Реферат: Урок алгебри інформатики в 10 му класі Тема: „Логічні операції та вирази

Урок алгебри – інформатики в 10 – му класі

Тема: „Логічні операції та вирази”

Освітня мета уроку інформатики: Дати поняття про прості та складені логічні вирази, навчити застосовувати логічні операції при розв’язуванні завдань з курсу інформатики
Освітня мета уроку математики: Формування понять: висловлення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація, еквіваленція, заперечення; навчити користуватися логічними операціями; Розвиваюча мета бінарного уроку: сприяти розвитку мислення та розкриття творчих здібностей учнів, розвивати вміння проводити дослідницьку роботу наукового характеру; Виховна мета бінарного уроку: виховувати в учнів інтерес до предметів на прикладах оригінальних розв’язків математичних задач за допомогою комп’ютера, використовуючи диференціальний та особистісний підхід, сприяти самореалізації учнів.
^ Тип уроку: бінарний урок з алгебри та інформатики.


Хід уроку: І. Організаційний момент.

Повідомлення теми та мети уроку.

ІІ. Актуалізація опорних знань учнів.

Для вивчення даної теми нам необхідно згадати матеріал попередніх уроків.
^ Фронтальне опитування. Що називається множиною? Хто засновник теорії множини? Що називається елементом множини? Наведіть приклад множини. Яка множина називається скінченою (порожньою)? ^ Що називають підмножиною множини? Які множини називають рівними? Що називають перерізом множин А і В? Що називають об’єднанням множин А і В? Що називають різницею множин А і В? В цей же час учень на дошці виконує завдання: дано: А={1; 3; 7; 5}, В={1; 5; 7; 9}. Знайти: ^ Перевірка та обговорення виконаного завдання учнем на дошці.
ІІ. Мотивація навчання.

Світ формул алгебри висловлювань – світ надзвичайно цікавий, і особливим є те, що велика кількість логічних задач розв’язується за єдиним алгоритмом, а це означає, що є можливість розібратися в тому, як ЕОМ складає розклад, враховує багато різних чинників при розв’язуванні досить реальних практичних задач.

Підкреслю, що при розв’язанні складних задач уміння створювати з простих умов передачі управління складні умови, що формулюються за допомогою алгебри висловлювань, дозволяє робити програми більш простими і ефективними. Це означає, що алгебра висловлювань необхідна для програміста, потреба в ній може виникнути при розв’язанні не тільки логічної задачі, а й задачі на обчислення, графічної, або задачі символьної обробки.


ІІІ. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу.

Оскільки до проведення нашого уроку будуть залучені комп’ютери, прошу повторити правила техніки безпеки.

Знайомство з історією розвитку математичної логіки.

На робочому столі ви бачите папку з назвою „Логіка”. Відкрийте її. В списку „Зміст” виберіть розділ
^ Історія виникнення математичної логіки
Вивченням логічних форм мислення займались ще в 6-5 століттях до н.е. Мислителі Давнього Світу розроблювали деякі питання структури пізнавального процесу і мовних граматичних форм. В Давній Греції питаннями логіки вперше став займатися філософ-матеріаліст Демокрит (близько 540-480 до н. е. ) З перших кроків свого виникнення логіка формувалась як складова частина філософського знання.

Родоначальником науки логіки по праву вважається давньогрецький мислитель Аристотель( 384-322 до н.е.) Він всебічно досліджував основні для науки логіки питання; систематизував форми мислення-поняття, судження, умовивід; сформулював логічні закони - закон тотожності, протиріччя, виключеного третього; вивів логічні правила дедуктивного умовиводу доказу. Йому належать 6 логічних трактатів, які об'єднані під загальною назвою "Органон" .
^ Аристотель ( 384-322 до н.е.)
Аристотель вперше в історії античної філософії зайнявся спеціальним вивченням внутрішньої структури людського мислення і намагався вивести логічні форми з реального змісту думки. Закони і правила логіки, за його думкою, не випадкові, а беруть об'єктивні витоки у відносинах предметного світу. Логіку він розглядав як науку про утвердження хибних суджень, які спотворюють дійсне положення речей. У всіх своїх логічних дослідженнях Аристотель відстоював інтереси науки від ідеалістичних спотворень.

В Середні Віки, коли філософію перетворили в служницю теології, логіка Аристотеля була відірвана від об'єктивної основи і підпорядкована інтересам богослов'я. Проте логічні дослідження, що відстоювали матеріалістичне пізнання, продовжувались.

Успіхи дослідного природознавства 16-17 століть характеризувались насамперед розвитком математики і механіки земних і небесних тіл. Обмеженість наукового пізнання того часу привела до встановлення метафізичного погляду на природу, як на завмерлу і незмінну систему. Метафізичний спосіб мислення пізніше відчувся на розумінні предмету формування логіки. Її законам надали абсолютного характеру, тобто розповсюдили їх дію не тільки на мислення, а й на зовнішній об'єктивний світ. Наріжним принципом метафізики було оголошено формально логічний закон протиставлення. Недопустимість логічного протиставлення в нашому мисленні пояснювалась як доказ відсутності реальних протиставлень самій дійсності. Всі явища природи представлялись рівносильними всередині себе. Метафізика спотворювала предмет та характер законів формальної логіки.

Проти абсолютизації законів логіки виступив з ідеалістичних позицій німецький філософ І. Кант. Звичайну логіку він трактував занадто формалістично, в повній незалежності від змісту думки. Кант висунув інший тип логіки, в якій логічні форми розглядаються як апріорні властивості розуму, що обумовлюють можливість загального і необхідного знання явищ.

Зважену критику кантівського апріоризму дав Георг Фрідріх Гегель (1770-1831) . В цей же час він критично відносився до формальної логіки. Своє відношення до формальної логіки він будував виходячи з об'єктивно-ідеалістичного положення про рівносильність законів мислення і буття. Закони логіки, за думкою Гегеля, мають загальний характер, розповсюджуючись на всі форми дійсності.

З кінця минулого століття формальна логіка зробила великий крок вперед. Виникла математична логіка, широко використовуючи метод математичної формалізації і спеціальний апарат символів до певного кола логічних операцій. Формалізація і абстраціювання від конкретного змісту висловлювань дали змогу вирішити ряд важких логічних задач в області математики і знайшли використання в роботі ЕОМ, теорії програмування.

Проте математична логіка не осягнула всіх проблем логіки мислення. За формальною логікою залишаються пізнавальні форми і важлива методична роль як науки про закони і форми правильної думки, що веде до утвердження істини.


Поняття висловлювання.

^ Вчитель математики: Розглянемо Поняття висловлення

Основним поняттям математичної логіки є поняття "просте висловлення"

Алгеброю логіки називають розділ математичної логіки, який вивчає загальні властивості виразів, складених із окремих висловлень.

Об'єктами алгебри логіки є розповідні речення, відносно кожного з яких можна говорити, істинне воно чи хибне. Такі речення називаються простими висловленнями.

Наприклад: Число 8 ділиться на 2;

Берлін - столиця Франції;

Перше висловлення є простим та істинним, бо однозначно можна сказати, що дійсно число 8 ділиться на 2. Друге висловлення теж просте, але хибне, бо всім відомо, що Берлін не столиця Франції.

Над простими висловленнями можна виконувати такі логічні операції: кон'юнкція, диз'юнкція, імплікація, еквіваленція та заперечення. В результаті виконання цих операцій із простих висловлень утворюються складні. Якщо ми з’єднаємо сполучником і висловлення "число 8 ділиться на 2" і висловлення "число 8 ділиться на 4", то отримаємо складне висловлення "число 8 ділиться на 2 і на 4".

В алгебрі логіки всі висловлення розглядаються лише з точки зору логічного значення. Вважається, що кожне висловлення або істинне, або хибне, і ні одне висловлення не може бути і істинним, і хибним. Істинне висловлення А позначається А = 1, а хибне висловлення В позначається В = 0


^ Вчитель інформатики: істинне висловлювання в інформатиці ми будемо позначати True, а хибне – False.


Вчитель математики: Розглянемо тепер докладніше кожну з операцій.
^ Операція кон’юнкція
З'єднання двох простих висловлювань А і В за допомогою сполучника І називається логічним множенням або кон'юнкцією, а результат операції - логічним добутком.

Операцію кон'юнкція в більшості випадків позначають знаком ^ (використовують і знаки & , · ). В звичайній мові цій операції відповідає сполучник "І". Запис А ^ В читається "а кон'юнкція в" або "а і в" Правило істинності для кон'юнкції :

Висловлення А = а ^ в істинно, якщо істинні його вхідні складові. Вихід буде дорівнювати 0, якщо хоч би одна з вхідних величин дорівнює нулю.
^ Таблиця істинності операції кон'юнкція:
А

В

А ^ В

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1


^ Вчитель інформатики: А тепер запишіть таблицю істинності операції кон’юнкція в позначеннях True, False.


Вчитель математики:

На звичайну мову операція кон'юнкція може бути перекладена за допомогою виразів: і, а, але, хоч, незважаючи на…

У шкільній математиці прикладом кон'юнкції може служити подвійна нерівність: 3 < 6 < 7. Таку нерівність вважають вірною лише тоді, коли обидві складові частини істинні: 3 < 6 та 6 < 7. Подвійна нерівність 3 < 6 < 4 не буде вірною, бо одна із складових частин 6 < 4 не є істинною. Кон'юнкцією буде і висловлення "Діагоналі кожного ромбу перпендикулярні та поділяють кути на рівні частини".

Діаграма Ейлера для ілюстрації операції кон'юнкція матиме наступний вигляд:
^ Операція диз’юнкція
Для позначення операції диз'юнкція використовують знак V, який в звичайній мові відповідає сполучнику АБО. Сполучник АБО ми використовуємо в двох значеннях: виключаючому і невиключаючому. Пояснимо це на прикладах.

1. Розглянемо речення: " Володя вчора в 6 годин вечора читав книгу або їхав в автобусі на стадіон" .Сполучник АБО використано в невиключаючому розумінні - Володя міг читати і одночасно їхати в автобусі. Одне не виключає іншого.

2. Розглянемо ще одне речення: "Володя вчора спостерігав за матчем із західної або східної трибуни". Тут сполучник АБО має виключаючий характер - дві описані ситуації виключають одна одну: не можна спостерігати один і той же матч одночасно з двох протилежних трибун

В розглянутій алгебрі висловлень сполучник АБО буде використовуватись тільки в невиключаючому розумінні З'єднання двох простих висловлень А і В у одне за допомогою сполучника АБО, вжитого в невиключаючому змісті називається логічним додаванням або диз'юнкцією, а одержане складне висловлення - логічною сумою.

Висловлення А = а v в істинне, якщо істинне хоча б одне з складових вхідних висловлень. Якщо всі вхідні складові висловлення хибні, то вихідний сигнал також хибний.

В математиці прикладом диз'юнкції може служити нестрога нерівність, наприклад: "3 <= 7". Така нерівність вважається істинною, бо з двох її складових частин "3 < 7" та "3 = 7" перша частина істинна. Вірною буде і нерівність "3 >= 3". Але в нерівності "7 <= 3" жодна з складових частин не буде істинною ("7 < 3" та "7 = 3"), тому і складене висловлення буде хибним.

Діаграма Ейлера для ілюстрації операції кон'юнкція матиме наступний вигляд:

Така ж діаграма буде ілюструвати об'єднання множин, тому знаки диз'юнкції "v" та об'єднання "U" схожі між собою та схожі на літеру "і" (разом).
^ Таблиця істинності операції диз'юнкція:
А

В

А v В

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Вчитель інформатики: Запишіть таблицю істинності для операції диз’юнкція в позначеннях True, False.
^ Вчитель математики: Розглянемо слідуючу операцію. Операція імплікація
З'єднання двох висловлень в одне з використанням звороту " Якщо…, то…" називається операцією логічного слідування або

Імплікацією.

Указання виконати операцію імплікації над висловленнями А і В записується так: А->В (читається " Якщо А, то В" або " В слідує з А") Висловлення АаВ буде хибне тільки в тому випадку, якщо А=1, В=0.

У людській мові міркування частіше за усе являють собою ланцюжки висловлень. Ці висловлення часто мають умовний характер, тобто стверджують, що деяке висловлення істинне при умові, що істинне інше висловлення. Наприклад: "Якщо у даного трикутника бічні сторони рівні, то рівні і кути при основі". У загальному вигляді таке міркування записують таким чином: "Якщо істинне А, то істинне і В", або коротше "Якщо А, то В" записують таким чином: "Якщо істинне А, то істинне і В", або коротше "Якщо А, то В".

Таке висловлення називають імплікацією висловлень А і В і позначають А -> В. Висловлення А називають умовою, а висловлення В - наслідком.

Візьмемо А = "Зараз добра погода", В = "Я піду на прогулянку". Тоді А > В означає: "Якщо зараз добра погода, то я піду на прогулянку". Зрозуміло, що якщо зараз погода погана, ми не чекаємо виконання наслідків, і при будь-якому наслідку імплікацію вважаємо істинною. Єдиний випадок, коли імплікація вважається хибною, є істинність умови і хибність наслідку.

На звичайну мову операція імплікація може бути перекладена за допомогою виразів: "якщо …, то …", "з … слідує …". Операція імплікація тільки частково відповідає змісту сполучника "якщо …, то …" звичайної мови, де він використовується для вираження причинної залежності, і умова та висновок повинні бути зв'язані між собою за змістом. У математичній логіці змістом висловлень нехтують, залишаючи на увазі лише істинність або хибність вихідних висловлень. Наприклад: "Якщо 2+2=4, то Земля обертається навколо Сонця" - істинна імплікація.
^ Таблиця істинності операції імплікація:
А

В

А => В

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1
^ Операція еквіваленція
З'єднання двох простих висловлень А і В у одне з використанням звороту " … тоді і тільки тоді, коли …", називається операцією еквівалентності. Висловлення, над якими проводиться ця операція розміщуються замість крапок. Указання виконати операцію еквівалентності над висловленнями А і В записується так: А<->В (читається: "А еквівалентне В ").

Еквіваленція буде істинна тоді і тільки тоді, коли вхідні величини одночасно істинні або одночасно хибні.
^ Таблиця істинності операції еквіваленція:
А

В

А <=> В

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

^ На звичайну мову операція еквіваленція може бути перекладена за допомогою виразів: "… тоді і тільки тоді, коли …", "… якщо і тільки якщо …", "… еквівалентне …".
^ Операція заперечення
Запереченням висловлення А називається таке складене висловлення A (не А), яке істинне тоді, коли А хибне, і хибне тоді, коли А істинне.
^ Дана таблиця показує зв'язок між А та A.
А

A

1

0

0

1

На звичайну мову операція заперечення може бути перекладена за допомогою виразів: не; неправильно, що … Для побудови заперечення треба додати до даного висловлення частку "ні", або вилучити її, якщо вона вже присутня.

^ Вчитель інформатики: Запишіть таблицю істинності для операції заперечення в позначеннях True, False.

Логічні вирази.

Вчитель інформатики: Розглянемо два види логічних виразів:

^ Прості логічні вирази. Простий логічний вираз – це два арифметичні вирази, з’єднані символом відношення (порівняння). Символи відношень між величинами у мовах програмування записуються так: > - більше, < - менше, >= - більше або дорівнює (не менше), <= - менше або дорівнює (не більше), = - дорівнює, <> - не дорівнює.

^ Складені логічні вирази. Складені логічні вирази – це прості логічні вирази, до яких застосовані логічні операції

Пріоритет логічних операцій.

Для логічних операцій запроваджено такій пріоритет (черговість) виконання :

not (найвищий),

and,

or.

Операції одного пріоритету виконуються по черзі зліва направо.

Наприклад, 1).Нехай х – змінна цілого типу. Складений вираз

(x = 0) or (x > 1) and (x < 3) істинний лише для двох значень х: 0 і 2.

2).Переконайся, що складений логічний вираз

(x = 5) or not (x < 0) and (x <= 2) істинний, якщо х набуде одного з значень 0, 1, 2, 5.

^ Послідовність виконання логічних операцій можна змінити за допомогою круглих дужок, наприклад, вираз (x = 5) or not ((x < 0) and (x <= 2)) істинний для всіх додатних значень змінної х.

^ IV. Формування навичок

Вчитель математики:

Побудуємо спільну таблицю істинності для двох формул: А > В і А V B. Для цього складемо таблицю усіх можливих комбінацій значень А і В (0-0, 0-1, 1-0, 1-1) і виконаємо всі логічні операції, визначені законом для кожної з комбінацій:

A

B

A => B

A V B

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

Таким чином, ми бачимо, що кожна формула яка складається з двох висловлень має чотири логічних значення. Загалом можна сказати так: якщо формула складається з n елементарних висловлень, то вона приймає 2 в степені n значень, що складаються з нулів та одиниць.

Побудуємо таблицю істинності для формули A ^ (A => B) => B

A

B

A => B

A ^ (A => B)

A ^ (A => B) => B

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

Ця формула для будь-яких наборів значень букв А, В набуває значення 1 (істинно), тобто висловлення A ^ (A => B) => B завжди істинне.

За допомогою таблиць істинності можна довести будь-який логічний закон, рівносильність або тотожність.
^ Підтвердимо вірність даних рівносильностей:
1)A V (B ^ C) = (A V B) ^ (A V C) - друга розподільна властивість

A

B

C

B ^ C

A V (B ^ C)

A V B

A V C

(A V B) ^ (A V C)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2)(A V B)=A ^B - перший закон де Моргана

A

B

A V B

(A V B)

A

B

A ^B

0

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

0

0

1

0

1

1

1

0

0

0

0

3)  (A ^ B) =A VB - другий закон де Моргана

A

B

A ^ B

 (A ^ B)

A

B

A VB

0

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

0

0

0

^ Вчитель інформатики:

Розв’яжемо декілька вправ із застосуванням логічних операцій.

Відкрийте збірники вправ та задач з програмування Караванової на стр. 21 Розглянемо вправи № 81, 82, 83.


№ 81.

Поставити у відповідність виразам, що розташовані зліва, вирази, що розташовані справа:



№ 82.

Обчислити значення логічних виразів:

x < y при x = -2.5, y = 0.1;

a and not (b = c) при a = false, b = false, c = true;

not(a and b) or b = a при a = true, b = false;

(not a and (x
№ 83.

Записати наведені нижче висловлювання у вигляді логічних виразів:

значення х належить інтервалу (0,1);

значення х не належить інтервалу (0,1);

значення х належить відрізку [- 1, 0] або відрізку [2, 5];

точка М(х,у) лежить у другій чверті координатної площини;

точка М(х,у) лежить всередині або на межі одиничного круга з центром у початку координат;

точка М(х,у) не лежить на одиничному колі з центром у початку координат;



^ Розв’язування логічних задач.

Три дочки письменниці Доріс Кей – Джуді, Айріс і Лінда – також дуже талановиті. Вони набули популярності в різних видах мистецтв – співу, балеті і кіно. Всі вони живуть в різних містах, тому Доріс часто дзвонить їм в Париж, Рим і Чикаго. Відомо, що:

Джуді живе не в Парижі, а Лінда не в Римі;

Парижанка не знімається в кіно;

Та, хто живе в Римі, співачка;

Лінда байдужа до балету;

Де живе Айріс і яка її професія?

Для розв’язування можна використати таблицю:

Місто

Ім’я

Вид мистецтва

Париж

Рим

Чикаго

Спів

Балет

Кіно










Джуді



















Айріс



















Лінда













Якось Петро, Борис, Сашко і Микола – пішли із своїми сестрами на шкільний новорічний бал. Під час першого танцю кожен із них танцював не із своєю сестрою. Олена танцювала з Петром, Світлана – з братом Наташі, Оля – з братом Світлани, Борис – із сестрою Саші, Саша – із сестрою Петра. Хто чий брат і хто з ким танцював?

Для розв’язування можна використати таблицю:

Дівчата

Її брат

Її партнер по танцю

Петро

Борис

Саша

Микола

Петро

Борис

Саша

Микола

Олена

























Оля

























Світлана

























Наташа




























Микола, Борис, Вова і Юра зайняли перші чотири місця в спортивному змаганні. На питання, які місця вони зайняли, вони відповіли:

Микола не зайняв ні перше, ні четверте

Борис зайняв друге місце

Вова не був останнім

Яке місце зайняв кожний хлопець?


Із запропонованих задач першу розв’яжемо в класі, для чого попрошу заповнити запропоновані таблиці, а другу і третю розв’яжете дома.

^ V. Закріплення знань учнів.

Вчитель математики: А тепер, коли ми розглянули з вами теоретичний матеріал і практичне застосування його при розв’язуванні різноманітних завдань, спробуємо виконати перевірочні тести:

Тест: „Основні логічні операції”
^ 1: Висловлення х та y - хибні. Серед складних висловлень знайдіть істинне.
х ^ y.

y v x.

x v y.

y<=>x.

2: Висловлення х та y - істинні. Що можна сказати про висловлення x & y ?

істинна диз’юнкція.

хибне.

істинна кон’юнкція.

не існує.

3: Кон'юнкцією двох висловлень називається таке висловлення, яке істинне тоді і тільки тоді, коли...

істинне хоча б одне з висловлень.

обидва висловлення істинні.

обидва висловлення хибні.

перше істинне а друге хибне.

4: Висловлення х - істинне, а y - хибне. Серед даних висловлень знайдіть хибне:

х v y.

y v x.

x-> y.

5: Серед даних висловлень знайдіть кон’юнкцію:

два більше, ніж один.

Сашко їхав в автобусі і читав журнал.

невірно, що Київ - столиця України.

Він прийшов у школу або у клуб.

6: В слідує з А. Так читається операція...

кон'юнкція.

диз'юнкція.

імплікація.

еквіваленція.

7: Якщо примінити логічну операцію до істинного висловлення, то воно стане хибним, і навпаки. Ця логічна операція - ...

заперечення.

кон’юнкція.

диз’юнкція.

еквіваленція.

8: Істинність складних висловлень залежить від...

від набору значень.

не залежить ні від чого.

від істинності вхідних висловлень.

від кількості складових.

9: Якщо А, то В. Так читається висловлення...

А-> В.

B-> A.

A ^ B.

A<=>B.

10: Яку операцію використовуть тільки у невиключаючому змісті?

кон'юнкцію.

диз'юнкцію.

імплікацію.

еквіваленцію.

11: Серед поданих, знайдіть заперечення висловлення 4 < 6

4 > 6.

4 = 6.

4 <= 6.

4 >= 6.

12: Якщо умова істинна, а наслідок хибний, то...

еквіваленція буде істинна.

імплікація буде хибна.

імплікація буде істинною.

еквіваленція буде істинною.

Запропоновані тести знаходяться в електронному підручнику „Логіка” і одразу ж після їх виконання видають учневі результат – оцінку його знань з даної теми.

^ VІ. Підсумок уроку. 

Вчитель математики: Сьогодні на уроці ми ознайомилися з новим для вас розділом математичної науки – математичною логікою, та спробували сформувати поняття: висловлення, кон’юнкція, диз’юнкція, імплікація, еквіваленція, заперечення; навчилися користуватися логічними операціями;