Реферат: "Построение конечно-разностных формул на границе дискретной области счёта"

Российско-Армянский (Славянский) Государственный Университет

Факультет Прикладной математики и информатики

Кафедра Математики и Математического Моделирования

Курсовая работа

на тему:

«Построение конечно-разностных формул на границе дискретной области счёта»

Выполнила: студентка 3-его курса Амирбекян Алиса

Руководитель: к.ф.м.н., доцент В.С. Бондаренко

г. Ереван

2004

Понятие дискретной области при численном решении дифференциальной задачи.

При численном решении уравнений математической физики важным становится вопрос замены непрерывной области изменения аргумента дискретной и замены дифференциального оператора разностным. Сделав указанные замены, мы переходим от дифференциальной задачи к разностной схеме.

Таким образом, задача о численном решении исходного дифференциального уравнения сводится к нахождению решения полученной разностной схемы.

. Так как при численном решении математической задачи не возможно воспроизвести разностное решение для всех значений аргумента, изменяющегося внутри некоторой области, то в этой области нужно выбрать некоторое конечное множество точек и приближенное решение искать только в этих точках. Такое множество точек называется сеткой, а отдельные точки называют узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

Сетка является дискретной областью изменения аргумента, которой заменяется непрерывная область. Всякая сетка характеризуется величиной близости узлов сетки друг к другу. Обозначим эту величину через h. Ясно, что чем меньше h, тем лучше описывает сетка реальну‏ю непрерывную область, однако уменьшение величины h увеличивает число узлов сетки, что приводит к увеличению времени счёта и громоздкости программ.

Если непрерывная область квадратная или прямоугольная, то её можно заменить сеткой, раномерной повсюду, а если непрерывная область имеет криволинейную границу, то она заменяется сеткой, которая неравномерна вблизи границы. Узлы, которые отстоят на одинаковом расстоянии от ближайших внутренних узлов, называются регулярными. Если имеются граничные узлы, отстоящие от границы на меньшем расстоянии, чем от ближайших внутренних узлов, то они называются нерегулярными.

Конечно-разностные формулы для производных

Пусть дан линейный диференциальный оператор L, действующий на функцию u = u (х). Заменяя входящие в Lu производные разностными отношениями, мы получим вместо Lu разностное выражение Lh uh, являющееся линейной комбинацией значений сеточной функции uh на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном.

Такая приближенная замена Lu на Lh uh называется разностной аппроксимацией оператора L .

Прежде чем приступить к разностной аппроксимации оператора L, необходимо выбрать шаблон, т. е. указать множество соседних с узлом х узлов, в которых значения сеточной функции u (х) могут быть использованы для аппроксимации оператора L .

Рассмотрим примеры разностной аппроксимации:

Пусть дана гладкая функция u =u ( x ). Фиксируем некоторую точку х оси Ох и возьмем точки х — h и х + h . В качестве разностной аппроксимации первой производной u '( x ) можно использовать следующую формулу:

(1)

Ясно, что формулы (1) и (2) приближенные и имеют невязку равную:

Эта невязка называется погрешностью аппроксимации. Тогда погрешность аппроксимации при замене всех производных, входящих в оператор L, конечно-разностными соотношениями типа (1) будет выглядеть так:

( 2 )

В точке x разложим u ’( x + h ) в ряд Тейлора:

,

тогда

,

отбрасывая члены порядка O ( h 2 ) получим:

( 3 )

Погрешность получаем порядка O ( h ).

Разностная аппроксимация второй производной:

В качестве разностной аппроксимации второй производной u ''( x ) можно использовать следующую формулу:

(4)

Вычислим погрешность:

Погрешность получаем порядка O ( h 2 ).

Здесь используются 3 точки х – h , х, х + h . Это трехточечный шаблон.

В качестве примера рассмотрим разностный оператор Лапласа для функции u ( x , y ) на регулярном шаблоне:

(x,y+h)

●

(x-h,y) ● ●(x+h,y)

(x,y-h) ●

В точке ( x , y ) аппроксимируем и . Здесь используются точки (х – h , y ), ( х, y ), ( х+ h , y ),( x , y - h ), ( x , y + h ). По формуле (5):

Получим:

Вычислим погрешность:

То есть разностный оператор L u аппроксимирует оператор Лапласа D u со вторым порядком на регулярном шаблоне.

Теперь рассмотрим нерегулярный шаблон. Здесь используются точки (х – h , y ), ( х, y ), ( х+ d , y ),( x , y - h ), ( x , y + h ), где d ¹ h .

(x,y+h)

(x-h,y) (x+δ,y)

(x,y-h)

Обозначим:

Определим:

Посчитаем погрешность аппроксимации. В точке (x , y ) разложим в ряд Тейлора:

Подставим:

Для точек (х – h , y ), ( х, y ), ( х+ d , y ),( x , y - h ), ( x , y + d ), где d ¹ h .

(x,y+δ)

(x-h,y) (x+δ,y)

(x,y-h)

Погрешность, как и в предыдущем случае, равна O ( q ).

Таким образом, на нерегулярном шаблоне разностный оператор L u имеет первый порядок аппроксимации. Для того чтобы ошибка не была столь большой, приближаясь к границу нужно брать шаг h , равным h 2. То есть надо брать шаг равным погрешности аппроксимации на регулярном шаблоне.

Рассмотренный подход показывет, что при приближении к естественной границе области счёта приходится использовать неравномерную сетку. На разных участках естественной границы неравномерность разностной сетки будет иметь разный характер, что порождает использование разных аппроксимаций. Это в свою очередь усложняет общий вид разностной сетки, а также программу, реализующую численный расчёт. Этих трудностей можно избежать передвинув естественную границу так, чтобы разностная сетка была бы регулярной, но при этом уже нарушаются условия задачи.

Литература:

Самарский А.А., Теория разностных схем, М