Реферат: Математическая логика, основанная на теории типов

Бертран Рассел

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, ОСНОВАННАЯ НА ТЕОРИИ ТИПОВ


От переводчика: Предлагаемая в русском переводе работа Б. Рассела “Mathematical Logic as based on the Theory of Types” впервые опубликована в 1908 г. в American Journal of Mathematics и с тех пор неоднократно переиздавалась. Для данного издания перевод сделан по сборнику: Russell B. Logic and Knowledge (Essays 1901-1950) // London: Allen and Unwin LTD, 1956. – P. 57-102. В этой работе Б. Рассел впервые даёт развёрнутое решение логических парадоксов, основанное на разработанной им теории типов. Содержание статьи по существу совпадает с первым томом опубликованного в 1910-1913 гг. монументального трёхтомного труда Principia Mathematica, написанного Б. Расселом в соавторстве с А.Н. Уайтхедом. Компактность статьи и ясность изложения даёт хорошую возможность без излишних деталей проследить магистральную идею теории типов и то, как она отражается на различных разделах математики и её оснований. С точки зрения используемых формальных методов и технических средств статья удачно дополняет имеющуюся в русском переводе книгу: Рассел Б. Введение в математическую философию. – М.: Гнозис, 1996 (перевод В.В. Целищева), которая посвящена философским основаниям и следствиям, развиваемого Б. Расселом подхода к математике.

Перевод выполнен при поддержке грантов РГНФ № 03-03-00363 и РФФИ № 03-06-80359.


^ В.А. СУРОВЦЕВ


Нижеследующая теория символической логики зарекомендовала себя прежде всего своей способностью решать определённые противоречия, из которых математикам лучше всего известен парадокс Бурали-Форти, касающийся наибольшего ординала1. Но рассматриваемая теория не зависит всецело от этой косвенной рекомендации; она, если я не ошибаюсь, к тому же определённо созвучна здравому смыслу, который в своей основе делает её правдоподобной. Однако это не та заслуга, на которой следовало бы слишком настаивать, ибо здравый смысл в гораздо большей степени подвержен ошибкам, чем обычно считается. Таким образом, я начну с формулировки некоторых противоречий, которые должны быть разрешены, а затем покажу, каким образом теория логических типов формирует своё решение.


^ I. ПАРАДОКСЫ


(1) Старейшим противоречием рассматриваемого вида, является парадокс Эпименида. Критянин Эпименид сказал, что все критяне лжецы, и все высказывания, сделанные критянами, определённо ложны. Ложно ли высказывание самого Эпименида? Простейшую форму этого противоречия предоставляет человек, который говорит ‘Я сейчас лгу’; если он лжёт, он говорит правду, и наоборот.

(2) Пусть w – это класс всех тех классов, которые не являются элементами самих себя. Тогда, каким бы ни был класс х, ‘х есть w’ эквивалентно ‘х не есть х’2. Поэтому, если х придать значение w, то ‘w есть w’ эквивалентно ‘w не есть w’.

(3) Пусть Т – отношение, которое имеет место между двумя отношениями R и S всегда, когда R не имеет отношение R к S. Тогда, какими бы ни были отношения R и S, ‘R имеет отношение Т к S’ эквивалентно ‘R не имеет отношение R к S’. Следовательно, если придать значение Т как R, так и S, то ‘Т имеет отношение Т к Т’ эквивалентно ‘Т не имеет отношение Т к Т’.

(4) Число слов в русских названиях конечных целых чисел возрастает по мере возрастания чисел и должно постепенно увеличиваться неограниченно, поскольку при заданном конечном числе слов может быть создано только конечное число имён. Поэтому, имена некоторых чисел должны состоять по меньшей мере из десяти слов, и среди них должно быть наименьшее. Следовательно, ‘наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами’ должно обозначать определённое число. Но ‘наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами’ само является именем, состоящим из девяти слов; стало быть, наименьшее целое число, не именуемое менее, чем десятью словами, может быть наименовано девятью словами, что является противоречием1.

(5) Среди трансфинитных ординалов некоторые могут быть определены, а некоторые – нет; ибо совокупное число возможных определений есть א0, тогда как число трансфинитных ординалов превышает א0. Следовательно, должны быть неопределимые ординалы, и среди них должен быть наименьший. Но он и определяется как ‘наименьший неопределимый ординал’, что является противоречием2.

(6) Парадокс Ришара родственен парадоксу о наименьшем неопределимом ординале3. Он состоит в следующем: Рассмотрим все десятичные дроби, которые могут быть определены посредством конечного числа слов; пусть Е будет классом таких дробей. Тогда Е имеет א0 элементов; следовательно, его члены могут быть упорядочены как 1-ый, 2-ой, 3-ий … Пусть N будет числом, определяемым следующим образом: Если n-ая цифра в n-ой дроби есть р, то пусть n-ая цифра в N будет р + 1 (или 0, если р = 9). Тогда N отлична от всех членов Е, поскольку, каким бы не было конечное значение n, n-ая цифра в N отлична от n-ой цифры в n-ных дробях, составляющих Е, и, следовательно, N отлична от n-ой дроби. Тем не менее, мы определили N с помощью конечного числа слов и, следовательно, N должна быть членом Е. Таким образом, N и является, и не является членом Е.

(7) Парадокс Бурали-Форти формулируется следующим образом4: Можно показать, что каждая вполне упорядоченная последовательность имеет ординальное число, что последовательность ординалов, возрастающая и включающая любой данный ординал, превышает данный ординал на один, и (на весьма надёжных и естественных предпосылках) что последовательность всех ординалов (в порядке увеличения) является вполне упорядоченной. Отсюда следует, что последовательность всех ординалов имеет ординальное число, скажем, . Но в этом случае последовательность всех ординалов, включающих , имеет ординальное число  + 1, которое должно быть больше, чем . Следовательно,  не является ординальным числом всех ординалов.

У всех указанных выше противоречий (которые суть лишь выборка из бесконечного числа) есть общая характеристика, которую мы можем описать как самореферентность или рефлексивность. Замечание Эпименида должно включать само себя в свою собственную сферу. Если все классы, при условии, что они не являются элементами самих себя, являются элементами w, то это должно применяться также и к w; то же самое относится к аналогичному противоречию с отношениями. В случае имён и определений парадоксы вытекают из рассмотрения неименуемости и неопределимости как элементов имён и определений. В случае парадокса Бурали-Форти последовательность, чьё ординальное число вызывает затруднение, является последовательностью всех ординальных чисел. В каждом противоречии нечто говорится о всех случая некоторого рода, и из того, что говорится, по-видимому, производится новый случай, который как относится, так и не относится к тому же самому роду, что и те случаи, все из которых рассматривались в том, что было сказано. Просмотрим противоречия одно за другим и увидим, как это происходит.

(1) Когда человек говорит ‘Я сейчас лгу’, мы можем интерпретировать его высказывание как: ‘Существует пропозиция, которую я утверждаю и которая является ложной’. Все высказывания, что ‘существует’ то-то и то-то могут рассматриваться как отрицание того, что противоположное всегда истинно. Таким образом, ‘Я сейчас лгу’ становится: ‘Не для всех пропозиций верно, что или я их не утверждаю, или они являются истинными’; другими словами, ‘Не верно для всех пропозиций р, что если я утверждаю р, р – истинно’. Парадокс вытекает из рассмотрения этого высказывания как утверждающего пропозицию, которая, стало быть, должна входить в сферу высказывания. Это, однако, делает очевидным то, что понятие ‘все пропозиции’ является незаконным; ибо, в противном случае, должна быть пропозиция (типа указанной выше), которая говорит о всех пропозициях и, тем не менее, не может быть включена в совокупное целое пропозиций, о которых она говорит, без противоречия. Что бы мы не полагали в качестве совокупного целого пропозиций, высказывание об этой целостности порождает новую пропозицию, которая, под угрозой противоречия, должна лежать вне рассматриваемой целостности. Увеличивать совокупное целое бесполезно, ибо это равным образом увеличивает сферу высказываний об этой целостности. Следовательно, совокупного целого пропозиций быть не должно, а ‘все пропозиции’ должно быть бессмысленной фразой.

(2) В этом случае класс w определяется указанием на ‘все классы’, а затем оказывается, что он является одним среди них. Если мы находим помощь, решив, что класс не является элементом самого себя, тогда w становится классом всех классов, и мы должны решить, что он не является элементом самого себя, т.е. не является классом. Это – единственная возможность, если не существует такой вещи как класс всех классов в смысле, требуемом этим парадоксом. То, что такого класса нет, вытекает из того, что если мы предположим его существование, эта предположение немедленно возрождает (как в указанном выше противоречии) новые классы, лежащие вне предполагаемого совокупного целого всех классов.

(3) Этот случай в точности аналогичен (2) и показывает, что мы не можем на законных основаниях говорить о ‘всех отношениях’.

(4) ‘Наименьшее целое число, не именуемое менее чем десятью словами’ включает совокупное целое имён, ибо оно представляет собой ‘наименьшее целое число такое, что все имена либо не применимы к нему, или состоят из более чем десяти слов’. Здесь при получении противоречия мы предполагаем, что фраза, содержащая ‘все имена’, сама является именем, хотя из противоречия видно, что она не может быть одним из имён, относительно которых предполагалось, что это все существующие имена. Следовательно, ‘все имена’ есть незаконное понятие.

(5) Этот случай сходным образом показывает, что незаконным понятием является и ‘все определения’.

(6) Это противоречие решается подобно (5), если заметить, что ‘все определения’ – понятие незаконное. Поэтому, число Е не определимо конечным числом слов, будучи фактически не определимым вообще1.

(7) Противоречие Бурали-Форти показывает, что ‘все ординалы’ незаконное понятие; ибо, в противном случае, все ординалы в порядке увеличения образуют вполне упорядоченную последовательность, которая должна иметь ординальное число большее, чем все ординалы.


Таким образом, все наши противоречия в общем допускают совокупное целое, такое, что если бы оно было законным, то сразу увеличивалось бы за счёт новых элементов, определимых в терминах его самого.

Это приводит нас к правилу: ‘То, что включает всё из совокупности, не должно быть элементом совокупности’; или, наоборот: ‘Если определённая совокупность, при условии, что она обладает целостностью, имела бы элементы, определимые только с точки зрения этой целостности, то эта совокупность не обладает целостностью’2.

Указанный выше принцип в своей области является, однако, чисто отрицательным. Он подходит для того, чтобы показать, что многие теории являются ошибочными, но он не показывает, как нужно избавляться от ошибок. Мы не можем сказать: ‘Говоря о всех пропозициях, я подразумеваю все пропозиции, кроме тех, в которых упоминаются “все пропозиции”’; ибо в этом объяснении мы упомянули пропозиции, в которых упоминаются все пропозиции, чего нельзя сделать осмысленно. Невозможно избежать упоминания вещи, упоминая, что мы не хотели её упоминать. Говоря о человеке с длинным носом, можно сказать: ‘Когда я говорю о носах, я исключаю столь необычно длинные’, но это вряд ли было бы успешной попыткой избежать щекотливой темы. Таким образом, если мы не хотим погрешить против указанного выше негативного принципа, необходимо сконструировать нашу логику без упоминания таких вещей как ‘все пропозиции’ или ‘все свойства’ и даже без необходимости говорить, что мы такие вещи исключаем. Это исключение должно естественно и неизбежно вытекать из нашей позитивной доктрины, которая должна сделать ясным, что ‘все пропозиции’ и ‘все свойства’ являются бессмысленными фразами.

Первое встающее перед нами затруднение касается фундаментальных принципов логики, известных под затейливым названием ‘законы мышления’. Например, ‘Все пропозиции являются либо истинными, либо ложными’ становится бессмысленным. Если бы это положение было значимым, оно было бы пропозицией и попадало бы в свою собственную сферу действия. Тем не менее, должна быть найдена некоторая замена, или всякое общее рассмотрение дедукции становится невозможным.

Другое, более специальное затруднение иллюстрируется частным случаем математической индукции. Мы хотим быть в состоянии сказать: ‘Если n является конечным целым числом, то n имеет все свойства, предполагаемые 0 и числами, следующими за всеми теми числами, которые предполагают эти свойства’. Но здесь фраза ‘все свойства’ должна быть заменена некоторой другой фразой, которая закрыта для тех же самых возражений. Можно допустить, что фраза ‘все свойства, предполагаемые 0 и числами, следующими за всеми теми числами, которые предполагают эти свойства’ может быть законно обоснованной, даже если фраза ‘все свойства’ – нет. Но фактически это не так. Мы найдём, что фразы формы ‘все свойства, которые etc.’ включают все свойства, для которых ‘etc.’ может значимо утверждаться или отрицаться, а не только те, которые фактически имеют какую-то рассматриваемую характеристику; ибо в отсутствии списка свойств, обладающих этой характеристикой, выказывание о всех свойствах, которые имеют эту характеристику, должно быть гипотетическим и иметь форму: ‘Всегда истинно, что если свойство имеет указанную характеристику, тогда etc.’ Таким образом, математическую индукцию prima facie невозможно сформулировать осмысленно, если фраза ‘все свойства’ лишена смысла. Как мы увидим позже, этого затруднения можно избежать; но сейчас мы должны рассмотреть законы логики, поскольку они являются гораздо более фундаментальными.


^ II. ВСЕ И КАКОЙ-ТО


Задав высказывание, содержащее переменную х, скажем, х = х, мы можем утверждать, что оно имеет место для всех случаев, или же мы можем утверждать какой-то один из случаев, не уточняя, какой именно из примеров мы утверждаем. Это различие, грубо говоря, совпадает с различием между общим и частным изложением у Евклида. Общее изложение говорит нам нечто обо всех, например, треугольниках, тогда как частное изложение берёт один треугольник и утверждает это же самое относительно этого одного треугольника. Но выбранный треугольник – это какой-то треугольник, а не некоторый один специальный треугольник; поэтому, хотя по ходу доказательства имеют дело только с одним треугольником, это доказательство, тем не менее, сохраняет свою всеобщность. Если мы говорим: ‘Пусть АВС – треугольник, тогда стороны АВ и АС в совокупности больше, чем сторона ВС’, мы нечто говорим об одном треугольнике, а не обо всех треугольниках; но этот один треугольник абсолютно не определён и, следовательно, наше высказывание также абсолютно не определено. Мы утверждаем не какую-то одну определённую пропозицию, но неопределённую пропозицию из всех пропозиций, вытекающих из предположения, что АВС – это тот или иной треугольник. Это понятие неопределённости утверждения является весьма важным, и насущно необходимо не смешивать неопределённое утверждение с определённым утверждением, что одно и то же имеет место во всех случаях.

Различие между (1), утверждающим какое-то значение пропозициональной функции, и (2), утверждающим, что функция всегда истинна, подобно различию между общими и частными изложениями у Евклида прослеживается через всю математику. В любой цепи математического рассуждения объекты, свойства которых исследуются, являются аргументами какого-то значения некоторой пропозициональной функции. Для иллюстрации возьмём следующее определение:

‘Мы называем f(x) непрерывной для х = а, если для каждого положительного числа , отличного от 0, существует положительное число , отличное от 0, такое, что для значений , которые численно меньше , разность f(a +  )– f(a) численно меньше .’
Здесь функция f есть какая-то функция, для которой указанное выше высказывание имеет смысл; это высказывание есть высказывание о f и изменяется с изменением f. Но это высказывание не является высказыванием о ,  или , поскольку рассматриваются все возможные значения последних, а не одно неопределённое значение. (В отношении  высказывание ‘Существует положительное число , такое что etc.’ есть отрицание того, что отрицание ‘etc.’ истинно для всех положительных чисел.) По этой причине, когда утверждается какое-то значение пропозициональной функции, аргумент (например, f выше) называется действительной переменной; в то же время, когда о функции говорится как о всегда истинной или как о не всегда истинной, аргумент называется мнимой переменной1. Таким образом, в указанном выше определении f есть действительная переменная, а ,  или  суть мнимые переменные.
Утверждая какое-то значение пропозициональной функции, мы просто будем говорить, что утверждаем пропозициональную функцию. Так, если мы излагаем закон тождества в форме ‘x = x’, мы утверждаем функцию ‘x = x’; т.е. мы утверждаем какое-то значение этой функции. Сходным образом можно было бы сказать, что мы отрицаем пропозициональную функцию, когда отрицаем какой-то её пример. Мы можем действительно утверждать пропозициональную функцию, только если, какое бы значение мы не выбрали, это значение является истинным; сходным образом мы можем подлинно отрицать её, только если, какое бы значение мы не выбрали, это значение является ложным. Отсюда, в общем случае, когда некоторые значения являются истинными, а некоторые – ложными, мы не можем ни утверждать, ни отрицать пропозициональную функцию2.

Если х – пропозициональная функция, то посредством ‘(x).x’ мы будем обозначать пропозицию ‘х всегда истинно’. Сходным образом ‘(x, y).(x, y)’ будет обозначать ‘(х, у) всегда истинно’ и т.д. Тогда различие между утверждением всех значений и утверждением какого-то значения есть различие между (1) утверждением (х).х и (2) утверждением х, где х не определён. Последнее отличается от первого тем, что оно не может трактоваться как одна определённая пропозиция.

Различие между утверждением х и утверждением (х).х, я думаю, впервые подчёркнул Фреге1. Его довод в пользу явного введения этого различия совпадает с тем, что является причиной присутствия этого различия в практике математиков; а именно, что дедукция может быть действенной только в случае действительных, а не мнимых переменных. В случае доказательств Евклида это очевидно. Скажем, для рассуждения нам нужен некоторый один треугольник АВС, хотя и безразлично какой именно. Треугольник АВС является действительной переменной; и хотя он представляет собой какой-то треугольник, он остаётся одним и тем же треугольником на протяжении всего доказательства. Но в общем изложении треугольник является мнимой переменной. Если мы переходим к мнимой переменной, мы не можем осуществить какой-либо вывод и, поэтому, во всех доказательствах должны использоваться действительные переменные. Предположим (возьмём простейший случай), нам известно, что ‘х всегда истинно’, т.е. ‘(x).x’, и мы знаем, что ‘х всегда влечёт х’, т.е. ‘(x).{x влечёт x}’. Каким образом мы выведем ‘х всегда истинно’? Мы знаем, что всегда истинно следующее: если х – истинно, и если х влечёт х, то х – истинно. Но у нас нет посылок в том смысле, что х – истинно, и х влечёт х; у нас есть следующее: х всегда истинно, и х всегда влечёт х. Для того чтобы осуществить наш вывод, мы должны перейти от ‘х всегда истинно’ к х, и от ‘х всегда влечёт х’ к ‘х влечёт х’, где этот х, оставаясь каким-то возможным аргументом, должен быть одинаковым в обоих случаях. Тогда, из ‘x’ и ‘х влечёт х’ мы выводим ‘x’; таким образом, х является истинным для любого возможного аргумента и, следовательно, истинным всегда. Стало быть, для того чтобы вывести ‘(x).x’ из ‘(x).x’ и ‘(x).{x влечёт x}’, мы должны перейти от мнимой к действительной переменной, а затем вновь вернуться к мнимой переменной. Эта процедура требуется во всех математических рассуждениях, в которых осуществляется переход от утверждения о всех значениях одной или более пропозициональных функций к утверждению о всех значениях некоторой другой пропозициональной функции, как, например, при переходе от ‘все равнобедренные треугольники имеют равные углы при основании’ к ‘все треугольники, имеющие равные углы при основании, являются равнобедренными’. В частности, этот процесс требуется при доказательстве Barbara и других модусов силлогизма. Другими словами, всякая дедукция оперирует действительными переменными (или константами).

Можно предположить, что мы могли бы вообще обойтись без мнимых переменных, ограничившись какой-то в качестве замены для все. Это, однако, не имеет места. Возьмём, например, определение непрерывной функции, процитированное выше. В этом определении ,  или  должны быть мнимыми переменными. Мнимые переменные постоянно требуются в определениях. Возьмём, например, такое: ‘Целое число называется простым, когда оно не имеет целых делителей кроме 1 и себя самого’. Это определение неизбежно включает мнимую переменную формы: ‘Если n – целое число, отличное от 1 или заданного целого числа, то n не является делителем данного целого числа, для всех возможных значений n’.

Таким образом, различие между все и какой-то необходимо для дедуктивного рассуждения и проходит через всю математику; хотя, насколько я знаю, его важность оставалась незамеченной до тех пор, пока на неё не указал Фреге.

Для наших целей это различие имеет разную пользу, которая весьма значительна. В случае таких переменных как пропозиции или свойства ‘какое-то значение’ законно, тогда как ‘всякое значение’ – нет. Так, мы можем сказать: ‘р – истинно или ложно, где р есть какая-то пропозиция’, хотя мы не можем сказать ‘Все пропозиции являются истинными или ложными’. Причина этого в том, что в первом случае мы просто утверждаем одну неопределённую пропозицию из пропозиций формы ‘р – истинно или ложно’, тогда как в последнем случае мы утверждаем (если что-то утверждаем) новую пропозицию, отличную от всех пропозиций формы ‘р – истинно или ложно’. Таким образом, ‘какое-то значение’ переменной мы можем принять в случае, где ‘всякое значение’ вело бы к рефлексивным ошибкам; ибо допущение ‘какого-то значения’ не создаёт таким способом новых значений. Следовательно, фундаментальные законы логики можно установить, рассматривая какую-то пропозицию, хотя мы и не можем осмысленно сказать, что они имеют место для всех пропозиций. Эти законы имеют, так сказать, частное, а не общее изложение. Не существует одной пропозиции, которая является, скажем, законом противоречия; существуют только различные примеры этого закона. О какой-то пропозиции р мы можем сказать: ‘р и не-р не могут быть обе истинными’; но не существует такой пропозиции как: ‘Каждая пропозиция р такова, что р и не-р не могут быть обе истинными’.

Сходное объяснение применяется к свойствам. Мы можем говорить о каком-то свойстве х, но не о всех свойствах, поскольку тем самым порождались бы новые свойства. Так, мы можем сказать: ‘Если n есть конечное целое число, и если 0 обладает свойством , и m + 1 обладает свойством  при условии, что им обладает m, отсюда следует, что n обладает свойством ’. Здесь нам не нужно уточнять ;  обозначает ‘какое-то свойство’. Но мы не можем сказать: ‘Конечное целое число определяется как число, которое имеет каждое свойство , предполагаемое 0 и числами, следующими за теми числами, которые его предполагают’. Ибо здесь существенно рассмотреть каждое свойство1, а не какое-то свойство; и в использовании такого определения мы предполагаем, что оно охватывает свойство, отличительное для конечных целых чисел, которое как раз и является разновидностью предпосылки, из которой, как мы видели, вытекают рефлексивные парадоксы.

В указанном выше примере необходимо избегать предположений обыденного языка, который не подходит для выражения требуемых различий. Суть дела может быть далее проиллюстрирована следующим образом: Если для определения конечных целых чисел необходимо использовать индукцию, она должна устанавливать определённые свойства конечных целых чисел, а не свойства двусмысленные. Но если  есть действительная переменная, высказывание ‘n имеет свойство  при условии, что  предполагается 0 и числами, следующими за теми числами, которые его предполагают’ приписывает n свойство, которое изменяется с изменением , и такое свойство не может использоваться для определения класса конечных целых чисел. Мы хотим сказать: ‘“n есть конечное целое число” означает “Каким бы ни было свойство , n обладает свойством  при условии, что  предполагается 0 и числами, следующими за теми числами, которые его предполагают”’. Но здесь  стало мнимой переменной. Чтобы сохранить её в качестве действительной переменной, мы должны были бы сказать: ‘Каким бы ни было свойство , “n есть конечное целое число” означает: “n обладает свойством  при условии, что  предполагается 0 и числами, следующими за теми числами, которые его предполагают”’. Но здесь значение “n есть конечное целое число” изменяется с изменением  и, поэтому, такое определение невозможно. Этот случай иллюстрирует важный пункт, а именно, следующий: ‘Область2 действительной переменной никогда не может быть меньше, чем вся пропозициональная функция, в которой встречается данная переменная’. То есть, если наша пропозициональная функция есть, скажем, ‘х влечёт р’, утверждение этой функции будет означать ‘какое-то значение “х влечёт р” является истинным’, но не ‘“какое-то значение х является истинным” влечёт р’. В последнем случае в действительности мы имеем ‘Все значения х истинны’ и х является мнимой переменной.


^ III. ЗНАЧЕНИЕ И ОБЛАСТЬ ОБОБЩЁННЫХ ПРОПОЗИЦИЙ


В этом разделе первым мы должны рассмотреть значение пропозиций, в которых встречается слово все, а затем, разновидность совокупностей, которые допускают пропозиции о всех их членах.

Название обобщённые пропозиции удобно дать не только тем пропозициям, которые содержат слово все, но также и тем, которые содержат слово некоторые (в неопределённо частном смысле). Пропозиция ‘х иногда истинно’ эквивалентна отрицанию пропозиции ‘не-х всегда истинно’; ‘Некоторые А суть В’ эквивалентно отрицанию того, что ‘Все А не суть В’; т.е. отрицанию того, что ‘Ни одно А не суть В’. Вопрос о том, можно ли найти интерпретации, которые отличают ‘х иногда истинно’ от отрицания того, что ‘не-х всегда истинно’, исследовать не нужно; ибо для наших целей мы можем определить ‘х иногда истинно’ как отрицание того, что ‘не-х всегда истинно’. В любом случае два вида пропозиций требует один и тот же вид интерпретации и подлежат одинаковым ограничениям. В каждом случае есть мнимая переменная; и наличие мнимой переменной образует то, что я имею в виду под обобщённой пропозицией. (Заметим, что ни в одной пропозиции не может быть действительной переменной; ибо то, что содержит действительную переменную, есть пропозициональная функция, а не пропозиция.)

Первый вопрос, который необходимо задать в этом разделе, следующий: Как мы должны интерпретировать слово все в таких пропозициях как ‘Все люди смертны’? На первый взгляд можно подумать, что никаких затруднений нет, что ‘все люди’ – это совершенно ясная идея, и что о всех людях мы говорим, что они смертны. Но на эту точку зрения есть много возражений.

(1) Если эта точка зрения правильна, оказалось бы, что ‘Все люди смертны’ не может быть истинным, если людей нет. Однако, как утверждал м-р Брэдли1, ‘Правонарушители будут привлекаться к ответственности’ вполне может быть истинным, даже если правонарушителей нет; следовательно, как он доказывает далее, мы вынуждены интерпретировать такие пропозиции как гипотетические, подразумевая ‘Если кто-то является правонарушителем, то он будет привлечён к ответственности’; т.е. ‘если х – правонарушитель, то х будет привлечён к ответственности’, где область значения, которую может иметь х, кем бы он ни был, определённо не ограничивается теми, кто действительно совершил правонарушение. Сходным образом ‘Все люди смертны’ будет означать ‘Если х – человек, то х смертен, где х может обладать каким-то значением в рамках определённой области’. Что представляет собой эта область, остаётся определить; но в любом случае она шире, чем ‘человек’, ибо указанное выше гипотетическое высказывание часто определённо истинно, когда х не является человеком.

(2) ‘Все люди’ – это обозначающая [denoting] фраза; и по причинам, которые я выдвинул в другом месте2, кажется, что обозначающие фразы никогда не обладают значением в изоляции, но лишь входят в качестве конституент в вербальное выражение пропозиций, которые не содержат конституент, соответствующих рассматриваемым обозначающим фразам. Другими словами, обозначающая фраза определяется посредством пропозиций, в чьём вербальном выражении она встречается. Следовательно, невозможно, чтобы эти пропозиции приобретали своё значение через обозначающие фразы; мы должны найти независимую интерпретацию пропозиций, содержащих такие фразы, и не должны использовать эти фразы в объяснении того, что означают такие пропозиции. Поэтому, мы не можем рассматривать ‘Все люди смертны’ как высказывание о ‘всех людях’.

(3) Даже если бы такой объект как ‘все люди’ существовал, ясно, что это не тот объект, которому мы приписываем смертность, когда говорим ‘Все люди смертны’. Если бы мы приписывали смертность этому объекту, мы должны были бы сказать ‘Все люди смертны’. Стало быть, предположение, что такой объект как ‘все люди’ существует, не поможет нам в интерпретации ‘Все люди смертны’.

(4) Кажется очевидным, что если мы встречаем нечто такое, что может быть человеком или замаскированным ангелом, то это нечто входит в сферу ‘Все люди смертны’, чтобы утверждать ‘Если это нечто – человек, то это нечто – смертно’. Таким образом, как и в случае с правонарушителями, вновь становится ясным, что мы на самом деле говорим ‘Если нечто является человеком, то это нечто – смертно’, и что вопрос о том, является то или это человеком не входит в сферу нашего утверждения, как это было бы, если все действительно указывало бы на ‘все люди’.

(5) Таким образом, мы пришли к точке зрения, что то, что подразумевается под ‘Все люди смертны’ более явно может быть установлено в какой-то форме, типа следующей: ‘Всегда истинно, что если х – человек, то х смертен’. Здесь мы должны провести исследование относительно слова всегда.

(6) Очевидно, что всегда включает некоторые случаи, в которых х не является человеком, как мы видели в примере с замаскированным ангелом. Если х был бы ограничен до случая, когда х является человеком, мы могли бы вывести, что х – смертен, поскольку, если х – человек, то х – смертен. Поэтому, с тем же самым значение слова всегда мы нашли бы ‘Всегда истинно, что х – смертен’. Но ясно, что без изменения значения всегда, эта новая пропозиция является ложной, хотя другая была истинной.

(7) Можно понадеяться, что ‘всегда’ означало бы ‘для всех значений х’. Но выражение ‘все значения х’, если оно и законно, включало бы в качестве части выражения ‘все пропозиции’ и ‘все функции’ и соответствующие им не оправданные целостности. Следовательно, значение х должно быть как-то ограничено в рамках некоторой узаконенной целостности. Это, по-видимому, ведёт нас к традиционной доктрине ‘универсума рассуждения’, в рамках которого, как предполагается, расположен х.

(8) Однако, весьма существенно, что мы должны обладать некоторым значением слова всегда, которое не должно выражаться в ограничительном условии относительно х. Ибо, предположим, что ‘всегда’ означает ‘всякий раз, когда х принадлежит классу i’. Тогда ‘Все люди смертны’ становится ‘Всякий раз, когда х принадлежит классу i, если х – человек, то х – смертен’. Но что должно означать наше новое всегда? По-видимому, для ограничения х до класса i в этой новой пропозиции причин не более, чем их было до этого при ограничении х до класса людей. Таким образом, если мы не можем обнаружить некоторое естественное ограничение на возможные значения функции (т.е. некоторое ограничение заданное функцией) ‘если х – человек, то х – смертен’, и оно не навязывается нам извне, мы перейдём к новому, более широкому универсуму и т.д. ad infinitum.

(9) По-видимому, очевидно, что, поскольку все люди смертны, то какой-то ложной пропозиции, являющейся значением функции ‘если х – человек, то х – смертен’ быть не может. Ибо, если она вообще является пропозицией, условие ‘х – человек’ должно быть пропозицией, таковой должно быть и следствие ‘х – смертен’. Но, если условие – ложно, условное высказывание – истинно; а если данное условие истинно, то это условное высказывание – истинно. Следовательно, ложной пропозиции формы ‘если х – человек, то х – смертен’ быть не может.

(10) Отсюда следует, что если какие-то значения х должны быть исключены, они могут быть только такими значениями, для которых нет пропозиции формы ‘если х – человек, то х – смертен’; т.е. для которых эта фраза является бессмысленной. Поскольку, как мы видели в (7), эти значения х должны быть исключены, отсюда следует, что функция ‘если х – человек, то х – смертен’ должна иметь определённую область значимости [range of significance]1, которой не хватает для всех воображаемых значений х, хотя она и превосходит те значения, которые являются людьми. Таким образом, ограничение на х есть ограничение до области значимости функции ‘если х – человек, то х – смертен’.

(11) Итак, мы приходим к выводу, что ‘Все люди смертны’ означает ‘Всегда, если х – человек, то х – смертен’, где всегда означает ‘для всех значений функции “если х – человек, то х – смертен”’. Это – внутреннее ограничение на х, заданное природой функций; и это ограничение не требует явного высказывания, поскольку для функции невозможно быть истинной способом более общим, нежели быть истинной для всех её значений. Кроме того, если область значимости функции есть i, то функция ‘если х есть i, то если х – человек, то х – смертен’ имеет ту же самую область значимости, поскольку она не может быть значимой, если значимой не является её конституента ‘если х – человек, то х – смертен’. Но здесь область значимости снова является скрытой, как это было в “если х – человек, то х – смертен”. Поэтому, мы не можем сделать области значимости явными, поскольку попытка так поступить, приводит лишь к возникновению новой пропозиции, в которой эта же самая область значимости является скрытой.

Итак, в общем виде: ‘(x).x’ должно означать ‘всегда x’. Это можно интерпретировать, хотя и с меньшей точностью, как ‘x всегда истинно’, или, более явно, как ‘Все значения функции х истинны’1. Таким образом, основополагающее все есть ‘все значения пропозициональной функции’, и любое другое все производно от этого. И каждая пропозициональная функция имеет определённую область значимости, в рамках которой расположены аргументы, для которых функция имеет значения. В рамках этой области аргументов функция является истинной или ложной; вне этой области она бессмысленна.

Приведённую выше аргументацию можно суммировать следующим образом:

Затруднение, которое окружает попытки ограничить переменную, заключается в том, что ограничение естественным образом выражает себя как условие, что переменная относится к такому-то и такому-то виду, и что при таком выражении результирующее условное высказывание свободно от преднамеренного ограничения. Например, попробуем ограничить переменную до людей, и утверждать (а это подпадает под данное ограничение), что ‘х – смертен’ всегда истинно. Тогда то, что всегда истинно, состоит в том, что если х – человек, то х – смертен; и это условное высказывание истинно даже тогда, когда х не является человеком. Таким образом, переменная никогда не ограничена рамками определённой области, если пропозициональная функция, в которой встречается переменная, остаётся значимой тогда, когда переменная находится вне этой области. Но если фу