Реферат: Урок-лекция по теме «понятие математической логики»

Seminar_ID_046


Урок-лекция по теме

«ПОНЯТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ».

Логика — наука о законах и правилах мышления.
Формальная логика — наука о законах и формах мышления.

Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе дедуктивного вывода.


В 4 века до н.э. древнегреческий ученый Аристотель заложил основы формальной логики. Он исследовал терминологию логики, разобрал теорию умозаключений и доказательств, вывел понятие силлогизма.

В 16 веке в алгебре была создана буквенная символика. Она получила название алгебры логики, или математической логики. Основы математической логики заложил в 17 веке немецкий математик Лейбниц. Он сделал попытку построить первые логические исчисления. Лейбниц только развил идею, а окончательно развил и сформулировал ее ученый Джон Буль (1815-1864). В работах Буля логика приобрела свой алфавит, грамматику, орфографию. Поэтому иногда математическую логику называют Булевой алгеброй.


Алгебра логики — это математический аппарат, с помощью которого записывается, вычисляется, упрощается и преобразуется логическое высказывание.

Основным понятием математической логики является высказывание.

Высказывание — это повествовательное предложение, про которое всегда можно сказать истинное оно или ложное.

Истинные высказывания обозначаются — 1, а ложные — 0

Высказывания бывают просты и сложные. Сложные состоят из простых, соединенных знаками логических операций.

Высказывания обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (простые): A,B,C,D…


Рассмотрим логические операции.

Инверсия

соответствует частице НЕ

обозначается ¬А

называется: отрицание

Конъюнкция

соответствует союзу И

обозначается &, ●

называется: логическое умножение

Дизъюнкция

соответствует союзу ИЛИ

обозначается v

называется: логическое сложение



Примеры:


1. Два больше трех А=0

Пять на пять равно пятнадцать В=0

конъюнкция: А & В=0


2. Погода безоблачная А=1

Не идет дождь В=1

конъюнкция: А & В=1


Лев Толстой — великий русский писатель А=1

Исмагил Гаспринский — знакомый Льва Толстого В=1

дизъюнкция: А v В=1


Дуб — хвойное дерево А=0

Щука — рыба В=1

дизъюнкция: А v В=1


^ ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ


В алгебре логики выполняются следующие основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений.

ЗАКОН
Для ИЛИ

Для И

Переместительный

x v y = y v x

x & y = y& x

Сочетательный

x v (y v z) = (x v y)v z

x& (y & z) = (x & y) & z

Распределительный

x (y v z ) = x y v x z

x v y& z = x v y& x v z

Правило де Моргана

= &

= v

Идемпотенции

x v x = x

x & x = x

Поглощения

x v x & y = x

x& (x v y) = x

Склеивания

(x& y) v (& y) = y

(x v y) & ( v y) = y

Операции переменной с ее инверсией

x v x = 1

х & x = 0

Операции с константами

x v 0 = x; x v 1 = 1

x& 0 = 0; x& 1 = x

Двойное отрицание

= x


Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определенному виду путем использования основных законов алгебры логики.

Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре (вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного, сочетательного законов и т.д.), но есть и другие преобразования (использование распределительного закона для конъюнкции, законы поглощения, склеивания, де Моргана и др.)


Законы алгебры логики применяются в такой последовательности:


правило де Моргана

сочетательный закон

операции переменной с ее инверсией

операции с константами



Примеры:

& (x& )= & & (x& )=& & x& = & x & & =0

& y v v x=& y v & v x=& (y v ) v x= & 1 v x= v x=1

(x v y) & ( v y) & ( v )=(x v y) & ( v y) & ( v y) & ( v )=y&

= =( v) z



Егорчева Светлана Валентиновна, учитель информатики и математики школы №113, г. Казань