Реферат: Задание в Mathcad сигналов в виде функций и векторов. В mathcad для задания различных функций

Формирование сигналов в среде MathCAD

Формирование сигналов в среде MathCAD

1. Задание в Mathcad сигналов в виде функций и векторов.

В Mathcad для задания различных функций y(x)=f(x) для описания f(x) используются как встроенные в пакет различные функции (тригонометрические, специальные и т.п.), так и введенные пользователем.

При этом для вычисления y(x) (и графического представления результатов) следует задать значения аргумента, при которых и рассчитывается функция.

Аргумент x задается как последовательность значений, при которых и выполняется расчет:

x:=x0,x1..xk

x0 - начальное значение; x1 - следующее значение; xk - конечное значение;

Δx =(x1 - x0) – шаг изменения аргумента;

N = (xk - x0)/Δx +1 – число точек аргумента (рассчитываемой функции).

Количество расчетных точек N выбирается из соображений получения «гладких» зависимостей при построении графиков. При задании опции Traces – lines – solid рассчитанные точки на графике соединяются отрезками прямых линий и для «гладкости» графиков обычно достаточно 100…200 расчетных точек.

Иногда может быть удобнее задать ^ N и по заданному диапазону [x_min, x_max]

вычислить Δx и значения расчетных точек задать в форме:

x:=x_min,x_min+ Δx.. Δx*N

Например, для построения функций (полиномов) Чебышева, ортогональных на интервале {-1..+1} с Δx=0.01 (число расчетных точек 200), следует задать:


Требуемые операторы можно ввести как с соответствующих панелей инструментов, так и с клавиатуры:

- оператор присвоения (:=) – двоеточие;

- задание диапазона значений аргумента (..) – точка с запятой;

- двухмерный график – Shift-2 (@).


Рис. 1. Графики некоторых функций Чебышева.

Сигналы во временной области описываются функциями времени u(t), поэтому логично аргумент обозначить через t (выражаемый в единицах времени).

Однако, в ряде случаев, в частности, при использовании встроенных функций: преобразования Фурье (^ FFT(u)), статистических, и др., необходимо, чтобы участвующие в этих функциях величины u были бы представлены в виде векторов (индексированных переменных). Поэтому далее в приводимых примерах формирования сигналов будем представлять их в виде векторов ut.

Для описания сигналов - векторов ut следует в начале определить:

T:= - количество расчетных точек, т.е. число элементов вектора.

Если далее в расчетах будет использоваться спектральное преобразование ^ FFT(u), то значение T должно быть равно 2m(m>2).

Например: T:=256 или m=8 T:=2m

При этом T можно рассматривать как интервал формирования (моделирования) сигнала, выраженного в относительном времени (например, считая, что T=1 мсек).

Далее следует задать изменение времени – расчетные точки, т.е. задать индексацию элементов вектора (текущее время):

t:=0..T-1 (если второй элемент при задании диапазона опущен, то шаг равен 1).

Примечание: индексы элементов вектора – порядковые числа 0,1,2..T-1. Начальный индекс по умолчанию равен ^ 0. При необходимости начало индексации может быть изменено присвоением требуемого значения:

ORIGIN:= (присвоенное таким образом значение начального индекса действует на весь документ).

Далее определяется функция, описывающая формируемый сигнал.


Приведем примеры формирования некоторых типовых сигналов.


^ 2. Формирование непрерывных сигналов.

Гармонический сигнал на интервале T.

Для формирования простого гармонического колебания следует дополнительно задать несущую частоту

f:=

и описать сигнал простой тригонометрической функцией (например, с амплитудой =1):

(
Ввод шаблона для индекса для векторов – скобка “[”)

Естественно, частота также должна быть представлена значением относительно T (например, в числе периодов колебания на интервале T).

Если будет анализироваться спектр такого гармонического сигнала, то необходимо, чтобы на интервале формирования T укладывалось целое число периодов.

Для этого достаточно описать сигнал следующим образом:




- число периодов гармонического колебания на интервале T


- несущая частота.



В зависимости от того, целое или не целое число периодов гармонического колебания на интервале T будет изменяться и рассчитываемый спектр:


Р
ис.2. Вид и спектры гармонического колебания при n1=4 и n2=4.5

Если на интервале T целое число периодов колебания, то такой сигнал можно рассматривать как стационарный непрерывный сигнал одной частоты, в противном случае его можно рассматривать как радиоимпульс длительностью T.


^ 3. Формирование элементарных импульсных сигналов.

3.1. Прямоугольный импульс.

Пусть требуется сформировать прямоугольный импульс на интервале T длительностью τ_i с задержкой (сдвигом) относительно начала интервала моделирования τ_n и амплитудой Um.

Формируемый сигнал будем задавать в виде вектора.

Очевидно, перед описанием формы импульса следует определить параметры:

T:= t:=0..T-1 τ_i:= τ_n:= Um:=


3.1.1. Задание импульса с помощью встроенной функции Хэвисайда (heaviside step) – единичный скачок:

Φ(x) = 0 при x < 0 и = 1 при x >= 0

Тогда импульс можно описать выражением:








Рис.3. Пример формирования импульса с использованием функции heaviside step.

(При построении графиков прямоугольных импульсов удобнее использовать опцию ^ Traces – step).

Функцию Φ( ) можно ввести через меню, с панели символов греческого алфавита или с клавиатуры вводом латинского символа (F) с последующим вводом Ctrl-G для преобразования латинского символа в греческий.


Примечание: для быстрого ввода с клавиатуры часто используемых греческих символов с последующим преобразованием по Ctrl-G полезно запомнить некоторые сочетания:

p – π, w –ω, W – Ω, t – τ, D – Δ, a – α, b – β и др.


3.1.2. Задание импульса с помощью оператора условия if( ):

if(условие, значение1, значение2)


В качестве условия следует задать логические выражения с использованием булевых операторов (Boolen)

Если логическое выражение истинно (условие выполняется), то оператор возвращает значение1, если же нет, то значение2.

Так выражение

if(t<τ_i,0,1) будет эквивалентно функции Φ(t-τ_i)


Тогда формирование импульса может быть задано:


Аналогичный результат будет получен при использовании выражения:

Кроме того, при задании условия могут быть использованы более сложные выражения с использованием объединяющих операторов И ИЛИ:








3.1.3. Задание импульса путем переопределения значений вектора.

В начале формируется нулевой вектор из T элементов:




Далее введем новое обозначение индексации (например, k) в пределах длительности импульса:

k:=τ_n…(τ_n+τ_i)

и зададим новые значения вектора сигнала в пределах заданного диапазона:


(Значения элементов вектора по ходу документа могут быть неоднократно переопределяться).

Приведенное выше определение диапазона k возможно в том случае, если значения τ_i и τ_i+ τ_n являются целочисленными значениями, которые и могут быть индексами элементов вектора. Но если значения τ_i и/или τ_n заданы, например, в величинах относительно интервала T (τ_n:=T/3 при T:=1024), то значения индексов k окажутся дробными, что не допустимо. Поэтому в общем случае следует воспользоваться функциями округления:

floor(x) - округление x до ближайшего целого снизу

ceil(x) - округление x до ближайшего целого сверху;

и тогда диапазон индексов в пределах импульса в общем случае следует задать, например:

k:= floor(τ_n)… floor(τ_n+τ_i)


3.1.4. Задание импульса с помощью программы – функции.

или


при других t)


Шаблон для программы-функции Add Line, оператор if и otherwise вводятся не с клавиатуры, а кнопками на панели программирования .


При первом вводе Add Line формируется шаблон для программы-функции:

Для добавления строк программы следует установить курсор на пустое поле и повторно щелкнуть Add Line (или “]”).

Все варианты 3.1.1…3.1.4. позволяют сформировать один и тот же прямоугольный импульс.

^ 3.2. Импульс с экспоненциальными фронтами.

При прохождении прямоугольного импульса через ФНЧ (RC-цепь) на выходе будет получен импульс с экспоненциальными фронтами.

Для формирования такого импульса можно также воспользоваться операторами программирования Add Line и if и описать фронты экспоненциальными функциями.

Для этого следует задать




- параметр экспоненты, описывающей фронты (соответствует постоянной времени интегрирующей RC-цепи), через которую проходит прямоугольный импульс. Данный параметр удобнее задавать в единицах длительности импульса.




- задержка относительно

начала

- передний фронт (и вершина)


- задний фронт






Рис.4. Импульс с экспоненциальными фронтами.


^ 3.3. Трапецеидальный импульс.

Для описания кусочно-ломаных функций, частным случаем которых и является трапецеидальный импульс, достаточно задать последовательность пар значений: аргумент и соответствующее ему значение функции. Для сигналов это будет время и уровень:

(t0,U0, t1, U1, t2,U2,….t_i,U_i,…t_k,U_k).

и затем, используя операторы программирования Add Line и if, для каждого промежутка времени задать выражение для расчета линейной функции, например:

П
усть трапецеидальный импульс задан следующими параметрами:




- амплитуда импульса


- задержка импульса относительно начала формирования


- длительность фронта (переднего и заднего)


- длительность импульса по вершине

(длительность импульса по нулевому уровню равна τ_i + 2*τ_f)


Тогда импульс с заданными выше параметрами может быть сформирован следующим образом:

Р

ис.5. Трапецеидальный импульс.


^ 3.4. Колоколообразный (гауссов) импульс.

Колоколообразный импульс является классическим примером сигнала с наиболее компактным спектром. Описывается выражением:

где

t_0 – положение центра (вершины) импульса

τ_е – параметр импульса, определяющий его длительность.


Р
ис.6. Колоколообразный импульс.

Если задана длительность импульса τ_i на относительном уровне U_o, то параметр

τ
_е может быть вычислен:


Р
ис.7. Амплитудный спектр колоколообразного импульса.

3.4. Радиоимпульс.

Для получения сигнала в виде радиоимпульса достаточно перемножить видеоимпульс с заданными параметрами (см. выше) на непрерывный гармонический сигнал частоты f0.




Р
ис.8. Радиоимпульс

Если необходимо, чтобы в пределах импульса укладывалось целое число периодов гармонического сигнала, то частоту следует определить



n – число периодов частоты в пределах τ_i.


Если необходимо также «привязать» начальную фазу колебания к началу импульса, то гармонический сигнал следует описать



τ_n – начало импульса


При моделировании высокочастотных сигналов и построении их спектров количество расчетных точек T следует выбирать так, чтобы на периоде частоты было бы 4…8 отсчетов.


^ 4. Формирование сигналов, описываемых различными кодовыми последовательностями.

В начале тем или иным способом создается кодовая последовательность в виде вектора, элементы которого принимают значения {1,0} или {1,-1}.

Например, кодовая последовательность может быть задана непосредственно в виде вектора (ниже представлен 11-разрядный код Баркера):

(
Представление кода сначала в виде матрицы-строки и последующее транспонирование матрицы, т.е. преобразование ее в вектор-столбец, использовано лишь для компактности представления данных на экране).

Если изначально элементы вектора заданы как значения {1,0}, а для последующего моделирования, например, для моделирования сигналов с фазовой модуляцией, требуются значения {1,-1}, то достаточно выполнить преобразование:

- число элементов кода (разрядность);

- индексация элементов вектора;

- преобразование элементов вектора.





Представим кодовую комбинацию в виде функции времени. Для этого введем «временные» параметры:

- длительность элементарного символа кода;

- интервал моделирования;

- текущее время.



Временную функцию, соответствующую кодовой комбинации, можно получить путем суммирования произведения значений элементов кода Bk (или Codek) на единичные элементарные импульсы, существующие только в пределах элементов кода Imp:

Р
ис.9. Ансамбль единичных импульсов для формирования кода в виде функции времени.

- временная функция, соответствующая коду.


Д
ля формирования сигнала, модулированного по фазе кодовой комбинацией достаточно перемножить гармоническое колебание на Ut.

Р
ис.10. ФМ - сигнал, модулированный 11-разрядным кодом Баркера.

Здесь для наглядности «временных диаграмм» частота заполнения элементарных импульсов кратна их длительности.