Реферат: Тема III. Системы рациональных уравнений

Тема III. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой называется совокупность условий, которые должны удовлетворяться одновременно. Эти условия могут быть выражены в форме уравнений и неравенств.

Условия, входящие в систему, принято записывать в столбик и компоновать с левой стороны круглой скобкой.

Система, состоящая из уравнений, называется системой уравнений.

Система, состоящая из уравнений и неравенств, называется смешанной системой.

Решить систему, значит найти такую совокупность значений для неизвестных, которая удовлетворяет всем ее условиям.

Область определения системы – это общая часть области определения входящих в нее условий. Решение системы, если оно существует, всегда принадлежит области ее определения.

^ Система, имеющая решение, называется совместной.

Система, не имеющая решений, называется несовместной или противоречивой.


Глава I. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ (МЕТОДОМ ГАУССА)


§ I. Определение систем линейных алгебраических уравнений

Целое рациональное уравнение называется линейным алгебраическим, если обе его части состоят из слагаемых, степень которых не выше первой относительно определяемых неизвестных.

^ Система называется линейной, если она содержит только линейные алгебраические уравнения.

(Далее, следует программируемая часть пособия, в которой при ответе на вопросы или задания следует закрывать правую часть страницы. На этой части страницы проверяется правильность выполненного Вами задания или ответа. Последовательность работы с программируемым пособием опреде-ляется данными примерами, поставленными вопросами или заданиями Вашей реакцияей на них. Эта последовательность не должна нарушаться.)

Установите, являются ли системы, данные в примерах №1 и №2, линейными относительно х и у.



Пример №1




Пример №2




В примере №3 выполните под-становку, приводящую данную систему к линейной.


Пример №3







Ответы:

Система линейная.

См. «А».

Система не линейная.

См. «Б».

А) Правильно. Переходите к примеру №2.

Б) Не правильно. Данная система явля-ется линейной, так как, состоит из ли-нейных уравнений относительно х и у.

Убедимся в том, что все слагаемые первого и второго уравнения имеют степень не выше 1-й относительно х и у. Действительно, левая часть первого уравнения содержит слагаемые Это слагаемые 1-й степени относительно х и у (сумма показателей при х и у в каждом из них равна единице). Слагаемые в правой части первого уравнения имеют относительно х и у нулевую степень. Так



(сумма показателей при х и у в каждом из них равна нулю).Здесь мы воспользовались определением

х0 ≡ 1 при х ≠0,

y0 ≡ 1 при у ≠0.

Второе уравнение системы, так же как и первое, можно представить в виде

.

Теперь левая часть второго уравнения содержит слагаемые первой степени относительно х и у, а правая нулевой.

Итак, данная система является линейной, т.к. состоит из линейных уравнений.

Переходите к примеру № 2.


Ответы:

Система нелинейная.

См. “А”.

2. Система линейная.

См. “Б”.

А) Правильно. Но подстановкой



данная система сводится к линейной относительно новых неизвестных u, v, t.

Переходите к примеру №3.

Б) Не правильно. Уравнения системы нельзя назвать линейными, т.к. левые части уравнения содержат сумму дробей, степени которых не определяются. (Определять можно только степень многочлена, т.е. такого аналитического выражения, в котором над буквами и числами производится не более двух действий: алгебраи-ческое сложение и умножение).

Переходите к ответу 1 в примере № 2.


Ответ: Подстановкой

решение данной системы сводится к последовательному решению двух линейных систем



Переходите к § 2.