Реферат: Линейные уравнения Содержание Введение Глава 1
Линейные уравнения
Содержание
Введение
Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений
Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства
Глава 3. Линейные уравнения высших порядков
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида (x – 1)2 = (x – 1)(x – 1) выполняется при всех значениях переменной x. Для обозначения тождества часто вместо обычного знака равенства = пишут знак , который читается «тождественно равно». Тождества используются в алгебре при записи разложения многочленов на множители (как в приведенном выше примере). Встречаются они и в тригонометрии в таких соотношениях, как sin2x + cos2x = 1, а в общем случае выражают формальное отношение между двумя на первый взгляд различными математическими выражениями.
Если уравнение, содержащее переменную x, выполняется только при определенных, а не при всех значениях x, как в случае тождества, то может оказаться полезным определить те значения x, при которых это уравнение справедливо. Такие значения x называются корнями или решениями уравнения. Например, число 5 является корнем уравнения 2x + 7= 17.
Линейное уравнение это алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Линейное уравнение с одним неизвестным имеет вид: ax= b. В случае нескольких неизвестных имеют дело с системами линейных уравнений.
Глава 1. Понятие и решение линейных уравнений
Как уже упоминалось во введении, линейное уравнение есть алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных.
Линейные уравнения решаются путем их сведения к эквивалентному уравнению, из которого непосредственно видно значение неизвестного. Например, уравнение x + 2 = 7 можно свести к эквивалентному уравнению x = 5 вычитанием числа 2 из правой и левой частей. Шаги, совершаемые при сведении простого уравнения, например, x + 2 = 7, к эквивалентному, основаны на использовании четырех аксиом.
1. Если равные величины увеличить на одно и то же число, то результаты будут равны.
2. Если из равных величин вычесть одно и то же число, то результаты будут равны.
3. Если равные величины умножить на одно и то же число, то результаты будут равны.
4. Если равные величины разделить на одно и то же число, то результаты будут равны.
Например, чтобы решить уравнение 2x + 5 = 15, мы воспользуемся аксиомой 2 и вычтем число 5 из правой и левой частей, в результате чего получим эквивалентное уравнение 2x = 10. Затем мы воспользуемся аксиомой 4 и разделим обе части полученного уравнения на 2, в результате чего исходное уравнение сведется к виду x = 5, что и является искомым решением.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка
ao(x)e(n) + a1(x)y(n-1) + ...+an-l(x)y' + aa{x)y=r(x), (1)
где ai(x) (i = 0, 1, ..., п) и r(х) — известные функции, непрерывные при всех допустимых значениях x; у — искомая функция аргумента x; y`(n) — ее производные по х.
Заметим, что искомая функция и ее производные входят в уравнение (1) в первой степени, поэтому его и называют линейным.
Функция r(х), входящая в линейное уравнение (1), называется правой частью.
Определение 1. Линейное дифференциальное уравнение (1) называется однородным (или уравнением без правой части), если r(x) = 0.
Запишем уравнение (1) в другой, форме. Разделим все члены этого уравнения на ao(x) и обозначим новые коэффициенты через
ai(x) = ai(х) / а0(х) (I = 1, ...n), а новую правую часть — через f(x)= r(х) /а0(х)/
Тогда уравнение (1) запишется в виде
y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y` + an(x)y = f(x) (2)
а соответствующее ему однородное уравнение — в виде
y(n) + a1(x)y(n-1) + … + an-1(x)y` + an(x)y = 0 (3)
Глава 2. Линейные однородные уравнения и их основные свойства
Рассмотрим уравнение
y`` + p(x)y` + q(x)y = 0 (4)
где р(х) и q(x) — функции, непрерывные при всех допустимых значениях х. Уравнение (4) является линейным однородным уравнением вида (3), где п = 2, а1(х)=р(х), а2(х)=а(х). Оно имеет очевидное решение y(x)=0 (нулевое решение), для которого y' = 0, y`` = 0 и уравнение (4) обращается в тождество. Интерес представляет отыскание ненулевых решений уравнения (4).
Пусть у1=у1(х), у2 = y2(x) — два решения уравнения (4), отличные от нулевого.
Определение 2. Два решения у1 и y2 уравнения (4) называются линейно зависимыми, если существуют постоянные a1 и а2, не обращающиеся одновременно в нуль и такие, что при любом значении х справедливо соотношение
A1y2(x) + a2y2(x) = 0 (5)
Если же таких чисел a1 и а2 не существует, т. е. тождество (5) справедливо только при a1 = a2 = 0, то решения у1 и у2 называются линейно независимыми.
Общее решение уравнения (4) удается найти не во всех случаях. Однако в частном случае, когда уравнение (4) имеет вид
y `` + py` + qy = 0 (6)
где р и q — постоянные, его общее решение можно найти всегда. Уравнение (6) называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Будем искать его решение в виде y — ekx, где k — некоторое пока неизвестное число (действительное или мнимое). Тогда y' = kekx, у" = k2ekx. Подставив эти выражения в уравнение (6) и разделив обе его части на общий множитель ekx, отличный от нуля для всех х, получим
k2 + pk + q = 0 (7)
Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для уравнения (6). Его корни находятся по формуле
k1,2 = - p/2 ± √ p2/4 – q (8)
В зависимости от характера корней уравнения (7) получаются различные общие решения уравнения (6). Рассмотрим возможные случаи.
1. ^ Корни действительные и различные: k =/= k2. В этом случае частными решениями уравнения (6) являются y1 = еk1x, у2 = еk2x. Как было показано, эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид
y = C1ek1x + C2ek2x
2. ^ Корни действительные и равные: k1 = k2 = k. В этом случае одно частное решение имеет вид y1 = ekx. Если взять y2 = ekx , то решения у1 и y2 окажутся линейно зависимыми. Поэтому второе частное решение находим по формуле (5) и получаем y2 = x ekx. Решения у1 и у2 линейно независимы. Следовательно, общее решение уравнения (6) имеет вид
у = ekx (С1 + C2x). (9)
3. Корни комплексные: k1 = a + ib, k2 = a – ib, где a = - p/2 – действительная, аβ = √q – P2/4 – мнимая часть комплексного числа.
Легко проверить, что в этом случае линейно независимыми решениями уравнения (6) являются частные решения у1=еах sin βx и у2 = еах cos βx . Следовательно, общее решение уравнения (12) имеет вид
Y = еах (C1 sin βx + C2cos βx). (10)
Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (6) сводится к нахождению корней характеристического уравнения (7), которое легко составить непосредственно по уравнению (8), если в нем заменить производные соответствующими степенями показателя k.
Глава 3. Линейные уравнения высших порядков
Линейные уравнения высших порядков обладают аналогичными свойствами, что и те линейные уравнения, которые мы рассматривали ранее. Сформулируем их, не останавливаясь на доказательствах.
Рассмотрим линейное однородное уравнение п-го порядка вида (3):
y(n) + a1(x)y(n-1) +... + an-1(x)y` + an(x)y = 0
Частные решения у1, y2, … yn, уравнения (3) называются линейно независимыми, если между ними не существует тождественного относительно х соотношения
A1y1 + a2y2 + … + anyn = 0
где постоянные a1, а2, ..., аn одновременно не обращаются в нуль. Если у\, г/2, ..-, уп — линейно независимые частные решения уравнения (3), то его общее решение задается формулой
y = C1y1 + C2y2 + … Cnyn, (11)
где С1 С2, ..., Сn— произвольные постоянные.
Если коэффициенты а1, а2, ..., ап уравнения (3) постоянны, то его частные решения у1, у2, ..., уп находятся с помощью характеристического уравнения
kn + a1kn-1 + … + an-1k+an = 0 (12)
При этом каждому действительному корню k уравнения (12), имеющему кратность т, соответствуют т частных решений вида ekx, xm-1, ..., xm-1 ekx уравнения (3).
Заключение
Подведем итог вышесказанному.
Уравнения служат мощным средством решения практических задач. Точный язык математики позволяет просто выразить факты и соотношения, которые, будучи изложенными обычным языком, могут показаться запутанными и сложными.
Неизвестные величины, обозначаемые в задаче символами, например x, можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений. Методы решения уравнений составляют в основном предмет того раздела математики, который называется теорией уравнений.
Теория линейных уравнений получила развитие после возникновения учения об определителях и матриц. Понятие линейности переносится с алгебраических уравнений на уравнения из других областей математики (напр., линейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят линейно, т. е. в 1-й степени).
Вместе с тем, линейное уравнение и проблемы его решения – составляют один из множества разделов современной математической науки.
Список использованной литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1985.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. – М.: Наука, 1982, 1987.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1986.
5. Еругин Н.П. Книга для чтения по дифференциальным уравнениям. – Минск: Высшая школа, 1979.
7. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. / Под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1978.
8. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981.
9. Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы математического анализа. / Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1981.
10. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. – М.: Наука, 1985.
еще рефераты
Еще работы по разное
Реферат по разное
Тема введение в теорию управления золотая узда не сделает клячу рысаком
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Бюджетное планирование как основа системы ресурсного планирования малых предприятий 12
17 Сентября 2013
Реферат по разное
«Политический (государственный) режим: понятие и виды»
17 Сентября 2013
Реферат по разное
Производственная кооперация стран СНГ с
17 Сентября 2013