Реферат: Базовая учебная программа дисциплины элементы вейвлет анализа для студентов специальностей «Математика»

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский Государственный Университет

Механико-математический факультет

Кафедра дифференциальных уравнений


УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебной работе


_________________________


РЕГ №___________________


От «___» ___________200__г.


Базовая учебная программа дисциплины


ЭЛЕМЕНТЫ ВЕЙВЛЕТ - АНАЛИЗА


Для студентов специальностей «Математика»

(научно-производственная деятельность)


Минск, 200__


Автор: Рогозин С.В. – доцент кафедры теории функций БГУ


Рецензент:


ОДОБРЕНА на заседании кафедры теории функций БГУ протокол № 8 от 14 декабря 2007 г.


ОДОБРЕНА на заседании Ученого совета механико-математического факультета протокол № 4 от 18 декабря 2007 г.


Ответственный за редакцию:


^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Современная цивилизация характеризуется переходом в информационную эпоху. Этот переход начался со второй половины 20-го века взрывным развитием теории и практики современных цифровых систем связи, развитием нанотехнологий и всеобщей компьютеризацией. Теоретические основы современных телекоммуникационных систем связи и компьютерных сетей вытекают из результатов современной алгебры и математической логики. Поэтому осмысление последних достижений в теории и практике современных цифровых систем связи, средствах и системах защиты информации возможно лишь на пути совместного изучения новейших результатов алгебры, теории чисел, математической логики и их прикладных аспектов.

^ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ

Целью преподавания дисциплин цикла «современная прикладная алгебра» является знакомство с теоретико-числовыми и алгебраическими алгоритмами защиты информации от помех и несанкционированного доступа.

Преподавание дисциплины решает следующие задачи:

Познакомить студентов с прикладными аспектами теории чисел, теории групп, теории конечных полей. Показать непосредственную взаимосвязь теоретических положений и результатов с современными алгоритмами в системах цифровой связи и защиты информации.

Научить студентов современным алгоритмам исправления ошибок в телекоммуникационных системах, историческим и действующим алгоритмам защиты информации.

Сформировать базовые навыки для теоретической и практической работы при эксплуатации и разработке современных систем телекоммуникаций и информационной безопасности.



В результате изучения дисциплины студенты должны:

1. Знать

методы работы с большими числами, методы формирования больших простых чисел, алгоритмы защиты информации;

методы формирования конечных полей и вычислений в них;

методы коррекции ошибок в линейных кодах;

2. Уметь

формировать системы защиты информации;

применять синдромные и норменные алгоритмы;

3. Иметь представление

о наиболее современных тенденциях развития теории и практики помехоустойчивого кодирования, криптологии и криптографии;

о технических и программных средствах.

Тематический план курса дисциплины специализации

"Элементы вейвлет - анализа"



№

раздела

№

темы

Наименование раздела, темы

^ Объём в часах

ЛК

ЛБ







I часть. Введение в вейвлеты.







1

1

Базовые идеи приводящие к вейвлет - конструкциям

2

2

1

2

Кольцо классов вычетов.

2

2

1

3

Элементы теории групп

2

2

1

4

Введение в криптографию

2

2

1

5

Криптографические системы

2

2

1

6

Проблема определения простоты числа

2

2

1

7

Китайская теорема об остатках.

2

2

1

8

Алгоритм Диемитко.

2

2

1

9

Перспективы развития современной криптографии.

1

1







Всего

17

17







^ II часть. Теория помехоустойчивых кодов







2

1

Теория конечных полей.

6

6

2

2

Помехоустойчивые коды.

4

4

2

3

Коррекция ошибок в помехоустойчивых кодах.

4

4

2

4

Циклические коды и коды БЧХ.

6

6

2

5

Теория норм синдромов.

4

4

2

6

Применения теории норм синдромов.

4

4







Всего

28

28




































^ Всего аудиторных часов
45

45






ИТОГО
90



Тематическое содержание курса " Современная прикладная алгебра "

^ I часть. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа



Делимость целых чисел. НОД. Алгоритм Евклида. Соотношение Безу. Простые числа и их свойства:бесконечность количества, распределение по ряду натуральных чисел и по арифметическим прогрессиям, проблема близнецов, числа Мерсена и Ферма. Основная теорема арифметики. .

Сравнения. Классы вычетов и их свойства. Обратимые элементы в кольце классов вычетов по натуральному модулю. Малая теорема Ферма. Функция Эйлера и ее свойства. Теорема Эйлера. Обращение теоремы Эйлера и числа Кармайкла. Сложность проверки на простоту и разложения на простые множители.

Алгебраические системы. Группы: определение, примеры, основные классы групп. Подгруппы: центральные, циклические, нормальные. Смежные классы по подгруппе и их свойства. Теорема Лагранжа о подгруппах конечных групп. Простые группы. Симметрическая и знакопеременная группы, их свойства. Действие группы на множестве. Циклическая классификация двоичных векторов.

Краткая история криптографии. Шифры Цезаря и Вижинера. Криптосистема RSA.

Криптосистемы Рабина, Эль Гамаля, DES. Современный международный криптографический стандарт шифрования AES.

Вероятностные и детерминированные алгоритмы проверки числа на простоту. Числа Ферма и Мерсена.

Китайская теорема об остатках. Формула Гарнера. Работа с большими числами.

Алгоритм Диемитко и его применение в белорусских и российских стандартах шифрования.

Перспективы развития современной криптологии и криптографии. Квантовая криптография.


II часть. Теория помехоустойчивых кодов



Характеристика поля. Минимальное поле. Алгебраические расширения полей. Характерные свойства конечных полей. Норма и лед. Проблема решения алгебраических уравнений над конечными полями. Метод Ченя.

Модель числовой системы связи.

Теорема Шеннона. Линейные коды. Порождающая и проверочная матрицы кода. Эквивалентные и систематические коды. Метрика Хемминга.

Минимальное расстояние кодов и методы его определения. Исправление ошибок по таблицам смежных классов или с помощью синдромов. Декодирующие возможности кодов Хемминга.

Определение и полиномиальное задание циклических кодов. Различные варианты оределения класса кодов БЧХ. Полиномиальное и матричное задание кодов БЧХ и их основные свойства. Синдромное декодирование кодов БЧХ и алгебраические уравнения.

Гамма-орбиты ошибок линейных кодов, их свойства и количество. Синдромные спектры гамма-орбит и их свойства. Нормы синдромов, их осноные свойства и специфика для различных классов линейных кодов.

Норменное декодирование линейных кодов. Применение норм синдромов к решению алгебраических уравнений над полями Галуа.



^ КОНТРОЛЬНЫЕ МЕРОПРИЯТИЯ

Рекомендуется проведение не менее двух контрольных работ либо коллоквиума в течение каждого семестра.

ЛИТЕРАТУРА


№
Автор Название
Издательство

Год
^ Основная литература
1.

Липницкий В.А.

Современная прикладная алгебра. Математические основы защиты информации от помех и несанкционированного доступа

Минск, БГУИР

2005, 2006

2.

Ноден П., Китте К.

Алгебраическая алгоритмика


Москва, Мир.

1999

3.

Черемушкин А.В.

Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии.

^ М.: МЦНМО.

2002

4.

Липницкий В.А., Конопелько В.К.

Норменное декодирование помехоустойчивых кодов и алгебраических уравнений.

Минск, Издательский центр БГУ

2007

5.

Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.ДЖ.А.

Теория кодов, исправляющих ошибки.

М.: Связь.

1979

6.












^ Дополнительная литература
1.

Виноградов И.М.

Основы теории чисел.

М.: Наука.

2006

2.

Конопелько В.К., Липницкий В.А.

Прикладная теория кодирования. Том 1,2.

Минск, БГУИР

2004

3.














Методическая литература для проведения лабораторных работ может быть представлена в электронном виде.