ответ: 79,1.
7.3.Сплав меди и цинка содержал меди на 640г больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6:7 содержащейся в нём меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200г. Сколько весил сплав первоначально? (с 7 кл)
Решение:
Пусть в сплаве было х г цинка и (х + 640) г меди. Так как в сплаве осталось 1/7 часть содержащейся в нём меди и 2/5 части цинка, то составим и решим уравнение:
1/7 (х + 640) + 2/5х = 200
(5/1:7×х) + (91×3/7) + (7/2:5×х) = 200
19/35×х = 108×4/7
Х = (760×35): (7×19)
Х = 200
Значит, цинка было 200г, меди 840г, то сплав весил 200г + 840г = 1040г или 1кг 40г
Ответ: 1кг 40г
7.4. Два раствора, из которых первый содержал 800 г. безводной серной кислоты, а второй -600г. безводной серной кислоты соединили и получили 10кг. нового раствора серной кислоты. Определить вес каждого из растворов вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10 больше, чем процентное содержание кислоты во втором. (с 8кл)
m | М | a |
0,800 кг | Х кг | |
0,600 | (10 – х) кг |
8(10 – х ) – 6х = х (10 – х )
80 – 8х – 6х = 10х – х 2
х 2 – 24х + 80 = 0
х = 12 ± 8
х 1 = 4 х 2 = 20 не удовлетворяет смыслу задачи (х < 10).
Значит, I раствор весит 4 кг, а II – 6 кг.
7. 5. Имелось 2 разных сплава меди. Процентное содержание меди в I сплаве на 40% меньше чем во II. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в I и во II сплавах,, если известно, что меди в I сплаве было 6 кг, а во II – 12 кг. (с 8 кл)
1 способ
m | М | a |
6 кг | х% | |
12 кг | (х + 40)% | |
18 кг | 36% |
Значит, в I сплаве было 20% меди, во II – 60%.
2 способ
I | II |
a кг | b кг |
х % меди | (х + 40)% меди |
7.6. В сплаве олова и меди содержалось 11 меди. После того как в сплав добавили 7,5 кг олова, содержание олова повысилось на 33%. Какова первоначальная масса сплава? (с 8 кл).
Пусть первоначальная масса сплава х кг, в нем 11 кг меди и (х – 11) кг олова.
m | М | a |
(х – 11) кг | х кг | |
(х – 11 + 7,5) кг = (х – 3,5) кг | (х + 7,5) кг |
Значит, первоначальная масса сплава 12,5 кг. Ответ: 12,5 кг.
8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выводы:
- Работа имеет практическую направленность
- Собранный материал можно использовать на уроках и для самоподготовки, т.к. есть возможность сравнить свое решение с предложенным.
- Выведенные формулы позволяют легко решить задачи на n переливаний с числовыми данными.
9. Список литературы
- Практикум по решению математических задач. В. Н. Литвиненко. Издательство «Просвещение» 1984 г.
- Конкурсные задачи по математике. М. К. Потапов. Москва. А. О. «Столетие» 1995 г.
- Сборник конкурсных задач по математике. В. М. Говоров. Москва. «Наука» 1983 г.
- Сборник задач по математике для поступающих во Втузы. М.И.Сканави Москва .1996 г.
- Сборник задач по алгебре. П. А. Ларичев. Москва «Просвещение» 1965 г.
- Алгебра. Задачник. В.В.Вавилов.Москва. Издательский дом «Дрофа»
- 1996 г.
- Алгебра 8. Задачник. А.Г.Мордкович. Москва. «Мнемозина» 2007 г.
- Интенсивный курс подготовки к тестированию и экзамену. С.В. Процко Минск. ТетраСистемс. 2005 г.
- Математические олимпиады 5- 6 класс. А.В. Фарков. Издательство «ЭКЗАМЕН» Москва, 2006г.
- Сборник заданий для проведения итоговой аттестации пи математике. Санкт-Петербург СМИО Пресс 2001г.
- Старинные занимательные задачи. С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко. Москва. «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1985 г