Реферат: Урок-лекция по теме «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.»

Урок-лекция по теме «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.»


Казанкова Татьяна Владиславовна, учитель математики.


Статья отнесена к разделу: Преподавание математики.


Цель урока:

Дать определение квадратного уравнения и показать его общий вид: ах2 + bx + с = 0 (а ≠ 0).

Дать понятие неполного квадратного уравнения и его трёх видов: а) ах2 + с = 0, где с ≠ 0; б) ах2 + bx = 0, где b ≠ 0; в) ах2 = 0.

Рассмотреть методы решения неполных квадратных уравнений.

Дать краткую историческую справку об истории развития квадратных уравнений.

Продолжить развитие интереса к математике.


«Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмевает славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.» (старинная индийская книга).

^ Ход урока.


Перед уроком на доске прикрепляется плакат, на котором записан общий вид квадратного уравнения. С другой стороны доски записано определение квадратного уравнения.


^ Организационный момент.


Во время организационного момента детям сообщается тема урока и цели, которые должны быть достигнуты к концу урока.


Изучение нового материала.




^ Определение квадратного уравнения.


Посмотрите, вот определение квадратного уравнения. Прочитайте, что здесь написано. Как вы думаете, почему уравнение такого вида называется квадратным.

Оно также называется уравнением 2-ой степени.

Числа a, b и с тоже имеют свои названия. Их называют коэффициентами квадратного уравнения.


Дети записывают в тетради: а – первый коэффициент,

b- второй коэффициент,

с – свободный член.

Примеры:

Чему равно а, b и с? 9х2 + 2х + 7 = 0,

х2 + 2х + 3 = 0,

2х2 - 7х + 2 = 0,

5х2 + х – 2 = 0,

х2 – 3х – 1 = 0,

6х – 2х2 – 5 = 0.


^ Задача, приводящая к квадратному уравнению.


В период военных учений в системе обороны дивизии было создано несколько командных пунктов, причём каждый из них имел линию связи с любым другим из числа оставшихся. Сколько командных пунктов организовано, если количество линий связи равно 45?


^ Начинаем рассуждать:

Давайте разберёмся, как вообще была построена система связи. Предположим, что командных пунктов было всего 4. Каждый из них имеет линию связи с любым другим из числа оставшихся. С какими пунктами имеет связь пункт №1, пункт №2, пункт №3, пункт №4? Значит, каждый из командных пунктов имеет по 3 линии связи, а всего пунктов 4. Сколько всего должно получиться линий связи? (3 . 4 = 12). Но связь, например, между пунктом №1 и пунктом №2 есть также связь между пунктом №2 и пунктом №1. Значит 12:2 = 6 – линий связи.

Теперь можно сделать общий вывод.

Пусть х – количество командных пунктов. Тогда линий связи у каждого из них ( х – 1). Количество линий связи будет равно х(х – 1) / 2 , что по условию задачи равно 45. Составим и решим уравнение х(х – 1)/2 = 45,

х(х – 1) = 90,

х2 – х – 90 = 0.

Мы получили пример квадратного уравнения. Решать такие уравнения мы научимся позже, а сейчас приведите сами несколько примеров квадратных уравнений.


^ Историческая справка.


Теперь можно немного расслабиться и послушать о том, как же появились на свет квадратные уравнения и какие учёные занимались этой проблемой.


^ Сообщение первого ученика: «Квадратные уравнения в Индии.»


Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский учёный Брахмагупта ( VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.


^ Сообщение второго ученика: «Квадратные уравнения в древнем Вавилоне».


Необходимость решать квадратные уравнения ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать ещё около 2000 лет до н. э. В их клинописных текстах встречаются не только неполные, но и полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.


^ Сообщение третьего ученика: «Квадратные уравнения в Европе».


Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г итальянским математиком Леонардо Фибеначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники ХVI – XVII вв.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов было сформулировано в Европе лишь в 1544г М. Штифелем.


^ Неполные квадратные уравнения.


А теперь, после небольшого отдыха, продолжим изучение новой темы.

Если в квадратном уравнении ах2 + bx + с = 0, хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме а), то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают 3-х видов:

а) ах2 + с = 0, где с ≠ 0;

б) ах2 + bx = 0, где b ≠ 0;

в) ах2 = 0.

Рассмотрим примеры и решения каждого из этих трёх видов:

5х2 – 125 = 0,

4х2 + 64 = 0,

4х2 + 9х = 0,

5х2 = 0.

После того, как рассмотрены все примеры с решениями, можно задать домашнее задание.


Заключительная часть урока. Обобщение.


Детям задаются несколько вопросов:

1.С какими новыми уравнениями мы познакомились? Как они называются?

2. Какой вид имеют квадратные уравнения?

3. Какое уравнение называется неполным квадратным?


На втором уроке решается несколько примеров и записывается общий вид решений всех видов неполных квадратных уравнений.