Реферат: И философии математики

Ваганян В.О., Михеев В.И., Носырева С.В.


ЗАМЕТКИ


ПО МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ


И ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ


Учебное пособие


Москва

Издательство Российского университета

дружбы народов


2006


ББК Утверждено

В РИС Учёного совета

Российского университета

дружбы народов


Рецензенты:

Профессор, кандидат физико-математических наук Ю.В. Павлюченко (РУДН),

Доцент, кандидат физико-математических наук

В.С. Наниев (МГТУ им. Н.Э. Баумана)


^ Ваганян В.О., Михеев В.И., Носырева С.В.


Заметки по методике преподавания

И философии математики


Для студентов, изучающих курс

«Методика преподавания математики»


© Издательство Российского университета дружбы народов, 2006.


© В.О. Ваганян, В.И. Михеев, С.В. Носырева, 2006.


Глава I. Философское обоснование математики


§ 1. Парадоксы


Прежде, чем рассмотреть основания школьного курса геометрии (с точки зрения её методики преподавания и научной перспективы), попытаемся разобраться в основных доктринах по обоснованию математики. Это уменьшить ошибку при выборе методологии и методики школьного курса математики.

Уточнение основных понятий анализа, создание неевклидовых геометрий, теории групп, теории множеств и других новых теорий, повысили интерес к основаниям математики. Обнаружение многочисленных логических антиномий (113, 118, 119, 169, 287, 342 и др.) стало кульминацией в основаниях математики. Логические парадоксы были известны ещё в Древней Греции. Классический пример древнего логического парадокса – парадокс лжеца (парадокс Эвбулида):

Человек говорит: «я лгу». Если он говорит правду, то он лжет, и наоборот.

Такими парадоксами занимались также в Средневековье, но позже они практически были преданы забвению. На стыке XX и XXI столетии было обнаружено множество парадоксов в самой математике – в теории множеств (в учении Кантора о множествах).

Примеры логических парадоксов «нового поколения».

Парадокс Рассела

Пусть А - множество всех тех и только тех множеств, которые не являются элементами самих себя. Если А не является элементом самого себя, то А является элементом самого себя. Если А является элементом самого себя, то А не является элементом самого себя.

Парадокс Кантора

Множество всех подмножеств множества М имеет кардинальное число, больше кардинального числа множества М. Это приводит к противоречию, если в качестве М взять множество всех множеств.

Парадокс Бурали-Форти

В теории трансфинитных порядковых чисел показано, что: (I) каждое вполне упорядоченное множество имеет (единственное) порядковое число; (II) каждый отрезок множества порядковых чисел (т.е. любое подмножество этого множества, упорядоченное естественным образом, которое вместе с каждым порядковым числом содержит все предшествующие ему) имеет порядковое число, большее, чем все порядковые числа этого отрезка; (III) множество В всех порядковых чисел, расположенных в естественном порядке, вполне упорядочено. Тогда в силу утверждений (I) и (III) В имеет некоторое порядковое число b, а т.к. b содержится в В, то в силу утверждения (II) b
Парадокс Берри

Множество всех целых чисел, которые могут быть названы по-русски посредством числа слогов (или букв) меньшего некоторого числа, конечно: следовательно, должно существовать наименьшее из тех чисел, которые не могут быть так названы. Но «наименьшее целое число, которое не может быть названо по-русски меньше, чем в пятьдесят слогов» есть выражение русского, содержащее менее пятидесяти слогов.

Во всех этих и подобных парадоксах есть самоотнесение понятия, поэтому их называют рефлексивными парадоксами. Поскольку рефлексивные парадоксы являются подлинными - не следствиями чисто логических, субъективистских ошибок, то они представляют собой, вероятно, диалектические противоречия - противоречия формы и содержания. Поэтому возникла насущная необходимость в строгом обосновании математики, включающем, в частности, проблему нахождения новой формы, соответствующей содержанию парадоксов. Проблемами обоснования математики особенно интенсивно занялись «от Лобачевского до Гёделя». В философии математики по проблеме её обоснования образовались три главные направления - логицизм, интуиционизм, формализм, у истоков которых стояли соответственно Рассел, Брауэр, Гильберт (61-63, 284-286, 323-326, 342 и др.).


§ 2. Логицизм


Можно ли для любой математической теории построить её модель в логике? Иначе говоря, можно ли выразить всю математику через логику? При положительном ответе на этот вопрос, любую математическую теорию можно было бы изложить на языке логики, переименовав математические названия на логические. Логицисты верили в возможность сведения математики к логике. Эта идея исходит от Лейбница, считавшего логику основой всех наук. В дальнейшем логистический тезис был развит Р. Дедекиндом, Г. Фреге, Д. Пеано, Б. Расселом, А. Уайтхедом и др. Форму определившейся доктрины логицизм приобрёл в фундаментальном труде Б. Рассела и А. Уайтхеда Principa Mathematica (342), в котором была разработана логическая символика, выражающая взаимосвязи в чистой математике.

Обнаружение Расселом парадокса (если R - множество всех тех и только тех множеств, которые не являются элементами самих себя, то вопрос, «является ли R элементом самого себя?» приводит к парадоксу: если R является элементом самого себя, то, по условию, R не является элементом множества R, а если R не является элементом самого себя, то, по условию, R является элементом множества R) в книге Фреге «Основные законы математики», где математика обосновывается логически, был первым ударом по логицизму. Фреге отошёл от логицизма, а Рассел и Уайтхед связали свои надежды с построенной ими теорией типов. Посредством этой теории исключались непредикативные определения: если определение элемента а зависит от множества А и а принадлежит А, то определение а (или А) называется непредикативным (в противном случае - предикативным). Во всех известных парадоксах используются непредикативные определения. Поэтому естественно было источником парадоксов считать непредикативные определения. Этой точки зрения придерживались многие учёные, в частности, А. Пуанкаре (216).

Теория типов делит объекты на типы: исходным типам приписывается тип 0, их свойствам - тип 1, свойствам свойств - тип 2,… Каждому классу приписывается тип свойства, присущего всем элементам этого класса и только им. Ненулевые типы делятся на порядки. В определении свойства порядка n (n≥1) использованы только свойства порядка n-1; в определении свойства порядка 0 не использованы другие свойства. Такое разделение на порядки делает невозможными непредикативные определения, которые встречаются не только в логических парадоксах. Они употребляются, например, в определении Дедекиндом действительных чисел. Из этого тупика теорию типов должна была вывести аксиома сводимости Рассела: «для каждого свойства, принадлежащего ненулевому порядку, имеется равнообъёмное (имеющее место в точности для тех же объектов) свойство порядка 0». Согласно этой аксиоме, для каждого существующего непредикативного определения данного типа существует равносильное ему предикативное определение. Логицизм вводит аксиому бесконечности: существует отношение, задающее на множестве порядок без последнего элемента. Требование существования бесконечного множества {1,2,3,…} отвергается в интуиционизме и формализме; они отдают приоритет натуральным числам перед кардинальными числами. Аксиомы сводимости и бесконечности подверглись обоснованной критике, причём аксиома сводимости не удовлетворяла даже её авторов. Г. Вейль писал, что в системе Principa Mathematica математика основана уже не на логике, а на своего рода логическом рае (47). Отметим, что дедукция математики в Principa Mathematica осуществлена на аксиоматической основе из логики. Некоторые аксиомы, как отметили выше, выражали свойства математической природы. Этот порочный круг делал несостоятельными философские воззрения логицистов. К. Гёдель показал, что даже арифметика натуральных чисел не может быть моделью ни одной формализованной системы логики (98, 113, 118, 119, 169, 181, 248, 264 и др.). В концепцию логицизма не укладывается факт существования интерпретаций неклассических систем логики. Эти и другие недостатки (согласно интуиционизму математический элемент имеется в использованном логицистами понятии «итерация») ослабили развитие логистических идей. Преподаватели математики на своём опыте знают, что человек с хорошей логикой может и не понимать математику: в математике, кроме логического мышления, требуется абстрактное мышление. Это различие уже говорит о нетождественности математики и логики. Заметим также, что математические абстракции и вовсе не являются логическими процедурами. Наоборот, они алогичны, а без них нет математики. Как говорил Дьедоне, «Логика не в большей степени математика, чем ядерные ускорители – ядерная физика» (95, с. 21). Логицизм не стал истинной философией математики, но стал методом в исследованиях по основаниям математики.


§ 3. Интуиционизм


Интуиционизм - направление в математике и её философии. Математика, согласно интуиционизму, наука об умственных построениях; критерием истинности построения должна быть его интуитивная убедительность. Интуиционисты дают следующую характеристику изначальной интуиции: 1) мыслительная работа мозга человека не зависит от языка; язык является лишь средством передачи информации, он воспроизводит мысли неточно; 2) интуицию невозможно моделировать; 3) построение верно, если его отдельные шаги непосредственно очевидны; 4) доказательствами считаются только построения; доказательство не предопределяется исходными правилами; 5) интуиция объективна.

Совместная приемлемость этих пяти характеристик вызывает сомнения. Объективность интуиционистской математики базируется на пятой характеристике изначальной интуиции - на объективности интуиции, что, очевидно, не выдерживает критики.

В основе интуиционизма лежит критика завершённой бесконечности и критика категории существования в математике; согласно интуиционизму объект в математике существует только тогда, когда его можно построить. С интуиционистских позиций классическая математика подвергалась критике и до Брауэра. Например, К. Гаусс в 1831 г. писал: «я возражаю против употребления бесконечной величины как чего-либо завершённого, что никогда не позволительно в математике» (295, с. 216). Дж. Локк интуицию считал высшей ступенью достоверности (150, т.1, с. 662). Того же мнения был и Р.Декарт (91, с. 86). По Шопенгауэру, суть вещей постигается интуицией, а наука лишь выражает отношения между ними. Но, видимо, суть вещей не безразлична к таким отношениям: они отражают если не суть отдельной вещи, то наверняка суть класса вещей. Наука никогда не обходилась без интуиции. Ее стало “еще больше” в интуиционистской математике, по крайней мере, в ее первоначальных вариантах. Примечательно брауэровское положение о неотделимости первичной интуиции от времени (286). Это говорит о наличии в интуиционизме глубоких генетических предпосылок введения времени в математику. В соответствии с интуиционистской точкой зрения на математику была построена интуиционистская логика, которая исходит из положения, что высказывание истинно только тогда, когда его возможно доказать с помощью построения. Например, высказывание АVĀ, согласно интуиционизму, не всегда истинно: если высказывание А не доказано и не опровергнуто, то оно не считается истинным, т.е. закон исключённого третьего (для бесконечных множеств) интуиционизм отвергает. Советская математическая школа развила конструктивную направленность интуиционизма, сформулировала конструктивную логику, довела интуиционистское понятие эффективности (построения) до точного понятия алгоритма, создала конструктивное направление в математике (156, 157, 246 и др.).


§ 4. Формализм


Формализм в философии математики возник в начале XX века (Д. Гильберт, В. Аккерман, П. Бернайс, Дж. Нейман и др.). Сущность математики, согласно первоначальному гильбертовскому формализму - в формальном методе, в его возможности выразить всю математику. Д. Гильберт преувеличивал роль формального метода в математике. Негативные последствия такой философии возникли впоследствии, на чисто математическом уровне, в виде ограничивающих формализм теорем (Гёделя, Тарского, Чёрча). Конкретный аспект формализма имеет огромное математическое и гносеологическое значение. В связи с осознанием правомерности неевклидовых геометрий, в развитии аксиоматического метода был совершён качественный скачок: аксиоматический метод вступил в высшую стадию развития. Открытие Лобачевского породило евклидовые интерпретаций новой геометрии, чем была осознана возможность приписывания одним и тем же формам (в частности, понятиям в аксиомах) разного рода содержания: это привело к полному отвлечению формы от содержания - к формализму. Было бы неправильно считать такое отвлечение отрывом формы от всякого содержания: содержание в формальной теории (с невырождёнными системами аксиом) присутствует в её содержательных интерпретациях; формальная теория имеет также присущее только ей, определяемое ею, собственное, внутреннее содержание. Такое содержание порождено исключительно данной формальной системой, оно является содержанием формы, её специфической особенностью.

Рефлексивные парадоксы поставили под вопрос принципы аристотелевской логики. Возможность построения неаристотелевских логик, что было осуществлено в дальнейшем, привело к пониманию необходимости точного описания логических средств. Вследствие качественного скачка в развитии аксиоматического метода и логики претерпел качественный скачок и формальный метод в математике. Формализм - результат этого скачка. Образно говоря, формальный метод из тактического средства стал стратегическим средством математики.

Знаки любой формальной математической теории делятся на: 1) буквы, 1) логические знаки 1) специальные знаки. Вводятся правила образования, которые из букв с помощью логических и специальных знаков образуют знакосочетания. Задаются правила вывода. Некоторые знакосочетания объявляются аксиомами теории. Правила вывода из аксиом выводят новые знакосочетания - теоремы. Знакосочетания делятся на термы (интуитивно: функций) и теоремы. Термы и теоремы, как и все знаки и правила формальной теории рассматриваются в некоторой другой теории - в метатеории. В простейшем случае в качестве метатеории выступает естественный язык (содержательная математика), на котором излагается формальная теория. Метатеория также может быть формальной. В таких случаях для описания формальной метатеории требуется содержательная метаметатеория. В содержательной метатеории Гильберт ограничивался конечными величинами и процессами: допускались только финитные способы рассуждения, а бесконечность могла быть только потенциальной. В самой же формальной теории на характер бесконечности ограничения не делались; актуальная бесконечность здесь выступала как идеальный объект, прием, облегчающий изложение (согласно Гильберту реальный смысл могут иметь только конечные множества). Доказательство существования понималось в смысле возможности построения объекта, существование которого доказывается, т.е. в метаматематике Гильберт, фактически, признавал интуиционистские требования. В дальнейшем в метаматематике стали применять хоть и менее достоверные, но более богатые нефинитные методы (218).

Знаменитая теорема Гёделя о неполноте (если формальная арифметика непротиворечива, то она неполна) многими была воспринята как крах формализма, по крайней мере, в его первоначальной версии. Но правильный вывод был иной: эта теорема не обесценила формализм, а установила его границы. Поэтому формализм следует рассматривать не как локальное, межпредметное явление, подобно логицизму, а как историческая необходимость - закономерный итог многовековой эволюции математики. «…мы оказываемся вынужденными исследовать непротиворечивость теоретических систем в отрыве от рассмотрения фактических обстоятельств и уже тем самым мы становимся на точку зрения формальной аксиоматики», - писал Д. Гильберт (62, с. 25). Однако первостепенное значение формального метода в математике не делает формализм единственным выразителем математики. «Ни одно из направлений теперь не претендует на право представлять единственно верную математику. Философское значение исследований по основаниям математики состоит, по крайней мере, частично, в реализации формальных, интуитивистских, логических и платонических элементов в структуре классической математики и в точном определении областей действия и ограничений этих элементов», - к такому выводу пришёл А. Гейтинг (299, с. 223; также 55-57). В этом выводе, безусловно, есть рациональное зерно, но невозможно принять его как окончательную истину, не говоря уже о том, что упомянутые элементы часто пересекаются. Например, знаки логических операций являются формальными и логическими элементами одновременно, и, вместе с тем, имеют интуитивную основу и, с позиций платонизма, имеют платонические корни. Поэтому слова Гейтинга о «точном определении областей действия и ограничений этих элементов» - всего лишь художественный образ, полностью нереализуемый на практике.

Математика первых трёх исторических периодов своего развития изучала «пространственные формы и количественные отношения реального мира», т.е. приковывалась к конкретным геометрическим и арифметическим интерпретациям. Поэтому эти интерпретации представлялись всей математикой. Но Четвёртый период - период математики переменных отношений – «раскрепостил» математику, ознаменовал качественный скачок от содержательных представлений к формалистическим, от понимания аксиоматических систем как категоричных к признанию также некатегоричных.

Формализм, как и принятый им способ дедукции - аксиоматический метод, подлежит и подвергается изменению, развитию, усовершенствованию… Во второй половине XX века стало ясно, что именно формализм, а не логицизм и даже не интуиционизм, определяет, хоть и не лучшим образом, стратегическое направление развития методологии современной математики (математики XIX-XX веков, но не математики вообще!). Нет теперь ни особой нужды, ни пользы выставлять интуиционистские требования в философской подоплёке. Просто можно сказать, что при таких-то требованиях можно построить другую математику, отличную от классической математики. Философский подтекст этих требований не исчезнет, а несколько локализуется и станет более отчётливой. Основываясь на признании формализма, как историко-методологической необходимости в процессе эволюции математики, естественно полагать, что формализм - неизбежный итог развития любой формы содержательной математик, в частности, интуиционизма (итог - но не отрицание, а коррекция). Однако следует остерегаться: это - не финал, а итог, хоть и эпохальный, но промежуточный. Отметим, что объективный ход развития математических теорий заставил интуиционистов формализовать интуиционистскую математику. (См., например, 162, 163, 215, 241, 275-282, 288, 290, 294, 303, 310, 321, 322, 328, 329, 331-334, 340, 341). Думаем, что основная математика пока ещё впереди.

Мы не будем рассматривать теоретико-множественный подход как отдельную философскую концепцию по основаниям математики: он смыкается с формалистическим В обоих случаях упор делается на аксиоматический метод. Для формализма теория множеств - скорее удобный метод, чем общая методология и философский «трамплин» математики (19, 45, 141, 251, 256 и др.).

Теорема Монтегю о невозможности конечной аксиоматизируемости теории множеств (316) говорит об обреченности поиска доказательства непротиворечивости аксиоматической теории множеств в пределах строгих финитных методов. Бесконечную аксиоматизируемость можно представлять как последовательное (во времени) введение все новых аксиом: a1(t1), a2(t2), a3(t3),…, т.е. теорема Монтегю косвенно указывает на возможность (может быть и необходимость) наделения аксиом (следовательно, и теорем) параметром времени. Это говорит о том, что в формализме имеются фундаментальные предпосылки введения времени в математику.

Методическую несостоятельность теоретико-множественного подхода в школьном курсе математики показала практика. Но метод, прежде чем быть состоятельным методически, должен быть состоятельным чисто научно. Теоретико-множественный подход, по крайней мере, в том виде, в каком его можно использовать в общеобразовательном курсе математики, не состоятелен чисто научно. Он был несостоятельным во время реформ первого цикла (70-хгодов XX века) и задолго до них. Среди основных причин несостоятельности, прежде всего, следует отметить следующие: в школьном курсе математики теоретико-множественный подход может основываться на содержательной теории множеств Кантора (точнее - на учении Кантора о множествах), а не на формальной теории множеств Бурбаки. Но наивная теория множеств чревата парадоксами. А превращение противоречивой теории в методологическую базу и арсенал (школьного) курса математики - упущение уже математическое. Отсутствие доказательства непротиворечивости теории множеств на более высоком научном уровне локализовала эту теорию в математической науке. А первый цикл реформ глобализовал методологию теории множеств. И эта аномалия называлась… приведением школьного курса математики в соответствие с научно-техническим прогрессом. Теоретико-множественная методология не открывала для школьного курса математики научной перспективы, а наоборот, лишала её такой перспективы. В истории математики были попытки выражать всю математику через её определённую отрасль - через геометрию, алгебру, теорию множеств и даже через другую науку - логику. Эти попытки в целом не увенчались успехом. Они изначально были обречены: никакая конкретная теория не сможет одна выразить всю науку. Романтическая-утопическая мечта о теоретико-множественной основе и методологии всей математики была несбыточной. И это было известно задолго до широкомасштабной перестройки школьного математического образования на ошибочной идее. Речь идёт не о методической ошибке, от которой можно отмахнуться, ссылаясь на результаты «успешного» эксперимента, - речь о чисто математической ошибке. Вопрос скорее не в отсутствии доказательства непротиворечивости аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля или другой, а больше в наличии доказательства противоречивости «наивной» теории множеств; в школе выше «наивной» теории множеств не «перепрыгнуть». Наличие доказательства непротиворечивости теории множеств ничего не дало бы школьной математике и не сделало бы теоретико-множественную методологию общей и окончательной для всей математики. Из него не следовало бы доказательства непротиворечивости «наивной» теории множеств, т.е. школьная математика всё равно осталась бы с парадоксами. Учение Кантора о множествах даже с парадоксами красиво и гениально. Её общность создавала иллюзию об её всеобщности, но математику невозможно держать в каких-то рамках, даже самых величественных. Если бы с теорией множеств было бы всё благополучно, и её методология была бы последним словом и истиной в последней инстанции в математике, то всё равно от этого не следовало бы, что её явление разумно в общеобразовательной школе. Из этого лишь следовало бы, что в школьном курсе математики, в каких-то разумных пределах, уместны и, вероятно, полезны некоторые прообразы теоретико-множественной методологии. Но первый цикл реформ предлагал не прообразы, а образы. Тем более на изначально ложной математической посылке. Такое видение методики и перспективы математики, в основном, и провалил первый цикл реформ.

В математике, обычно, выделяют четыре её начала - формальное, логическое, интуитивное и платоническое. Мы не будем привлекать платонизм, поскольку для школьного курса математики, да и для математики в целом, на современном этапе развития человеческого общества и науки, это никакого практического значения не имеет. Выделение платонических элементов в математике представляет пока что лишь философский интерес. Можно предположить, что со временем этот интерес перейдёт в сферу самой математики, что, вероятно, откроет громадные пласты ещё не изведанных возможностей математики, как чисто математической, так и философской и педагогической природы. Но это - проблемы не сегодняшнего дня. Абстрактность, общность, строгость, т.е. основные научные характеристики теории, по крайней мере, на современном этапе развития науки, своё лучшее проявление получают в формализме. Поэтому формальная научная теория - идеал строгости для содержательной теории. Это означает не необходимость усиления формализма в школьной математике (и вообще), а только то, что, сохраняя свои общеобразовательные функций, школьный курс математики может иметь также формалистические ориентиры. Всё же формирующее ядро математической теории - формальный метод. И он должен выдержать свой статус, как таковой, в частности, в школьном курсе геометрии, которая на школьном уровне традиционно ближе расположена к аксиоматическому методу. Эта близость глубоко оправдана и мотивирована уникальными воспитательными и научно-мировоззренческими функциями геометрии. В школьной геометрии на содержательном уровне, в небольших и разумных пределах (чаще всего в неявном виде) полезны понятия, операции, механизмы, переходящие при формализации геометрии в фрагменты формальной теории (чем этот переход проще, тем учебник в плане современной методологии математики перспективнее), т.е., в этих фрагментах, необходимо учитывать, соблюдая педагогические и методические цели и такт, объективную тенденцию развития математической строгости и общности к формализму. В общеобразовательном курсе математики эта тенденция, безусловно, не является определяющей. Она подчиняется дидактическим требованиям.

Логический компонент прослеживается в каждой развивающейся клетке математики. Логика не причина, а условие развития. Она активно функционирует в математике (особенно - в геометрии) и в любой другой деятельности, часто - неявно; так она эффективнее. Отметим четыре формы явного проявления логики в задачах: 1) логические задачи без логической символики; 2) математические задачи с логической символикой; 3) логические задачи с логической символикой; 4) логические парадоксы (64, 104, 143, 195, 237-239 и др.).

В общеобразовательной школе проявление 3) явно не уместно. Это – задачи, собственно, логики. У нас нет специального предмета «логика» и её необходимость и полезность в общеобразовательной школе - задача весьма спорная. Думаем, что явное проявление логики символами, как в курсе школьной математики, так и в качестве отдельного предмета - малополезное для школы дело. Логическая символика в школьном курсе математики больше мешает, чем помогает. Видимо следует согласиться с Гегелем в том, что знание законов логики помогает логическому мышлению так, как знание законов биологии - пищеварению. Задачи в форме 2) небесполезны, но ими не следует увлекаться: это всё же не задачи для общеобразовательной школы. Второй цикл реформ (80-х годов ХХ века) успешно решил проблему проявления логики в школьной математике в форме 2). Излишняя логическая и теоретико-множественная символика первого цикла реформ мешала пониманию основного математического содержания. Второй цикл реформ убрал эту инородную массу. В школе очень интересны и полезны задачи в форме 1), если их разумно подобрать и дозировать. Задачи 4) полезно использовать на кружковых занятиях. Рефлексивные парадоксы здесь представляются в популярной форме. Например:

^ Парадокс парикмахера

Деревенский парикмахер бреет тех и только тех мужчин деревни, которые сами себя не бреют. Бреет ли парикмахер сам себя? Если бреет, то по условию не должен брить, и наоборот.

^ Парадокс «людоеда».

Путешественник попадает к людоедам. Они предлагают ему сказать высказывание. Если оно будет истинным, то его зажарят, а если ложным - сварят. Что должен сказать путешественник, чтобы спастись?

^ Дилемма крокодила

Крокодил украл ребёнка. Он обещал отцу вернуть ребёнка, если тот угадает желание крокодила, хочет ли он вернуть ребёнка? Допустим, крокодил не хочет вернуть ребёнка, и отец правильно угадал его желание. Что должен сделать крокодил?

^ Парадокс общего правила

Нет правил без исключения.

Парадокс объявления

Объявление на остановке автобуса: «Здесь объявления расклеивать строго запрещается». И т.п.

Мало сказать, как учеников увлекают такие парадоксы. Они не только правильно разбираются в них, но и сами придумывают по аналогии. Пример из детского творчества:

^ Парадокс врача

Врач лечит тех и только тех больных, которые не занимаются самолечением. Лечит ли врач сам себя? Если лечит, то по условию не должен лечить, и наоборот.

Интуитивистский компонент математики по своему духу наиболее ближе стоит к мировосприятию ребёнка. Речь, разумеется, идёт о здоровом интуитивном восприятии мира и математики, о её содержательной стороне, а не об интуиционистских критериях и выкладках. Ребёнок приходит к математике не с представлениями о формальном методе, а со своей детской интуицией. На этой интуитивной почве мы даём ему математическое образование. Поэтому предлагаемая ученику математика изначально интуитивная (в широком и лучшем смысле этого слова, т.е. в смысле приоритета интуиции в математике). Мы его учим не интуиционистской, а классической математике (модернизация последней, в целом, идёт не по программе интуиционистов). У детей великолепная интуиция и на школьном уровне следует делать опору на детскую интуицию. Без такой интуитивной опоры формальный дом математики будет построен на песке.

Важной и специфичной чертой математики является абстракция. Мы её не будем отдельно рассматривать: абстрактный элемент в математике нами уже рассмотрен в формализме. На современном этапе развития математики абстракция наивысшего своего выражения достигает в формальных системах.

В математике можно отметить и другие чрезвычайно важные, но традиционно упускаемые из виду элементы - лингвистическую и реалистическую составляющие.

Лингвистическая составляющая - язык, на котором излагается математика. В содержательной интуиционистской математике эта составляющая - органическая часть самой математики. Представления ребёнка о мире в начале (и в дальнейшем - в основном) пересекаются с математикой по этой составляющей. В формальной математике эта составляющая - содержательная метатеория. О роли языка в математике не будем говорить. Тем не менее, досадно видеть сугробы лингвистических издержек в математических текстах, которые невольно дают методические и даже педагогические минусы. Лаконичный, живой, образный язык в педагогике математики - немалый «козырь». Он раскрывает интуитивный, научно-художественный потенциал ребёнка, поворачивает его лицом к математике, к жизни.

Изначально реалистическая составляющая в математику проникает через её основания, чем-то напоминающими реальный мир, а в дальнейшем - через приложения математики. Как практические истоки, так и практические применения математики находятся вне её теоретических пределов, поэтому в самой математике реальность явно не присутствует. А её неявное присутствие сомнительно; у философов нет однозначного ответа на этот вопрос. А реальный мир для математики чрезвычайно важен, и наоборот. Но в математике, как науке, не говоря уже о математике, как о школьном предмете, реальность не присутствует так, как в ней присутствуют другие её компоненты.

§ 5. Математический реализм


Мудрее всего время,

потому, что оно все открывает.

Фалес


Математический реализм — концепция по основаниям математики. Ее центральная идея — рассмотрение математики во времени, в соответствии с изменениями ее объектов. Он базируется на некоторой («статической») концепции по основаниям математики и продолжает ее «во времени», в динамическом направлении. В качестве исходной концепции выбирается та, которая по тем или иным причинам более целесообразна и обеспечивает достаточную строгость. Математика (не только классическая) не исчерпывается формальными, интуитивистскими, логическими и платоническими элементами (и не сводится к одному из них как к основному). В ее структуре содержатся (или могут содержаться), например, реалистические (материалистические) элементы. Составляющую математику элементы в каких-то особых случаях могут переходить друг в друга или в одно и то же время проявлять себя по-разному. Как распознавать, скажем, платонические элементы? Они не находятся на одной плоскости с другими элементами; это — разнородные, но наиболее коренные элементы.

Р. Мизес: Ни одно из трех направлений в основаниях математики - интуиционизм, формализм, и логицизм - не в состоянии полностью осмыслить отношения между тавтологическими системами и (внематематическими) опытными проверками, что является их истинным намерением, то есть эти отношения сделать частью самой математики (170, с. 43). Это, в сущности, признание необходимости наличия и функционирования реалистических элементов в структуре математики, то, к чему стремится математический реализм. Многие воспринимают математику как синтез логических, интуитивных и формальных идей. Реалистические идеи, как правило, не упоминаются. Основная цель математического реализма — более глубокое, чем доступно классической, логистической, интуиционистской, конструктивистской, формальной и иным («статическим») математикам познание связей математики с действительностью, математизация этих связей, их всестороннее развитие, применение в и вне математики. Математический реализм основывает не только и не исключительно на применимости математической теории, но и на адекватности математической структуры физической реальности. Математический реализм допускает также (как нулевое приближение к действительности) существование математических теорий, не соблюдающих второе условие указанной согласованности. Существование разных математик — неоспоримая реальность (317, с. 82). Математический реализм наряду с логическими, интуитивными, формальными и другими составляющими математики “вводит в оборот” также реалистическое составляющее, не менее важное, но почти полностью игнорированное. Реальность учитывается в фундаментальных понятиях. Обычно учет реальности начинается не в основаниях, хотя кое-какие аксиомы выглядят достаточно адекватными свойствам физической реальности, а позже, что является не затрагивающим сущность косметическим видоизменением. Это лишает реальный учет реальности, великую проблему низводит до уровня, где ее либо не видно, либо видно искажённо. “Логика, я должен сказать, должна позволять существовать единорогу не больше, чем зоология, логика имеет дело с действительностью, как зоология, хотя более абстрактна и отражает ее самые общие черты…. Сильное чувство реальности необходимо при построении правильного анализа предложений о единорогах и золотых горах, круглых квадратах и других псевдообъектах. Подчиняясь чувству реальности, мы настаиваем на том, что в анализе предложений не может быть допущено ничего нереального”, — заявляет Рассел (326, с. 16; также 319, с. 27; 338, с. 183-188, также 320, 323). Рассел чувствовГлава II. Методическое обоснование математики


§ 1. Периоды исторического развития математики


Историческое развитие математики академик Андрей Николаевич Колмогоров делит на четыре периода (14, 15). Первый период - Зарождение математики (до VI-V вв. д.н.э.) - период накопления математических фактов, полученных в основном опытным путём. Второй период - период Математики постоянных величин (до XVI-XVII вв.); в этот период понятия математики начинают систематизироваться, обобщаться. Созданием буквенного алгебраического исчисления второй период завершается. Тр