Реферат: Владимирова Наталья Анатольевна Студентка 23 группы уравнения и неравенства в школьном курсе математики реферат

УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ БЕЛГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ


Валуйский педагогический колледж


Школьное отделение


Предметно-цикловая комиссия физики, математики и информатики


Владимирова Наталья Анатольевна

Студентка 23 группы


УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ


Реферат по методике преподавания математики


Научный руководитель:

Старокожева Е. И.


Валуйки, 2007

Оглавление


Введение……………………………………………………………….……. 3

Понятие уравнения…………………………………………………….... 5

Решение уравнений содержащих переменную под знаком модуля……………………………………………………………………..5

Иррациональные уравнения……………………………..……………..10

Решение иррациональных уравнений стандартного вида………...10

Иррациональные уравнения, которые решаются заменой………..12

Иррациональные неравенства……………………………………..…...14

Решение иррациональных неравенств стандартного вида…..……14

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним……………..16

6.1 Теорема Виета………………………………………………………..…18

Заключение………………………………………………………………….21

8.Список используемой литературы……………………………………...22


Введение


Истоки алгебраических методов решения практических задач связан с
наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Таким образом, был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.
Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими
математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия,
посредством которых уравнения приводились к стандартному виду
(приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.). На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилась важность роли, которую играло понятие уравнения в
системе алгебраических понятий.

Открытие координатного метода (Декарт, XVII в.) и последовавшее за
ним развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связывалось теперь уже с тремя главными областями своего возникновения и функционирования:
a) уравнение как средство решения текстовых задач;
b) уравнение как особого рода формула, служащая в алгебре объектом изучения;
c) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или
координаты точек плоскости (пространства), служащие его решением.
Каждое из этих представлений оказалось в том или ином отношении
полезным.

Таким образом, уравнение как общематематическое понятие много аспектное, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.


^ 1. Понятие уравнения


Понятие уравнения относится к важнейшим общематематическим понятиям. Именно поэтому затруднительно предложить его определение, одновременно и строгое с формальной точки зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным курсом алгебры.
Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть
школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.
Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно - методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.


^ 2. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля


Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля, могут решаться несколькими способами. Способ выбирается в зависимости от вида уравнения. Основные способы: метод отрезков, возведение в квадрат, могут применяться и нестандартные способы. При решении уравнений может одновременно использоваться несколько способов.

1. Возведением в квадрат

|2х-5|=х

возведем в квадрат это уравнение:

(|2х-5|)2=(x)2

4х2-20х+25=х2

3х2-20х+25=0

D=k2-ac= (-10)2-3∙25=100-75=25 D>0



Возведение в четную не является равносильным преобразованием, т.к., ОДЗ не задавалось, поэтому произведем проверку.

Проверка.


Для х1:



верно

Для х2

|2∙5-5|=5

|10-5|=5

|5|=5

5=5

верно

2. методом отрезков:

а) |2х +3|=|х-2|

2х +3=0 → x = -1,5

х-2=0 → x=2






Третий корень является посторонним, т. к. все преобразования были равносильными то проверка не нужна.

Ответ:

б)x+ | x -1|=1






Ответ:


3. Иногда применяется несколько методов одновременно.

Например.

||x|+5|=6

Возведем уравнение в квадрат.

(|x|+5)2=36

х2+10|x|+25=36

Применим метод отрезков.







x2+10x-11=0

D=k2-ac=25+11=36 D>0

x1=-5+6=1

x2=-5-6=-11


x2-10x-11=0

D=k2-ac=25+11=36 D>0

x3=5+6=11

х4=5-6=-1

Проверка.

Для x1:

||1|+5|=6

6=6 верно

Для x4:

||-1|+5|=6

6=6 верно


Ответ: x1=1, x4=-1


4. Нестандартным способом.

|x-8|=x-8

Выражения, стоящие в левой и правой части уравнения различаются только знаком модуля, поэтому решением уравнения будет его область определения.

Найдем область определения: так-так левая часть уравнения больше нуля, то и правая часть тоже больше нуля, тогда

х-8≥0 ð х≥8

т. к. х-8>0 то

х-8=х-8

0=0 равенство, верно, значит x ≥8 ,будет решением данного уравнения. Ответ: xÎ(8,+∞)


^ 4. Иррациональные уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Решаются такие уравнения возведением обеих частей в степень. При возведении в четную степень возможно расширение области определения заданного уравнения. Поэтому при решении таких иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. При возведении в нечетную степень обеих частей иррационального уравнения область определения не меняется.

Иррациональные уравнения стандартного вида можно решить, пользуясь следующим правилом:








^ 4.1 Решение иррациональных уравнений стандартного вида:


а) Решить уравнение = x + 4,

Решение.

= x + 4,









Ответ: -1

б) Решить уравнение x– 1 =

Решение.

x – 1 =

х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – x– 1,

х3 – 4х2 + 4х = 0,

x (х2 – 4х + 4) = 0,

x= 0 или х2 – 4х + 4 = 0,

(x – 2)2 = 0,

x = 2

Ответ: 0; 2.

в) Решить уравнение = x – 2,

Решение.

= x – 2,

2x – 1 = x2 – 4x + 4, Проверка:

x2 – 6x + 5 = 0, x = 5, = 5 – 2,

x1 = 5, 3 = 3

x2 = 1 – посторонний корень x = 1, 1 – 2,

Ответ: 5 пост, к. 1 -1.


г) Решить уравнение x – + 4 = 0,

Решение.

x – + 4 = 0,

x + 4 =, Проверка:

х2 + 8х + 16 = 25х – 50, x = 11, 11 – + 4 = 0,

х2 – 17х + 66 = 0, 0 = 0

х1 = 11, x = 6, 6 – + 4 = 0,

Ответ: 6; 11.


Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:



а) Решить уравнение


Решение.



Пусть = t, тогда = , где t > 0

t –



Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части в квадрат

Проверка: x = 2,5

Ответ: 2,5.


б) Решить уравнение

Решение.





Пусть = t, где t > 0



Сделаем обратную замену:

= 2, возведем обе части уравнения в квадрат

Проверка:

,

Ответ: –5; 2.


^ 5. Иррациональные неравенства


Неравенства называются иррациональными, если его неизвестное входит под знак корня (радикала).

Иррациональное неравенство вида равносильно системе неравенств:



Иррациональное неравенство вида равносильно совокупности двух систем неравенств:

и


^ 5.1 Решение иррациональных неравенств стандартного вида:


а) Решить неравенство

Решение.



Данное неравенство равносильно системе неравенств:






+ – +



Ответ: [1; 2).1 3 x

б) Решить неравенство

Решение.



Данное неравенство равносильно двум системам неравенств:






Ответ:


^ 6. Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним


Уравнение вида ax²+bx+c=0,где a,b и c-некоторые числа (а≠0),где x-переменная, называется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Сначала разделим, обе части уравнения ax²+bx+c=0 на a-от этого его корни не изменятся. Для решения получившегося уравнения

x² = (b / a) x + (c / a) = 0

выделим в левой части полный квадрат

x ²+ ( b / a ) = ( c / a ) = ( x² + 2 ( b / 2a ) x+ ( b / 2a )²) + ( c / a ) =

= ( x + ( b / 2a ) )² - ( b² ) / ( 4a² ) = ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ))² - ( ( b² - 4ac ) / 4a² ) ).

Для квадратности обозначим выражение (b² - 4ac) через D. Тогда полученное тождество примет вид

x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ) )² - ( D / ( 4a² ) ).

Возможны три случая:

если число D положительно (D > 0), то в этом случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D=(√D). Тогда D / (4a²) = (√D)² / (2a)² = (√D / 2a)², поэтому тождество принимает вид

x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ))²- ( √D / 2a )².

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ) – ( √D / 2a )) (x + ( b / 2a )) = ( x – ((- b + √D ) / 2a )) ( x – (( - b - √D ) / 2a )).

Теорема: Если выполняется тождество

ax² + bx + c = a (x – x) (x – x2),

то квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 при X ≠ X2 имеет два корня X и

X2 , а при X + X2 - лишь один корень X. В силу этой теоремы из, выведенного выше, тождество следует, что уравнение x² + (b / a) x + (c / a)=0, а тем самым и уравнение ax² + bx + c = 0, имеет два корня:

X = (- b + √D) / 2a; X2 = (- b - √D) / 2a.

Таким образом, x² + (b / a) x + (c / a) = (x - x) (x - x2).

Обычно эти корни записывают одной формулой:

X, 2 = -b ±√b² - 4ac / 2a где b² - 4ac = D.

2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество


x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ) )² - ( D / ( 4a² ) ).

принимает вид


x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ) )².

Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax² + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X = - b / 2a;

3) если число D отрицательно (D < 0),то и поэтому выражение

x² + ( b / a ) x + ( c / a ) = ( x + ( b / 2a ) )² - ( D / ( 4a² ) ).


является суммой двух слагаемых, одно из которых неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может равняться нулю, поэтому уравнение

x² + (b / a) x + (c / a) = 0

не имеет действительных корней. Не имеет их и уравнение

ax² + bx + с = 0. Таким образом, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант D = b² - 4ac.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:

X = - b / (2a).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

X = (- b + √D) / 2a; X2 = (- b - √D) / 2a.

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов b или c равен пулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:


b = 0; c ≠ 0: c / a < 0: X,2 = ± /√(-c / a )

b ≠ 0; c = 0: X = 0, X2 = - b / a


Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x² равен 1, называются приведенным. Обычно приведенное квадратное уравнение обозначают так:


x² + px +q =0.


Корни приведенного квадратного уравнения обычно находятся по формуле


X, 2 = -p/2 ± √ (p / 2)²- q


^ 6.1 Теорема Виета


Мы вывели тождество

x² + (b / a) x + (c / a) = (x - x) (x - x2),

где – корни квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. раскроем скобки в первой части этого тождества.


x² + (b / a) x + (c / a) = x² - xx – x2x + xx2 = x² - (x + x) x + x x2.


отсюда следует, что Мы доказали следующую теорему, впервые установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 2603):

Теорема 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X, взятому с противоположным знаком и деленному на коэффициент при X²; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, деленному на коэффициент при X².

Теорема 2 (обратная). Если выполняется равенства

X + X2 = -b / a и XX2 = c / a,

то числа X и X2 являются корнями квадратного уравнения ax² + bx + с = 0.

Замечание. Формулы X + X2 = -b / a и XX2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax² + bx + с = 0 имеет один корень X кратности 2, если положить в указанных формулах X2 = X. Поэтому принято считать, что при D = 0 уравнение ax² + bx + с = 0 имеет совпадающих друг с другом корня.

При решении задач, связанных с теоремой Виета, полезно использовать соотношения

(1 / X) + (1 / X2) = (X + X2) / XX2;


X² + X2² = (X + X2) – 2XX2;


X / X2 + X / X2 = (X² + X2²) / XX2 = ((X + X2)² - 2XX2 / XX2;


X³ + X2³ = (X + X2) (X² – XX2 + X2²) = (X +X2) ((X + X2)² - 3XX2).


Пример 1. Решить уравнение 2x² + 5x – 1 = 0

Решение.D = 25 – 42(-1) = 33 > 0; X = (-5 + √33) / 4; X2 = (-5 - √33) / 4.

Пример 2. решить уравнение x³ -5x² + 6x = 0

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители x (x² – 5x +6) = 0,отсюда x = 0 или x² – 5x + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем X = 2, X2 = 3.


Ответ: 0; 2; 3


Заключение


Выделенным областям возникновения и функционирования понятия
уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.
а) Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач.

Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.
В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений
раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение
линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений.


^ Список используемой литературы


В.А. Любецкий Основные понятия школьной математики, изд. «Просвещение» 1987г.

В.С Крамор Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа, изд. «Просвещение» 1990г.

Г.И. Глейзер «История математики в школе 7-8 классов» 1982г.

Задачи по математике. Уравнения и неравенства. ВавиловК. И. Мельников И.И. изд. «Наука» 1987г.

Алгебра и математический анализ. 10 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд. «Просвещение».



Перейти к оглавлению