Реферат: Учебное пособие 9-11 классы Министерство образования и науки Российской Федерации

Мельникова Ю. Б. Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся Учебное пособие


9-11 классы





Министерство образования и науки Российской Федерации
Муниципальное образовательное учреждение «Лицей №13» г. Троицк


Мельникова Ю.Б.


Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся


Троицк 2009


Мельникова Ю. Б. Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся: Учебное пособие для учащихся. – Троицк, УГАВМ, 2009. - 129 с.


Данное пособие поможет реализовать программу курса «. Статистическая обработка результатов учебно-исследовательской деятельности учащихся». Пособие рассчитано на учащихся 9-11 профильных классов школ, лицеев и школ с углубленным изучением математики. Оно будет полезно для учителей математики, занимающихся ее прикладными вопросами.


Рецензенты:

С. А. Старченко, профессор, доктор педагогических наук, директор МОУ «Лицей № 13».

Р. Х. Галеева, учитель математики МОУ «Лицей № 13», учитель высшей категории.


© Мельникова Ю.Б.


Оглавление:
Введение…………………………………………..…………….…..5 ТЕМА 1. Комбинаторика……………………………..……………………….5
Общие правила комбинаторики………………….……….……6

Типы соединений…………………….…………………….……8

Перестановки. Число перестановок………………….……...…8

Размещения. Упорядоченные множества…………………..…10

Сочетания и некоторые свойства сочетаний……….….……..13

Задачи по комбинаторике………………….………..….….…..15
ТЕМА 2. Элементы теории вероятностей………………..………16
2.1 Случайные события………………….………………….……..16

2.2 Операции над событиями……………………………..…….…22

2.3 Классическая формула вероятности…………..……….……...25

2.4 Теоремы сложения и умножения вероятностей……………...28

2.5 Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей….32

2.6 Формула полной вероятности. Формула Байеса………….….37

2.7 Повторение испытаний. Формула Бернулли………..….…….39

2.8 Асимптотические формулы…………….……………….…….42

2.9 Случайные величины…………………….…………………….43

2.10 Ряд распределения случайной величины……………...……46

2.11 Функция распределения вероятностей…………..……..……49

2.12 Математическое ожидание и дисперсия…………….…..…..50

2.13 Задачи………………….………………………….………..….53

2.14 Виды распределений…………..…………………………..….54

2.15 Распределения, связанные с нормальным распределением..58

2.16 Задачи по теории вероятностей……………..…………….…61
ТЕМА 3. Элементы математической статистики……………..….63
3.1 Генеральная совокупность и выборка………..……..……..….63

3.2 Вариационные ряды…………………….………….………..…69

3.3 Полигон и гистограмма………………………..………..……...72

3.4 Статистические характеристики вариационных рядов………74

3.5 Среднее арифметическое и его свойства………….……….…75

3.6 Выборочная дисперсия и ее свойства…………..……………76

3.7 Задачи……………….………………………………………..…78

3.8 Статистическое оценивание числовых характеристик

случайной величины и закона распределения……………....…..78

3.9 Проверка статистических гипотез………………..………..….79

3.10 Проверка гипотез о законе распределения……..…….…..…83

3.11 Задачи……………..………………………………………..….86

ТЕМА 4. Методы статистической обработки результатов

проведения естественнонаучного эксперимента…………..….…87

4.1 Общая характеристика методов и первичная

статистическая обработка………..………………………………..87

4.2 Коэффициент ранговой корреляции…………………….....…99

4.3 Вторичная статистическая обработка…………………….....101

4.4 Способы табличного и графического представления

результатов эксперимента……………………………………….110

4.5 Примеры статистической обработки исследований……..…111

4.6 Что такое метрология…………………………………..……..114

Литература…………………………..………………………….....129


«Человек рождается без умения мыслить, лишь с задатками к нему. Мыслить он научается постепенно, в процессе жизненной практики… О человеке, у которого хорошо развито логическое мышление, говорят, что он основательно мыслит, дисциплинированно рассуждает. Такой человек, как правило, не допускает ошибок в своих рассуждениях и выводах. Хорошо развитое логическое мышление предостерегает человека от промахов и ошибок в практической деятельности.»

^ Л.М. Фридман.


ВВЕДЕНИЕ

Овладение любой профессией требует определенных математических знаний. Будь то инженер или адвокат, строитель или экономист. Необходимый набор математических знаний является важным компонентом общей культуры человека. И приступая к практической, профессиональной деятельности человек понимает, что без прочной математической подготовки ему не обойтись.

Математика прочно занимает одно из первых мест в науке, жизни общества, исследовательской деятельности. В последнее время становится очевидной необходимость введения в школьный курс математики таких разделов как «Комбинаторика», «Элементы теории вероятностей» не только в классах с углубленным изучением математики, но и в общеобразовательных классах и даже в профильных гуманитарных классах. Это связано с тем, что перечисленные разделы математики не только помогают изучению всех школьных дисциплин, но и облегчают адаптацию к общественной жизни.

Данный курс призван помочь учащимся заполнить пробелы в знании закономерностей случайных событий, познакомить с общими законами логики, организовать их исследовательскую деятельность, опираясь на математические законы.


^ Тема 1. КОМБИНАТОРИКА.

При изучении любого предмета мы сталкиваемся с тем, что всякий раз погружаемся в новый, незнакомый нам доселе язык. При изучении математики это заметно более отчетливо: кроме естественного, русского языка, мы знакомимся с новым для нас математическим языком. Значение новой терминологии для нас связано, прежде всего, с обеспечением краткого и точного изложения материала. Но математика многоязычна: язык арифметики, язык геометрии, язык теории пределов. В этом разделе мы познакомимся с языком комбинаторики.

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчи­ненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.


^ 1.1 Общие правила комбинаторики

Правило суммы

Если некоторый объект А можно выбрать т способами, а объект В - k: способами (не такими, как А), то объект либо А, либо В можно выбрать т+k способами.

Пример. В ящике имеется m разноцветных шариков. Произ­вольным образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать? Конечно, т способами.

Теперь эти n шариков распределены но двум ящикам: в первом т шариков, во втором k. Произвольно из какого-нибудь ящика вы­нимаем один шарик. Сколькими разными способами это можно сделать? Из первого ящика шарик можно вытянуть т различными способами, из второго k: различными способами, всего п=т+k способами.

Правило произведения

Если объект А можно выбрать т способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора А) k способами, то пары объектов А и В можно выбрать т+k способами.

Задача. Сколько можно записать двузначных чисел в десятич­ной системе счисления?

Поскольку число двузначное, то число десятков (т) может при­нимать одно из девяти значений: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Число единиц (k) может принимать те же значения и может, кроме того быть рав­ным нулю. Отсюда следует, что т=9, а k=10. Всего получим дву­значных чисел n=m*k =9*10=90.

Следствие. Правило произведения справедливо и для любого конечного числа объектов.

Если некоторый объект Аi(i=1, 2, ..., п) можно выбрать Кi(i=1,2, ..., п) способами (причем, каждый следующий объект выбирается независимо от выбора предыдущего объекта), то объекты А1,А2,…,Аn можно выбрать k =k1*k2*…knспо­собами.

Например, сколькими способами можно составить трехзнач­ное число, делящееся на 5? Число имеет три позиции, каждую из которых мы назовем событием:

— событие A1, — число сотен, их можно выбрать k1= 9 (все цифры, кроме 0) способами;

— событие A2— число десятков, их можно выбрать k2=10 (все цифры , включая 0) способами;

— событие А3 — число единиц, которым удовлетворяет толь­ко две цифры: 0 и 5. следовательно, k3 = 2.

Таким образом, всего получаем n = k1*k2*k3 =9*10*2=180 чисел.

^ 1.2 Типы соединений

Одним из важнейших понятий современной математики явля­ется понятие множества. Говорят о множестве учащихся в классе, о множестве букв алфавита, о множестве изделий в упаковке и т.д.

Понятие множества относится к первоначальным, простейшим, понятиям и формально через другие более простые понятия не определяется. Оно воспринимается конкретно, посредством зна­комства с различными примерами множеств. Множество характеризуется объединением некоторых однородных объектов в одно целое. Объекты, образующие множество, называются элементами множества.

Множество будем записывать, располагая его элементами в фигурных скобках: {а, Ь, с,..., е,f}. Во множестве порядок элементов роли не играет, так {а,b)={b, а}.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом Ø. Множества эле­ментов называют соединениями. Различают три типа соединений: перестановки из п элементов; размещения из n элементов по m, сочетания из п элементов по m (т<п). Рассмотрим эти типы соеди­нений.


^ 1.3 Перестановки. Число перестановок

На практике часто возникают задачи, связанные с установлением порядка во множестве. Например, число мест равно количеству людей, на которых мы должны разместить их. Такая си­туация встречается часто — рассадить n человек на n мест, или приписать каждому человеку номер. Первый человек может выбрать любое из n мест, второй человек выбирает из (n -1)оставшихся ест, третий человек может выбрать из уже (n -2) мест, предпоследний человек выбирает из 2 мест, а после­дний получает последнее место. Мы получаем произведение всех целых чисел от n до 1. .

В общем виде произведение всех целых чисел от 1до n включи­тельно обозначают

n!=1*2*3...(n -2)*(п-1)*n;

Определение. Установленный в конечном множестве порядок называют перестановкой его элементов.

Перестановки можно образовывать из элементов любого ко­нечного множества. Число перестановок из n элементов обознача­ют Pn. Возьмем одноэлементное множество {а}. Ясно, что один эле­мент можно упорядочить единственным образом, следователь­но, P1=1.

Перестановки — это такие соединения по n элементов из дан­ных элементов, которые отличаются одно от другого порядком эле­ментов.

Возьмем двухэлементное множество {а, b}. В нем можно уста­новить два порядка: {а, b} или {b,a}. Следовательно, число переста­новок из двух элементов P2=2.

Три буквы во множестве {a,b, с} можно расположить по порядку шестью способами:

{а,b,с}; {а,с,b}; {b.а.с}; {b,с,а}; {с,b,а} ;{с,а,b}.

Следовательно, общее число способов упорядочения трех эле­ментов множества P3 =3*P2 =3*2*1=6. Докажем, что справедлива рекурентная формула:

Pn =n*Pn-1 (*)

Пусть требуется упорядочить n - элементное множество. По­лагая в формуле (*) последовательность n=2, 3, 4. ..., име­ем: P2=2*Р1=2*1, P3=3*Р2 =3*2*1;

P4 = 4 • Р3 = 4 • 3 • 2 • 1 Методом полной математической ин­дукции докажем, что при любом натуральном n справедлива фор­мула.

Рn=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1=n! (**)

где n!=1*2*3*... *n — произведение всех натуральных чисел от I до n.

При n=1 формула (**) справедлива, так как Р1 =1 . Предположим, что формула (**) справедлива при n=k и докажем ее справедливость при n=k+1. Действительно, по рекуррентной фор­муле (*) при n=k+1 имеем

Pk+1 =(k+1)*Pk (***)

При n=k формула (**) справедлива, следовательно,

Pk =k * (k-1)*…*2*1 (****)

Подставив (****) в (***), имеем

Pk+1 =(k+1)*k*(k-1)*…*2*1=(k+1)!

Итак, число способов упорядочения n элементов множества равно n!


^ 1.4 Размещения. Упорядоченные множества

Определение. Множество вместе с заданным порядком распо­ложения его элементов называется упорядоченным множеством. Если в упорядоченном множестве изменить расположение элемен­тов, то мы получим другое, отличное от первого множество.

В комбинаторике конечные упорядоченные множества назы­ваются размещениями.

Упорядоченные множества будем записывать в крутых скоб­ках, располагая его элементы в заданном порядке (х1 ;х2 ,….,х n)

Например, упорядочивая трехэлементное множество {а,b, с}. мы получим 6 упорядоченных множеств:

(a,b, с); (а,с, b); (b, а. с);(b, с, а); (с, b, а); (с, а,b).

Размещения из п элементов по т (т<п) — это такие соединения из n элементов по m, которые отличаются одно от другого либо порядком элемен­тов, либо, но крайней мере. одним элементом.

Число размещений из n элементов но m обозначают Аmn. Пусть исходное множе­ство состоит из букв (а, b, с). Ставится задача: посчитать количе­ство размещений из трех элементов по два: А23.

Будем составлять упорядоченные двухэлементные подмно­жества из данных трех элементов а, b, с.

Для наглядности составим таблицу, где и запишем все возмож­ные подмножества.

а b c

а (a; a) (a; b) (a; c)

b (b; a) (b; b) (b; c)

c (c; a) (c; b) (c; c)

^ Размещение с повторениями — каждый элемент, входящий в комбинацию, может быть представлен более чем одним экземпля­ром (включая элементы диагонали таблицы).

Число возможных размещений из n различных элементов по т находятся по формуле:

Āmn=nm (*)

В дальнейшем размещения без повторений мы будем называть одним словом - «размещения».

^ Размещение без повторений - каждый элемент, входящий в комбинацию, представлен единственным экземпляром (исключая элементы диагонали таблицы)

Будем составлять упорядоченные двухэлементные подмноже­ства из данных трех элементов а, b, с:

(а,b); (а, с); (b,а); (b,с); (с, а); (с, b).

На первое место можно поставить любой из трех элементов, это можно сделать тремя способами, на второе место — любой из оставшихся элементов, то есть двумя способами, всего получим 3*2 соединений, т. е.

А23=3*3=6 Очевидно, что А1n =п. Действительно, один элемент из А1n ,можно выбрать n способами, а из этого элемента получается одно упорядоченное множество.

Докажем, что при 1 ≤m< п имеет место соотношение:

Аm+1n=(n-m) Аmn (**)

Имея п элементов, будем распределять их по m+1 местам. Раз­мещение будем производить следующим образом: сначала выбе­рем из данных n элементов какие-либо т элементов и разместим их по первым m местам. Это можно сделать Аmn способами. На остав­шееся (m+1)-е место можно поставить любой из оставшихся п - т элементов, что можно сделать п - т способами. Итак, при каждом из Аmn заполненных первых мест получим n - m возможных запол­нений (т+1)-го места. Следовательно, всего их будет (п - т) Аmn, что и требовалось доказать.

Пользуясь формулой (*), получаем окончательно:

Аmn =n!/(n-m)! (***)

При m=0 по формуле (**) получаем: А0n =1.

Это верно: существует только одно пустое множество, оно яв­ляется подмножеством любого множества.

Заметим еще, что 0!=1; 1! =1; и Аnn =Р„ =п! Приведем таблицу значений Аmn при n≤5.


n/m

0

1

2

3

4

5

0

1
















1

2

1













2

1

2

2










3

1

3

6

6







4

1

4

12

24

24




5

1

5

20

60

120

120



Пример 1. Учащиеся 11-го класса изучают 9 учебных предметов. В расписании учебных занятий на один день можно по­ставить ^ 4 различных предмета. Сколько существует различных способов составления расписания на один день?

Решение. Имеем 9-элементное множество, элементы кото­рого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из де­вяти по четыре, то есть А49

А49 = 9*8*7*6=3024;

Пример 2. В чемпионате участвуют 12 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены три различные медали?

Решение. А312 =12 •11•10=1320.

Пример 3. Решить уравнение А5n = 30 • А4n-2

Решение. Используя формулу (***), перепишите уравнение в виде

n • (n -1) • (n - 2) • (n - 3) • (n - 4) = 30 • (n - 2) • (n - 3) • (n - 4) • (n - 5). Учитывая, что n > 6, разделим обе его части на (n - 2) • (n - 3) • (n - 4); далее, имеем .(n(n-1)=30• (n -5)) (n2 -31• n+150= 0)<=> (n1 =6,n2 =25).


Контрольные вопросы:

Что такое множество?2. Что изучает комбинаторика? 3. Правила суммы и произведения? 4. Что такое размещение? 5. Как вычислить размещение m элементов из n? 6. Что такое перестановка? 7. Как вычислить число перестановок n предметов?

1.5 Сочетания и некоторые свойства сочетаний

Рассмотрим все подмножества множества, состоящего из трех элементов (а, Ь, с}. Их восемь:

1)Ø— пустое множество, как принадлежащее любому мно­жеству;

2) {а}, {b}, {с} - одноэлементные 3 множества;

3) {а, b}, {а, с}, {b, с} - двухэлементные 3 множества;

4) {а; Ь; с} — одно множество из трех элементов, то есть пол­ное рассматриваемое множество.

В сумме получили 8 различных подмножеств.

Число подмножеств по т элементов в каждом, содержащихся во множестве из n элементов, обозначается Сmn . В комбинаторике конечные множества называются сочетаниями.

Определение. Сочетания — это такие соединения из n элемен­тов по m (т ≤ п). которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом. Сmn называют числом сочетаний из n по m.

В сочетаниях нас интересуют только сами элементы множе­ства и не интересует их порядок.

Важно, какие конкретно элементы множества входят в каждое соединение

Число сочетаний, перестановок и размещений связаны фор­мулой:

Аmn = Сmn • Рn (*)

Действительно, чтобы получить все размещения из n элемен­тов по m надо:

взять n –элементное множество;

выделить m-элементное множество. Это можно сделать Сmn - способами. Всего получим Сmn упорядоченных множеств, так как в каждом m- элементном подмножестве возможно установить Pmпорядков, где Pm– число перестановок из m.

Следовательно, Аmn = Сmn • Рn , а Сmn = Аmn/Рn (**)

Подставив сюда уже известные нам выражения для Рn и Аmn

получим: Сmn =n!/((n-m)!*m!)

или Сmn =(n*(n-1)*…(n-m+1))/m! (***)


Cочетание с повторениями

Сочетание с повторениями – каждый элемент, входящий в соединение, может быть представлен более чем одним элементом Ĉ mn=(n+m-1)!/(m!*(n-m)!). В дальнейшем сочетание без повторений мы будем называть одним словом – «сочетание».

^ Пример. В классе 22 учащихся. Двух из них следует назначить дежурными. Сколькими способами это можно сделать?

Решение: Из 22 учащихся будем составлять всевозможные группы по 2 человека, причем порядок в группах не играет роли, следовательно, для подсчета числа способов используем сочетания: Сmn=22!/((22-2)!*2!)= 22!/(20!*2!)=22*21/(1*2)=231

Замечание. При решении задач по комбинаторике следует обращать внимание, учитывается ли порядок в сочетаниях.

Если порядок учитывается, то есть составляются упорядочен­ные множества, то это—размещения. Если порядок не учитывает­ся, то есть составляются множества, то это — сочетания.

Пример. Если из класса 20 человек выбирают три делегата на конференцию, то порядок не учитывается, так как каждый делегат выступает как равноправный представитель класса. Здесь мы при­влекаем сочетание

С320= (20*19*18)/(1*2*3)

Если же в классе надо выбрать старосту, физорга и профорга, то есть всего трех человек, но теперь уже натри различных долж­ности. то при подсчете числа различных комбинаций надо учесть порядок; здесь налицо число размещений. Если в классе 20 чело­век, то число способов заполнить три выборные должности под­считывается как число размещений из 20 по 3, то есть:

А320=20*19*18.


Контрольные вопросы

1. Что такое сочетание?2. Какова формула для числа сочетаний?3. Когда необходимо использовать при решении комбинатор­ных задач сочетание, а когда размещение?4. Чем отличается сочетания с повторением от сочетания?


^ 1.6 Задачи по комбинаторике

1. Сколько различных экзаменационных комиссий по 3 челове­ка можно составить, если на кафедре 20 преподавателей?

2. В кружке математиков 25 членов. Необходимо избрать пред­седателя кружка, его заместителя, редактора стенгазеты и секрета­ря. Сколькими способами это можно сделать?

3. Сколькими способами можно расставить 5 книг по полке? 4. Сколькими способами можно окрасить трехкомнатную квартиру (каждая комната окрашивается одной краской, все ком­наты окрашиваются в разный цвет), если имеется 10 различных красок?

5. Сколькими способами можно выбрать 6 различных пиро­жных в кондитерской, где имеется 11 сортов пирожных?

6. В нашем распоряжении есть 5 разноцветных флагов. Сколько различных сигналов, состоящих из 3 флагов, можно поднять на флаг­штоке?

7. Имеется 7 путевок в различные дома отдыха и 7 кандидатов. Сколькими способами можно распределить эти путевки?

8. Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое изображаясь бы тремя различными значащими цифрами?

9. Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое изображалось бы тремя различными цифрами?

10. На собрании должны выступить 4 человек: А, Б. В, Д. Сколь­кими способами можно их разместить в списке факторов при усло­вии что А должен выступить непосредственно перед Б?

11. В колоде 52 карты. Раздаются 3 карты. Сколько может быть случаев появления одного туза среди розданных карт?

12. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Сколько бригад по 7 человек в каждой бригаде из них можно составить при условии, что а бригаде должно быть 4 мужчины.

1З. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 5 бракованных. Сборщик на удачу берет 3 детали. Сколько будет случаев, когда сре­ди извлеченных трех деталей будут: а) все стандартные; b) две стан­дартные; с) все бракованные?

14. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разде­лить на две группы так, чтобы в одной группе было 4 человека, а в другой—11 человек?

15. Сколько диагоналей имеет: а) выпуклый пятиугольник; б) выпуклый 12—угольник; в) выпуклый 25-угольник; г) выпуклый n-угольник.

16. В высшей лиге по футболу 18 команд. Борьба идет за золо­тые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами меда­ли могут быть распределены между командами?

17. Сколькими способами из 30 человек может выбрать собра­ние председателя и секретаря?

18. В шахматном турнире участвуют 12 человек. Каждый из участников должен сыграть с каждым из остальных по две партии, Сколько всего партий должны сыграть участники турнира? 19. Двенадцати ученикам выдано два варианта контрольных работ. Сколькими способами их можно посадить в два ряда, чтобы рядом не было одинаковых вариантов, а у сидящих друг за другом был один и тот же вариант?

20. Сколько различных диагоналей можно провести в восьмиугольнике?


^ ТЕМА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

2.1 Случайные события

Каждая наука при изучении явлений материального мира оперирует теми или иными понятиями, среди которых обя­зательно имеются основополагающие. Если для геометрии это понятия точки, прямой, плоскости, а для математического анализа—функции и ее предела, то для теории вероятностей одним из основных является понятие события.

Под событием понимается явление, которое происходит в результате осуществления какого-либо определенного комп­лекса условий. Осуществление этого комплекса условий будем называть опытом или испытанием. Здесь предполагается, что комплекс условий, в результате которого наступает определен­ное событие, может быть воспроизведен сколь угодно большое число раз, т. е. имеется возможность проводить неоднократно испытание в неизменных условиях. Вообще говоря, полностью совпадения всех условий для каждого испытания добиться невозможно и поэтому можно говорить лишь о некотором приближенном равенстве условий испытаний. При проведении испытания необязательно должен присутствовать и участвовать в нем сам исследователь. Опыт можно поставить мысленно или «окружающая природа поставит этот опыт сама». В последнем случае исследователь выступает в роли наблюдателя. Например, для появления радуги во время дождя должны иметь место определенные атмосферные условия. И каждый раз, как только возникают соответствующие условия, можно любоваться радугой. На практике часто в силу объективных причин бывает трудно воспроизвести весь комплекс условий, который необходим для появления определенного события.

Это обычно связано с недостаточно подробно изученной, природой явления или с технической невозможностью его воссоздания в данное время. Поэтому при выполнении неполного комплекса условий интересующее событие может не наступить, и будет иметь место какое-нибудь другое. В силу изменяющихся независимо от воли исследователя неучтенных условий при повторении испытания будут наступать те или иные события, причем не известно заранее, какие из них. Такие события обычно называются случайными. Например, один выстрел из винтовки по мишени — испытание, причем его можно повторить сколько угодно раз. В результате такого испытания наступит одно из 11 следующих случайных событий:

«в результате одного выстрела выбито 0 очков»; «в результате выстрела выбито 1 очко»; «в результате выстрела выбито 2 очка»; «в результате выстрела выбито 10 очков». Здесь трудно сказать заранее, какое из названных случайных событий в результате выстрела произойдет наверняка.

Определение. Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (опыта).

В дальнейшем для простоты слово «случайный» будем опускать. События обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, ... и т. д.

Пример. Бросается симметричная монета. Бросание монеты-испытание. «Монета упала «гербом вверх» и «монета упала решкой вверх»—возможные события.

Пример. Завтра днем - ясная погода. Здесь наступление дня является испытанием, «В течение дня наблюдается ясная погода»— событие.

Из приведенных примеров следует, что событие можно охарактеризовать, сформулировав его в виде предложения. Однако не всякое предложение выражает событие. Например, предложение «Миру нужен мир» не задает какого-либо события, которое могло бы произойти или не произойти.

На практике часто встречаются события, которые обяза­тельно всякий раз происходят в результате определенного испытания. Также встречаются события, которые не могут произойти в результате испытания, сколько бы раз его ни проводили.

Определение. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания.

^ Пример. Наступление ночи по прошествии дня —достоверное событие •

Пример. Кит — это млекопитающее. Это событие является достоверным. •

Определение. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.

^ Пример. Выпадение цифры 5 при бросании десятикопеечной монеты— невозможное событие.

Пример. Появление марсианина на улицах современного города— невозможное событие •

Ранее уже отмечалось, что в результате опыта (испытания) возможно появление того или иного события.

Некоторые из возможных в данном испытании событий могут наступить вместе, т. е. быть совместными. В результате испытания может возникнуть и другая ситуация, когда появление одного из возможных в данном случае событий обязательно исключает появление определенного другого события, т. е. события могут быть и несовместными. Пусть бросается игральный кубик, на гранях которого различное число очков от 1 до 6. В результате этого испытания могут наступить такие события, как «на верхней грани четное число очков»; «число очков на верхней грани равно З»; «на верхней грани 6 очков». Появление на верхней грани кубика трех очков исключает появление шести очков. Поэтому последние два события являются несовместными при одном испытании. Такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение числа очков, равного 6, уже являются совместными, поскольку число 6 является четным.

Определение. События А и В называются несовместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого.

Пример. Бросается монета. Появление решки исключает появление «герба», и наоборот. Поэтому события «появилась решка» и «появился «герб»— несовместные события. •

Определение. События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появления другого.

Пример. В аудиторию вошел человек. События «в аудиторию вошел человек старше 30 лет» и «в аудиторию вошел мужчина»—совместные, поскольку в аудиторию может войти мужчина - старше 30 лет. •

Пусть некто набирает номер телефона при исправной телефонной сети. В результате этого испытания возможны следующие события: «номер занят», «номер свободен». Эти два события взаимосвязаны, так как непоявление одного из них влечет за собой обязательно появление другого.

Выше понятие «влечет», употреблялось применительно к событиям. В дальнейшем будем говорить, что событие А влечет событие В, если всякий раз, когда наступает событие А, наступает и событие В.

Определение. Два события А и Ậ называются противоположными или взаимно дополнительными, если непоявление одного из них в результате данного испытания влечет появление другого (Ậ читается «не А»).

Следует заметить, что события А и Ậ несовместны.

Пример. Если при проверке оказалось, что некоторое изделие имеет дефекты, то это изделие не может быть стандартным, и наоборот. Поэтому события «изделие бракованное» и «изделие стандартное»—проти­воположные, •

Пример. Событию «все спортсмены команды завоевали призовые места» противоположным является «хотя бы один из спортсменов команды ' не занял призовое место». •

Рассмотрим теперь на примере множество события, которые могут произойти в результате некоторого испытания.

Пусть производится один выстрел по мишени. Выделим следующие события, которые могут произойти в результате этого испытания (опыта):

^ А— « выбито очков, где 1 изменяется от 0 до 10»,

В — «выбито четное число очков»,

С —«выбито нечетное число очков»,

D —«выбито более 4 очков»,

^ Е —«выбито менее 5 очков»,

F—«число выбитых очков делится на II»,

Q —«число выбитых очков меньше 12».

Ограничимся этими событиями, хотя их список можно было продолжить. Нетрудно заметить, что между отдельными событиями наблюдается определенная связь. Например, со­бытия Аi попарно несовместны; то же самое можно сказать и про пары событий В и С, А6и Е, А3 и В. Пары событий В и С, D и Е являются противоположными событиями, а пары событий А8 и В, А3 и С, А2 и Е, А5 и Q—совместными. Если произошло событие А8, т. е. выбито 8 очков, то обязательно произойдет событие В, так как число 8 четное. Заметим, что эти события совместны. Предположим, что выбито 2 очка, т. е. произошло событие В, однако событие D не наступило, хотя события В и D совместны. Особое место занимают события F и Q. Первое из них является невозможным событием, а второе—достоверным..

Обратим внимание на следующие группы события, которые обладают одинаковыми свойствами:

1) А0; А1 ; А2 ; А3 ; А4 ; А5 ;А6 ; А7 ; А8 ; А9 ; А10 ;

2) B, С;

3) D, Е.

В результате опыта обязательно произойдет одно и только одно событие, неважно какое, из всех событий, принадлежащих одной из рассматриваемых групп, причем любые два события, принадлежащие одной группе, несовместны. Теперь на ос­новании рассмотренного примера сформулируем два опре­деления.

Определение. Событие А называется благоприятст­вующим событию В, если появление события А влечет за собой появление события В.

В рассмотренном выше примере события А1 ; А2 ; А3 ; А4 являются благоприятствующими событию Е, а события А1 ; А3 ; А5 А7 ; А9 —благоприятствующими событию С.

Определение: Если группа событий такова, что в резуль­тате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий.

Приведенные выше три группы событий, по определению, являются полными. При решении вероятностных задач большую роль играет выбор полной группы событий. Если полная группа выбрана удачно, то решение задачи значительно упрощается. В противном случае оно будет представлять определенные трудности или даже не будет найдено. С некоторым преувеличением можно сказать, что «выбор полной группы есть искусство». В дальнейшем каждое событие из полной группы попарно несовместных событий будем называть исхо­дом данного опыта (испытания). Иногда исходы испытания называются элементарными событиями. Рассмотрим пример полной группы попарно несовместных событий.

Пример. Бросается игральный кубик. События, заключающиеся в том, что на верхней грани кубика появятся 1, 2, 3, 4, 5, б очков, образуют полную группу событий, так как в результате опыта кубик обязательно упадет какой-нибудь гранью вверх, а значит, произойдет одно из указанных событий. Все эти события попарно несовместны, так как кубик не может упасть одновременно двумя гранями вверх. Группа событий, состоящая в том, что выпадет 1, 2. 4, 5, 6 очков, не является полной, поскольку в результате опыта может выпасть 3 очка, а такое событие не содержится в указанной группе. •

На основании определений полной группы и достоверного события можно сделать вывод, что событие, заключающееся в появлении одного, неважно какого, из событий полной группы,— достоверное.

Понятие полной группы позволяет доказать утверждение, что два несовместных события, образующие полную группу, являются противоположными событиями. Действительно, если в результате опыта не произойдет одно из событий, то обязательно произойдет другое, так как, по определению полной группы, одно из них должно обязательно произойти. Такие события, по определению, называются противопо­ложными.

Предположим, что имеется идеально симметричный кубик; изготовленный из однородного материала. В этом случае нет оснований считать выпадение 6 очков более возможным, чем выпадение, например, 2 очков. Поэтому правомочно считать, что возможность выпадения 6 очков та же, что и выпадения любого другого числа очков, т. е. все 6 событий, которые могут наступить в результате бросания игрального кубика равновозможны.

Определение. События называются равновозможными если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. |

Пример. В урне находятся тщательно перемешанные 10 одинаковых на ощупь шаров. Среди них 5 белых и 5 черных. Наудачу вынимается один шар. Здесь события «появился белый шар» и «появился черный шар» равновозможны. •

Пример. «Появление «герба» и «появление решки» при бросании симметричной монеты— равновозможные события. •

В рассмотренных примерах вывод о равновозможности событий делался из соображений симметрии. Условия опытов были симметричны относительно рассматриваемых событий, т. е. все события были «поставлены в равные условия». Высказывая утверждение о равновозможности событий, при­ходится делать определенные допущения. Например, при бросании монеты предполагается, что она сделана из однород­ного материала, представляет собой круг, симметрична (т. е. не погнута), что наличие чеканки не влияет на положение центра тяжести Эти допущения, основанные на здравом смысле, дозво­ляют обосновать вывод о равновозможности событий, однако это не всегда можно сделать исходя из условий испытания.


^ 2.2 Операции над событиями

В некоторых разделах математики вводятся операция над изучаемыми объектами. Так как свойства этих операций аналогичны с