Реферат: Методические рекомендации по геометрии. Характеристика заданий экзаменационной работы
Методические рекомендации по геометрии.
Характеристика заданий экзаменационной работы
Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня (№1 – №8), соответствующих минимуму содержания курса «Геометрия 7-9 классов», обеспечивающих достаточную полноту проверки овладения соответствующим материалом. При выполнении этих заданий от обучающегося требуется распознать ранее изученную ситуацию и сделать вывод на основании известного теоретического факта. Как правило, для этого необходимо применение одного элемента содержания (определения, теоремы и др.).
Часть 2 включает 5 заданий повышенного (по сравнению с базовым) уровня (№9 –№13), при решении которых от учащегося требуется применить свои знания в измененной ситуации для описанных в условии геометрических фигур, используя при этом методы, известные ему из школьного курса.
Задача № 11 носит практический характер. Для её решения обучающимся необходимо самостоятельно составить математическую модель реальной ситуации. В задаче № 12 необходимо установить, какими из перечисленных свойств обладает указанная геометрическая фигура. Следует отметить, что это задание на знание и понимание изученных геометрических фактов позволяет в то же время проверить умение проводить рассуждения при решении задачи, обнаруживая возможности для их использования. Поэтому его выполнение и оценивается 2 баллами, если указаны все 3 верных ответа и при этом не указаны неверные ответы; 1 баллом – если правильно указаны 2 верных ответа и при этом указано не более одного неверного ответа; 0 баллов – во всех остальных случаях.
Назначение задачи № 13 – проверка умения проводить доказательные рассуждения. При этом необходимо доказать два утверждения. Особенностью задачи является невозможность проведения доказательства второго рассуждения без первого. При этом требуется знание о свойствах различных геометрических конфигураций и применение в сочетании различных методов решения.
Часть 3 включает две самые сложные задачи (№14, №15), при решении которых учащимся надо применять свои знания в новой ситуации. Эти задачи проверяют, в том числе, и умения обучающихся проводить доказательные рассуждения при решении задач, ссылаясь на известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования. Поэтому от обучающихся потребуется проанализировать условие, самостоятельно разработать способ решения, привести обоснования, доказательства выполненных действий и математически грамотно записать полученное решение. Эти задания можно сравнить с заданиями традиционных экзаменационных работ по курсу планиметрии для классов с углубленным изучением математики.
В работе используются три типа заданий: с выбором ответа из четырех предложенных вариантов, с кратким ответом в виде некоторого числа или последовательности чисел, с развернутым ответом, требующим записи решения поставленной задачи.
Распределение заданий экзаменационной работы по частям
ЧАСТЬ 1 | ЧАСТЬ 2 | ЧАСТЬ 3 | |
Общее число заданий — 15 | 8 (53,3%) | 5(33,3%) | 2(13,3%) |
Тип заданий и форма ответа | №1-№4 с выбором ответа №5- №8 с кратким ответом | №9-№12 с кратким ответом № 13 с развернутым ответом | №14-№15 с развернутым ответом |
Уровень сложности | базовый | повышенный | высокий |
Максимальный балл (20) | 8 | 7 | 5 |
Распределение заданий экзаменационной работы по содержанию и видам деятельности
Назначение государственной (итоговой) аттестации определяет специфику содержания экзаменационной работы. Аттестация обучающихся по курсу геометрии 7-9 классов обусловливает необходимость включения в работу достаточно представительного числа геометрических заданий, отвечающих материалу, изучаемому в данном курсе. То есть, проверке подлежит материал практически всех блоков, по которым распределено содержание школьного курса геометрии 7-9: «Треугольник», «Четырехугольник», «Многоугольники», «Окружность и круг», «Векторы». При этом в соответствии со спецификой математики основное внимание уделяется проверке овладения практической составляющей школьного курса, когда владение теоретическими фактами проверяется опосредованно, также осуществляется и непосредственная проверка овладения его теоретической составляющей (например, овладение смыслом изучаемых основных математических понятий).
Распределение заданий по видам деятельности
Виды деятельности | Число заданий | Максимальный первичный балл | Процент максимального первичного балла за задания данного вида деятельности от максимального первичного балла за всю работу, равного 20 |
Знать и понимать | 3 | 4 | 20% |
Применять знания и умения в знакомой ситуации | 6 | 6 | 30% |
Применять знания и умения в измененной ситуации | 4 | 5 | 25% |
Применять знания и умения в новой ситуации | 2 | 5 | 25% |
Итого | 15 | 20 | 100% |
Распределение заданий работы по уровню сложности
В соответствии с принятой структурой и содержанием работы Часть 1 включает 8 заданий, соответствующих уровню базовой подготовки. Задания посильны для обучающихся, подготовка которых отвечает этому уровню.
Часть 2 включает 5 заданий повышенного уровня сложности. Они составлены на материале, предлагаемом как на экзамене в школе за курс основного общего образования, так и на вступительных экзаменах в ссузы, и отвечают минимуму содержания основной школы. При их выполнении от обучающихся требуется применить в несколько измененной ситуации знание конкретных математических методов, известных им из школьного курса. В задании №13 требуется провести доказательные рассуждения, методы проведения которых достаточно отрабатываются в школьном курсе геометрии.
Часть 3 включает 2 задания высокого уровня сложности.
С целью обеспечения более тонкой дифференциации обучающихся, имеющих высокий уровень математической подготовки, уровень сложности этих заданий различен. Первое из них – планиметрическая задача на комбинацию геометрических фигур, при решении которой обучающиеся должны применить знания из разных разделов курса геометрии основной школы, выполнить чертеж, привести решение. При выполнении этого задания требуется применить способ решения, процедура которого достаточно отработана и не нуждается в обосновании. Поэтому и критерии оценки выполнения этого задания учитывают только правильность выделенных шагов решения, но не включают требование к их обоснованию.
Второе задание требует от обучающегося умения делать дополнительные построения и самостоятельно конструировать метод решения. Этим заданием проверяется, в том числе, и умение обучающихся проводить доказательные рассуждения при решении задач, ссылаясь на известные теоремы. Поэтому при его выполнении требуется обосновать ключевые моменты приведенного решения.
Общие подходы к оцениванию выполнения заданий
с развернутым ответом
Оценка выполнения заданий с развернутым ответом в рамках государственной (итоговой) аттестации по геометрии в новой форме проводится с учетом полноты и правильности приведенного решения.
В соответствии с назначением и особенностями задач с развернутым ответом и требованиями к подготовке учащихся по геометрии, достижение которых проверяется этими заданиями, в решениях фиксируются следующие аспекты, характеризующие его полноту и правильность:
— конечный результат (для вычислительных задач – правильный ответ), полученный при верном ходе решения;
— выполнение промежуточных построений, вычислений;
— обоснование выводов (шагов), приводящих к правильному ответу;
— логика решения.
Практика показывает, что с учетом этих аспектов может быть проверено и объективно оценено решение любой геометрической задачи при любом способе ее решения и аргументации (отличающейся в зависимости от обучения по разным учебникам).
Задача считается выполненной верно, когда получен правильный ответ при достаточном объеме обоснований, промежуточных выкладок, которые потребовались при переходе от исходных данных к конечному результату.
При определении шкалы балловых оценок за выполнение заданий мы опирались на следующие положения.
1) Задания с развернутым ответом рассчитаны на учащихся, способных продемонстрировать следующие умения:
− синтезировать способ решения задачи, используя для этого знания, полученные при изучении различных разделов курса;
− обосновать свои последующие действия;
− безошибочно выполнить соответствующие преобразования и вычисления;
− учитывать при получении конечного ответа условие задачи.
2) Учащиеся, имеющие хорошую подготовку по предмету, не должны допускать грубых ошибок (геометрических, математических, логических, вычислительных) при выполнении соответствующих построений и математических выкладок.
3) Оценка заданий определяется полнотой и правильностью решения проблемы, поставленной в условии задачи.
Полнота и правильность решения определяются:
− присутствием и правильностью приведенной последовательности всех необходимых шагов решения, отвечающих используемому верному методу решения;
− правильностью обоснования ключевых моментов решения;
− правильностью выполнения соответствующих построений и вычислений;
− верным конечным ответом и его соответствием условию задачи.
Если решение учащегося отвечает всем этим требованиям, то его можно считать полным и правильным. В этом решении не должно быть описок или ошибок, которые могут привести к неверному ответу.
Важно выделить тех учащихся, которые сумели сконструировать полностью способ решения. Поэтому при дальнейшем отходе от такого решения считаем возможным допустить пропуск промежуточных шагов или отсутствие обоснований ключевых моментов решения или наличие неверных обоснований. Допускаются также ошибки в вычислениях.
Допускается также частичное конструирование способа решения и демонстрация достаточно заметных продвижений по ходу решения, выполнение хотя бы части его шагов. Таким образом, отход от полного и правильного решения характеризуется уменьшением полноты шагов решения и правильности соответствующих обоснований и вычислений.
Дальнейший отход от полного и правильного решения, то есть снижение требований, возможен только в сторону допущения различного рода грубых ошибок в методе решения, которые не должны присутствовать у учащихся, имеющих высокую математическую подготовку.
К грубым ошибкам относятся ошибки, которые обнаруживают незнание учащимися формул, правил, основных свойств, теорем и неумение их применять; к негрубым ошибкам относятся вычислительные ошибки, к недочетам относятся: нерациональное решение, описки, недостаточность или отсутствие пояснений, о которых специально упоминается в конкретизированных критериях, разработанных для оценки конкретного задания, а также неточности в обоснованиях, которыми являются замена свойства на определение или признак, неверное название теорем или формул.
Если одна и та же ошибка (недочет) встречается несколько раз, то это рассматривается как одна ошибка (один недочет). Зачеркивания в работе свидетельствуют о поисках решения, что считать ошибкой или недочетом не следует.
По результатам выполнения работы 2008 года можно говорить о неподготовленности значительного числа выпускников к записи обоснованного решения задач по геометрии.
Большинство решений, приводимых учащимися, направлены на вычисление искомых геометрических величин и не сопровождаются соответствующими объяснениями.
Указанным недочетам есть несколько объяснений.
1) В течение многих лет в школе на изучение геометрии отводится только два часа в неделю, и экзамен переведен в ранг экзамена по выбору.
2) На вступительных экзаменах в средние специальные и высшие учебные заведения последнее время перестали требовать обоснование при записи решений геометрических задач (все чаще используются лишь задания с выбором или кратким ответом).
3) В школе задания на вычисления вытеснили задачи на доказательство, которые способствовали развитию умения обосновывать приводимые утверждения и умозаключения.
Постепенно это привело к снижению качества выполнения обоснований учащимися при решении геометрических задач.
В связи с этим, для каждого из трех заданий с развернутым ответом, включенных в вариант экзаменационной работы по геометрии, разработана своя шкала выставления баллов за его выполнение.
Уровень требований к обоснованию ключевых моментов возрастает с возрастанием уровня сложности задания.
В задании № 13 требуется провести доказательство двух приведенных утверждений. Чаще всего требуемый вывод можно сделать на основании использования признаков равенства (подобия) треугольников, других известных теорем, не проводя никаких дополнительных построений. Доказательство каждого из утверждений оценивается в 1 балл.
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
2 | Верно доказаны оба утверждения |
1 | Верно доказано только одно утверждение |
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла. |
Критерии выполнения задания № 14 учитывают только правильность хода решения и полученного ответа, но не включают требование к его обоснованию. Объясняется это тем, что при выполнении задания требуется применить способ решения, процедура которого достаточно отработана в школьном курсе геометрии, а потому не нуждается в подробном обосновании.
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
2 | Ход решения правильный. Решение завершено. Все преобразования и вычисления выполнены верно. Получен верный ответ. |
1 | Ход решения правильный. Решение завершено. Допустимы описка или негрубая ошибка в вычислениях и преобразованиях, не влияющая на правильность хода решения. В результате этих недочетов возможен неверный ответ. |
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1 и 2 балла. |
В полном объеме описанные выше подходы к оцениванию заданий по геометрии применимы лишь к самому сложному заданию работы – задаче № 15.
1. Самым высоким баллом («3» балла) оценивается полное и правильное решение, в котором есть ссылки на теоретические факты, необходимые для обоснования ключевых моментов решения. Обоснованию подлежат также способы нахождения элементов геометрических фигур, которые указаны в условии задачи. Решение ученика может содержать обоснования и других утверждений. При этом в нем не должно быть неверных утверждений.
2. Задание считается выполненным верно и в том случае, когда его решение оценено в «2» балла. Такая оценка выставляется, если при правильном ходе решения ученик явно описал, но, возможно, не обосновал взаимное расположение и свойства геометрических фигур, играющих ключевую роль в решении задачи. Допускается, что ученик не обосновал ни одного ключевого момента.
Снижение требований объясняется тем, что высокий уровень сложности геометрической задачи приводит к тому, что даже само описание учащимся свойств геометрических фигур позволяет судить о понимании учащимся предложенной задачи и высоко оценить умения и интуицию выпускников. Если при этом правильно выполнены вычисления, необходимые для получения ответа, то можно сделать вывод о высоком уровне общей подготовки ученика по предмету.
Баллы | Критерии оценки выполнения задания |
3 | Найден верный способ решения. Приведена верная последовательность всех шагов решения. Верно обоснованы все ключевые моменты выбранного способа решения. Верно выполнены все преобразования и вычисления. Получен верный ответ. |
2 | Приведена верная последовательность всех шагов решения. Явно описаны или могут быть отмечены на чертеже свойства представленных в условии фигур и их элементов, которые играют важную роль в решении задачи. Допустимо отсутствие обоснований или неточности в обоснованиях ключевых моментов. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы одна описка и/или негрубая вычислительная ошибка, не влияющие на правильность дальнейшего хода решения. В результате ошибки или описки может быть получен неверный ответ. |
1 | Ход решения правильный, но решение, возможно, не завершено. Допустимо отсутствие обоснований ключевых моментов решения. Приведенные в решении обоснования не содержат грубых ошибок. Допустимы негрубые ошибки в вычислениях или в преобразованиях, не влияющие на правильность хода решения. В результате этих ошибок может быть получен неверный ответ. |
Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла. |
Заметим, что в критериях, разработанных для конкретного решения, перечисляются все ключевые моменты, какие шаги решения должны быть выполнены обязательно; неточностями в обоснованиях являются замена свойства на определение или признак, или, наоборот, а также неверное название теорем или формул; перечисляется.
Рекомендации по использованию и интерпретации результатов выполнения экзаменационных работ по геометрии
Выполняя задания первой части, учащиеся демонстрируют знание конкретных определений и теорем школьного курса геометрии, а также овладение предметными умениями, воспроизводя их в знакомых учебных ситуациях. Верное выполнение 6 заданий позволяет зафиксировать достижение выпускником уровня обязательной подготовки по курсу геометрии основной школы, наличие которой принято оценивать положительной отметкой «3».
Получение учащимся отметки «4» возможно в случае овладения им знаниями и умениями по предмету, способами деятельности и демонстрации этого овладения в измененной учебной ситуации. Это означает, что учащемуся необходимо также набрать баллы и за выполнение заданий второй или третьей части.
Для получения отметки «5» необходимо продемонстрировать не только умение использовать имеющиеся знания и известные методы для решения различного рода задач, но и умение самостоятельно конструировать способ решения задачи, проводить доказательные рассуждения, обнаруживая возможности для использования известных теорем. То есть учащемуся необходимо набрать баллы и за выполнение заданий с развернутым ответом.
Экзамен по геометрии в новой форме 2009 году проводился второй раз. Поэтому и в настоящее время можно говорить лишь о рекомендациях по использованию результатов экзамена при оценке выполнения работы учащимися, получившими отметки «хорошо» и «отлично».
При получении учащимся 11-12 баллов за работу можно говорить о наличии у него достаточной подготовки для продолжения обучения по общеобразовательному курсу базового уровня.
В случае получения 13-14 баллов за выполнение экзаменационной работы ученик может быть рекомендован для обучения и на профильном уровне изучения предмета при условии дополнительных занятий и ликвидации имеющихся пробелов в знаниях. Рекомендуется для продолжения обучения в профильных классах старшей ступени обучения достаточными считать 15 баллов.
При желании продолжить обучение в старшем звене в классе с углубленным изучением математики необходимо набрать не менее 16 баллов за работу, не менее одного из которых начислено за решение самого сложного задания работы – задачи 15.
Итоги репетиционного экзамена по геометрии.
№ п/п | Район | Предмет | План на экзамен | Выполняли работу | «5» | «4» | «3» | «2» | Процент соответствия | % повышения | % понижения | |||
II ч. | Экзамен | II ч. | Экзамен | II ч. | Экзамен | II ч. | Экзамен | |||||||
1 | Вольский | геометрия | 197 | 187 | 8 | 1 | 78 | 20 | 101 | 97 | 69 | 32,6 | 1,6 | 65,8 |
Доля обучающихся, набравших по итогам репетиционного экзамена максимальный балл составляет 0%, минимальный для получения удовлетворительной отметки балл – 11%
Проблемы, возникшие при проведении репетиционных экзаменов на муниципальном уровне и в пунктах проведения экзаменов.
Перечень типичных ошибок и недочетов с указанием доли обучающихся, их допустивших.
Часть | № задания | Тема | % обуч., доп. ошибки |
А | 3 | Внешний угол треугольника, свойства равнобедренного треугольника | 38,5 |
А | 4 | Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике | 51,3 |
В | 4 | Метод площадей. | 87,2 |
В | 5 | Скалярное произведение векторов | 81,3 |
В | 6 | Свойства правильных многоугольников | 82,8 |
В | 7 | Задача практического содержания | 58,8 |
К выполнению задания С1 приступили 52,4% обучающихся, верно выполнили 3,7 %, частично – 8,6%.
К выполнению задания С2 приступили 16,6%, выполнили верно 0%.
К выполнению задания С3 приступили 26,2%, выполнили верно 0,5%(1 человек), частично – 0,5%.
Рекомендации для учителей математики по подготовке к экзамену по геометрии и совершенствованию учебного процесса
Изучить нормативные правовые акты, регламентирующие проведение государственной (итоговой) аттестации обучающихся общеобразовательных учреждений в независимой форме.
Проанализировать результаты аттестации по геометрии в 2009 году и репетиционного экзамена 2010 года.
Изучить список литературы (приложение 1), обзор цифровых образовательных ресурсов и перечень ресурсов сети Интернет (приложение 2) полезных в работе учителя математики для подготовки к итоговой аттестации по геометрии.
Вносить изменения в поурочное планирование, выделяя резерв времени как во время проведения урока, так и во время обобщающего повторения для закрепления наиболее значимых и сложных тем учебного предмета за курс основной школы.
Подбирать задания с чёткими немногосложными формулировками, включающими понятную для обучающихся терминологию, для того чтобы формировать умения кратко, по существу вопроса (устного и письменного) излагать свои знания.
Развивать умения формулировать свои мысли, выполнять задания с развёрнутым ответом, комментируя устные ответы обучающихся и ошибки в логике высказываний на ту или иную учебную тему.
Выстроить систему контроля знаний, умений и навыков обучающихся, используя для этого задания, аналогичные заданиям экзаменационных материалов (приложение 3).
В ходе обучения геометрии необходимо обратить самое серьезное внимание на обеспечение усвоения всеми учащимися минимума содержания на базовом уровне. Понятно, что этап формирования базовых умений у менее подготовленных школьников займет больше времени, чем у более подготовленных учащихся. Поэтому в арсенале учителя должны быть средства и методы, позволяющие обеспечить дифференцированный подход к учащимся, предоставить для учащихся со слабой подготовкой возможность более длительной отработки умений в ходе решения простых задач, а для более подготовленных – достаточно быстрый переход к решению задач повышенного уровня. Нужно заметить, что задач первичного закрепления базового материала в учебниках и во многих дидактических материалах очень мало. Поэтому при выборе дидактических пособий (задачников, рабочих тетрадей, карточек и т.п.) следует обращать внимание на наличие, элементарных заданий на закрепление изученного материала. Целесообразно также увеличить число рассматриваемых на уроке задач, где эффективно используется прием устного решения задач по готовым чертежам.
Требования к уровню подготовки выпускников
В результате изучения геометрии выпускники основной школы должны
уметь:
· пользоваться языком геометрии для описания предметов окружающего мира;
· распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;
· изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур;
· распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела, изображать их;
· в простейших случаях строить сечения и развертки пространственных тел;
· проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами;
· вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов), в том числе: для углов от 0 до 180° определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них, находить стороны, углы и площади треугольников, длины ломаных, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур, составленных из них;
· решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, идеи симметрии;
· проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;
· решать простейшие планиметрические задачи в пространстве;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
· описания реальных ситуаций на языке геометрии;
· расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы;
· решения геометрических задач с использованием тригонометрии
· решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства);
· построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).
Можно предложить учащимся список задач, которые они должны уметь решать для получения удовлетворительной оценки, например, в качестве заданий для самопроверки достижения обязательной подготовки по теме.
Заметим, что формирование умений решать задачи базового уровня – непременное условие для усвоения геометрии на любом уровне. Это обязательная часть учебного процесса, недооценивать которую нельзя. Только после этого этапа можно переходить к формированию умений решать геометрические задачи повышенного и высокого уровней.
Анализ данных о выполнении заданий повышенного уровня сложности показывает, что они вызывают трудности у значительного числа учащихся, причем, не только у слабоподготовленных, но и у учащихся, продемонстрировавших при выполнении всей работы хороший уровень математической подготовки.
В числе причин неуспеха в решении таких задач можно выделить две основные:
— во-первых, для решения задач повышенного уровня необходимо использовать имеющиеся знания в измененной учебной ситуации, т. Е. в ситуации, не всегда достаточно отрабатываемой на уроках геометрии;
— во-вторых, при изучении некоторых разделов курса геометрии особенно проявляется слишком формальное усвоение материала учащимися. Результаты выполнения заданий повышенного уровня экзаменационной работы 2009 года выявили три таких раздела: «Векторы», «Правильные многоугольники», «Задачи практического содержания».
Таким образом, для того, чтобы быстро и успешно справляться с решением задач повышенного уровня, необходимо выполнение ряда условий. Одним из важнейших условий является уверенное владение свойствами ряда «опорных» геометрических конфигураций, которые часто используются в задачах. Другим, не менее важным, является умение проанализировать предлагаемую в задаче фигуру, распознать в ней опорную конфигурацию и установить связи между ее элементами: их взаимное расположение, метрические соотношения.
Для трех задач экзаменационной работы требуется записать решение. Для получения максимального числа баллов решение должно содержать все шаги, необходимые для получения ответа, все вычисления должны быть верными, и должны быть приведены обоснования основных моментов решения. В ходе обучения нужно обращать внимание учащихся на необходимость математически грамотно обосновывать каждый шаг решения.
Особо следует обратить внимание на то, что задания, входящие в контрольные измерительные материалы по контролируемым в них элементам содержания не выходят за рамки образовательного стандарта. В этой связи, отметим, что успешное выполнение вариантов государственной итоговой аттестации всецело зависит от полноценного и глубокого изучения всего программного материала по действующим учебникам.
Таким образом, подготовка к государственной итоговой аттестации по геометрии в новой форме должна быть обеспечена качественным изучением нового материала, продуманным текущим повторением, и, наконец, обязательным обобщением, систематизацией знаний из различных разделов курса геометрии.
Приложение 1
Список литературы для подготовки к экзамену по геометрии
К экзамену можно готовиться по учебникам, включенным в «Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации к использованию в образовательном процессе в общеобразовательных учреждениях», помимо учебников, по которым ведется преподавание, рекомендуется использовать следующие издания:
1. Блинков А.Д., Геометрия: сб. заданий для проведения экзамена в 9 кл./ А.Д. Блинков, Т.М. Мищенко. – М.Просвещение, 2006г – 94с. – (серия Итоговая аттестация)
2. Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В., и др. Сборники тестовых заданий для тематического и итогового контроля
Геометрия. 8 кл. (к уч. А.В. Погорелова) 48 с., Геометрия. 9 кл… (к. уч. А.В. Погорелова) 36с.
Издательство Интеллект Центр, 2007г.
3. Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М., Лудина Г.Б., Захарова Г.А. Задачник-практикум. Геометрия (к уч. Л.С. Атанасяна и др.)
7 кл., 80с,8 кл., 128с, 9 кл., 112с. Издательство Интеллект Центр, 2007г.
4. Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М., Лудина Г.Б., Захарова Г.А. Задачник-практикум. Геометрия (к уч. Погорелова.)
7 кл., 88с, 8 кл., 120с, 9 кл., 128с. Издательство Интеллект Центр, 2007г.
5. Карташова Г.Д. Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Геометрия. 9 кл. (к уч. Л.С. Атанасяна и др.), 136с. Издательство Интеллект Центр, 2007г
6. Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М., Тематический контроль по геометрии (к уч. А.В. Погорелова) 7 кл., 80с, 8 кл., 72с, 9 кл., 72с. Издательство Интеллект Центр, 2007г
7. Мельникова Н.Б., Лепихова Н.М. Тематический контроль по геометрии (к уч. Л.С. Атанасяна и др.)7 кл., 72с, 8 кл., 88с, 9 кл., 64с. Издательство Интеллект Центр, 2007г
8. Экзамен по геометрии в новой форме в 9 классе.
Журнал «Математика в школе», № 6 – 2006г, стр. 37; № 2 – 2007г., стр. 17; № 3 – 2007г., стр. 7
9. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем курс геометрии.- 3-е изд. Испр. И доп… – М. Мнемозина, 2004г. – 336с.
10. Геометрия: сб. задач для проведения экзаменов в 9 и 11 кл./ Д.И.Аверьянов, Л.И.Звавич, Б.П. Пигарев и др. – М.: Просвещение, 2005г.
11. Зив Б.Г. Задачи по геометрии для 7 – 11 классов / Б.Г. Зив, В.М. Мейнер, А.Г. Баханский. – М.: Просвещение, 2006г
12. Мищенко Т.М. Геометрия: обобщающее повторение курса планиметрии: 7-9 кл. рабочая тетрадь. – М.: Экзамен, 2005г.
13. Шарыгин И.Ф. Стандарт по математике: 500 геометрических задач. — М.: Просвещение, 2005.
14. Мищенко Т.М. Тематические тесты по геометрии: 7 кл. – М.Экзамен, 2005г
15. Мищенко Т.М. Тематические тесты по геометрии: 8 кл. – М.Экзамен, 2005г
16. Мищенко Т.М. Тематические тесты по геометрии: 9 кл. – М.Экзамен, 2005г
17. Александров А.Д. Геометрия: учеб. для 8 кл. школ с углубл. Изучением математики/ А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2002г.
18. Александров А.Д. Геометрия: учеб. для 9 кл. школ с углубл. Изучением математики/ А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2004г.
19. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 8 класса с углубленным изучением математики / Б.Г. Зив, В.Б. Некрасов. – М.: Просвещение, 2004г.
20. Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 9 класса с углубленным изучением математики / Б.Г. Зив, В.Б. Некрасов. – М.: Просвещение, 2004г.
21. Шарыгин И.Ф. Геометрия: 7-9 кл. – М.Дрофа, 1997г
22. Шарыгин И.Ф. 2200 задач по геометрии. – М.Дрофа, 1999г.
Приложение 2
Использование цифровых образовательных ресурсов для подготовки учащихся к государственной итоговой аттестации по геометрии
Обзор цифровых образовательных ресурсов по геометрии
При подготовке к итоговой аттестации по геометрии учитель может использовать цифровые образовательные ресурсы (ЦОР) как на различных этапах урока (проверка домашнего задания, организация фронтального опроса, подготовка учащихся к активному и сознательному усвоению нового материала, объяснение нового материала, усвоение новых знаний, закрепление новых знаний, промежуточный и итоговый контроль ЗУН, информирование учащихся о домашнем задании, инструктаж по его выполнению, и др.), так и для реализации индивидуальной образовательной траектории обучающегося.
Использование цифровых образовательных ресурсов в обучении геометрии способствует не только повышению интереса у школьников к учебному предмету, но и развитию аналитических, проекционных и конструкторских способностей; развитию психических функций (логическое мышление, память, внимание, воображение, восприятие, др.); формированию коммуникативных навыков и готовности к самостоятельной научно-исследовательской работе.
1) Учебники геометрии, к которым разработаны наборы цифровых образовательных ресурсов (ЦОР), расширяющие учебники/УМК – это представленные в цифровой форме фотографии, видеофрагменты, статические и динамические модели, объекты виртуальной реальности и интерактивного моделирования, картографические материалы, звукозаписи, символьные объекты и деловая графика, текстовые документы и иные учебные материалы, необходимые для организации учебного процесса.
Атанасян Л. С. и др. Геометрия, 7—9. — М.: Просвещение, 2004,
Шарыгин И.Ф. Геометрия, 7—9. — М.: Дрофа, 2004.
Смирнова И.М., Смирнов В.А., Геометрия, 7—9.— М.: Мнемозина, 2007.
Наборы ЦОР (расширяющие учебники/УМК) можно заказать и приобрести через сайты издательств («Просвещение» www.prosv.ru; «Мнемозина» www.mnemozina.ru; «Дрофа» www.drofa.ru), через Интернет-магазин ООО «Топ-Книга» top-kniga.ru или в книготорговой сети (ООО «Топ-Книга», «Стрелец и К»).
2) Информационные источники сложной структуры (ИИСС) – это цифровой образовательный ресурс, основанный на структурированных цифровых материалах (текстах, видеоизображениях, аудиозаписях, фотоизображениях, интерактивных моделях и т.п.) с соответствующим учебно-методическим сопровождением, поддерживающий деятельность учащихся и учителя по одной или нескольким темам (разделам) предметной области или обеспечивающий один или несколько видов учебной деятельности в рамках некоторой предметной области.
· «Геометрический планшет для построения на плоскости»
Булычев В., Емельянов Л. ооо «дос»
Этот ресурс предназначен для использования в рамках курса планиметрии 7—9-х классов основной школы и 10—11-х классов профильной школы, а также для проведения математических кружков и факультативов. Регулярное применение планшета призвано сделать изучение геометрии более осознанным и интересным, раскрыть творческие способности учащихся, помочь в нахождении закономерности в геометрических конструкциях, дать возможность не только экспериментально проверять геометрические факты и гипотезы, но и выдвигать собственные гипотезы на основании эксперимента. Этот ресурс включен в Единую коллекцию цифровых образовательных ресурсов, можно скачать с school-collection.edu.ru/.
· «Конструктивные геометрические задания»
Дубровский В., Егоров Ю., Ерганжиева Л.
ЗАО «1С акционерное общество»
Этот ресурс представляет собой подборку 200 задач с проверкой их решений и представлением авторских решений в нескольких вариантах, выполненных в виде интерактивных моделей. Ресурс можно эффективно использовать для подготовки к итоговой аттестации по геометрии. Этот ресурс включен в Единую коллекцию цифровых образовательных ресурсов, можно скачать с school-collection.edu.ru/.
· «Школьный математический словарь-справочник»
Дубровский В., Раббот Ж. ЗАО «1С акционерное общество»
Этот ресурс представляет собой гипертекстовую справочную систему, содержащую определения и разъяснения основных понятий школьного курса математики, описания их взаимосвязей, разбор основных методов и алгоритмов решения типовых задач и иллюстраций к ним. Словарные статьи, сгруппированные в алфавитном порядке, содержат и понятия, и конкретные примеры в виде графиков и моделей. Этот ресурс включен в Единую коллекцию цифровых образовательных ресурсов, можно скачать с school-collection.edu.ru/.
· «Дидактические игры на уроке математики»
Башмаков М., Дубровский В., Поздняков С.
ЗАО «1С акционерное общество»
Этот ресурс предназначен для введения дидактической игры как одного из основных средств решения учебных задач в преподавании математики в 5-6-х классах, алгебры и геометрии — в 7-9-х классах. Активное использование на уроке игровых ситуаций позволяет повысить мотивацию учебной работы, включить в работу недостаточно подготовленных учащихся, индивидуализировать процесс обучения, развивать коммуникативные способности и коммуникативные навыки. Этот ресурс включен в Единую коллекцию цифровых образовательных ресурсов, можно скачать с school-collection.edu.ru/.
· Виртуальная школа Кирилла и Мефодия «Уроки геометрии 7 класс», «Уроки геометрии 8 класс», «Уроки геометрии 9 класс»
ОАО «Кирилл и Мефодий»
Этот ресурс предназначен для использования в рамках курса планиметрии 7—9-х классов основной школы, а также для проведения математических кружков и факультативов. Этот комплект позволяет осуществить
а) получение основополагающих знаний по изучаемому курсу;
б) дополнительные материалы – энциклопедические статьи;
в) отработку умений и навыков с помощью интерактивных тренажеров;
г) проверку знаний по отдельным частям темы, целиком по теме;
д) обучение самостоятельной работе с материалом;
е) выявление слабых мест в понимании предмета и стимулирование к более глубокому его изучению;
ж) подготовку к экзамену.
Продукцию ОАО «Кирилл и Мефодий» можно заказать и приобрести через Интернет-магазин ООО «Топ-Книга» top-kniga.ru или в книготорговой сети (ООО «Топ-Книга», «Стрелец и К»).
3) Инновационные учебно-методические комплексы (ИУМК) – это полный набор средств обучения, необходимых для организации и проведения учебного процесса, который за счет активного использования современных педагогических и информационно-коммуникационных технологий должен обеспечивать достижение образовательных результатов, необходимых для подготовки учащихся к жизни в информационном обществе, включая:
• фундаментальность общеобразовательной подготовки;
• способность учиться;
• коммуникабельность, умение работать в коллективе;
• способность самостоятельно мыслить и действовать;
• способность решать нетрадиционные задачи, используя приобретенные предметные, интеллектуальные и общие знания, умения и навыки.
· «Геометрия. 9 класс. Динамическая геометрия»
Вернер А., Никитин А., Поздняков С. и др.
ОАО «Издательство «Просвещение»»
По сравнению с классическими подходами к преподаванию геометрии в данном ИУМК ставится задача познакомить выпускников основной школы с более современными методами геометрии: векторным методом, методом координат и методом преобразований. При этом ключевой становится тема «Преобразования»: появление в школе компьютерной техники позволяет изучать эту тему на новом, динамическом уровне, невозможном ранее при статичных иллюстрациях в школьных учебниках и учебных пособиях. ИУМК предоставляет учителю и ученику возможность дифференцированного подхода к изучению геометрии: от опытной, наглядной геометрии до углубленного уровня путем рассмотрения более серьезных вопросов, касающихся тонкостей теории. В ИУМК реализовано три уровня сложности: общеобразовательный, расширенный и углубленный. Этот ресурс включен в Единую коллекцию цифровых образовательных ресурсов, можно скачать с school-collection.edu.ru/.
Далее приведены ссылки на ресурсы Интернет, полезные в работе учителя математики, позволяющие использовать материалы при подготовке обучающихся к государственной итоговой аттестации:
1. Региональный информационно-образовательный портал Министерства образования Саратовской области edu.seun.ru/
2. Саратовский институт повышения квалификации и переподготовки работников образования www.saripkro.ru/
3. Государственная (итоговая) аттестация учащихся 9-х классов в независимой форме saripkro.ru/Attest/project/p1.html
4. Страница кафедры математического образования ГОУ ДПО «СарИПКиПРО» на CарВики wiki.saripkro.ru
5. Российский портал открытого образования www.openet.edu.ru/
6. Федеральный институт педагогических измерений www.fipi.ru/
7. Портал информационной поддержки Единого государственного экзамена www.ege.edu.ru/
8. Московский центр непрерывного математического образования
9. Сеть творческих учителей. Сообщество учителей математики
www.it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&tmpl=com
10. Открытый класс. Сообщество «Мир математики» www.openclass.ru/node/2367
11. Газета «Математика» Издательского дома «Первое сентября» 1september.ru/
12. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» («Первое сентября») festival.1september.ru/
13. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов school-collection.edu.ru/
14. Сайт УМК Смирновых по геометрии для 7-11 классов geometry2006.narod.ru/
15. Геометрия – электронный урок «Многоугольники» – www.geometry-exe.h17.ru/
16. Математика в Открытом колледже www.mathematics.ru/
17. Интернет-поддержка учителей математики www.math.ru/
18. AIlmath.ru — вся математика в одном месте www.allmath.ru/
19. Exponenta.ru: образовательный математический сайт www.exponenta.ru/
20. Вся элементарная математика: Средняя математическая интернет-школа www.bymath.net/
21. Геометрический портал www.neive.by.ru/
22. Задачи по геометрии: информационно-поисковая система zadachi.mccme.ru/
23. Математические этюды www.etudes.ru/
24. Математические олимпиады и олимпиадные задачи www.zaba.ru/
25. Международный математический конкурс «Кенгуру» www.kenguru.sp.ru/
26. Методика преподавания математики methmath.chat.ru/
27. Московская математическая олимпиада школьников olympiads.mccme.ru/mmo/
28. Сайт элементарной математики Дмитрия Гущина www.mathnet.spb.ru/
29. Сайт Издательства «Просвещение» www.prosv.ru
30. Сайт Издательства «Мнемозина» www.mnemozina.ru
31. Сайт Издательства «Дрофа» www.drofa.ru
32. Сайт Издательства «Вентана-Граф» www.vgf.ru
33. Сайт Издательства «Интеллект-Центр» www.intellectcentere.ru
34. Интернет-магазин ООО «Топ-Книга» top-kniga.ru
Приложение 3
Тренировочные упражнения по теме «Векторы»
1. Сторона ромба KMNP равна 4 см, ÐМ=120º. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: –8
2. Сторона ромба PMNK равна 8 см, ÐM=60º. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: –32
3. Сторона ромба LMNP равна 6 см, ÐN=60º. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 18
4. Сторона ромба PMNK равна 9 см, ÐM=60º. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: –40,5
5. Сторона ромба LMNP равна 7 см, ÐN=60º. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 24,5
6. Сторона ромба MLNP равна 6 см, ÐL=120º. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: –18
7. Сторона ромба LNKP равна 8 см, ÐN=120º. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: –32
8. Сторона ромба PKLM равна 10 см, ÐK=120º. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: –50
9. В треугольнике PRS стороны RP и RS равны 8 см и 6 см, а угол между ними 60º. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 24
10. В треугольнике PRS стороны RP и RS равны 6 см и 7 см, а угол между ними 60º. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 21
11. В равностороннем треугольнике NPO стороной 4 проведена медиана NF. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 12
12. В равностороннем треугольнике PRS стороной 6 проведена медиана SH. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 27
13. В равностороннем треугольнике KLN стороной 12 проведена медиана КЕ. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 108
14. В равностороннем треугольнике MLN стороной 14 проведена медиана NC. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 147
15. В равностороннем треугольнике NPO стороной 20 проведена медиана NF. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 300
16. В равностороннем треугольнике PRS стороной 40 проведена медиана SH. Найдите скалярное произведение векторов и . Ответ: 1200
Практикоориентированные задания по теме «Площадь»
1. По данным рисунка найдите площадь заштрихо-ванной фигуры ( KN и LM — дуги с центрами в вершинах А и C квадрата ABCD; взять ответ округлить до сотых) Ответ: 9,72 | |
2. По данным рисунка найдите площадь заштрихо-ванной фигуры ( NK , KL , LM , MN — дуги с центрами в вершинах А, В, C и D квадрата ABCD , взять ответ округлить до сотых). Ответ: 7,74 | |
3. По данным рисунка найдите площадь заштрихо-ванной фигуры ( NK , KL , LM , MN — дуги с центрами в вершинах А, В, C и D квадрата ABCD; взять ответ округлить до сотых) . Ответ: 6,58 | |
4. По данным рисунка найдите площадь заштрихо-ванной фигуры ( NK — дуга с центром в вершине А квадрата ABCD; взять ответ округлить до сотых). Ответ: 28,94 | |
5. Имеется лист фанеры квадратной формы, стороны которого равны 6 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезана фигура (KN , KL , LM , MN – дуги с центрами в точках A , B , C , D ). Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если на 1 дм2 поверхности расходуется 0,03 кг краски? Ответ: 0,48 | |
6. Имеется лист фанеры квадратной формы, стороны которого равны 3 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезана фигура (KN , KL , LM , MN – дуги с центрами в точках A , B , C , D ). Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если на 1 дм2 поверхности расходуется 0,03 кг краски? Ответ: 0,12 | |
7. Имеется лист фанеры квадратной формы, стороны которого равны 6 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезана фигура (KN , KL , LM , MN – дуги с центрами в точках A , B , C , D ). Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если на 1 дм2 поверхности расходуется 0,02 кг краски? Ответ:0,32 | |
8. Имеется лист фанеры квадратной формы, стороны которого равны 3 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезана фигура (KN , KL , LM , MN – дуги с центрами в точках A , B , C , D ). Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если на 1 дм2 поверхности расходуется 0,02 кг краски? Ответ: 0,08 |
9. Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого, соответственно, равны 4 дм и 2 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезана фигура (BM , MN, CN – дуги с центрами в точках A , O , D ). Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если на 1 дм2 поверхности расходуется 0,02 кг краски? Ответ: 0,08 | |
10. Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого, соответственно, равны 8 дм и 4 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезана фигура (BM , MN, CN – дуги с центрами в точках A , O , D ). Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если на 1 дм2 поверхности расходуется 0,02 кг краски? Ответ: 0,32 | |
11. Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого, соответственно, равны 4 дм и 2 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезана фигура (BM , MN, CN – дуги с центрами в точках A , O , D ). Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если на 1 дм2 поверхности расходуется 0,03 кг краски? Ответ: 0,12 | |
12. Имеется лист фанеры прямоугольной формы, длина и ширина которого, соответственно, равны 8 дм и 4 дм. Из него, как показано на рисунке, вырезана фигура (BM , MN, CN – дуги с центрами в точках A , O , D ). Сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить получившуюся фигуру, если на 1 дм2 поверхности расходуется 0,03 кг краски? Ответ: 0,48 |
Упражнения по теме «Параллелограмм»
1. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) В параллелограмме противолежащие углы равны. 2) Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. 3) В любом параллелограмме диагонали перпендикулярны. 4) Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые. 5) В любой четырехугольник можно вписать окружность. | Ответ: 1,2,4 |
2. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) В параллелограмме противолежащие стороны параллельны. 2) Диагонали ромба равны. 3) Квадрат – это ромб, у которого все углы прямые 4) В любом параллелограмме суммы противоположных сторон равны. 5) Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. | Ответ: 1,3,5 |
3. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) В параллелограмме противолежащие стороны равны. 2) Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. 3) Диагонали ромба – равны. 4) Квадрат – правильный четырехугольник. 5) В любом параллелограмме суммы противоположных углов равны. | Ответ: 1,2,4 |
4. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) В параллелограмме противолежащие стороны параллельны. 2) Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. 3) В любой четырехугольник можно вписать окружность. 4) Ромб – правильный четырехугольник. 5) Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. | Ответ: 1,2,5 |
5. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) В параллелограмме противолежащие стороны равны. 2) Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. 3) Диагонали ромба – равны. 4) Квадрат – правильный четырехугольник. 5) В любом параллелограмме суммы противоположных углов равны. | Ответ: 1,2,4 |
6. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) В параллелограмме противолежащие стороны параллельны. 2) Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность. 3) В любой четырехугольник можно вписать окружность. 4) Ромб – правильный четырехугольник. 5) Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. | Ответ: 1,2,5 |
7. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) Диагонали ромба равны. 2) В параллелограмме противолежащие стороны равны. 3) Ромб имеет 2 оси симметрии. 4) В любом параллелограмме суммы противолежащих углов равны. 5) Квадрат – правильный четырехугольник. | Ответ: 2,3,5 |
8. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) Ромб – правильный четырехугольник. 2) В параллелограмме противолежащие углы равны. 3) Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. 4) В любом параллелограмме суммы противоположных сторон равны. 5) Правильный четырехугольник имеет 4 оси симметрии. | Ответ: 2,3,5 |
9. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) В любой параллелограмм можно вписать окружность. 2) Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны. 3) Диагонали правильного четырехугольника перпендикулярны. 4) Правильный четырехугольник имеет 4 оси симметрии. 5) Правильный четырехугольник имеет бесконечно много осей симметрии. | Ответ: 2,3,4 |
10. Укажите, какие из перечисленных ниже утверждений верны. 1) Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны и углы равны. 2) В любой параллелограмм можно вписать окружность. 3) Диагонали ромба перпендикулярны. 4) Параллелограмм имеет бесконечно много осей симметрии. 5) Ромб имеет 2 оси симметрии. | Ответ: 1,3,5 |
Задачи по теме «Параллелограмм»
Задача №1
Вершина С параллелограмма АВСD соединена с точкой К на стороне AD.
Отрезок СК пересекает диагональ BD в точке N. Площадь треугольника CDN =12, а площадь треугольника DKN =9. Найдите площадь параллелограмма АВСD.
Подсказка
Используйте свойство пропорциональности площадей треугольников: если треугольники подобны, то их площади относятся, как квадраты соответствующих сторон; если два треугольника имеют общее основание (или равные основания), то их площади относятся, как высоты, проведенные к этому основанию, а если у них одна и та же высота (или равные высоты), то отношение площадей равно отношению оснований.
Решение:
1. 2. Треугольники BNC и DNK подобны, , отсюда . 3. . | Ответ:______56_____________ . |
Задача №2 Вершина D параллелограмма АВСD соединена с точкой M на стороне AB. Отрезок DM пересекает диагональ AC в точке L. Площадь треугольника ALM =12, а площадь треугольника ADL =18. Найдите площадь параллелограмма АВСD.
Ответ:____ 90 ________
Задача №3 Вершина B параллелограмма АВСD соединена с точкой K на стороне AD. Отрезок BK пересекает диагональ AC в точке M. Площадь треугольника AMK =18, а площадь треугольника ABM =30. Найдите площадь параллелограмма АВСD.
Ответ:____160_______________
Задача №4 Вершина D параллелограмма АВСD соединена с точкой L на стороне BC. Отрезок DL пересекает диагональ AC в точке M. Площадь треугольника CLM =9, а площадь треугольника CDM =15. Найдите площадь параллелограмма АВСD.
Ответ:______80_____________
Задача №5 Вершина A параллелограмма АВСD соединена с точкой P на стороне BC. Отрезок AP пересекает диагональ BD в точке M. Площадь треугольника ABM =20, а площадь треугольника BMP =16. Найдите площадь параллелограмма АВСD.
Ответ:_________90__________
Задача №6 Вершина B параллелограмма АВСD соединена с точкой M на стороне CD. Отрезок BM пересекает диагональ AC в точке K. Площадь треугольника BCK =6, а площадь треугольника C