Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры.

Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга.

В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами».

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

При проведении занятий на первое место выходят следующие формы организации работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная. Рекомендуемые методы работы: исследовательский и частично-поисковый. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Задачи курса

1. Сформировать у учащихся устойчивый интерес к предмету;

2. Выявить и развить математические способности;

3. Подготовить к ЕГЭ и к обучению в вузе

Цель курса

1. Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами, сводящихся к исследованию линейных и квадратных уравнений, неравенств для подготовки к ЕГЭ и к обучению в вузе.

2. Изучение курса предполагает формирование у учащегося интереса к предмету, развитие их математических способностей, подготовку к ЕГЭ, централизованному тестированию и к вступительным экзаменам в вузы

3. Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащегося.

4. Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

В результате изучения курса учащиеся должны

1. Усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств систем уравнений с параметрами.

2. Применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр.

3. Проводить полное обоснование при решении задач с параметрами.

4. Овладеть навыками исследовательской деятельности.

Структура курса планирования учебного материала

Темы:

I. Первоначальные сведения. 2ч

II. Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч

III. Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч

IV. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч

V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч

VI. Тригонометрия и параметры. 2ч
Иррациональные уравнения. 2ч

VII. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.
Рациональные уравнения. 2ч

VIII. Производная и ее применения. 4ч
Графические приемы решения. 2ч

IX. Нестандартные задачи с параметрами. 6ч

— количество решений уравнений;

— уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями

X. Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч

Краткое содержание курса

I. Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, рассмотреть понятие «параметр», его существенный признак и двойственная природа, особенности записи ответов при решении заданий с параметром.

Примерное содержание.

Решить уравнение с параметром — это значит найти все те и только те значения параметра, при которых задача имеет решения.

Условимся считать, что параметры в уравнениях принимают действительные значения, в задачах с параметрами отыскиваются действительные решения.

Другими примерами равенств с параметрами могут служить общие виды функций, изучаемых в основной школе.

— линейная функция y=k x+b, (k, b — параметры, x, y- переменные);

— квадратичная функция y= a x²+b x+c, где а ≠0 (a, b, c -параметры, x, y -переменные).

Задачи с параметрами мы встречаем и в геометрии. Уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид , где x, y- координаты точек — переменные, r- радиус окружности – параметр.

Моделируя различного вида задачи, можно получить различного вида уравнения, для которых нужно уметь выбирать ответы.

II. Решение линейных уравнений (и уравнений приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение системных уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем, виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

Примерное содержание.

1. Алгоритм решения уравнений вида Ах=В.

Решением является любое действительное число	При А=0 и В=0
Нет решений	При А=0,
Единственное решение	При

2. Рассмотреть примеры.

ПРИМЕР 1: Решить уравнение:

Решение.

Приведём данное уравнение к виду Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

Рассмотрим случаи:

Если т.е. и , то обе части уравнения разделим на . Получим , сократим дробь и получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим или — неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим или — верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

Ответ: при и — единственное решение уравнения:

при — нет решений

при — любое действительное число.

ПРИМЕР 2: Решить уравнение:

Решение.

Приведём данное уравнение к виду Ах=В и воспользуемся алгоритмом.

Рассмотрим случаи:

Если т.е. и , тогда получим единственное решение уравнения: .

Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой части. Рассмотрим случаи: а) 2в – 1 = 0, т.е. то подставив это значение параметра в уравнение, получим — верное числовое равенство, следовательно, решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е. то подставив это значение параметра в

уравнение, получим или — неверное числовое равенство,

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

3. Если , то подставив это значение параметра в уравнение, получим

Решение этого уравнения зависит от выражения, стоящего в правой

части.

Рассмотрим случаи: а) 4 – а = 0, т.е. то подставив это значение параметра в

уравнение, получим — верное числовое равенство, следовательно,

решением данного уравнения является любое действительное число.

в) , т.е. то подставив это значение параметра в

уравнение, получим или — неверное числовое равенство,

следовательно, данное уравнение решений не имеет.

4. Если и , то подставив эти значения параметров в уравнение, получим

— неверное числовое равенство, следовательно, данное уравнение решений

не имеет.

Ответ: при и — единственное решение уравнения:

при , или , — любое действительное число

при , или , — нет решений.

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

Примерное содержание .

1.На доске записаны следующие неравенства:

а)

б)

в)

Задание. Решите неравенства и запишите ответ.

2.Сформулируйте свойства неравенств, которые использованы при решении.

Неравенства вида axb axb, где a и b действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестное, называются линейными неравенствами.

В зависимости от коэффициентов a и b решением линейного неравенства может быть либо неограниченный промежуток, либо числовая прямая, либо пустое множество.

3… Решение линейных неравенств вида aх>b.

если a>0, то .

если a<0, то .

если a=0 и b<0, то .

Если a=0 и b0, то решений нет.

Пример 1. Решите неравенство ах>1.

1) если a>0, то

2) если a<0, то

3) если a=0, то решений нет.

4. Решение линейных неравенств вида aх<b.

если a>0, то .

если a<0, то .

если a=0 и b>0, то .

если a=0 и b0, то решений нет.

Пример 2. Решите неравенство ах<5.

1) если a>0, то

2) если a<0, то

3) если a=0, то .

5. Решение линейных неравенств вида axb.

если a>0, то .

если a<0, то .

если a=0 и b0, то .

если a=0 и b>0, то решений нет.

Пример 3. Решите неравенство ax4.

1) если a>0, то

2) если a<0, то

3) если a=0, то решений нет.

6. Решение линейных неравенств вида ax b

если a>0, то .

если a<0, то .

если a=0 и b 0, то .

если a=0 и b<0, то решений нет.

Пример 4. Решите неравенство ах 6.

1) если a>0, то ;

2) если a<0, то ;

3) если a=0, то .

7. Решить неравенства.

(m-1)x<5m

если m-1>0, т.е. m>1, то ,

2 если m-1<0, т.е. m<1, то ,

3. если m-1=0, т.е. m=1, то .

(a-1)x>6

если a-1>0, т.е. a>1, то ,

2. если a-1<0, т.е. a<1, то ,

3. если a-1=0, т.е. а=1, то решений нет.

При каких значениях параметра b уравнение имеет положительный корень?

Решение.

Так как корень х>0, то 0,8 b+14>0; 0,8 b>-14; b>-1,75.

Ответ: при b>-1,75

IV. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметр.

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Аналитический способ решения.
Графический способ.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

Примерное содержание.

1.Повторить

Теорему Виета.

Тождество

Свойства функций и

При каких значениях a, b, c и Д корни квадратного уравнения одного или разных знаков.

5. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

2.Решить уравнения: 1)a x² + 2x + 4=0,

2)(a + 3)x²+2x(a +5)+2a +7=0.

Ответ: 1) x=-2 при а= 0; х=-4 при а =1/4;при ; не имеет корней при а >1/4 .2) х=-1/4 при а =-3; х=1, х=-3/2

при а =-4,а =1; при ; не имеет корней при .

V. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

Область значений функции.
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами.

Примерное содержание.

Квадратичная функция задаётся формулой y=a x²+b x+c, гдепараметры, x и y- переменные. Графиком квадратичной функции является парабола.

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы. Если а >0, то они направлены вверх, если а <0, то направлены вниз. Дискриминант квадратного трёхчлена D=b²-4ac определяет наличие и количество общих точек с осью Ох. Если D <0, то парабола не пересекает ось абсцисс. Если D =0, то парабола и ось имеют одну общую точку. Если D >0, то общих точек две.

Графический способ решения задач с параметрами является универсальным, а значит (обратная сторона любой универсальности), есть конкретные случаи, когда задачу можно решить несколько проще.

Пусть для функции y=a x²+b x+c, гдепараметры, x и y — переменные. Числа и – нули функции,D = b– 4ac, D > 0, , = - — абсцисса вершины параболы. В этих задачах, как правило, требуется определить те значения параметра, при которых выполняется некоторое условие для расположения корней.

VI. Тригонометрия и параметр. Иррациональные уравнения.

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.

Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.
Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры.

V II. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметр. Рациональные уравнения.

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами.
Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства с параметрами, рациональные уравнения

VIII. Производная и ее применение.

Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.

Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.

IX. Нестандартные задачи.

Уравнения высших степеней. Теорема Безу. Симметрические уравнения. Система однородных уравнений и приводящиеся к ним. Аналитические способы решения уравнений высших степеней с параметрами. Графический способ решения уравнений высших степеней с параметром

Х. Текстовые задачи с использованием параметра.

Задачи физического содержания. Задачи на объемные доли и концентрации вещества. Задачи на проценты.

В этом разделе формируются навыки решения текстовых задач.

Планирование

(34 часа)

№ урока	Тема
1	Основные понятия уравнений с параметрами
2	Основные понятия неравенств с параметрами
3-4	Уравнения с параметрами (первой степени)
5-6	Неравенства с параметрами (первой степени)
7-11	Уравнения с параметрами (второй степени)
12-14	Неравенства с параметрами (второй степени)
15-16	Рациональные уравнения с параметрами
17-18	Графические приемы при решении
19-20	Свойства квадратичной функции
21-23	Текстовые задачи с использованием параметра
24-25	Иррациональные уравнения с параметрами
26-28	Параметр и количество решений уравнений, неравенств и их систем
29-30	Уравнения и неравенства с параметрами с различными условиями
31-32	Нестандартные задачи
33	Итоговая контрольная работа по курсу
34	Защита индивидуальных проектов

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить уравнение:

4. Решить уравнение:

5. Решить уравнение:

6. Решить уравнение:

7. Решить уравнение:

8. Решить уравнение:

9. Решить уравнение:

10. Решить уравнение:

11. При каких значениях параметра в уравнение :

а) имеет бесконечно много корней; в) имеет корень, равный единице;

б) не имеет корней; г) имеет ненулевые корни?

12. При каких значениях а уравнение имеет:

а) только положительные корни; б) только отрицательные корни?

13. Решить уравнение: :

а) относительно х и найдите значение параметра, при котором корень равен нулю;

б) относительно у и найдите значение параметра, при котором корень равен единице?

14. При каких значениях параметра в число 1 является корнем уравнения ?

15. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни не равные

16. Решить уравнение х2 +а 2 — 1 =0.

Ответ: при │а │>1 корней нет, при других а х=±.

17. Решить уравнение а х2 -х+3 =0.

Ответ: при а =0 х=3, при а =х=6, при а >корней нет, при других а

х=.

18. Решить неравенство а х2 +( а +1)х+1>0 при различных значениях а.

Ответ: при а =0 х>-1; при а =1 х Є (-∞; -1)U(-1; +∞), при а >1 х Є (-∞; -1)U( -1/а; +∞),

при а <0 х Є (-1; -1/а ); при а Є (0;1) х Є (-∞; -1/а )U(-1; +∞).

19. При каких значениях параметра а неравенство х2 +а х+1<0 не имеет решений?

Ответ: а Є[-1;1].

20. Решить неравенство х2 -4а х+9 ≤0.

Ответ: при │а │>1,5 решений нет, при а =1,5 х=3, при а =-1,5 х=-3, при других а хє[2а -; 2а +].

21. При каком значении параметра а система имеет ровно два решения?

Ответ: а =2.

22. Решить неравенство х2 — 2а х + 1>0 для всех значений параметра а .

Ответ: при |а |>1 х Є R,

при а =1 х Є R, где х ≠ 1,

при а =-1 х Є R, где х ≠ -1,

при -1<a <1 х Є (-∞;-)U(а +; +∞).

23. При каких значениях а неравенство а х2 +4а х +а +3<0 выполняется для всех действительных значений х?

Ответ: а Є (-∞; -4).

24. При каких значениях параметра m двойное неравенство

выполняется при всех действительных значениях х?

Ответ: m Є (-2; 4).

Литература

1. Агалаков.С.А Математика. Единый экзамен- 2004. Часть С. Омск; НОУ НОК Образование плюс, 2004.

2. Азаров А.И., Барвенов С.А., Федосеенко В.С. Методы решения задач с параметрами. Минск: Аверсэв, 2003.

3. БашмаковМ., Резник Н. Задачник по алгебре для 7класса общеобразователь-ной школы. Санкт – Петербург, 2001.

4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И… Сборник задач по алгебре. 8-9кл. М.: Просвещение, 1994.

5. Горбачев В.И. Методы решения уравнений и неравенств с параметрами, Брянск, 1999

6. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. — М.: Гимназия, 2002.

7. ГорнштейнП.И., Полонский В.Б., Якир М.С… Задачи с параметрами. Илекса. Гимназия. Москва- Харьков, 2002.

8. Далингер В.А… Всё для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике, выпуск 4. ОГПИ, Омск, 1995.

9. Евсеева А.И… Уравнения с параметрами.// ж. «Математика в школе», 2003, №7.

10. Ерина Т.М… Линейные и квадратные уравнения с параметром.// ж. «Матема-тика для школьников», 2004, №2.

11. Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. — М.: Аркти, 2000.

12. Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решение. Аркти, Москва, 2000.

13. Математика для поступающих в вузы //Сост. Тырымов А.А… – Волгоград: Учитель, 2000.

14. Математика. Задачи Сканави М.И. – Минск 1998г.

15. Математика. «Первое сентября».№ 4, 22, 23-2002 г; №12,38-2001 г

16. Материалы по подготовке к ЕГЭ 2001-2008 г

17. Мочалов В.В. Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Чебоксары – Издательство Чувашского университета, 2006.

18. Нырко В.А., Табуева В.А. Задачи с параметрами. — Екатеринбург; УГТУ,2001.

19. Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Уравнения и неравенства с параметрами. Издат МГУ, 1992г

20. Е.М. Родионов. Справочник по математике для поступающих в ВУЗы. Изд – во МЦ «Аспект», 1992.

21. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. – М. Просвещение, 1988г

22. Ю.Ф. Фоминых. Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов. М.: Просве-щение, 1999.

23. А.В. Шевкин. Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы. 8-9 классы. М.: Русское слово, 2003.

24. Тысяча и один пример. Под ред. О.М. Назаренко, Л.Д. Назаренко. Изд – во «Слобожаницина», 1994.

25. 514 задач с параметрами. Под ред. С.А. Тынянкина. Волгоград, 1991.

Скачать реферат

еще рефераты

Еще работы по остальным рефератам

Реферат по остальным рефератам

работа на тему Особенности разговорной речи в газетных текстах

19 Ноября 2015

Реферат по остальным рефератам

Окказиональное словообразование на примере творчества В. Маяковского

19 Ноября 2015

Реферат по остальным рефератам

“Последовательный сумматор.”

19 Ноября 2015

Реферат по остальным рефератам

Данная работа посвящена исследованию английских прилагательных в переводческой перспективе

19 Ноября 2015