Реферат: «сош №37 с углубленным изучением отдельных предметов»
Чувашский республиканский институт образования
Курсовая работа
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ ПРИ РЕШЕНИИ
ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Выполнила Яковлева Л. В.
учитель математики МОУ «СОШ №37
с углубленным изучением отдельных предметов»
Научный руководитель –
методист кафедры ЕНД, Хрисанова З. И.
Чебоксары – 2008
Содержание
Введение……………………………………………………………………………..........................3
§1. Место тригонометрии в школьном курсе геометрии……………………………………...4
§2. Анализ условия задачи.…………………………………………………………………......5
§3. Сущность и структура решения задач…………………………………………………......8
§4. Поиск плана решения задачи……………………………………………………………...10
§5. Классификация планиметрических задач с использованием тригонометрии………………………………………………………………………………………………......11
5.1. Решение задач методом площадей……………………………………………….….11
5.2. Решение задач на применение определения синуса и косинуса угла…………………………………………………………………………………………....16
5.3. Решение задач на применение определения тангенса и котангенса угла…………………………………………………………………………………………....19
5.4. Решение задач на применение теорем синуса и косинуса………………………....22
5.5. Решение задач с применением тождественных преобразований……………….....27
5.6. Решение практических задач с использованием тригонометрии……………….…29
Заключение……………………………………………………………………………………...….32
Список использованной литературы……………………………………………………………..33
Введение
Выбор темы «Использование тригонометрии при решении планиметрических задач» не случаен: несмотря на то, что она начинает изучаться в курсе геометрии, в курсе алгебры, подчас все вопросы приходится рассматривать «с нуля». А ведь тригонометрический материал весьма интересен и специфичен, так как находится на стыке геометрии и алгебры. В настоящее время эта тема актуальна как никогда, поскольку ЕГЭ прочно вошел в систему оценки знаний учащихся. В нем часто встречаются задачи с использованием тригонометрии, и как показали результаты его проведения, ученики очень плохо усваивают тригонометрический материал.
Тригонометрические функции играют важную роль в математике и ее приложениях. Они удобны для описания связи между сторонами и углами треугольников. Использование тригонометрии способствует утверждению взгляда на понятие функции, как на важнейшее понятие математики, связывая тем самым курс алгебры и геометрии. Велико значение тригонометрических функций в формировании диалектического мировоззрения: они, и через их посредство, многие геометрический факты находят применение в непосредственно практической деятельности, в частности, при проведении различных измерительных работ на местности, являются моделью многих периодических процессов (биение сердца, зависимость напряжения в металле от нагрузки на него и т.д.).
§1. Место тригонометрии в школьном курсе геометрии
Сейчас реформируется система образования вообще и математическое образование в частности. Задача школы заключается в формировании у учащихся общекультурных знаний и навыков. А такой подход к среднему образованию неизбежно приведет к перестройке изучения некоторых вопросов и разделов школьной математики. Ведь по окончании школы молодой человек не обязан помнить некоторые формулы и даже целые темы, но у него должно быть представление об основных математических разделах, он должен понимать вклад каждой темы в формирование научных представлений о мире, понимать общекультурную ценность этого материала, его практическое применение, место в структуре всей математики и значение в структурах других наук.
Опыт работы в школе показал, что тригонометрический материал, излагаемый в курсе геометрии по учебникам [1 и 2], оказывает недостаточное влияние на изучение тригонометрии в курсе алгебры, хотя пропедевтическая роль тригонометрического материала, изложенного в курсе геометрии, огромна: от его введения в курсе геометрии будет зависеть, насколько успешным будет изучение тригонометрии в курсе алгебры. Надо прийти к пониманию того, что тригонометрия в геометрии и тригонометрия в алгебре не являются никак не связанными отдельными дисциплинами, это – единый блок, изучение которого невозможно без получения первоначальных сведений о тригонометрии в курсе геометрии.
К тому же в результате начавшейся реформы тригонометрический материал, который ранее изучался в курсе IX класса, был перенесен в X класс. Поэтому на сегодняшний день те учащиеся, которые не пожелали учиться в старшей школе, знакомятся с этой темой только в курсе геометрии.
Это налагает еще большую ответственность на изучение первоначальных тригонометрических сведений в курсе геометрии.
Изучение тригонометрии должно осуществляться таким образом, чтобы у учащихся создалось целостное представление об этой теме. Тригонометрия – достаточно серьезный раздел математики, и к его изучению надо подходить со всей ответственностью. Не следует включать отдельные вопросы тригонометрии в другие разделы. Не следует также разделять материал на блоки, которые рассматриваются в отрыве друг от друга в разных классах, изучение материала надо осуществлять целостно, показывая все возможности применения тригонометрических знаний на примере задач с разумным практическим содержанием.
§2. Анализ условия задачи
Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная работа. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.
Если приглядеться к любой задаче, то увидим, что она представляет собой требования или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче. Поэтому, приступая к решению какой-либо задачи, надо ее внимательно изучить, установить, в чем состоят ее требования (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решать задачу. Все это называется анализом задачи.
Задача1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.
Получив задачу, мы, естественно, ее внимательно читаем. Первое, что мы можем заметить, состоит в следующем: в ней имеются определенные утверждения и требования. В ней утверждается, что «в прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см и 12 см». Требование задачи состоит в том, что нужно «найти катеты треугольника».
Как видим, формулировка любой задачи состоит из нескольких утверждений и требований. Утверждения задачи называются условиями задачи.
Отсюда ясно, что первое, что нужно сделать при анализе задачи, — это расчленить формулировку задачи на условия и требования. Заметим, что в задаче обычно не одно условие, а несколько независимых элементарных (то есть нерасчленимых дальше) условий; требований в задаче также может быть не одно. Поэтому необходимо расчленить все утверждения и требования задачи на отдельные элементарные условия и требования.
В данной задаче можно вычленить такие элементарные условия:
1) треугольник, о котором идет речь в задаче, прямоугольный;
2) в этот треугольник вписана окружность;
3) точка касания окружности с гипотенузой делит ее на два отрезка;
4) длина одного из этих отрезков равна 5 см;
5) длина другого отрезка равна 12 см.
Требования этой задачи можно расчленить на два элементарных.
1) найти длину одного катета треугольника;
2) найти длину другого катета треугольника.
Почему же именно эти условия вычленены из формулировки задачи? Все дело в том, что, производя анализ задачи, вычленяя из формулировки задачи ее условия, мы все время должны соотносить этот анализ с требованием задачи, как бы постоянно оглядываться на требование. Иными словами, анализ задачи всегда направлен на требования задачи.
Для некоторых более сложных задач рассмотренный выше анализ (расчленение задачи на отдельные условия и требования) целесообразно продолжить. А именно установить, как устроены (из чего состоят) вычлененные условия.
Задача2. К двум окружностям, радиусы которых 4 см и 6 см, проведены внутренние общие касательные, оказавшиеся взаимно перпендикулярными. Вычислить расстояние между центрами окружностей.
Эта задача содержит такие условия:
1) дана окружность центра , радиус которого равен 4 см (здесь слово «дано» означает, что эта окружность построена из произвольного центра );
2) из некоторого другого центра проведена окружность радиуса 6 см;
3) эти две окружности построены так, что к ним можно провести общие внутренние касательные;
4) общие внутренние касательные к этим двум окружностям взаимно перпендикулярны.
Анализируя эти условия, можно заметить, что каждое из них состоит из одного или нескольких объектов и некоторой их характеристики. Так, объектом первого условия является окружность, а ее характеристикой: радиус этой окружности равен 4 см. Во втором условии объектом является также окружность с характеристикой: ее радиус равен 6 см. В третьем условии два объекта: указанные выше две окружности, а характеристикой является их взаимное расположение на плоскости: они расположены так, что к ним можно провести внутренние общие касательные. Наконец, четвертое условие содержит два объекта: общие внутренние касательные к окружностям, в качестве их характеристики указано их отношение: они взаимно перпендикулярны.
Итак, мы видим, что в каждом условии задачи имеется один или два (в некоторых случаях больше) объекта; если в условии один объект, то указывается его характеристика в виде некоторого свойства этого объекта; если же объекта два, то характеристикой служит некоторое отношение этих объектов.
Довольно часто анализ задачи сопряжен с большими трудностями.
Задача3. Две окружности касаются в точке и касаются одной и той же прямой соответственно в точках и . Какую фигуру образует множество всех точек , если радиусы данных окружностей будут принимать всевозможные значения?
На первый взгляд кажется, что в задаче речь идет о двух окружностях. Но прочтите еще раз внимательно вопрос задачи: требуется установить, какую фигуру образуют точка (точка — переменная). Значит, речь идет о множествах окружностей и множестве точек их касания. Исходя из этого, задачу можно расчленить на такие условия:
1. Дано множество окружностей, каждая из которых касается данной прямой в данной на ней точке .
Здесь объектом является множество окружностей, а их характеристикой – свойство каждой окружности этого множества: она касается данной прямой в точке .
2. Дано множество окружностей, каждая из которых касается данной прямой (с той стороны, что и первое множество окружностей) в данной точке .
Объект и характеристика этого условия аналогичны первому условию.
3. Из этих двух множеств образованы такие пары окружностей, причем первый элемент пары есть окружность первого множества, а второй элемент пары – окружность второго множества, которые взаимно касаются.
Объектом этого условия является множество пар окружностей, а их характеристикой – отношение: окружности, входящие в пару, взаимно касаются.
Заметим, что в это множество пар окружностей войдут не все окружности первого и второго множеств окружностей, а лишь те из них, которые удовлетворяют указанному отношению (взаимное касание).
4. — есть точка, в которой взаимно касаются соответствующие окружности, входящие в образованные пары (по 3 условию). Объектом этого условия является точка (переменная точка), а ее характеристикой — свойство: эта точка есть точка касания окружностей, входящих в пару.
5. Множество точек есть некоторая геометрическая фигура. Объектом условия является множество точек взаимного касания окружностей, входящих в пары, а характеристикой – искомое свойство этого множества как геометрической фигуры.
Требование задачи состоит как раз в том, чтобы найти эту последнюю характеристику объекта пятого условия.
Результаты предварительного анализа задач надо как-то зафиксировать, записать. Та словесная, описательная форма записи, которую мы использовали выше, конечно, малоудобна. Более удобной, компактной и в то же время достаточно наглядной формой записи результатов анализа задач является схематическая запись задачи (модель задачи).
Для схематической записи геометрических задач полезно использовать чертеж той фигуры, которая рассматривается в задаче. При построении такого чертежа надо выполнить ряд требований. Укажем главные из них.
1. Чертеж должен представлять собой схематический рисунок основного объекта задачи (геометрической фигуры, или совокупности фигур, или какой-то части этих фигур) с обозначением с помощью букв и других знаков всех элементов фигуры и некоторых их характеристик. Если в тексте задачи указаны какие-либо обозначения фигуры или ее элементов, то эти обозначения должны быть и на чертеже; если же в задаче никаких обозначений нет, то следует воспользоваться общепринятыми обозначениями или придумать наиболее удобные.
2. Этот чертеж должен соответствовать задаче. Это означает, что если в задаче в качестве основного объекта названа трапеция, но не указан ее вид, то не следует строить равнобедренную или прямоугольную трапецию и т.д.
3. При построении чертежа нет надобности выдерживать строго какой-либо определенный масштаб. Однако желательно соблюдать какие-то пропорции в построении отдельных элементов фигуры. Например, если задана медиана треугольника, то соответствующий ей отрезок на чертеже должен проходить приблизительно через середину стороны треугольника и т.д. Точно так же надо соблюдать на чертеже такие отношения, как параллельность, перпендикулярность и др.
4. При построении чертежей пространственных фигур необходимо соблюдать все правила черчения. Там, где это можно и целесообразно, лучше строить какие-либо плоскостные сечения этих фигур.
Кроме чертежа, для схематической записи геометрических задач используется еще краткая запись всех условий и требований задачи. В этой краткой записи, пользуясь принятыми на чертеже обозначениями, записываются все характеристики и отношения, указанные в условиях задачи. Названия фигур или отдельных ее частей желательно заменить записью их определений.
§3. Сущность и структура решения задач
Что значит решить задачу? Можно ответить так: решить задачу – это значит найти ее ответ. В какой-то степени это верно, но все дело в том, как понимать слово «найти». Можно ли считать, что человек решил задачу, если он, например, подсмотрел в ответы задачника, ведь он по сути нашел ответ. Очевидно, что нет. Значит, решение задачи состоит не просто в том, чтобы найти ответ. Чтобы разобраться в этом, придется внимательно приглядеться к процессу решения задачи.
Задача4. Длины оснований трапеции равны 4см и 10см. Найти длины отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Сначала посмотрим схематическую запись задачи.
Дано:
см; см.
Найти: и .
Решение. Как известно, средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. Значит, и . Диагональ делит трапецию на два треугольника. Рассмотрим каждый из них. В треугольник отрезок является средней линией, ибо как часть отрезка , и точка по условию есть середина стороны . А средняя линия треугольника равна половине основания. Значит, , а так как см, то 5см.
Аналогично, рассматривая , мы убеждаемся, что есть средняя линия этого треугольника и поэтому , но см, следовательно, см.
Итак, искомые длины отрезков найдены, задача решена.
Приведенное решение можно представить в виде схемы.
№ шага | Общие положения математики | Условия задачи или их следствия | Результат |
1 | Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям. | MN – средняя линия трапеции ABCD. | MN//AB, MN//CD/ |
2 | Диагональ делит трапецию на два треугольника. | ABCD – трапеция, AC – ее диагональ. | ABC и ACD – треугольники. |
3-4 | Отрезок, проходящий через середину стороны треугольника параллельно другой стороне, является средней линией треугольника. | В ΔABC точка N – середина BC и NK//AB, в ΔACD точка M — середина AD и MK//CD. | NK – средняя линия ΔABC, MK – средняя линия ΔACD. |
5-6 | Средняя линия треугольника равна половине основания. | NK – средняя линия ΔABC, AB=10см, MK – средняя линия ΔACD, CD=4см. | см см |
Из приведенных примеров можно сделать следующий вывод:
Решить задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче, — ее ответ.
На приведенное определение следует смотреть как на первичное, самое общее толкование сущности решения задач.
Если под процессом решения задач понимать процесс, начинается с момента получения задачи до момента полного завершения ее решения, то, очевидно, что этот процесс состоит не только из изложения уже найденного решения, а из ряда этапов, одним из которых и является изложение решения.
Итак, весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:
1. анализ задачи;
2. схематическая запись задачи;
3. поиск способа решения задачи;
4. осуществление решения задачи;
5. проверка решения задачи;
6. исследование решения;
7. формулирование ответа задачи;
8. познавательный анализ решения задачи.
§4. Поиск плана решения задачи
Поиск плана решения составляет центральную часть всего процесса решения. Найдя план, его осуществление уже не составляет особого труда, оно требует лишь технических умений выполнения тех действий и операций, которые изучаются в курсе математики.
Однако начинать процесс решения задачи надо с глубокого и всестороннего анализа задачи и построения ее схематической записи, целью проведения которой является поиск плана решения задачи.
Сформулируем основные рекомендации для поиска решения математических задач.
1. Прочтя задачу, надо попытаться установить, к какому виду задач она принадлежит (стандартная, нестандартная).
2. Если вы узнали в ней стандартную задачу знакомого вида, то примените для ее решения известное вам общее правило.
3. Если же задача не является стандартной, то следует действовать в следующих направлениях:
а) вычленять из задачи или разбивать ее на подзадачи стандартного вида (способ разбиения);
б) ввести в условие вспомогательные элементы: вспомогательные параметры, вспомогательные построения (способ вспомогательных элементов);
в) переформулировать ее, заменить ее другой равносильной задачей (способ моделирования).
4. Для того, чтобы легче было осуществлять указанные способы, полезно предварительно построить наглядную вспомогательную модель задачи – ее схематическую запись.
5. Решение нестандартных задач есть искусство, которым можно овладеть лишь в результате глубокого постоянного самоанализа действий по решению задач и постоянной тренировки в решении разнообразных задач.
§5. Классификация планиметрических задач с использованием тригонометрии.
В основном применение тригонометрии при решении геометрических задач идет по четырем направлениям:
1) использование формулы площади треугольника;
2) использование соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
а) по определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов;
б) применение тождественных преобразований;
3) использование двух «теорем-тружеников» — теоремы синусов и теоремы косинусов;
4) при решении практических задач.
5.1. Решение задач методом площадей.
Задача1. Площадь равнобочной трапеции равна , угол между ее диагоналями, противолежащей боковой стороне, равен . Найти высоту трапеции.
Решение.
1-2. Анализ и схематическая запись задачи. Расчленим условие задачи на несколько составляющих. Условие «площадь равнобочной трапеции равна » говорит нам о следующем: 1) дана трапеция; б) данная трапеция равнобочная, то есть ее боковые стороны равны (а также ее диагонали); в) и площадь этой трапеции равна .
Из следующего фрагмента условия «угол между ее диагоналями, противолежащей боковой стороне, равен » выделим следующие положения: г) в данной трапеции проведены диагонали; д) угол, образованный этими диагоналями, и лежащий напротив боковой стороны трапеции, равен .
И собственно вопрос задачи: найти высоту трапеции.
На основе полученных данных мы можем сделать краткую запись и построить схематический рисунок:
Дано: — трапеция, , , , .
Найти: .
3-5. Поиск и осуществление решения. Исследование задачи. Эти три этапа процесса решения в данном случае удобно производить совместно. Мы знаем формулу нахождения площади трапеции по диагоналям и углу между ними:
,
отсюда найдем длину диагонали:
.
Рассмотрим . Этот треугольник прямоугольный; нам известна длина диагонали и если мы можем найти один угол, то найдем и сторону . Найдем угол . , тогда . Так как точка пересечения диагоналей делит их пополам, то полученный треугольник будет равнобедренным. Так как , то сумма углов и равна , а так как углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, то каждый из них равен . Тогда по определению синуса угла найдем сторону : , отсюда
.
6. Проверка решения. В данном случае проверка решения сводится к тому, чтобы убедиться, что по найденной формуле действительно можно вычислить такое, которое принадлежит области его определения. Очевидно, что должно соблюдаться лишь одно условие: . Так как по условию задачи может изменяться от до , то будет всегда положительным; переменная всегда положительна, значит, условие выполняется в любом случае.
7. Ответ. .
8. Исследование решения. При решении задачи надо анализировать каждый шаг решения с точки зрения его выполнимости при предварительно найденных или заданных условиях и при необходимости эти условия уточнять, суживая тем самым области изменения параметров.
Задача2. В равнобедренном треугольнике угол равен . Окружность радиусом 1 касается боковых сторон и треугольника и пересекает его основание в точках и (точка лежит между и ); — точка касания окружности и стороны ; . Вычислить площадь .
Дано: — равнобедренный, , — окружность радиуса 1, .
Найти: .
Решение: Прежде всего, нужно провести расчеты, которые позволят выяснить местоположение центра окружности; пока лишь ясно, что этот центр лежит на высоте равнобедренного , так как стороны и — касательные к окружности, а потому центр окружности лежит на биссектрисе угла между этими касательными.
Введем обозначение: . Проведем радиус в точку касания , тогда тоже равен (и — углы со взаимно-перпендикулярными сторонами). По условию . Воспользовавшись формулой , получим ; тогда .
Из находим: ; . Далее,
; .
Это значит, что , а потому точки и должны совпадать, т.е. для дальнейшего решения задачи надо сделать новый (правильный) рисунок.
Площадь треугольника будем искать по формуле . Известно, что .
Таким образом, задача свелась к отысканию длины отрезка .
Воспользуемся тем, что . Положим , тогда , и получим уравнение , откуда . Тогда и, следовательно,
.
Ответ: .
Задача3. Найти площадь с углами , зная, что расстояние от произвольной точки , взятой внутри треугольника, до его сторон равны соответственно , и .
Дано: , .
Найти: .
Решение: Площадь можно найти по формуле , но для этого надо найти и . Положим . Тогда по теореме синусов
,
откуда находим: .
Итак, задача сводится к отысканию значения .
Для составления уравнения применим метод площадей: выберем в качестве опорного элемента площадь треугольника .
С одной стороны,
.
С другой стороны,
.
Значит, , откуда находим:
.
Подставив это значение в первую из отмеченных выше формул для площади , получим:
.
Ответ: .
Замечание. Какие же средства используются для составления уравнений в геометрических задачах или, иными словами, какие геометрические факты используются для составления уравнений? Перечислим эти факты:
— теорема Пифагора;
— теорема о биссектрисе треугольника;
— пропорциональность сторон или других линейных элементов в подобных треугольниках;
— метрические соотношения в прямоугольном треугольнике (включая тригонометрические соотношения между сторонами и углами), параллелограмме, окружности;
— различные формулы для вычисления площадей (прежде всего, треугольников);
— теорема синусов, теорема косинусов.
5.2. Решение задач на применение определения синуса, косинуса.
Задача4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, зная длину ее диагонали и величину угла между этой диагональю и большим основанием.
Решение.
1. Анализ условия задачи. Читая условие задачи, выделяем нужные моменты: а) дана трапеция; б) ее боковые стороны равны; в) длина диагонали ее равна ; г) угол между диагональю и большим основанием равно .
Выясняем вопрос задачи: необходимо найти площадь трапеции.
2. Схематическая запись задачи. Сделаем рисунок и запишем краткую запись.
Дано: — трапеция, , , .
Найти: .
3-5.Поиск и осуществление решения. Исследование задачи. Запишем формулу для нахождения площади трапеции.
,
где — высота трапеции.
Из треугольника по определению синуса найдем высоту трапеции:
,
тогда по теореме Пифагора имеем:
.
Так как равна средней линии трапеции, то
.
Теперь найдем площадь трапеции:
.
6. Проверка решения. Очевидно, что данное решение верно для любых значений .
7. Ответ. .
8. Исследование решения. Каким бы ни были параметры и , задача всегда имеет единственное решение.
Задача5. В равнобедренной трапеции диагональ перпендикулярна к боковой стороне и равна , острый угол трапеции . Найти площадь трапеции.
Дано: — равнобедренная трапеция, , , .
Найти: .
Решение: Площадь трапеции:
,
где три неизвестных. Найдем их.
Из : ; из : .
Рассмотрим .
;
Тогда,
.
Теперь мы можем найти площадь:
.
Ответ: .
Задача6. В параллелограмме высоты равны и , угол между ними . Найти его площадь.
Дано: — параллелограмм, , — высоты параллелограмма, — точка пересечения высот, .
Найти: .
Решение: Треугольник — прямоугольный, тогда . Из треугольника найдем:
.
Тогда по формуле площади параллелограмма:
.
Ответ:
Замечание. Зная стороны прямоугольного треугольника, мы можем найти его острые углы. Сначала находим один из синусов этих углов, используя равенства , . Затем по найденному синусу находим величину этого угла. Второй угол дополняет найденный до .
Или решается обратная задача: по острому углу и одной из сторон прямоугольного треугольника найти остальные его элементы. Возможны два случая: 1) даны острый угол и гипотенуза; 2) даны острый угол и катет.
5.3. Решение задач на применение определения тангенса, котангенса.
Задача7. В прямоугольном треугольнике найти угол между медианой и биссектрисой, проведенными из вершины острого угла, равного .
1-2. Анализ и схематическая запись задачи. Эта задача содержит такие условия: а) дан прямоугольный треугольник; б) из вершины острого угла проведена медиана; в) из вершины этого же угла проведена биссектриса; в) величина данного угла равна . И вопрос задачи: найти угол между медианой и биссектрисой. На основе этого сделаем краткую запись и нарисуем чертеж.
Дано: — прямоугольный, — биссектриса, — медиана, , , .
Найти: .
3-5. Поиск и осуществление решения. Исследование задачи. Обозначим искомый угол через . Тогда из найдем
,
с другой стороны из
,
отсюда выразим
.
Подставляя последнее равенство в первое, найдем:
; ; .
6. Проверка решения. По условию задачи на переменные нет ограничений, значит найденная формула выполняется в любом случае.
7. Ответ. .
8. Исследование решения.
Задача8. Высота равнобочной трапеции равна , а угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне, равен . Найти среднюю линию трапеции.
Дано: — равнобочная трапеция, , — диагонали, .
Найти: среднюю линию.
Решение: Рассмотрим , как смежный к . Тогда , и
.
А есть величина, равная средней линии трапеции.
Ответ: .
Задача9. В равнобедренной трапеции острый угол равен , радиус вписанного круга . Найти площадь трапеции.
Дано: — равнобочная трапеция, — окружность с центром в точке и радиусом , .
Найти: .
Решение: Запишем формулу площади трапеции:
,
следовательно, мы имеем две неизвестные ().
Рассмотрим . Применяя определение тангенса, найдем основание :
.
Из найдем ():
.
Тогда ; и , , следовательно, имеем:
.
Ответ: .
Задача10. В равнобедренном треугольнике величина угла при вершине равна , а площадь его равна . Найти длину основания треугольника.
Дано: — равнобедренный, , , .
Найти: .
Решение: Запишем формулу нахождения площади треугольника: . Здесь два неизвестных: длины основания и высоты. Через тангенс угла найдем высоту.
.
Подставим полученное значение в формулу площади и выразим основание треугольника:
,
,
.
Ответ: .
5.4. Решение задач на применение теорем синуса, косинуса.
Задача11. Длина основания равнобедренного треугольника равна , а угол при вершине — . Найти длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне.
Решение.
1-2. Анализ и схематическая запись задачи. Расчленим условие задачи на составляющие: 1) дан треугольник; б) данный треугольник равнобедренный, то есть его боковые стороны равны; в) длина основания треугольника ; г) угол, лежащий напротив основания, равен ; д) из угла при основании (так как треугольник равнобедренный, не имеет значения из которого угла) проведена биссектриса.
И вопрос задачи: найти длину биссектрисы.
На основе полученных данных мы можем сделать краткую запись и построить схематический рисунок:
Дано: — треугольник, , , — биссектриса, , .
Найти: .
3-5.Поиск и осуществление решения. Исследование задачи. Так как треугольник равнобедренный, то углы при основании равны, следовательно , тогда . Так как — биссектриса, то . Тогда из треугольника по теореме синусов:
.
Так как и , то
.
Отсюда найдем биссектрису :
.
6. Проверка решения. Очевидно, что данное решение верно для любых значений .
7. Ответ. .
8. Исследование решения. Каким бы ни были параметры и , задача всегда имеет единственное решение.
Задача12. Один из углов трапеции равен , а боковые стороны при продолжении пересекаются под прямым углом. Найдите меньшую боковую сторону трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований – 8 см.
Дано: — трапеция, — средняя линия, , , , .
Найти: .
Решение: По определению средней линии , отсюда найдем большее основание трапеции:
.
Рассмотрим треугольник . По теореме синусов найдем сторону :
.
Так как треугольники и подобны, то . Из треугольника :
;
.
Ответ: 2.
Задача13. В треугольнике известно, что и . На стороне взята точка так, что . Найти отношение радиуса окружности, описанной около , к радиусу окружности, вписанной в .
Дано: , , , .
Найти: .
Решение. Введем вспомогательный параметр . Тогда .
Чтобы найти радиус окружности, описанной около треугольника , вычислим сторону по теореме косинусов, а затем воспользуемся теоремой синусов. Имеем: , т.е. , откуда находим, что . По условию , значит, . По теореме синусов , значит, , откуда находим .
Радиус окружности, вписанной в треугольник , найдем по формуле , где — площадь, — полупериметр . Уже известно, что . Сторону найдем из по теореме косинусов: , откуда . Значит, . Площадь треугольника вычислим по формуле Герона:
.
Значит,
.
Ответ: .
Задача14. В ромбе со стороной и острым углом проведен отрезок (), который пересекает диагональ в точке так, что . Известно, что . Найти длину отрезка .
Дано: — ромб, , , , , , .
Найти: .
Решение: Положим ; тогда из подобия треугольников и следует, что (поскольку ). Тогда . Введем еще одно обозначение: — высота ромба и одновременно – высота трапеции и высота трапеции .
;
.
По условию , значит, , откуда .
Нам нужно найти длину отрезка . Сначала найдем длину , для чего воспользуемся «выносным» чертежом. Рассмотрим трапецию , в которой (напомним, что , а ), (напомним, что , т.е. ).
Проведем отрезок , тогда
.
Применим к теорему косинусов:
;
.
Значит, .
Так как , то .
Ответ: .
Задача15. Дан остроугольный треугольник , в котором ; ; . В каком отношении ортоцентр делит высоту, проведенную из вершины ?
Дано: , , , , — высота.
Найти: .
Решение: Опишем около окружность, радиус которой обозначим через (вспомогательный параметр).
Проведем и учтем, что , где — ортоцентр.
Рассмотрим . Так как измеряется дугой , , а измеряется половиной дуги , то . Тогда .
По теореме синусов, примененной к , , значит, , и тогда из получаем: .
;
.
Итак, .
Ответ: .
Замечание. Задача «решить треугольник по некоторым заданным его элементам» может рассматриваться в двух вариантах.
а) Имеется треугольник, и известны некоторые его элементы. Найти остальные его элементы.
б) Заданы некоторые отрезки и углы (или их величины). Найти (построить) треугольник, для которого заданные отрезки и углы являются заданными его элементами.
Теорема синусов позволяет решить треугольник по стороне и двум углам и по двум сторонам и углу против одной из них.
5.5. Решение задач на применение тождественных преобразований.
Задача16. Около круга радиуса описан равнобедренный треугольник с углом . Определите стороны треугольника.
Решение.
1. Анализ условия задачи. Выделим основные данные из условия задачи: а) дан круг радиуса (пусть его центр находится в точке ); б) вокруг круга описан треугольник; в) данный треугольник равнобедренный, то есть боковые его стороны равны; г) угол, лежащий напротив основания, равен .
Вопрос задачи: необходимо найти длины сторон треугольника.
2. Схематическая запись задачи. Сделаем рисунок и запишем краткую запись.
Дано: , , , .
Найти: , .
3-5.Поиск и осуществление решения. Исследование задачи. Так как , то . Тогда рассмотрим : , тогда найдем по теореме синусов:
;
так как не табличное значение, с помощью тождественных преобразований найдем его значение:
;
.
Тогда по теореме Пифагора:
;
Отсюда .
Найдем сторону . Так как , то , тогда .
подобен , тогда справедливо:
,
.
Так как и равны, то , тогда ;
,
выразим через :
,
,
.
6. Проверка решения. Так как решение задачи не зависит от параметров, то правильность решения очевидна.
7. Ответ. , .
8. Исследование решения. Решение единственно, так как нет параметров, в зависимости от которых менялось бы решение.
5.6. Решение практических задач с использованием тригонометрии.
Задача17. Определить высоту недоступного предмета.
Решение. Предполагаем, что есть возможность перемещаться по горизонтали в направлении к предмету. Выберем два пункта и , и в каждом из них найдем угол, под которым виден предмет. Так получается геометрическая задача: в треугольнике известны сторона , и внешний угол ; найти высоту, опущенную из вершины .
Обозначим искомую высоту через и положим , . Из треугольника высота . Поэтому надо найти . По теореме синусов . Угол внешний для треугольника . Следовательно, .
Отсюда . Теперь мы можем вычислить , а затем .
Замечание. Важно дать понять ученикам, что условие любой практической задачи сводится к условию обычной геометрической задачи, и уже после этого ученик может решать задачу.
А вот несколько занимательных практических задач.
Задача18. Эта задача из древнего китайского трактата «Математика в девяти книгах»: «Имеется квадратный водоем со стороной в один чжан. В центре его растет камыш, который выступает над водой на один чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснется его. Спрашивается, какова глубина водоема и какова длина камыша». (Чжан и чи – меры длины, 1 чжан = 10 чи.)
Задача19. Эта задача из книги польского математика Г. Штейнгауза «100 задач». Называется эта задача «Французские города».
«Доктор Шарадек, знающий хорошо стратегию, интересовался последней войной и в 1940 году познакомился с картой французского театра военных действий. Отсюда, вероятно, и возникла следующая задача. Расстояние по воздуху, как и все расстояния в этой задаче, от Шалона до Витри равно 30 км, от Витри до Шомона 80 км, от Шомона до Сэн-Кантэна 236 км, от Сэн-Кантэна до Ремса 86 км, от Ремса до Шалона 40 км. Вычислить в этом замкнутом многоугольнике расстояние от Ремса до Шомона. Без карты это умеет сделать только доктор Сильвестр Шарадек!» Но может быть, и вы попробуете?
Задача20. Какая лестница более крутая: в 20 ступенек, поднимающаяся на 3 м, или в 15 ступенек, поднимающаяся на 2 м?
Задача21. Пожарная лестница, стоящая на машине, может быть выдвинута на 20 м, а ее крутизна может достигать . Основание лестницы находится на высоте 2 м. До какого этажа можно по ней добраться, если высота этажа 3 м?
Задача22. Корабль плывет на восток с постоянной скоростью . В некоторый момент времени пеленг на маяк равен , а спустя время он равен . Через какое время маяк будет для этого корабля точно на севере? (Пеленг – это угол между направлением на север и направлением на маяк.)
Задача23. Между двумя фабричными зданиями устроен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены на высоте 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба.
Задача24. Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого 7 м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту солнца над горизонтом.
Задача25. Футбольный мяч находится в точке футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований и стоек ворот. Футболист направляет мяч в ворота. Найдите угол попадания мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.
Задача26. Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, высоту которой хочет определить. Основание башни он видит под углом к горизонту, а вершину – под углом к горизонту. Какова высота башни?
Заключение.
В данной работе было подробно описано, каким образом улучшить усвояемость тригонометрического материала учениками, как научить их решать задачи любой сложности, логически мыслить при решении задач, а не только уметь решать по шаблону. Были собраны и проклассифицированы планиметрические задачи с использованием тригонометрии по принципу их решения, даны некоторые методические рекомендации учителям, а также общий принцип решения планиметрических задач с использованием тригонометрии.
Список использованной литературы:
1. Погорелов А. В. Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1997.
2. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2001.
3. Вернер А. Л. и др. Геометрия. Учебное пособие для 8 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2001.
4. Александров А. Д. и др. Учебник для 7-9 классов общеобразовательной школы. – М.: Просвещение, 1995.
5. Вернер А. Л. Уроки Александрова // Математика в школе. – 2002. — №7.
6. Вернер А. Л. Роль и место тригонометрии в курсе геометрии основной школы // Математика (приложение к газете «Первое сентября»). – 2002. — №41.
7. Фридман Л. М. Как научиться решать задачи. 1999.
8. Кильдяева Л. Г. Дифференцированный подход к обучению геометрии учащихся основной школы. – Саранск, 2006.
9. Зарецкий В. И. Изучение тригонометрических функций в средней школе. – Минск, 1970.
10. Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. – М., 1967.
11. Панчишкин А. А., Шавгулидзе Е. Т. Тригонометрические функции в задачах. – М., 1986.