Реферат: Учебная программа дисциплины «Вычислительная математика» Специальности

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РФ

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«Тамбовский государственный технический университет»





Факультет «Информационные технологии»

Кафедра «Системы автоматизированного проектирования»

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА

дисциплины

«Вычислительная математика»

Специальности:

230104 - Системы автоматизированного проектирования

/(Код по перечню специальностей 230100)

Составитель:

Романенко А.В.

Тамбов 2008

СОГЛАСОВАНО

Начальник учебно-методического управления ТГТУ

К.В. Брянкин

« » 200 г.


Программа разработана в соответствии с государственным образовательным стандартом по специальности (или направлению) ^ 230104 – Системы автоматизированного проектирования, утвержденному 27.03.2000 г. (номер гос. регистрации 224 тех/дс), требованиями, предъявляемыми к минимуму содержания дисциплины, и с учетом особенностей региона и условий организации учебного процесса в Тамбовском государственном техническом университете.


Программа рассмотрена и утверждена на заседании кафедры «Системы автоматизированного проектирования» протокол № от . . 2008 г.


Заведующий кафедрой Подольский В.Е.


Программа рассмотрена и утверждена на заседании Учебно-методической комиссии факультета (института) «Информационные технологии» протокол № от . . 200 г. и рекомендована к изданию.


Председатель УМК Елизаров И.А.


Декан факультета Мартемьянов Ю.Ф.
^ 1. Пояснительная записка

Краткое описание

Процесс автоматизированного проектирования новых изделий немыслим без осуществления таких процедур как математическое моделирование, численный эксперимент, получение оптимального проекта и других, базирующихся на синтезе применения вычислительной техники и высшей математики. Дисциплина "Вычислительная математика" направлена на изучение методов высшей математики, пригодных к использованию в автоматизированных системах для решения задач проектирования.

^ Цели

Целью курса является обучение студентов численным методам.

Задачи

В результате изучения дисциплины студент должен научиться классифицировать математические задачи с точки зрения вычислительной математики, выбирать метод их решения и получать результат с применением средств вычислительной техники.
^ Список специальностей, для которых читается дисциплина
Дисциплина читается для студентов специальности 230104 – Системы автоматизированного проектирования.

^ Место среди смежных дисциплин

Студент должен знать учебный материал дисциплин "Программирование на языке высокого уровня" и "Информатика" в полном объеме.

^ Сфера профессионального использования

Разработка программного обеспечения, реализующего методы математического обеспечения САПР.

Начальные знания, умения и навыки

До изучения дисциплины студент должен получить элементарные навыки работы на компьютере и разработки программного обеспечения.

^ Итоговые знания, умения и навыки

В результате изучения данной дисциплины студент должен знать:

научиться классифицировать математические задачи с точки зрения вычислительной математики;

выбирать метод их решения и получать результат с применением средств вычислительной техники.
^ 2. План изучения дисциплины

Общая трудоёмкость дисциплины по ГОС 140 часов

Изучается в семестрах 3

Вид итогового контроля:

экзамен 3 семестр

Аудиторные занятия по семестрам:

лекции 34 часа

лабораторные занятия 17 часов

практические занятия 17 часов


№ п/п

Наименование раздела, темы учебной
дисциплины

Вид
занятия

№
недели

Формы контроля

Объем аудиторных занятий

Объем самостоятельной работы

1

2

3

4

5

6

7

1

Тема 1. Место вычислительной математики в процессе моделирования сложных систем. Теоретические основы численных методов: погрешность вычислений, устойчивость и сложность численных алгоритмов.

Лекция

1

-

2

2

2

Особенности применения метода простых итераций для решения нелинейных уравнений.

Практ.

1

Решение задач

2

2

3

Тема 2. Постановка задачи. Теоретические основы методов решения нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Понятие о сходимости метода простой итерации. Геометрическая интерпретация метода.

Лекция

2

-

2

2

4

Лаб. работа 1. Исследование методов решения нелинейных уравнений.

Лабор. работа

2

-

2

2

5

Тема 2. Усовершенствование итерационного процесса. Метод Ньютона и возможность его модификации. Условие сходимости метода Ньютона. Методы секущих и Стеффенсена. Геометрическая интерпретация методов.

Лекция

3

-

2

2

6

Применение методов Ньютона, секущих и Стеффенсона для решения нелинейных уравнений.

Практ.

3

Решение задач

2

2

7

Тема 3. Постановка задачи и ее распространение в математике. Прямые и итерационные методы решения. Метод Гаусса. Понятие нормы матрицы. Применение метода простой итерации для решения СЛАУ. Условие сходимости итерационных методов. Усовершенствование метода простой итерации, метод Зейделя. Метод релаксации для решения СЛАУ.

Лекция

4

-

2

2

8

Лаб. работа 2. Исследование методов решения СЛАУ.

Лабор. работа

4

Отчет по лаб. работе 1

2

2

9

Тема 3. Решение СЛАУ с опорными матрицами специального вида. Метод прогонки. Понятие о собственных числах и собственных векторах. Прямые и численные методы поиска собственных чисел.

Лекция

5

-

2

2

10

Применение численных методов для решения СЛАУ и СНУ.

Практ.

5

Решение задач

2

2

11

Тема 4. Постановка задачи и ее особенности. Применение метода простой итерации для решения СНУ, условие сходимости метода. Особенности применения метода Ньютона для решения СНУ.

Лекция

6

-

2

2

12

Лаб. работа 3. Исследование методов решения СНУ.

Лабор. работа

6

Отчет по лаб. работе 2

2

2

13

Тема 5. Постановка задачи, сущность задач интерполяции, аппроксимации и экстраполяции. Точечная аппроксимация. Понятие локальной аппроксимации. Линейная и квадратичная интерполяция. Понятие глобальной аппроксимации. Интерполяционные многочлены Лагранжа, Ньютона с разделенными разностями, Ньютона с конечными разностями.

Лекция

7

-

2

2

14

Особенности применения методов интерполяции.

Практ.

7

Решение задач

2

2

15

Тема 5. Использование сплайнов. Тригонометрическая интерполяция, преобразование Фурье. Равномерное приближение функций.

Лекция

8

-

2

2

16

Лаб. работа 4. Исследование методов решения задачи интерполяции табличных функций.

Лабор. работа

8

Отчет по лаб. работе 3

2

2

17

Тема 5. Характер опытных данных и подбор эмпирических функций. Сущность задачи аппроксимации экспериментальных данных. Метод наименьших квадратов.

Лекция

9

-

2

2

18

Особенности применения методов аппроксимации.

Практ.

9

Решение задач

2

2

19

Тема 6. Методы численного интегрирования и численного дифференцирования.

Лекция

10

-

2

2

20

Лаб. работа 5. Исследование методов аппроксимации табличных функций.

Лабор. работа

10

Отчет по лаб. работе 4

2

2

21

Тема 7. Постановка задачи Коши и ее геометрическая интерпретация. Метод Эйлера для ее решения. Метод Рунге-Кутта для решения задачи Коши. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Лекция

11

-

2

2

22

Изучение одношаговых методов решения задачи Коши.

Практ.

11

Решение задач

2

2

23

Тема 7. Понятие о многошаговых методах. Методы Адамса для решения задачи Коши. Особенности численного решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений высших порядков.

Лекция

12

-

2

2

24

Лаб. работа 6. Исследование методов решения задачи Коши.

Лабор. работа

12

Отчет по лаб. работе 5

2

2

25

Тема 7. Понятие о жестких задачах. Формулы Гира. Двухточечные краевые задачи. Постановка задачи и геометрический смысл.

Лекция

13

-

2

3

26

Изучение многошаговых методов решения задачи Коши.

Практ.

13

Решение задач

2

2

27

Тема 7. Метод конечных разностей. Метод пристрелки для решения двухточечных краевых задач. Специальные постановки задач.

Лекция

14

-

2

3

28

Лаб. работа 7. Исследование методов решения двухточечной краевой задачи.

Лабор. работа

14

Отчет по лаб. работе 6

2

2

29

Тема 7. Метод конечных элементов и особенности его применения.

Лекция

15

-

2

2

30

Изучение методов решения двухточечных краевых задач.

Практ.

15

Решение задач

2

2

31

Тема 7. Решение задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Задачи, описываемые дифференциальными уравнениями с одной пространственной координатой.

Лекция

16

-

2

3

32

Лаб. работа 7. Исследование методов решения двухточечной краевой задачи.

Лабор. работа

16

Отчет по лаб. работе 7

2

2

33

Тема 7. Общий случай решения задач, описываемые дифференциальными уравнениями с одной пространственной координатой. Особенности решения задач эллиптического, параболического и гиперболического типа.

Лекция

17

-

2

3

34

Особенности решения задач в частных производных.

Практ.

17

Решение задач

2

2




^ ИТОГО по дисциплине (час):

68

72

всего:

140



^ 3. Содержание разделов дисциплины

Тема 1: Введение. Основные понятия дисциплины.

Место вычислительной математики в процессе моделирования сложных систем. Теоретические основы численных методов: погрешность вычислений, устойчивость и сложность численных алгоритмов.


^ Тема 2: Методы решения нелинейных уравнений.

Постановка задачи. Теоретические основы методов решения нелинейных уравнений. Метод простой итерации. Понятие о сходимости метода простой итерации. Геометрическая интерпретация метода. Усовершенствование итерационного процесса. Метод Ньютона и возможность его модификации. Условие сходимости метода Ньютона. Методы секущих и Стеффенсена. Геометрическая интерпретация методов.


^ Тема 3: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Постановка задачи и ее распространение в математике. Прямые и итерационные методы решения. Метод Гаусса. Понятие нормы матрицы. Применение метода простой итерации для решения СЛАУ. Условие сходимости итерационных методов. Усовершенствование метода простой итерации, метод Зейделя. Метод релаксации для решения СЛАУ. Решение СЛАУ с опорными матрицами специального вида. Метод прогонки. Понятие о собственных числах и собственных векторах. Прямые и численные методы поиска собственных чисел.


^ Тема 4: Методы решения систем нелинейных уравнений.

Постановка задачи и ее особенности. Применение метода простой итерации для решения СНУ, условие сходимости метода. Особенности применения метода Ньютона для решения СНУ.


^ Тема 5: Вопросы приближения функций.

Постановка задачи, сущность задач интерполяции, аппроксимации и экстраполяции. Точечная аппроксимация. Понятие локальной аппроксимации. Линейная и квадратичная интерполяция. Понятие глобальной аппроксимации. Интерполяционные многочлены Лагранжа, Ньютона с разделенными разностями, Ньютона с конечными разностями. Использование сплайнов. Тригонометрическая интерполяция, преобразование Фурье. Равномерное приближение функций. Характер опытных данных и подбор эмпирических функций. Сущность задачи аппроксимации экспериментальных данных. Метод наименьших квадратов.


^ Тема 6: Численное интегрирование и дифференцирование.

Методы численного интегрирования и численного дифференцирования.


Тема 7: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных.

Постановка задачи Коши и ее геометрическая интерпретация. Метод Эйлера для ее решения. Метод Рунге-Кутта для решения задачи Коши. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Понятие о многошаговых методах. Методы Адамса для решения задачи Коши. Особенности численного решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений высших порядков. Понятие о жестких задачах. Формулы Гира. Двухточечные краевые задачи. Постановка задачи и геометрический смысл. Методы конечных разностей и пристрелки для решения двухточечных краевых задач. Специальные постановки задач. Особенности метода конечных элементов. Решение задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных.
^ 4. Лабораторный практикум



№

№ раздела дисциплины

Тема лабораторной работы



Тема 2: Методы решения нелинейных уравнений.

Исследование методов решения нелинейных уравнений.



Тема 3: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Исследование методов решения СЛАУ.



Тема 4: Методы решения систем нелинейных уравнений

Исследование методов решения СНУ.



Тема 5: Вопросы приближения функций

Исследование методов решения задачи интерполяции табличных функций.



Тема 5: Вопросы приближения функций

Исследование методов аппроксимации табличных функций.



Тема 7: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Исследование методов решения задачи Коши.



Тема 7: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Исследование методов решения двухточечной краевой задачи.
^ Краткие характеристики лабораторных работ.

Лабораторная работа №1

Тема. Исследование методов решения нелинейных уравнений.

Задание. Освоить численные методы решения нелинейных уравнений.

Исполнение. Изучить методы по варианту задания. В соответствии с методами разработать программу решения поставленной задачи на алгоритмическом языке.

^ Оценка. Формирование необходимых представлений об основах численного решения нелинейных уравнений.

Время выполнения заданий: 2 часа.


Лабораторная работа №2

^ Тема. Исследование методов решения СЛАУ.

Задание. Освоить численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Исполнение. Изучить методы по варианту задания. В соответствии с методами разработать программу решения поставленной задачи на алгоритмическом языке.

^ Оценка. Формирование необходимых представлений об основах численного решения систем линейных алгебраических уравнений.

Время выполнения заданий: 4 часа.


Лабораторная работа №3

^ Тема. Исследование методов решения СНУ.

Задание. Освоить численные методы решения систем нелинейных уравнений.

Исполнение. Изучить методы по варианту задания. В соответствии с методами разработать программу решения поставленной задачи на алгоритмическом языке.

^ Оценка. Формирование необходимых представлений об основах численного решения систем нелинейных уравнений.

Время выполнения заданий: 2 часа.


Лабораторная работа №4

^ Тема. Исследование методов решения задачи интерполяции табличных функций.

Задание. Освоить численные методы интерполирования табличных функций.

Исполнение. Изучить методы по варианту задания. В соответствии с методами разработать программу решения поставленной задачи на алгоритмическом языке.

^ Оценка. Формирование необходимых представлений об основах интерполирования табличных функций.

Время выполнения заданий: 2 часа.


Лабораторная работа №5

^ Тема. Исследование методов аппроксимации табличных функций.

Задание. Освоить численные методы аппроксимации табличных функций.

Исполнение. Изучить методы по варианту задания. В соответствии с методами разработать программу решения поставленной задачи на алгоритмическом языке.

^ Оценка. Формирование необходимых представлений об основах аппроксимации табличных функций.

Время выполнения заданий: 2 часа.


Лабораторная работа №6

^ Тема. Исследование методов решения задачи Коши.

Задание. Освоить численные методы решения задачи Коши.

Исполнение. Изучить методы по варианту задания. В соответствии с методами разработать программу решения поставленной задачи на алгоритмическом языке.

^ Оценка. Формирование необходимых представлений об основах численного решения задачи Коши.

Время выполнения заданий: 2 часа.


Лабораторная работа №7

^ Тема. Исследование методов решения двухточечной краевой задачи.

Задание. Освоить численные методы решения двухточечной краевой задачи.

Исполнение. Изучить методы по варианту задания. В соответствии с методами разработать программу решения поставленной задачи на алгоритмическом языке.

Оценка. Формирование необходимых представлений об основах численного решения двухточечной краевой задачи.

Время выполнения заданий: 2 часа.
^ 5. Самостоятельная работа студентов
Тема 1: Введение. Основные понятия дисциплины.

Место вычислительной математики в процессе моделирования сложных систем. Теоретические основы численных методов: погрешность вычислений, устойчивость и сложность численных алгоритмов.

Задание:

По рекомендованной литературе изучить основы применения вычислительных методов.


^ Тема 2: Методы решения нелинейных уравнений.

Теоретические основы методов простой итерации, Ньютона, секущих и Стеффенсена.

Задание:

По рекомендованной литературе изучить теоретические основы методов решения нелинейных уравнений.


^ Тема 3: Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Прямые и итерационные методы решения СЛАУ. Метод Гаусса. Метод простой итерации для решения СЛАУ, метод Зейделя, метод релаксации. Решение СЛАУ с опорными матрицами специального вида. Метод прогонки. Понятие о собственных числах и собственных векторах.

Задание:

По рекомендованной литературе изучить основы методов решения СЛАУ.


^ Тема 4: Методы решения систем нелинейных уравнений.

Применение метода простой итерации и метода Ньютона для решения СНУ.

Задание:

По рекомендованной литературе изучить основы методов решения СНУ.


^ Тема 5: Вопросы приближения функций.

Сущность задач интерполяции, аппроксимации и экстраполяции. Методы локальной аппроксимации. Интерполяционные многочлены Лагранжа, Ньютона с разделенными разностями, Ньютона с конечными разностями. Использование сплайнов, тригонометрическая интерполяция. Равномерное приближение функций. Сущность задачи аппроксимации экспериментальных данных.

Задание:

По рекомендованной литературе изучить основы методов интерполяции и аппроксимации.


^ Тема 6: Численное интегрирование и дифференцирование.

Методы численного интегрирования и численного дифференцирования.

Задание:

По рекомендованной литературе изучить основы методов интерполяции и аппроксимации.


^ Тема 7: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных.

Метод Эйлера для решения задачи Коши. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности для решения задачи Коши. Методы Адамса для решения задачи Коши. Особенности численного решения систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений высших порядков. Формулы Гира. Методы конечных разностей и пристрелки для решения двухточечных краевых задач. Специальные постановки задач. Особенности метода конечных элементов. Решение задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных.

Задание:

По рекомендованной литературе изучить основы методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений в частных производных.
^ 6. Учебно-методическое обеспечение курса 6.1 Основная литература



Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. – М.: Наука, 1989. – 432 с.

Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. В 2-х т.т. – М.: Наука, 1976.

Хемминг Р.В. Численные методы. – М.: Наука, 1972. – 400 с.

Шуп Т. Прикладные численные методы в физике и технике. – М.: Высш. школа, 1990. – 255 с.

Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. – М.: Высш. школа, 1994. – 544 с.

Бахвалов И.В., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. – 624 с.



^ 6.2 Дополнительная литература



Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. – М.: Наука, 1972. – 120 с.

Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1986. – 288 с.

Кунин С. Вычислительная физика. – М.: Мир, 1992. – 518 с.

Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. – М.: Высш. школа, 2000. – 190 с.



^ 7. Форма итогового контроля 7.1 Входной контроль

Входной контроль осуществляется в форме собеседования по следующим направлениям: умение программировать на одном из алгоритмических языков; наличие элементарных знаний в области высшей математики.


^ 7.2 Текущий контроль


Текущий контроль знаний осуществляется в форме отчетов по лабораторным работам.

Тематическое содержание текущего контроля составляют:

Исследование методов решения нелинейных уравнений.

Исследование методов решения СЛАУ.

Исследование методов решения СНУ.

Исследование методов решения задачи интерполяции табличных функций.

Исследование методов аппроксимации табличных функций.

Исследование методов решения задачи Коши.

Исследование методов решения двухточечной краевой задачи.


^ 7.3 Итоговый контроль


Итоговый контроль знаний осуществляется в форме экзамена.


Список вопросов к экзамену:


3 семестр

Применение численных методов в САПР. Основные понятия вычислительной математики.

Решение нелинейного уравнения методом простой итерации. Понятие сжимающего отображения. Теорема о сходимости метода. Геометрическая интерпретация метода.

Усовершенствование метода простой итерации. Условия для выбора числа r. Геометрическая интерпретация метода.

Метод Ньютона для решения нелинейного уравнения. Условие сходимости метода. Геометрическая интерпретация метода.

Метод секущих для решения нелинейного уравнения. Условие сходимости метода. Геометрическая интерпретация метода.

Метод Стефенсона для решения нелинейного уравнения. Условие сходимости метода. Геометрическая интерпретация метода.

Численные методы линейной алгебры. Решение СЛАУ прямыми и итерационными методами. Условия сходимости итерационных методов.

Численные методы линейной алгебры. Решение СЛАУ с ленточной матрицей. Метод прогонки.

Численные методы линейной алгебры. Итерационные методы вычисления собственных чисел и собственных векторов.

Методы итераций и Ньютона для решения СНУ. Теоремы о сходимости методов.

Вопросы приближения функций. Постановка задачи. Понятие точечной и интегральной аппроксимации. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Теорема о единственности глобального интерполяционного многочлена.

Вопросы приближения функций. Постановка задачи. Многочлен Ньютона с разделенными разностями. Оценка остаточного члена интерполяции.

Вопросы приближения функций. Постановка задачи. Многочлен Ньютона с конечными разностями. Формулы для интерполирования вперед и назад.

Вопросы приближения функций. Постановка задачи. Локальная интерполяция. Сплайны.

Вопросы приближения функций. Постановка задачи. Тригонометрическая интерполяция. Дискретное преобразование Фурье.

Вопросы приближения функций. Постановка задачи аппроксимации. Характер экспериментальных данных. Метод выбранных точек и метод средних.

Вопросы приближения функций. Постановка задачи аппроксимации. Характер экспериментальных данных. Метод наименьших квадратов.

Вопросы приближения функций. Постановка задачи. Равномерное приближение функции.

Численное дифференцирование. Дифференцирование табличных функций с использованием ряда Тейлора.

Общая постановка задачи Коши. Применение ряда Тейлора для ее решения. Метод Эйлера.

Общая постановка задачи Коши. Методы Рунге-Кутта для ее решения. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

Общая постановка задачи Коши. Многошаговые формулы. Метод Адамса.

Решение задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений высших порядков.

Общая постановка задачи Коши. Понятие о жестких задачах. Формулы Гира.

Постановка двухточечной краевой задачи. Применение метода конечных разностей с использованием метода прогонки.

Постановка двухточечной краевой задачи. Применение метода конечных элементов.

Постановка двухточечной краевой задачи. Применение метода пристрелки.

Дифференциальные уравнения в частных производных. Решение уравнения с одной пространственной координатой.

Общий случай дифференциального уравнения в частных производных. Сеточная аппроксимация решения. Применение прямых и итерационных методов.

Численное интегрирование. Применение квадратурных формул.



^ 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины Для освоения данной дисциплины требуется компьютерный класс с установленным компилятором любого алгоритмического языка программирования. ^ 9. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины
При проведении лабораторных и практических занятий требуется выделять время для проверки усвоения тем лекционных занятий и тем, выделенных для самостоятельного изучения студентами.

10. Глоссарий



^ Математическая модель

Абстрагированное описание объекта реального мира с помощью математических зависимостей

^ Численные методы

Особые методы решения математических задач, в основе которых лежит конечное число операций над числами

Сходимость численного метода

Особое свойство вычислительного алгоритма, заключающееся в наличии предела итерационной последовательности

Устойчивость численного метода

Свойство вычислительного алгоритма, заключающееся в повторяемости результата при различных исходных ланных