Реферат: Программа обсуждена на заседании кафедры Математики фнти

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Московский физико-технический институт

(государственный университет)


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе

Ю.А. Самарский

____________________2008 г.


П Р О Г Р А М М А


по курсу:  ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

по направлению  511600

факультет  ФНТИ

кафедра  МАТЕМАТИКИ ФНТИ

курс I

семестр 2

лекции   32 часа Экзамен  2 семестр

практические(семинарские)

занятия   32 часа Зачет  нет

лабораторные занятия – нет Самостоятельная работа 

  2 часа в неделю

Всего часов   64


Программу составил д.ф.-м.н., проф. А.И. Шафаревич

Программа обсуждена на заседании

кафедры Математики ФНТИ

25 декабря 2007 года


Заведующий кафедрой С.Ю. Доброхотов


^ Линейные и билинейные формы

1. Евклидовы пространства. Определение и примеры. Неравенство треугольника. Неравенство Коши-Шварца.

2. Ортонормированные базисы. Ортогонализация. Подпространства и ортогональные дополнения. Изоморфизм евклидовых пространств.

3. Унитарные пространства. Эрмитово скалярное произведение. Подпространства и ортогональные дополнения.

4. Сопряженный оператор и его свойства.

5. Самосопряженные операторы. Собственные значения и собственные векторы. Приведение к диагональному виду.

6. Ортогональные и унитарные преобразования. Спектр и собственные векторы. Приведение к каноническому виду.


7. Полярное разложение операторов.


8. Билинейные и квадратичные формы в евклидовых пространствах. Приведение к каноническому виду. Главные оси и собственные числа.


Тензорная алгебра


8. Тензорные произведения линейных пространств. Универсальность тензорного умножения. Общие тензорные операции. Линейные отображения и полилинейные функции как примеры тензоров.


9. Тензоры типа (p,q). Операции над тензорами. Тензорный закон преобразования координат.


10. Внешние формы. Внешнее умножение форм и его

свойства.


11. Внешние формы в евклидовых пространствах. Скалярное умножение тензоров и внешних форм. Детерминант и объем ориентированного параллелепипеда.


12. Оператор Ходжа и его свойства.


13. Тензоры в физике и механике.


14. Кривые на плоскости и в пространстве. Соприкасающаяся окружность. Репер Френе, формулы Френе, кривизна и кручение.


14. Поверхности. Первая квадратичная форма. Длины и углы.


15. Ковариантные производные векторных полей. Символы Кристоффеля и их вычисление. Параллельный перенос и геодезические. Изометрии.


16. Вторая квадратичная форма поверхности. Теорема Менье. Главные кривизны и главные направления. Формула Эйлера. Гауссова и средняя кривизны. Эллиптические, гиперболические и параболические точки поверхности.


17. Геометрия на сфере. Геодезические, изометрии, окружности, треугольники.


18. Пространство Минковского. Подпространства и ортогональные дополнения. Преобразования Лоренца.


19. Векторная модель геометрии Лобачевского. Геодезические, изометрии, окружности, треугольники.


20. Модели Пуанкаре геометрии Лобачевского.


^ СПИСОК ОСНОВНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


1. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1966.

2. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.: Наука, 1970.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П., ФоменкоА.Т. Современная геометрия. – М.: УРСС, 1986.

4. Рашевский П.К. Дифференциальная геометрия. – : Наука, 1950.

5. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. – М.: Факториал, 1995.


^ СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


1. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. – М.: Изд-во МГУ, 1980.

2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. – М.: Наука, 1981.

3. Шилов Г.Е. Математический анализ. Конечномерные линейные пространства. – М.: Наука, 1969.


В курсе предусмотрены 4 контрольных работы.

1-я контрольная - по теории евклидовых пространств, билинейных

и квадратичных форм,

2-я - по тензорной алгебре,

3-я – по геометрии кривых и поверхностей,

4-я – по неевклидовым геометриям.


Усл. печ. л. Тираж