Реферат: Программа дисциплины фтд. 00 «практикум по решению математических задач» Специальность

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ТГПУ)


«УТВЕРЖДАЮ»

Декан физико-математического факультета


_______________А.Н. Макаренко

«___» ______________ 2008 года


ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ


ФТД.00 «ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»


Специальность 030100 (050202.65) - «Информатика»


Квалификация – учитель информатики


^ Цели и задачи дисциплины:

Цель курса – подготовка выпускников в области элементарной математики, освоение навыков решения задач (в том числе олимпиадных) по курсу математики средней общеобразовательной школы.

Курс «Практикум по решению математических задач» предполагает:

1) изучение основных понятий школьного курса математики, с точки зрения заложенных в них фундаментальных математических идей;

2) научное обоснование методов, приемов в элементарной математике при решении разного вида заданий, в том числе, ориентированных на различные приложения;

3) знакомство с современными направлениями развития элементарной математики и их приложениями;

4) анализ научно-популярной литературы по математике;

5) установление связей, как со школьными курсом математики, так и с курсами школьной физики, высшей математики (алгебра, геометрия, математический анализ), а также с другими дисциплинами.


^ 2. Требования к уровню освоения содержания дисциплины:

Изучение курса «Практикум по решению математических задач» должно выработать у студентов интерес к вопросам элементарной математики, создать у них содержательную основу для работы с математическими моделями реальных процессов, решения задач (разных типов, уровней сложности) по курсу математики средней общеобразовательной школы.

В результате изучения курса «Практикум по решению математических задач» студент должен овладеть следующими знаниями и умениями:

1. Знать числовые множества, уметь представлять рациональные числа в различных системах счисления, решать задачи «на числа».

2. Знать методы решения алгебраических уравнений и неравенств, уметь ими пользоваться.

3. Знать методы решения трансцендентных уравнений и неравенств.

4. Уметь решать задачи, содержащие параметры.

5. Знать различные виды функциональных зависимостей, их графические представления, применения для решения практических задач.

6. Знать основные методы решения геометрических задач на построение, уметь ими пользоваться.

7. Знать основные приемы построения сечений в многогранниках.

8. Уметь вычислять объемы основных геометрических тел.


^ 3. Объем дисциплины и виды учебной работы:

На реализацию программы планируется 144 часов аудиторных занятий со студентами. Предполагается следующее распределение работы по решению математических задач по семестрам:

I семестр (1-й курс) – арифметика, алгебра, комбинаторика;

II семестр (1-й курс) – алгебра, начала анализа и геометрия.

Более глубокое изучение отдельных вопросов курса по решению математических задач может быть осуществлено в рамках спецкурсов, спецсеминаров, кружковых и факультативных занятий, через написание курсовых работ.

^ Вид учебной работы

Всего часов

1 курс

2 курс




1 сем.

2 сем.

3 сем.

4 сем.

Общая трудоемкость дисциплины

144

36

36

36

36

Аудиторные занятия

144

36

36

36

36

Лекции
















Практические занятия (ПЗ)

144

36

36

36

36

Семинары (С)
















Лабораторные работы (ЛР)
















И (или) другие виды аудиторных занятий
















Самостоятельная работа (СР)
















Курсовой проект (работа)
















Расчетно-графические работы
















Реферат
















И (или) другие виды самостоятельной работы
















Вид итогового контроля (зачет, экзамен)




зачет

зачет

зачет

зачет


^ 4. Содержание дисциплины:

4.1. Разделы дисциплины и виды занятий (тематический план):





Раздел дисциплины

^ Лекции (час)

Практические

занятия (час)

1.

Натуральные числа, их свойства. Основные понятия и нумерация. Математическая индукция.




2

2.

Различные системы счисления. Перевод из одной системы счисления в другую.




2

3.

Делимость натуральных чисел. Основные понятия и теоремы. Теорема о делении с остатком. Сравнения по модулю.




2

4.

Применение свойств сравнений в решении задач.




2

5.

Вывод признаков делимости. Простые числа. Решето Эратосфена. Каноническое разложение натурального числа. Основная теорема арифметики.




2

6.

НОД и НОК натуральных чисел. Алгоритм Евклида и его приложения. Решение задач «на числа».




2

7.

Расширение понятия числа и числовые множества. Целые числа.




2

8.

Рациональные числа. Различные представления рациональных чисел. Систематические дроби. Представление рационального числа в виде десятичной дроби. Перевод дробей. Цепные (непрерывные) дроби. Решение олимпиадных задач по арифметике.




2

9.

Иррациональные числа. Извлечение корней. Нахождение логарифмов. Комплексные числа. Диофантовы уравнения.




2

10.

Решение олимпиадных задач по арифметике.




2

11.

Действия с многочленами. Основные понятия. Делимость многочленов. Теорема Безу.




2

12.

Следствия из теоремы Безу. Схема Горнера.




2

13.

Кратные корни многочленов. Многочлены с целыми коэффициентами.




2

14.

Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия.




2

15.

Элементы теории множеств. Первоначальные понятия и символика. Виды множеств. Мощность множества.




2

16.

Операции над множествами. Алгебра множеств. Применение теории множеств при решении задач. Формула включений и исключений.




2

17.

Декартово произведение множеств. Кортежи. Мощность числовых множеств. Счетность и несчетность множеств.




2

18.

Элементы комбинаторики. Предмет комбинаторики. Решение задач методом перебора.




2

19.

Размещения без повторений. Перестановки и сочетания без повторений.




2

20.

Выборки с повторениями. Решение прикладных задач.




2

21.

Случайные события, виды, операции над событиями. Определение вероятности (классическое, геометрическое, статистическое). Теоремы о сумме и произведении вероятностей.




2

22.

Решение комбинаторных задач разного типа.




2

23.

Уравнения. Корни уравнений. Равносильные уравнения.




2

24.

Задачи на составление уравнений.




4

25.

Алгебраические уравнения. Квадратный трехчлен. Трехчленные уравнения, сводимые к квадратным.




4

26.

Способы решения некоторых уравнений высших степеней.




4

27.

Дробно-рациональные уравнения.




2

28.

Уравнения с модулем. Графические приемы решения уравнений.




4

29.

Уравнения с параметрами и методы их решения.




4

30.

Иррациональные уравнения. Способы решения.




4

31.

Показательные уравнения. Способы решения.




4

32.

Логарифмические уравнения. Способы их решения. Потеря корней.




4

33.

Решение конкурсных задач.




4

34.

Тригонометрические уравнения. Способы решения.




4

35.

Решение рациональных тригонометрических уравнений приведением к алгебраическому уравнению. Графические приемы.




4

36.

Системы уравнений. Равносильность двух систем уравнений. Линейные системы уравнений и их решение.





4

37.

Элементарные методы решения нелинейных систем уравнений. Графические приемы решения систем уравнений.




2

38.

Неравенства. Множество решений неравенств. Равносильные неравенства. Алгебраические неравенства (линейные, квадратные, высших степеней).




2

39.

Дробно-рациональные неравенства.




2

40.

Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства.




4

41.

Тригонометрические неравенства. Графические методы решения неравенств.




2

42.

Неравенства с модулем. Неравенства с параметрами. Системы неравенств.




4

43.

Олимпиадные задачи по алгебре.




2

44.

Функции и графики. Способы задания функций. Элементарное исследование функций. Композиция функций. Обратная функция. Преобразования графиков функций.




2

45.

Степенные и дробно-рациональные функции и их графики. Показательная функция. Логарифмическая функция. Свойства функций.




4

46.

Тригонометрические функции. Различные способы определения, свойства тригонометрических функций. Число p. Обратные тригонометрические функции и их свойства.




4

47.

Классические неравенства. Неравенство Коши. Средние величины.




2

48.

Числовые последовательности и ряды. Различные способы задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Числа Фибоначчи и возвратные последовательности.




2

49.

Кривые, заданные уравнением в декартовых координатах: парабола, эллипс, гипербола, лемниската Бернулли, конхоида Никомеда, строфоида, лист Декарта и др.




2

50.

Различные аксиоматики евклидовой геометрии и их сравнение.




2

51.

Элементы конструктивной геометрии.




2

52.

Решение основных задач планиметрии.




2

53.

Основные понятия, аксиомы и теоремы стереометрии.




2

54.

Многогранники.




2

55.

Построение сечений в многогранниках.




2

56.

Тела вращения. Олимпиадные задачи по алгебре и началам анализа, по геометрии.




2


^ 4.2. Содержание разделов дисциплины:


АРИФМЕТИКА

Числа. Натуральные числа и их свойства. Сложение, умножение, отношение порядка. Математическая индукция. Различные системы счисления.

Целые числа. Отношение делимости. Признаки делимости на 3, 5, 7, 9, 11. Теорема о делении с остатком. Методы сокращенного умножения, деления и извлечения корней.

Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Существование в натуральном ряду отрезков произвольной длины, не содержащих простых чисел. Решето Эратосфена. Каноническое разложение натурального числа. Основная теорема арифметики.

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК), их свойства. Канонические представления НОК и НОД.

Алгоритм Евклида и его приложения. Неопределенные уравнения первой степени. Необходимое и достаточное условия их разрешимости. Формула всех целочисленных решений Способы решения неопределенных уравнений первой степени. Пифагоровы тройки и треугольные числа.

Целые систематические числа. Арифметические операции над целыми числами в различных системах счисления. Способы перевода из одной системы счисления в другую. Признаки делимости в различных системах счисления.

Систематические дроби. Определение десятичной дроби. Представление рационального числа в виде десятичной дроби. Перевод обыкновенных дробей в десятичные и обратный перевод. Критерий обращения обыкновенной дроби в конечную, чисто периодическую и смешанную периодическую десятичную дробь. Вычисление длин периода и предпериода десятичных дробей.

Олимпиадные задачи по арифметике.

АЛГЕБРА

(алгебра многочленов, алгебра множеств)

Метод математической индукции и его применение к доказательству тождеств, неравенств и теорем.

Действия с многочленами. Основные понятия. Делимость многочленов. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Схема Горнера.

Кратные корни многочленов. Многочлены с целыми коэффициентами. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия.

Элементы теории множеств. Первоначальные понятия и символика. Виды множеств. Мощность множества. Операции над множествами. Алгебра множеств. Применение теории множеств при решении задач. Формула включений и исключений. Декартово произведение множеств. Кортежи. Мощность числовых множеств. Счетность и несчетность множеств.

КОМБИНАТОРИКА

Понятие выборки. Сочетания, размещения, перестановки (без повторений) и формулы для вычисления их числа. Правила сложения и умножения и их применение для решения комбинаторных задач. Метод включения и исключения. Решение задач на составление дерева событий.

Вероятность события. Комбинаторные задачи на вычисление вероятности.

Выборки с повторениями. Сочетания, размещения, перестановки с повторениями и формулы для вычисления их числа.

Олимпиадные задачи по комбинаторике.

АЛГЕБРА

Уравнения. Корни уравнений. Равносильные уравнения. Задачи на составление уравнений.

Алгебраические уравнения. Квадратный трехчлен и его исследование. Трехчленные уравнения, сводимые к квадратным. Понижение степени возвратных уравнений. Другие элементарные приемы решения некоторых уравнений высших степеней. Дробно-рациональные уравнения.

Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения. Способы решения.

Уравнения с параметрами и методы их решения. Уравнения с модулем. Графические приемы решения уравнений.

Тригонометрические уравнения. Способы решения. Решение рациональных тригонометрических уравнений приведением к алгебраическому уравнению. Графические приемы решения тригонометрических уравнений.

Системы уравнений. Равносильность двух систем уравнений. Линейные системы уравнений и их решение. Элементарные методы решения нелинейных систем уравнений. Графические приемы решения систем уравнений.

Неравенства. Множество решений неравенств. Равносильные неравенства. Алгебраические неравенства (линейные, квадратные, высших степеней). Дробно-рациональные неравенства.

Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства. Тригонометрические неравенства. Графические методы решения неравенств. Неравенства с модулем. Неравенства с параметрами. Системы неравенств.

Олимпиадные задачи по алгебре.

^ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

Функции и графики. Способы задания функций. Элементарное исследование функций. Композиция функций. Обратная функция. Преобразования графиков функций.

Степенные и дробно-рациональные функции и их графики.

Показательная функция. Различные способы определения. Свойства показательной функции. Число е.

Логарифмическая функция. Различные способы определения. Свойства логарифмической функции.

Тригонометрические функции. Различные способы определения, свойства тригонометрических функций. Число П. Обратные тригонометрические функции и их свойства.

Классические неравенства. Неравенство Коши. Средние величины. Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратическое. Приложение неравенств к элементарному нахождению экстремумов.

Числовые последовательности и ряды. Различные способы задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Числа Фибоначчи и возвратные последовательности.

Основные теоремы о непрерывных функциях и их приложения к решению задач.

Кривые, заданные уравнением в декартовых координатах: парабола, эллипс, гипербола, лемниската Бернулли, конхоида Никомеда, строфоида, лист Декарта и др.

Олимпиадные задачи по алгебре и началам анализа.

ГЕОМЕТРИЯ

Различные аксиоматики евклидовой геометрии и их сравнение. Роль аксиомы параллельных и аксиомы непрерывности. Абсолютная геометрия.

Элементы конструктивной геометрии. Инструменты конструктивной геометрии. Методика решения задач на построение. Основные методы решения задач на построение.

Решение основных задач планиметрии. Задачи на: треугольники, четырехугольники, многоугольники, окружность. Вписанные и описанные многоугольники. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике.

Основные понятия, аксиомы и теоремы стереометрии. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Параллельность прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых и плоскостей.

Построение сечений в многогранниках. Метод параллельного проектирования. Метод центрального проектирования. Метод следов.

Многогранники. Параллелепипед. Призма. Пирамида. Правильные многогранники. Вычисление поверхностей и объемов многогранников.

Тела вращения. Цилиндр. Конус. Усеченный конус. Шар и его части. Вычисление объемов тел вращения.

Олимпиадные задачи по геометрии.


^ 5. Лабораторный практикум: не предусмотрен


6. Учебно-методическое обеспечение дисциплины:

6.1. Рекомендуемая литература

а) основная литература:

1. Болтянский, В.Г. Лекции и задачи по элементарной математике: учебное пособие для подготовительных отделений вузов / В.Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М.И. Шабунин.-Изд. 2-е.-М.: Наука, 1974. – 575 c.

2. Зайцев, В.В. Элементарная математика: повторительный курс / В. В. Зайцев, В. В. Рыжков, М. И. Сканави; под ред. В. В. Рыжкова. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Наука, 1974. – 591 с.

3. Стойлова, Л.П. Математика: учебное пособие для вузов / Л. П. Стойлова.-3-е изд., стереотип.-М.: Академия, 2005. – 420 с.

б) дополнительная литература:

1. Бронштейн, И.Н. Справочник по математике: для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев.-Изд. 13-е, испр. - М.: Наука, 1986. - 544 с.

2. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике/М. Я. Выгодский.-27-е изд., испр.-М.:Наука,1986.-317 с.:ил. .-1.40

3. Петербургские математические олимпиады. 1961-1993: сборник задач с решениями / Д. В. Фомин, Ф. Л. Бахарев, С. Л. Берлов и др. - Изд. 2-е, доп. - СПб.: Лань, 2007. – 571 с.

4. Элементарная математика, математическое образование, геометрия и информатика: Сборник статей / Н. В. Абрамова, Н. В. Дягилева, Ф. К. Закиров и др. – Нижневартовский государственный педагогический институт. - СПб.: Мифрил. № 7. - 2002. - 96 с.

5. Феликс, Л. Элементарная математика в современном изложении / Л. Феликс; Пер. с фр. В. М. Боцу и др.; Под ред. Б. Л. Лаптева.- М.: Просвещение, 1967. – 487 с.


^ 6.2. Средства обеспечения дисциплины:

рекомендуемая литература и учебно-методические пособия по математике.


7. Материально-техническое обеспечение дисциплины: не предусмотрено


8. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины


^ 8.1. Методические рекомендации преподавателю.

Настоящая программа по дисциплине «Практикум по решению математических задач» составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования с учетом особенностей подготовки бакалавров по направлению «естествознание». Программа по курсу «Практикум по решению математических задач» рассчитана на 144 часов, из которых 144 часа (по 36 часов в I-IV семестрах) отводится на аудиторные занятия.

Изложение всех разделов курса «Практикум по решению математических задач» должно сопровождаться решением большого числа задач, приближенных к школьному курсу математики.

Математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки специалиста. Обусловлено это тем, что математика является не только средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также и элементом общей культуры. Не секрет, что многим студентам необходим курс ликвидации пробелов в знании школьной программы по математике. А от того насколько успешным будет подготовка выпускников в области элементарной математики, во многом зависит успешность их дальнейшей профессиональной деятельности.

Введение вузовского курса по решению математических задач имеет цель дать студенту достаточно полный объем знаний школьного курса математики.


^ 8.2. Методические указания для студентов.

Студентам предлагается использовать рекомендованную литературу для более прочного усвоения учебного материала, изложенного в лекциях, а также для изучения материала, запланированного для самостоятельной работы. Студентам необходимо выполнить индивидуальные задания по основным темам курса, оценки за которые учитываются при выставлении оценок на экзамене. Выполнение заданий, вынесенных на самостоятельную работу, проверяются преподавателем в течение семестра, по ним выставляются оценки, которые учитываются при выставлении оценок на экзаменах.


^ Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы

а) контрольные вопросы:

1. Натуральные числа. Перевод чисел в различные системы счисления.

2. Делимость натуральных чисел. Вывод признаков делимости.

3. Делимость натуральных чисел. Сравнения по модулю. Основные понятия и теоремы.

4. Делимость натуральных чисел. НОД и НОК. Алгоритм Евклида.

5. Расширение понятия числа и числовые множества. Рациональные числа.

6. Различные представления рациональных чисел.

7. Иррациональные числа.

8. Комплексные числа.

9. Диофантовы уравнения.

10. Основные понятия теории многочленов. Понятие равенства многочленов.

11. Делимость многочленов.

12. Теорема Безу и ее следствия.

13. Основная теорема алгебры многочленов.

14. Виды множеств. Операции над множествами.

15. Выборки с повторениями, без повторений.

16. Случайные события. Вероятность.

17. Уравнения. Равносильность уравнений. Виды уравнений.

18. Способы решения трансцендентных уравнений.

19. Системы уравнений.

20. Неравенства.

21. Функция. Виды. Способы заданий. Схема исследования.

22. Числовые последовательности и ряды.

23. Евклидова геометрия.

24. Многоугольники.

25. Площадь и ее свойства.

26. Векторы. Декартовы, цилиндрические и сферические координаты в пространстве.

27. Многогранные углы. Многогранники.

28. Тела вращения.

29. Сферическая геометрия.

30. Задачи на построение и методы их решения.


б) задания для самостоятельной работы:

Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Части 1–3. – М: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950, 1952, 1954.


Примерный перечень контрольных вопросов к зачету:


1. Числа. Натуральные числа и их свойства. Различные системы счисления.

2. Числовые множества. Выполнимость арифметических операций. Различные представления рациональных чисел.

3. Отношение делимости. Признаки делимости. Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК), их свойства. Канонические представления НОК и НОД.

4. Метод математической индукции и его применение к доказательству тождеств, неравенств и теорем.

5. Действия с многочленами. Основные понятия. Делимость многочленов. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Схема Горнера.

6. Основная теорема алгебры многочленов и ее следствия.

7. Элементы теории множеств. Виды множеств. Мощность множества. Операции над множествами. Алгебра множеств.

8. Понятие выборки. Сочетания, размещения, перестановки (без повторений) и формулы для вычисления их числа. Правила сложения и умножения и их применение для решения комбинаторных задач.

9. Выборки с повторениями. Сочетания, размещения, перестановки с повторениями и формулы для вычисления их числа.

10. Вероятность события. Комбинаторные задачи на вычисление вероятности.

11. Уравнения. Корни уравнений. Равносильные уравнения. Задачи на составление уравнений.

12. Алгебраические уравнения.

13. Показательные и логарифмические уравнения. Способы решения.

14. Тригонометрические уравнения. Способы решения.

15. Уравнения с параметрами и методы их решения.

16. Уравнения с модулем.

17. Системы уравнений. Равносильность двух систем уравнений. Графические приемы решения систем уравнений.

18. Неравенства. Множество решений неравенств. Равносильные неравенства.

19. Функции и графики. Способы задания функций. Элементарное исследование функций. Степенные и дробно-рациональные функции и их графики.

20. Показательная функция. Различные способы определения. Свойства показательной функции. Число е.

21. Логарифмическая функция. Различные способы определения. Свойства логарифмической функции.

22. Тригонометрические функции. Различные способы определения, свойства тригонометрических функций. Число . Обратные тригонометрические функции и их свойства.

23. Числовые последовательности и ряды. Различные способы задания. Арифметическая и геометрическая прогрессии.

24. Различные аксиоматики евклидовой геометрии и их сравнение.

25. Понятие многоугольника. Выпуклые, невыпуклые и звездчатые многоугольники.

26. Замечательные точки и линии в треугольнике.

27. Золотое сечение. Золотые прямоугольники и треугольники. Пентаграмма.

28.