Реферат: Реферат на тему: «Математические софизмы»

МОУ «Козловская общеобразовательная школа №3»


Реферат

на тему:

«Математические софизмы»


Выполнила: ученица 9в класса

Кирбитова Полина

Руководитель: Полозова Ольга

Георгиевна


2009 г

ВВЕДЕНИЕ.


В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми мелкими ошибками.

И. Ньютон

Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел???

Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе, название которой - математические софизмы. Неслучайно я выбрала именно математические софизмы (хотя бывают и логические, и словесные). Они, как мне кажется, более интересны, имеют четкое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными. Само понятие математических софизмов предполагает несколько видов софизмов, ведь в математические можно включить и алгебраические, и геометрические, и простейшие арифметические.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть - и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

Г. Лейбниц


«Понятие софизма. Исторические сведения»


Понятие софизма.


Софизм - (от греческого sophisma – уловка, ухищрение, выдумка, головоломка), умозаключение или рассуждение, обосновывающее какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, противоречащее общепринятым представлениям. Каким бы ни был софизм, он всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

Что же такое математический софизм? Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы не приносят пользы, если их не понимать.

Что касается типичных ошибок в софизмах, то они таковы: запрещенные действия, пренебрежение условиями теорем, формул и правил, ошибочный чертеж, опора на ошибочные умозаключения. Нередко, ошибки, допущенные в софизме, настолько умело скрыты, что даже опытный математик не сразу их выявит. Именно в этом и проявляется связь математики и философии в софизмах. На самом деле, софизм- гибрид не только математики и философии, но и логики с риторикой. Основные создатели софизмов – древнегреческие ученые-философы, но тем не менее, они создавали математические софизмы, основываясь на элементарных аксиомах, что еще раз подтверждает связь математики и философии в софизмах. Кроме того, очень важно правильно преподнести софизм, так, чтобы докладчику поверили, а значит, необходимо владеть даром красноречия и убеждения. Группа древнегреческих ученых, начавшая заниматься софизмами как отдельным математическим явлением, назвала себя софистами.


^ История софизмов


В истории развития математики софизмы играли существенную роль:

1) Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.

2) Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками.

3) Именно уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.


^ Чем полезны софизмы и что они дают?


Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Всё это нужно и важно.

Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.


^ «Математические софизмы»

Разбор и решение любого рода математических задач, а в особенности нестандартных, помогает развивать смекалку и логику. Математические софизмы относятся именно к таким задачам. В этом разделе работы я рассмотрю два типа математических софизмов: алгебраические и геометрические.


^ Алгебраические софизмы.


1. 1 р. = 10000 к.

Возьмём верное равенство:

1 р. = 100 к.

Возведём его по частям в квадрат.

Мы получим: 1 р. = 10 000 к.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Возведение в квадрат величин не имеет смысла. В квадрат возводятся только числа.


2. 5 = 6

Попытаемся доказать, что 5 = 6. С этой целью возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки. Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9).

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем 5 = 6.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя.


3. 4 = 8





4. 2 * 2 = 5

Имеем числовое равенство (верное): 4 : 4 = 5 : 5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель.

Получим: 4 (1 : 1) = 5 (1 : 1).

Числа в скобках равны, поэтому 4 = 5, или 2 · 2 = 5.

Вопрос:

Где здесь ошибка?

Ответ:

Ошибка допущена в вынесении общего множителя за скобки в левой и правой частях тождества 4 : 4 = 5 : 5.



5 = 1

Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3.

Получим числа 2 и – 2.

При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа

4 И 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.


6. 4 = 5

Имеем числовое равенство (верное):

16 – 36 = 25 – 45; 16 – 36 + 20,25 = 25 – 45 + 20,25;

(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2; 4 – 4,5 = 5 – 4,5;

4 = 5.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

(4 – 4,5)2 = (5 – 4,5)2 ↔ |4 – 4,5| = |5 – 4,5|.


7. Любое число равно его половине.

Возьмём два равных числа a и b, a = b. Обе части этого равенства умножим на a и затем вычтем из произведений по b2. Получим:

a2 – b2 = ab – b2, или (a + b) (a – b) = b (a – b).

Отсюда a + b = b, или a + a = a, так как b = a.

Значит, 2a = a, a = .

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Нельзя делить на (a – b), так как (a – b) = 0.


8. Расстояние от Земли до Солнца равно толщине волоска.

Пусть a (м) – расстояние от Земли до Солнца, а b (м) – толщина волоска. Среднее арифметическое их обозначим через v. Имеем:

a + b = 2v, a = 2v – b, a – 2v = – b. Перемножив по частям два последних равенства, получаем:

a2 – 2av = b2 – 2bv. Прибавим к каждой части v2. Получим:

a2 – 2av + v2 = b2 – 2bv + v2, или (a – v)2 = (b – v)2, т.е.

(a – v) = (b – v), и, значит, a = b.

Вопрос:

Где здесь ошибка?

Ответ:

Ошибка как в примере №6.


9. Любое число = 0.

Каково бы ни было число a, верны равенства:

(+a)2 = a2 и ( – a )2 = a2. Следовательно, (+a)2 = ( – a )2, а значит,

+a = – a, или 2a = 0, и поэтому a = 0.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Ошибка как в примере №6.


10. Из двух неравных чисел первое всегда больше второго.

Пусть a и b – произвольные числа и a ≠ b. Имеем:

(a – b)2 > 0, т.е. a2 – 2ab – b2 > 0, или a2 + b2 > 2ab.

К обеим частям этого неравенства прибавим – 2b2. Получим:

a2 – b2 > 2ab – 2b2, или (a + b) (a – b) > 2b (a – b).

После деления обеих частей на (a – b) имеем:

a + b > 2b, откуда следует, что a > b.

Вопрос:

Где допущена ошибка?

Ответ (нажмите «Enter»):

При делении обеих частей неравенства (a + b) (a – b) > 2b (a – b)

на (a – b) знак неравенства может измениться на противоположный (если a – b < 0).

Геометрические софизмы.

1.^ Загадочное исчезновение.

У нас есть произвольный прямоугольник, на котором начерчено 13 одинаковых линий на равном расстоянии друг от друга. Теперь «разрежем» прямоугольник прямой MN, проходящей через верхний конец первой и нижний конец последней линии. Сдвигаем обе половины вдоль по этой линии и замечаем, что линий вместо 13 стало 12. Одна линия исчезла бесследно.

Вопрос:

Куда исчезла 13-я линия?

Ответ:

13-я линия удлинила каждую из оставшихся на 1/12 своей длины .

2. ^ Земля и апельсин

Вообразим, что земной шар обтянут по экватору обручем и что подобным же образом обтянут и апельсин по его большому кругу. Далее вообразим, что окружность каждого обруча удлинилась на 1м. Тогда обручи отстанут от поверхности тел и образуют некоторый зазор.

Вопрос:

Где зазор будет больше: у апельсина или у Земли?

Ответ:

Пусть длина окружности земного шара = C, а апельсина с метрам. Тогда радиус Земли R = C/2p и радиус апельсина r = c/2 p. После прибавки к радиусам 1 метра окружность обруча у Земли будет C + 1, а у апельсина c + 1. Радиусы их соответственно будут: (C + 1)/2p и (c + 1)/2 p. Если из новых радиусов вычтем прежние, то получим в обоих случаях одно и то же.

(C + 1)/2p - C/2p = 1/2p - для Земли,

(c + 1)/2p - c/2p = 1/2p - для апельсина

Итак, у Земли и у апельсина получается один и тот же зазор

в 1/2p метра (примерно 16 см)

3. ^ Искусная починка

В дне деревянного судна во время плавания случилась прямоугольная пробоина в 13 см длины и 5 см ширины, т.е. площадь пробоины = 65 см2. Судовой плотник взял квадратную дощечку со стороной квадрата 8 см (т.е. площадь = 64 см2), разрезал её прямыми линиями на четыре части A, B, C, D так, как показано на рисунке 2, а затем сложил их так, что получился прямоугольник, как раз соответствующий пробоине, см. рисунок 3. Этим прямоугольником он и заделал пробоину. Вышло, что плотник сумел квадрат в 64 см2 обратить в прямоугольник с площадью 65 см2.

Вопрос:

Как такое могло получиться?

Ответ:

Легко видеть, что получившиеся при разрезании квадрата треугольники A и B равны между собой. Также равны и трапеции C, D. Меньшее основание трапеций и меньший катет треугольников равны 3 см и поэтому должны совпасть при совмещении треугольника A с трапецией C и треугольника B с трапецией D. В чём же секрет? Дело в том, что точки G, H, E не лежат на одной прямой, tg Ð EHK = 8/3 , а tg Ð HGJ = 5/2. Так как 8/3 – 5/2 = 1/6 > 0, то Ð EHK > Ð HGJ. Точно так же линия EFG – ломанная. Площадь полученного прямоугольника действительно равна 65 см2, но в нём имеется щель в виде параллелограмма, площадь которого в точности равна 1 см2. Наибольшая ширина щели равна 5 – 3 – (5·3)/8 = 1/8 см. Таким образом плотнику всё равно придётся замазывать небольшую щель.




^ 4. Два перпендикуляра.

Попытаемся «доказать», что через точку, лежащую вне прямой, к этой прямой можно провести два перпендикуляра. С этой целью возьмём треугольник ABC (рисунок 4). На сторонах AB и BC этого треугольника, как на диаметрах, построим полуокружности. Пусть эти полуокружности пересекаются со стороной AC в точках E и D. Соединим точки E и D прямыми с точкой B. Угол AEB прямой, как вписанный, опирающийся на диаметр; угол BDC также прямой. Следовательно, BE ^ AC и BD ^ AC. Через точку B проходят два перпендикуляра к прямой AC.

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Рассуждения опирались на ошибочный чертёж. В действительности полуокружности пересекаются со стороной AC в одной точке, т.е. BE совпадает с BD.




^ 5. «Новое доказательство» теоремы Пифагора.

Возьмём прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c и острым углом a, противолежащим катету a.

Имеем: a = c sin a, b = c cos a, откуда a2 = c2 sin2 a, b2 = c2 cos2 a.

Просуммировав по частям эти равенства, получаем:

a2 + b2 = c2 (sin2 a + cos2 a).

Но sin2 a + cos2 a = 1, и поэтому a2 + b2 = c2 .

Вопрос:

В чём ошибка?

Ответ:

Ошибки здесь нет. Но формула sin2 a + cos2 a = 1 сама выводится на основании теоремы Пифагора.

Список литературы:


«Аванта +. Математика». – Москва, изд. «Аванта +»,1998.

«БЭКМ – 2007». – Москва, 2007.

Игнатьев Е.И. «Математическая смекалка. Занимательные задачи, игры, фокусы, парадоксы». – Москва, изд. «Омега»,1994.

Нагибин Ф.Ф., Канин Е.С. «Математическая шкатулка». – Москва, изд. «Просвещение»,1988.