Реферат: Урок по теме: «Производная логарифмической и показательной функций»

ТВОРЧЕСКАЯ ЛАБОРАТОРИЯ

Урок по теме:


«Производная логарифмической и показательной функций»


Цели урока:

Обучающая: углубление понимания сущности производной путём применения её для получения новых знаний; вывести формулы производных логарифмической и показательной функций; показать значимость изучения данной темы.

Развивающая: формирование умений выполнять обобщения и конкретизацию; формирование умения строить доказательство, логическую цепочку рассуждений; установление межпредметных связей.

Воспитательная: воспитание познавательного интереса к учебному предмету.


Оборудование: плакат с высказыванием, девизом урока, компьютеры, экран, карточки для работы в группах.


^ Ход урока.


Девиз урока (записан на плакате).


Кто такой учёный?

Тот, кто ночами забыв про кровать,

Усердно роется в книжной груде.

Чтобы ещё кое-что узнать

Из того, что знают другие люди.

(П. Хейн).


^ Организационный момент.

Учитель читает четверостишье:

«Мир рвался в опытах Кюри

Атомной лопнувшею бомбой

На электронные струи

Не воплощённой гекатобомбой»

- Знакомы ли вам эти строчки? Нет? Это в 1921 году написал Андрей Белый. Вдумайтесь только1921 год! За полтора десятка лет до того, как учёные начали работать над созданием атомной бомбы и почти за четверть века до Хиросимы! Поэт предсказал вступление в атомный век! Как он смог?! Андрей Белый – это литературный псевдоним, а настоящее его имя Б.Н. Бугаев. Учился он на физико-математическом факультете Московского университета. Но почему же мы знаем о литературных достижениях Андрея Белого и так мало о математике Борисе Бугаеве? Дело в том, что мир узнаёт о каком-то великом человеке, когда он получает всемирное признание и ему вручают премию за достижения. Премий много, но самая престижная – Нобелевская. Она вручается за заслуги в самых различных областях. Так мир узнал о великих русских поэтах и писателях – Михаиле Шолохове, Иване Бунине, об Александре Солженицыне, Борисе Пастернаке и т.д. Но в списке нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека, которому бы её вручили за достижения в области математики. Почему? Потому что у её основателя Нобеля была невеста и друг – математик, который отбил её у него и Нобель завещал: за математику премию не вручать. И сейчас предлагаю вам стать учёными, чтобы все, кто здесь сидит, поняли, что (определение) ответ на вопрос : кто такой учёный?

Тот, кто ночами забыв про кровать,

Усердно роется в книжной груде.

Чтобы ещё кое-что узнать

Из того, что знают другие люди.

относится и к вам, показав это своим трудом, совершая открытия, исследования, выводы формул. И как знать, может быть, когда-нибудь признание найдет кого-то из вас.

Итак, начинаем урок.



^ Сообщение темы и цели урока.

(Высвечиваются на экране, дети записывают в тетрадь).


Актуализация опорных знаний.

(Вопросы высвечиваются на экране, зачитываются учителем, после ответа по щелчку высвечивается ответ).

Что означает данная запись?


ƒ (х + h) – ƒ(x)

h


Как можно записать это по-другому?




Дайте определение производной.




lim

Δf

= ƒ′(х) или ƒ′(х) =

lim

ƒ(х + h) – ƒ(х)

.

Δх→0

Δх

Δh→0

h




В чём заключается физический смысл производной?




Как называется правило нахождения производной?




Что означает: функция дифференцируема в каждой точке интервала (а; b)?




Верно ли обратное утверждение?




Что означает запись? Продолжите её:


(ƒ(х) + g(х))′ = (ƒ′(х) + g′(х)).


Продолжите равенство.


(сƒ(х))′ =


Верно ли равенство:


(ƒ(х) · g(х))′ = (ƒ′(х) · g′(х)).


Найдите ошибку в формуле:




(

ƒ(х)

)′ =

ƒ′(х)g(х) + g′(х)ƒ(х)

.

g(х)

g′(х)



Объясните данную формулу:


ƒ(g(х))′ = ƒ′(g(х)) · g′(х).


Какое понятие неразделимо с понятием производной?




Производные каких функций мы умеем вычислять?




Назвать линейную функцию и её производную.




Назвать степенную функцию и её производную.




Выполнение теста (на компьютерах) (5 мин.)




Изучение новой темы.




Вводное слово учителя: Изучение темы «Производная» немыслимо без знаний о теории функций. На предыдущих уроках мы решали задачи, используя знания о линейной и степенной функциях, с помощью производной решали задачи на нахождение мгновенной скорости прямолинейного неравномерного движения, кинетическую энергию тела, силу, действующую на материальную точку и др.

А как решить такую немаловажную в жизни задачу (на экране высвечивается):

Масса радия в 1 г. через 10 лет уменьшилась до 0,999г. Через сколько лет масса радия уменьшится до 0,5г.?

Решение этой задачи и многих физических, биологических, технических и других задач сводится к решению уравнения

m′ (t) = m۪ ℮−Rt (на экране)

где m′ (t) – скорость радиоактивного распада вещества, скорость размножения бактерий. Как видите такие задачи нельзя решить без знаний показательной и логарифмической функций и их производных. Я думаю, что результаты ваших исследований, желание постичь новое, ваши внимание и логика помогут достичь поставленных целей.

В решении таких задач большую роль играет число «℮». О своих исследованиях расскажут ученики (сообщения).

− Об истории и значимости логарифмической функции.

− По графику на экране о свойствах функции.

− Формула перехода от одного основания к другому.

− Понятие натурального логарифма. Вся вычислительная техника работает только с натуральными логарифмами.

− Формула перехода

1

log a x =

ln x

, где а > 0, а ≠ 1, ℮

ln a

= a










ln a














− В высшей математике доказано.

2

(ln x)′ =

1

, х > 0



















x






















(ln (Rx + b))′ = R ·

1

=

k

.













kx + b

kx + b
















Показательная функция и число «℮».

− Из истории показательной функции.

− Свойства показательной функции (график на экране).

− Формула ax = ℮x ln a = ( ℮ ln a ) = ax ;

3 4

℮x ln a = ax

;

( ℮x )′ = ℮x

,

( ℮Rx + b)′ = k℮ Rx + b


Запись на доске формул 1, 2, 3, 4 (Слайд на экране)

Итак, настало время поработать в творческой лаборатории. Представьте себе, что вы учёные и работаете над выводом формул производных логарифмической функции и показательной функции. Создадим две творческие группы.


Вывод формул производных логарифмической и показательной функций (работа парами).

Каждая пара берёт лист № 1. Опорный лист для доказательства формулы производной логарифмической функции.

Лист № 1.

(loga x)′ =

1). Переведите logax к основанию ℮.

2). Примените 2-е правило дифференцирования, т.е. постоянный множитель вынесите за знак производной.

3). Вычислите (ln x)′.

4). Умножьте полученные дроби.

5). Запишите формулу производной логарифмической функции




(loga x)′ =

1




x ln a


6). Найдите производную сложной функции.

(loga(kx + b))′ = loga′(kx + b) · (kx + )′ =

k

(kx + b)ln a


7). По желанию вывод формулы написать на доске.


Лист № 2

(ах)′ =

Запишите ах с помощью числа ℮.

2. Примените формулу (℮kx + b)′ = k℮kx + b

3. Замените ℮xlna равным ему значением.

4. Найдите производную сложной функции

(а kx + b)′ =

5. По желанию вывод формулы записать на доске.


Закрепление теоретического материала в результате решения упражнений.

№ 831 (1, 3), № 832 (1, 5), № 833


Итоги урока.

Чему равна производная функции ℮х , (ln x)′

( )′ = 2хln 2

(log83x)′ =

Что же, вы смогли с помощью опорных знаний, добытых самими же, вывести формулы производных логарифмической и показательной функций. И я хочу вручить вам Нобелевскую премию – вы настоящие учёные. Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты.



Задание на дом.

§7 до п.3. Исследовать другой способ доказательства производной показательной логарифмической функций. № 833 – 835 (2, 4), № 840 (2).

Почему крокодил? Потому что это животное никогда не отступает и не пятится назад! Этого я и вам желаю.

Затем лидеры в группах объявляют оценки и дают краткую характеристику работы каждого члена группы.