Реферат: Программа дисциплины «математические модели в экономике» Для направления

Правительство Российской Федерации


Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Государственный университет – Высшая школа экономики»


Санкт-Петербургский филиал

Государственного университета – Высшей школы экономики


Кафедра математики


ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОНОМИКЕ»


Для направления 080100.62 «Экономика»


Курс 2


Автор программы: к.т.н , доцент Рейнов Юрий Иванович


^ Согласовано УМО Одобрено на заседании кафедры

_______________ Зав. кафедрой Рейнов Ю.И.__________

«___»_________2010_г. «26» августа 2010г.


Утверждено УМС

_______________________

Председатель

_______________________

«___»______________2010_г.


Санкт-Петербург

2010г.

^ Пояснительная записка
Требования к студентам: Учебная дисциплина « Математические модели в экономике»

(5 модуль) использует материал предшествующих ей дисциплин учебного плана факультета экономики «Математический анализ», «Линейная алгебра», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Дифференциальные уравнения», «Дискретная математика».

Аннотация: Программа дисциплины содержит как необходимые общематематические разделы, посвященные вопросам дискретной оптимизации и управлению в условиях неопределенности, так и прикладные разделы, актуальные для работы в различных предметных областях экономики. Задачей дисциплины является введение студентов в методологию, подходы, математические методы анализа социально-экономических явлений и процессов с научно-технических позиций, сложившихся к настоящему времени в мировом деловом сообществе. Материал дисциплины предназначен для дальнейшего использования и развития в микро- и макроэкономике.

^ Учебная задача курса: В результате изучения курса студент должен иметь представление о достаточно полном спектре концепций, подходов, методов современной теории управления и исследования операций. Студент должен знать основные типы дискретных математических моделей, используемых при описании сложных систем и при принятии решений, знать сложившуюся к настоящему времени типизацию и классификацию' таких моделей, систем, задач, методов. Студент должен научиться строить комбинированные модели и подбирать методы, использующие результаты из различных научных областей. Студент должен овладеть методологией системного анализа реальных ситуаций в целях построения адекватных им моделей и методов, в целях сравнительного анализа моделей и методов, выбора наилучших в рассматриваемой ситуации решений.

^ Формы контроля: По курсу предусмотрены одна контрольная работа, как формы текущего контроля. Форма итогового контроля – письменный зачет. Все формы контроля оцениваются в 10-балльной шкале.

Итоговая оценка складывается из:

оценки за контрольную работу – 40% итоговой оценки

оценки письменного зачета – 60% итоговой оценки

с округлением результата до целых единиц.

Итоговая оценка выставляется в пятибалльной и в 10-балльной системах в ведомость и в зачетную книжку студента (оценкам 1, 2, 3 в 10-балльной системе соответствует оценка «неудовлетворительно» в пятибалльной системе; оценкам 4, 5 – «удовлетворительно»; оценкам 6, 7 – «хорошо»; а оценкам 8, 9, 10 – «отлично»).


II. Содержание программы
^ Тема 1. Модели и методы дискретной оптимизации
Полная и точная информированность о неконтролируемых параметрах и функциях как полезная математическая абстракция. Программное управление. План производства, распределение ресурсов.

Допустимые и оптимальные решения. Причины их возможного отсутствия. Определения максимума и минимума на допустимом множестве.

Итерационная схема построения оптимального решения через допустимые.

Эквивалентные, или взаимные задачи оптимизации (например, задача максимизации прибыли при ограниченных сверху затратах эквивалентна задаче о минимизации затрат при ограниченной снизу прибыли на том же допустимом множестве).

Повторение: множества и отображения.

^ Тема 2. Прикладные задачи дискретной оптимизации
Общая постановка задач конечномерной оптимизации со связями и ограничениями. Допустимое множество. Задача о потребительском выборе.

Типы максимумов: внутренний и граничный, единственный и неединственный, глобальный и локальный. Последовательная максимизация как способ аналитического решения задач малой размерности. Геометрическое отыскание максимума в двумерных задачах.

Достаточные условия глобального максимума: теорема Вейерштрасса о достижимости максимума и минимума непрерывной функцией многих переменных на компакте; теорема о максимуме вогнутых, т.е. выпуклых вверх, непрерывных функций на выпуклом компакте. Достаточные условия выпуклости.

Экстремумы гладких и негладких функций. Конусы допустимых и улучшающих вариаций. Необходимые условия и достаточные условия для локальных экстремумов гладких функций. Матрица Гессе. Достаточное условие локального максимума в угловой точке.

Условия Куна-Таккера, дополняющая нежёсткость, геометрическая интерпретация. Чувствительность максимума к изменению вектора ресурсов. Окаймлённый Гессиан. Теорема Куна-Таккера о седловой точке функции Лагранжа. Двойственная задача.

Схемы численных методов максимизации (прямых и непрямых): скорейший спуск, проектирование градиента, штрафные функции, метод Ньютона. Поиск глобального максимума в многоэкстремальных задачах.
^ Тема 3. Модели управления запасами и Леонтьевские задачи
Истоки многокритериальности. Многокритериальная предпочтительность допустимых стратегий. Эффективность (оптимальность) по Парето или Слейтору. Леонтьевская модель.

Построение Парето-эффективной границы путём решения
многопараметрической задачи однокритериалыюй оптимизации с ограниченными
величинами остальных критериев. Другие способы сведения к однокритериальной
оптимизации.

Парето-эффективных стратегий. Априорные процедуры многокритериального выбора - свертки критериев, близость к идеальной точке. Апостериорные процедуры - выявление функции полезности у лица, принимающего решения, лексикографическая оптимизация, последовательные уступки по величинам разных критериев. Адаптивные человеко-машинные процедуры.
^ Тема 4. Задачи теории расписаний и методы их решения
Сетевое планирование, управление проектами, теория расписаний. Целочисленное программирование. Схема ветвей и границ. • Оптимальные программы управления во времени. Принцип максимума Л.С. Понтрягина и принцип оптимальности Беллмана.
^ Тема 5. Сетевые модели. Оптимизация на сетях
Виды сетевых моделей. Задача управления запасами. Воздействие возмущений на критерий качества и на множество допустимых управлений

Планирование и оперативное управление как типичный для экономики способ реализации -общей идеи обратной связи. Многошаговые процедуры управления. Обработка текущей информации о возмущениях, адаптация модели.

Многошаговые схемы управления. Выделение этапов, различающихся составом управленческих решений и информацией о возмущениях. Рекурсивное решение -последовательное применение принципа наилучшего гарантированного результата от заключительного по времени этапа к первому.

Аналитическое решение задачи о планировании договоров и оперативной компенсации сбоев в сырьевых поставках.


Тематика


Темы семинарских занятий:

Допустимые и оптимальные решения. Причины их возможного отсутствия.

Определения максимума и минимума на допустимом множестве.

2. Итерационная схема построения оптимального решения через допустимые.

3. Задача максимизации прибыли при ограниченных сверху затратах эквивалентна

задаче о минимизации затрат при ограниченной снизу прибыли на том же допустимом

множестве).

4. Необходимые условия и достаточные условия для локальных экстремумов гладких

функций. Матрица Гессе. Достаточное условие локального максимума в угловой точке.

Условия Куна-Таккера, геометрическая интерпретация.

5. Многошаговые процедуры управления. Аналитическое решение задачи о

планировании договоров и оперативной компенсации сбоев в сырьевых поставках.


^ Типовые вопросы и задачи для контрольной работы


На множестве целых чисел N задано отображение «иметь общий остаток от деления на 7». На сколько классов эквивалентности разбивается множество N.

На множестве вещественных чисел R задано отображение «равенство», разбивающее множество R на классы эквивалентности. Сколько элементов содержится в каждом классе

Доказать равенства: a) А – В = А , b) А  В = А + В

c) ( А  В ) С = (АС)  (ВС)

d) = , e)  =



Изобразить на плоскости множество точек A x B, удовлетворяющих условиям


А = { x  x R, -2  x  1}

B = { y  y Z, -3  y  0}


Записать для высказывания формулу исчисления:

Р =” если F делится на 2 и не делится на 3, то оно не делится на 6 ”. Результатом будет: А = «F делится на 2», В = «F не делится на 3», и С = «F не делится на 6». Формула исчислений примет вид: P = ( А  В )  С.


Типовые вопросы и задачи для домашнего задания

Будет ли логическая формула тавтологией (  1  2   3 )  ( 2    1  3  )

Свести функцию к булевой функции от одной переменной




f(x,y,z) = x (y z  y z )  (x y z ) (x y z)

3. Построить СДНФ : f (x1, x2 , x3) = [ ( х3  х1   х2 ] х3  х 1 

Задача коммивояжера Найти минимальный по стоимости марщрут торговца

Вершины ( 1, 2), ( 2, 1), (1, 4), (4, 1) , (3, 1), (2, 3), ( 3, 2), (3, 7), (7, 3), (4, 5), (5, 4)

Ребра 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Стоимость 1 1 2 2 2 1 1 3 2 4 1

Вершины (5, 6), (6, 7), (7, 6), (6, 8) , (8, 5), (8, 7)

Ребра 12 13 14 15 16 17

Стоимость 1 2 3 1 2 1

5. Привести к конъюнктивной нормальной форме (КНФ)

1)  xy   x (y  x z) = ? = ( xy   x y  x x z) = x y   x y

2) y ( x  y )  x (  y  x  z) = ?


^ Типовые вопросы и задачи для зачета


Записать операцию «дизъюнкция» для А и В через операции отрицание и конъюнкцию.

2. Задано множество А = {2, 3, 4, 6, 7} и отношения R =”быть делителем”, Q = “иметь один и

тот же остаток от деления на 3 ”. Записать отношение D = Q-1 – R и все его свойства.

3. Множество S ={1,2,3,4,5}, семейство  : S1={2,3,4}, S2={2,5}, S3={3,4}, S4={1,5}, S5={2,3}.

Найти все трансверсали для 

4. Заданы предпочтения Р(m1 )= w1 w3 w2 , Р(m2 )= w1 w2 w3 , Р(m3 )= w3 w1 w2

Р(w1)=m1m2m3, Р(w2)=m2 m3 m1 , Р(w3 )= m1m3 m2 . Построить оптимальные паросочетания.

5. Заданы отношения R={(2,1), (3, 2), (4,3)}, Q={(1,3),(2,4),(3,3)}. Записать композицию R  Q..

6. Отношение R транзитивно и антирефлективно. Показать, будет ли R-1 асимметрично.

7. Построить minСДНФ для функции f(x1,х2) = ( х1  (х 2х 1))  х2

8. Найти диаметр, центр и радиус графа, заданного списком : « ребра  вершины »

1  (1, 2) , 2  (2, 3), 3  (2, 4), 4  (4, 5), 5  (5, 6), 6  (6, 7), 7  (6, 8)

9. Сколько классов эквивалентности содержит разбиение целых чисел по отношению

R= ” иметь общий остаток от деления на 4”

10. Привести СКНФ (x  y) ( х  y)(x   y) к СДНФ.


IV. Учебно – методическое обеспечение программы
^ Базовые учебники
1.Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. Учебник. - СПб.: Лань, 2000.

2.Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: «Прогресс», 1975. (Ридер)

Основная литература

I. Аронович А.Б., Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Сборник задач по исследованию операций. М.: Изд-во МГУ, 1997.

2. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001.

3. Sundaram R.K.. A First Curse in Optimization Theory. Cambridge Univ. Press, 1999.


Дополнительная литература

1. Гермейер Ю. Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971.

2. Иванов Ю. Н., Токарев В. В.,Уздемир А. П. Математическое описание элементов экономики. М.: «Физматлит», 1994.

3.Карманов В. Г. , Федоров В. В. Моделирование в исследовании операций. М.: «Твема», 1996.

4. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

5. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. - М.: Высшая школа, 1998.

6. Подиновский В.В. Математическая теория выработки решений в сложных ситуациях. Учебник. М.: МО СССР, 1982.

7. Томас Ричард. Количественные методы анализа хозяйственной деятельности. -М.: Дело и Сервис, 1999.

8. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. М.: Аудит ЮНИТИ, 1997.

9. Chiang Alpha С. Fundamental Methods of mathematical economics, McGrawhill, 1984.

10. Математические методы принятия решений в экономике. Под ред. В.А. Колемаева. М.: «Финстатинформ», 1999.

11. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.: «Инфраэм», 2000.

12. Хазанова Л.Э., Математические методы в экономике. Учебное пособие. М.: изд. «ВЕК»,2001.


Тематический расчет часов







Темы

Всего часов

Лекции

Семинары

Неаудит.

1

Модели и методы дискретной оптимизации

13

2

6

5



















2

Прикладные задачи дискретной оптимизации

28

2

6

20



















3

Модели управления запасами и леонтьевские задачи

30

2

6

22



















4

Задачи теории расписаний и методы их решения

30

2

6

22



















5

Сетевые модели. Оптимизация на сетях

28

2

6

20






















Итого:

124

10

30

84





















Автор программы Рейнов Юрий Иванович