Реферат: Головоломок вишенка в коктейле

1000 развивающих головоломок...


1. ВИШЕНКА В КОКТЕЙЛЕ


Это одна из тех редких чудесных головоломок, которые решаются мгновенно, если подойти к ним правильно. В формулировке зада­ния есть изюминка, призванная направить ваши мысли по ложному экспериментальному пути. Известны случаи, когда умные люди би­лись над ней по двадцать минут и в конце концов приходили к за­ключению, что она не имеет решения.

Положите четыре спички так, чтобы изобразить фужер (см. рис. 15). Задача в том, чтобы передвинуть только две спички таким обра­зом, чтобы фужер оказался в другом положении, а вишенка — снару­жи. Фужер можно переворачивать как угодно, но он должен оста­ваться таким же, как исходный. На рисунке под буквой А показано, как можно переместить 2 спички, чтобы «перевернуть» фужер. Од­нако это не является решением, так как вишенка остается внутри. Под буквой В показан другой способ «опустошить» фужер. Однако и это не является решением, так как здесь перемещенными оказы­ваются три, а не две спички.


^ 10. ЗАВЯЖИТЕ УЗЕЛ

Возьмите бельевую веревку длиной примерно 120 см. Завяжите на обоих концах петли, как показано на рис. 18. Петли должны быть такими, чтобы вы могли просунуть в них руки. Надев петли на запя­стья и натянув веревку, попытайтесь завязать узел в центре веревки. Вы можете делать с веревкой всё что угодно, кроме, естественно, высвобождения запястья из петли, разрезания веревки или наруше­ния существующих узлов. За исключением фокусников, этот трюк мало кому известен.


ОТВЕТЫ

На рис. 19 показано, как нужно передвинуть две спички, чтобы вишенка оказалась вне фужера.






10. Чтобы завязать узел на веревке, натянутой между запястьями, вначале потяните её среднюю часть и проденьте под веревку, охва­тывающую левое запястье, как показано на рис. 24. Перекиньте пет­лю через левую руку, затем потяните обратно из-под веревки, охва­тывающей запястье. Теперь петля находится у вас на левой руке, как видно на правом рисунке. Если снять петлю с руки через левую ла­донь, на веревке образуется узел.


Если наполовину повернуть петлю вправо после того, как вы первый раз пропустили её под веревкой, охватывающей запястье, но до того, как вы перекинули её через ладонь, получится узел-вось­мерка. А если конец петли продеть через кольцо, прежде чем пере­

кинуть петлю через руку, кольцо прочно завяжется на веревке после того, как вы завяжете любой узел.

Ван Каннингем и Б.Л. Шварц независимо друг от друга написа­ли мне, что постановка задачи не запрещает второго решения. Сло­жите ладони, проденьте каждую из них через соответствующую пет­лю, а после этого просто разведите руки.


Арифметика на пальцах


тичном счете. Но точно так же можно использовать подобные знаки для счета и в любой другой системе. Действительно, пальцы пре­красно подходят для счета по самой простейшей системе счисления — бинарной, или двоичной. Согнутый или выпрямленный палец со­ответствует двум положениям переключателя в схемах современных компьютеров, использующих двоичный код. Фредерик Пол в статье How to Count on Your Fingers («Как считать на пальцах»), опублико­


ванной в 1966 году в странном сборнике Digits and Dastards («Цифры и негодяи»), предлагает начинать счет со сжатых кулаков, поверну­тых тыльной стороной вверх. Вытянутый палец соответствует еди­нице в двоичной системе, согнутый — нулю. Таким образом, чтобы посчитать от 1 до 1111111111 (что соответствует 1023 в десятичной системе), нужно начать с разгибания мизинца правой руки. Для вы­ражения двойки в десятичной системе, то есть 10 в двоичной, нуж­но согнуть мизинец и вытянуть безымянный палец правой руки. Ес­ли вытянуты оба пальца — мизинец и безымянный, — это соответст­вует 11 в двоичной системе или трем в десятичной. На рисунке 34 изображено, как показать на двух руках 500 в двоичной системе. Не­много потренировавшись, вы сможете использовать пальцы для бы­строго счета в двоичной системе и даже, как поясняет Пол, для дво­ичного сложения и вычитания. Благодаря тому что символьная («булева») логика целиком построена на двоичной системе (истина-ложь), с помощью пальцев рук можно решать простые задачи из об­ласти математической логики.

0 11111 0 1

0 0


Рис. 34.

Число 500 в двоичном коде, показанное на пальцах




Любое число в двоичной системе, состоящее из одних единиц, обязательно будет на единицу меньше соответствующей степени двойки. Например, 1023 в десятичной системе, которое в двоичной пальцевой системе показывается распрямлением всех десяти паль­цев, равно 210 — 1. Это навело Пола на мысль о занятной головолом­ке. Допустим, мы хотим вычесть некоторое число п из 1023 (или из любого другого числа, которое в двоичной системе выражается ря­дом единиц). Можете ли вы предложить крайне простой способ бы­стро произвести такое вычитание на пальцах?

Так как в Средневековье и эпоху Возрождения мало кто знал таб­лицу умножения дальше 5x5 (счетами также мало кто владел), су­ществовало множество способов вычислить произведения чисел от 6 до 10. Один из распространенных методов, названный в труде 1492 года «древним правилом», — это использование комплементарных, или дополняющих, чисел на базе десяти (число, комплементарное п, равняется 10 — п). Чтобы перемножить 7 и 8, запишем числа, ком­плементарные им — 3 и 2. Каждое из них при вычитании из непарно­го ему дает 5 (8 - 3 = 7 - 2 = 5). Таково число десятков в произведе­нии 7x8. Произведение 3x2 равно 6. Пятьдесят и 6 дают 56 — это и есть конечный результат умножения.

Для этого метода в качестве счетного инструмента часто исполь­зовались пальцы. Пальцам каждой руки присваивались значения от 6 до 10, начиная с мизинца. Чтобы умножить 7 на 8, соедините седь­мой палец одной руки с восьмым другой, как показано сверху на рис. 35. Обратите внимание, что число, комплементарное 7, пред­ставлено тремя пальцами, расположенными над соприкасающими­ся на левой руке, а комплементарное 8 — на правой. Пять располо­женных ниже пальцев символизируют 5 — число десятков в ответе. К пятидесяти нужно прибавить произведение верхних пальцев — 2x3, или 6. В результате получаем 56. Этот способ умножения на пальцах любых чисел от 6 до 10 широко практиковался в эпоху Возрождения и, говорят, до сих пор используется крестьянами в некоторых райо­нах Европы и России.

Сегодня этот метод имеет значительную педагогическую цен­ность для начальной школы не только потому, что он увлекателен для детей, но и потому, что он тесно связан с алгебраическим умно­жением двучленов. Вместо использования чисел, комплементарных внутри десятка, мы можем представить 7 и 8 как дополнения к 5, за­писав их в виде двучленов (5 + 2) и (5 + 3), а затем провести умно­жение:


5 + 2

5 + 3 25+ 10

+ 15 + 6 25 + 25 + 6 = 56.


Первые два числа в нижнем ряду соответствуют сумме нижних пальцев, умноженной на 10, а 6 соответствует произведению верх­них пальцев.

Пальцевый метод умножения легко обобщается для других по­лудесятков, больших 10, хотя нет никаких свидетельств того, что когда-либо в истории подобный метод применялся для чисел больше 10. Для всех полудесятков, заканчивающихся на 5, ис­пользуется несколько иная процедура. Давайте рассмотрим следу­ющий полудесяток от 11 до 15 и предположим, что нам нужно пе­ремножить 14 и 13. Пальцам присваиваются значения от 11 до 15, и те пальцы, которые соответствуют перемножаемым числам, со-


5 X Ю = 50 7X8 = 90 + 6 = 56





прикасаются, как показано на рис. 36. Семь расположенных ниже пальцев умножаются на 10, и получаем 70. Но теперь вместо того, чтобы добавить к этому числу произведение расположенных вы­ше пальцев, мы не обращаем на них внимания, а перемножаем между собой нижние пальцы каждой руки, 4x3= 12. Сложив 12 и 70, получим 82. Последнее действие — прибавить 100 (константа). Ответ - 182.

Объяснить, каким образом этот метод работает, можно по-раз­ному. Самое простое — рассмотреть его в понятиях умножения дву­членов:


10 + 3

10 + 4 100 + 30

+ 40+12 100 + 70+ 12= 182.


Левые 100 — добавляемая константа, 70 — сумма нижних паль­цев, умноженная на 10, а 12 — произведение нижних пальцев обе­их рук.


Для всех полудесятков, оканчивающихся на 0, применяется пер­вая процедура. Для чисел от 16 до 20 нижние пальцы имеют «цен­ность» 20, а добавляемая константа увеличивается до 200, как пока­зано в примере перемножения 17 и 19 (см. рис. 37).


Перемножая шесть нижних пальцев на 20, получаем 120. Произ­ведение верхних пальцев на обеих руках дает 3. К 123 добавляем константу 200 и получаем 323 — окончательный ответ. Биномная за­пись такова:


10 + 7

10 + 9 100 + 70

+ 90 + 63 100 + 160 + 63 = 323.


Если мы переместим влево 100 из 160, а 60 из 63 — в середину, то получим 200 + 120 + 3. Это соответствует подсчету на пальцах. Кон­станта здесь — 200, сумма нижних пальцев, умноженная на 20, рав­на 120, а произведение верхних пальцев каждой руки равно 3.

^ Таблица на рис. 38, взятая из статьи Ферда У. Макэлвейна Digital Computer — Nonelectronic («Неэлектронный компьютер»), опублико­ванной в сборнике Mathematics Teacher за апрель 1961 года, дает зна­чения нижних пальцев для каждого полудесятка, а также добавочные константы. Не забывайте, что для каждого полудесятка, оканчиваю­щегося на 0, используется первая процедура, в которой участвуют верхние пальцы. Для полудесятков, оканчивающихся на 5, использу­ется вторая процедура, где не участвуют верхние пальцы. Значения, придаваемые нижним пальцам для полудесятков, оканчивающихся на 5, равны \0(d — 1), где d — номер десятка. Для полудесятков, окан­чивающихся на 0, это значение 1(W. Добавочная константа для полу­десятков, оканчивающихся на 5, равна 100(d - I)2. Для полудесят­ков, оканчивающихся на 0, константа равна \00d(d — 1).

Данная таблица может быть продолжена для всех остальных по­лудесятков. Существует много способов записи общих формул для полной процедуры.

^ Значения Добавочная

Десяток Полудесятки нижних пальцев константа


1

1-5

0

0




6-10

10

0

2

11-15

10

100




16-20

20

200

3

21-25

20

400




26-30

30

600

4

31-35

30

900




36-40

40

1200

5

41-45

40

1600




46-50

50

2000

Рис. 38.

Таблица значений пальцев и констант для умножения чисел до 50


^ Натан Альтшиллер Курт в книге Mathematics in Fun and in Earnest («Математика в шутку и всерьез») 1958 года издания предлагает сле­дующую формулу:


(а + х)(а+у) = 2а(х +у) + (а-х)(а-у),


что может быть записано как


(а + х)(а +у) = а(х + у) + ху + а2,


где х и у — конечные цифры в числах, которые надо перемножить, а а может быть равно 5, 10, 15, 20, 25, 30, то есть первым числам каждого полудесятка.

Можно ли применять умножение на пальцах к числам из разных полудесятков, например, 17 х 64? Оказывается, да. К несчастью, этот процесс довольно сложен, требует придания различных значе­ний пальцам каждой руки, поэтому я отсылаю интересующихся к упомянутой выше статье Макэлвейна, где описан этот метод. Ко­нечно, всегда можно разбить большие числа на более мелкие части и провести с ними серию умножений на пальцах, а потом сложить промежуточные результаты для получения окончательного. Так, 9x13 можно представить как (9 х 6) + (9 х 7).

Во всем этом есть и философское зерно. Чистая математика в общепринятом понимании - продукт человеческого ума. Однако между ней и устройством мира существует удивительное соответ­ствие. Особенно ярко оно проявляется в поведении физических тел, например камешков или пальцев, сохраняющих свою индиви­дуальность. Так, «2 + 2 = 4» это не просто закон чистой арифмети­ки, независимой от реального мира, но и закон прикладной ариф­метики. Антропологи, изучающие различные культуры, постоянно стремятся привязать к обыденному народному сознанию науку, и в частности математику. Они заявляют, что, поскольку разные пле­мена используют различные системы счета, математические зако­ны являются строго культурными, как, например, правила пере­возки грузов или игры в бейсбол. Они забывают о том, что различ­ные системы исчисления, используемые разными народами, есть не более чем различные способы символического выражения и пе­редачи одних и тех же чисел, которые подчиняются одним и тем же арифметическим законам, вне зависимости от того, кто пользу­ется ими — математик из Гарварда или абориген, считающий на пальцах.

Очевидно, что нет такого места на Земле или на других планетах, где бы два и два пальца вместе не составляли бы четыре. Единствен­ное исключение я нашел в романе Дж. Оруэлла «1984». В описанной там жуткой сцене пыток Уинстон Смит, в конце концов, вынужден признать, что два плюс два равно пяти:


О'Брайен показал ему левую руку, спрятав большой палец.

— Пять пальцев. Вы видите пять пальцев?

-Да.

И он их видел, одно мимолетное мгновение, до того, как в голове у него все стало на свои места. Он видел пять пальцев и никакого иска­жения не заменсиг.

Точно такая же возможность рассматривалась Достоевским. «Но дважды два четыре — все-таки вещь пренесносная, — говорит герой повести «Записки из подполья». — Дважды два четыре — ведь это, по моему мнению, только нахальство-с. Дважды два четыре смотрит фертом, стоит поперек вашей дороги руки в боки и плюется. Я со­гласен, что дважды два четыре — превосходная вещь; но если уже все хвалить, то и дважды два пять — премилая иногда вещица».

Может, это и премило, однако не применимо ни к какому логи­чески возможному миру. Это субъективное, противоречащее само себе заблуждение, которое может возникнуть лишь временно, и то под влиянием «коллективного солипсизма» (как называл это Ору-элл), когда любая истинность, в том числе и в науке, определяется без связи с абстрактными законами логики или с математическими законами построения внешнего мира.


ДОПОЛНЕНИЕ

Дж. Э. Линдон, проживающий в английском городе Эддлстоуне, является, на мой взгляд, величайшим современным английским ав­тором юмористических стихов. Так как его произведения не слиш­ком широко печатаются (единственным исключением в США слу­жит опубликованная The Worm Runner's Digest), то большая их часть доступна лишь его знакомым, которым, я надеюсь, хватает ума их хранить. Приведенная ниже поэма, посвященная открытию ариф­метики, попала ко мне в 1968 году — вскоре после того, как эта гла­ва появилась в Scientific American.


^ У ИСТОКОВ АРИФМЕТИКИ Дж. Э. Линдон


Шел первобытный Магг по лесу, Съедая всё, что мог поймать, И так набрел он на поляну, Где Огг надумал размышлять.


^ Смотрел, смотрел он всё на камни (их было двадцать и один), Костистый лоб свой тер забавно, угрюм, задумчив, недвижим.

О о о ° ° • о д 0 ф о о % 0

Какого черта Огг глядит — Тряхнул Магг головой — На сей расколотый гранит? — и грохнул булавой.


^ Огг тыкал в камни, а затем Стал пальцы загибать. Рассвирепев, воскликнул Магг: «Что, колесо опять?»


Огг, с гулом стукнув себя в грудь, Ответил: «Есть идея, Но записать её — никак, увы, я не умею.


^ Смотри: возьмем с тобой по три руки и пары глаз, и это — словно две руки, ноги и нос взять раз».

О«0О «О, Оо0 ,о„ „оо,,


Сложив прямоугольник вмиг, Продолжил Огг: «Смотри, здесь три по семь камней в рядах, А также... семь по три.

о о

о

о А о О о о О О о

о ©о Q ^ * о ©


о °о

о о О




^ И если верно для камней, что дважды два — четыре, так верно то для всех вещей, что есть иль будут в мире!»


Магг мрачно камни оглянул и рыкнул исподлобья: «Не понял я, что ты загнул, проверим-ка теорию!»


^ С трудом собравши жен своих (Огг — двух, а Магг — четыре плюс две руки и плюс нога), сказали: встаньте шире!


Все тщетно было, и тогда Магг взял свою дубину и стал порядок наводить в рядах своих любимых.


^ Триумф идеи налицо: Три по семь — семь по три! Огг в восхищении орет А Магг считает их.


Кусок гранита поострей, Огг от скалы отбил И высек сразу же на ней: «Здесь Огг закон открыл...»

^ Магг заскучал и прочь побрел, чтоб новых жен добыть: ведь сколько, чтоб открыть закон, придётся жен побить?!


ОТВЕТЫ

Единственное решение «венерианской» задачи 12 + 12 = 101 в тро­ичной системе исчисления. Таким образом, у венерианцев должно быть по 3 пальца на каждой руке. (Венерианская сумма эквивалент­на 5 + 5 = 10 в нашей, десятичной, системе.) Реймонд Де Мерс на­писал мне, что, если у венерианцев по три пальца на руках, то, ско­рее всего, они будут пользоваться шестеричной системой. Он счита­ет, что более вероятно, исходя из условия задачи, что у них всего три пальца, на одной руке — один, а на второй — два.

Кеймерон Д. Андерсон из Уиндзора, Онтарио, Канада, и англи­чанин Гренвилл Тернер из Шеффилдского университета предполо­жили, что венерианские символы могут означать не сложение, а ум­ножение. Тогда решений у этой задачи может быть неограниченное число. Вы можете попробовать доказать, что решение для наимень­шей основы системы счисления — это 13 х 13 = 171 в восьмеричной системе.

Во втором задании предполагается, что десять вытянутых паль­цев обеих рук означают десять единиц в бинарной системе, что эк­вивалентно 210 — 1, или 1023 в десятичной, вам нужно найти про­стой метод вычитания из этого числа некоего меньшего п. Фредерик Пол в вышеупомянутой статье предлагает следующее: п необходимо просто выразить в двоичной системе, используя пальцы так, как описано. Теперь, загибая каждый вытянутый палец и вытягивая каждый загнутый — то есть заменяя двоичные единицы на нули и наоборот, — мы получим нужный нам ответ в бинарной системе.

ГЛАВА 9


Ленты Мёбиуса


Стриптизершу по имени Мила К фантастике страсть погубила. Новый танец придумать решив, Назвала его «Мёбиус-стрип» — И больше не видели Милу.

^ Сирил Корнблат


У листа бумаги две стороны и одна грань, огибающая его по замкну­той кривой. Может ли существовать такой лист, у которого будет од­на грань и одна сторона, так что муравей сможет переползти между любыми двумя точками листа, ни разу не пересекая грани? Трудно в это поверить, но действительно никто не замечал существования односторонних поверхностей, пока немецкий математик и астро­ном Август Фердинанд Мёбиус, скончавшийся в 1868 году, не опи­сал в своем труде «Werke» (т. 2, 1858) ленту с половинным оборотом. После этого лента, получившая имя своего первооткрывателя, стала самой известной из многочисленных топологических забав. Топо­логия — это широкая область современной математики, изучающая способность структур деформироваться без разрывов (так называе­мая «непрерывная деформация»).

Деформация, при которой сохраняются топологические особен­ности, такие как односторонность ленты Мёбиуса, часто поясняет­ся на примере ленты из мягкой резины, которая может быть сфор­мована в объект любой конфигурации при условии, что в ней не де­лается разрывов, а также отделения и перестановки частей. Однако это распространенное заблуждение. Деформация, сохраняющая то­пологические особенности, должна определяться куда более техни­ческим способом, включая сохранение расстояний между точками. Вполне реально существование двух топологически эквивалентных структур (гомеоморфных, как любят говорить топологи), которые в нашем трёхмерном пространстве не могут быть преобразованы одна в другую непрерывной деформацией. Один из простых примеров — две резиновые ленты Мёбиуса, являющиеся зеркальным отображе­нием друг друга, так как они повернуты в противоположных на­правлениях. Эти ленты невозможно преобразовать одну в другую путем растягивания и выворачивания — однако они топологически идентичны. То же самое верно для ленты Мёбиуса и ленты с тремя или иным нечетным числом полуповоротов. Все такие ленты, а так­же их зеркальные отображения являются гомеоморфными, хотя ни одну из них нельзя превратить в другие путем «резиновой» деформа­ции. То же верно и для всех лент (и их зеркальных отображений) с четным числом полуповоротов. Такие ленты топологически отлича­ются от лент с нечетным числом полуповоротов, но гомеоморфны друг другу (см. рис. 39).

^ Они гомеоморфны, как говорят топологи, внутренне, то есть при рассмотрении только самих поверхностей, но не пространства, в ко­тором они могут располагаться.


Именно потому, что наша модель ленты Мёбиуса помещена в трёхмерном пространстве, она не может быть преобразована в свое зеркальное отображение или в ленту с тремя полуоборотами. Если бы мы могли поместить бумажную ленту Мёбиуса в четырёхмерное пространство, было бы возможно преобразовать её, «вернув» обрат­но в любую сторону, как и ленту с любым нечетным числом полу­оборотов. Точно так же ленту без поворотов (топологически эквива­лентную цилиндру или листу бумаги с отверстием в нем) можно бы­ло бы, поместив в четырёхмерное пространство, повернуть и вер­нуть обратно в наши три измерения с любым четным числом полу­оборотов любого направления.

Но вместо того чтобы воображать манипуляции с лентами в че­тырёхмерном пространстве, давайте лучше представим их как спо­собные к самопересечению поверхности нулевой толщины в трёх измерениях. Довольно просто вообразить, как изменить скручен­ную ленту, пропустив её сквозь себя и превратив в топологически эк­вивалентную структуру. Например, «призрачная» лента Мёбиуса может быть пропущена сквозь себя, в результате чего получится её зеркальное отображение. То же возможно и с любой поверхностью с нечетным числом поворотов любого направления.

Если скрученная лента находится в трёхмерном пространстве, то говорят, что «она обладает внешними топологическими свойствами», которых не имеет при рассмотрении отдельно от пространства, в которое помещена. Лишь в этом «внешнем» смысле можно говорить о том, что лента Мёбиуса топологически отлична от, скажем, ленты с тремя полуоборотами.

Самая фантастическая особенность ленты Мёбиуса (или любой структуры, внутренне идентичной ей) в том, что при разрезании точно по средней линии получается не две ленты, а одна большего размера.

Поразительно, но новая лента, полученная таким способом, ока­зывается двусторонней и двугранной. Поскольку топологическая структура помещена в трёхмерном пространстве, она имеет 2п + 2 полуоборота, где п — число (нечетное) полуоборотов исходной лен­ты. Если п = 1, у новой ленты будет 4 полуоборота — четное число, то есть она будет внутренне гомеоморфна цилиндру. Если п = 3, у получившейся ленты будет восемь полуоборотов, и она завяжется в простой узел.

Лента с четным числом полуоборотов (0, 2, 4,...) при разрезании всегда дает две отдельных ленты, идентичные исходной, за исклю­чением ширины. В трёхмерном пространстве у каждой такой ленты будет п полуоборотов и две ленты будут соединены в п/2 местах. Так, если п = 2, при разрезании вдоль получается две ленты, каждая с двумя полуоборотами, соединенные подобно звеньям цепи. Если п = 4, одна лента будет дважды обвиваться вокруг второй. При п = 2 можно разрезать ленту и получить два соединенных кольца, ото­рвать одно, второе разрезать на два ещё более тонких, соединенных в цепочку, оторвать одно, и продолжать в том же духе (теоретичес­ки) сколько угодно.

^ В книге «Математические чудеса и тайны»3 (Mathematics, Magic, and Mystery) я объяснял, как фокусники используют эти особеннос­ти в старинном трюке с разрыванием одежды под названием «Аф­ганские ленты». Стивен Барр предложил новый способ демонстра­ции тех же самых свойств. Он начертил среднюю линию на широ­кой и тяжелой бумажной ленте раствором нитрата калия, а затем подвесил ленту на гвоздь так, чтобы она опиралась на него лишь по­ловиной своей ширины. Теперь, если прикоснуться к нарисованной линии в нижней точке кольца тлеющей сигаретой, она быстро заго­рается, и огоньки, поднимаясь вверх по обеим сторонам кольца, встречаются наверху. Половина ленты отваливается, образуя либо одну ленту большего размера, либо две соединенные в цепочку лен­ты, либо завязанные узлом ленты, в зависимости от того, сколько полуоборотов (один, два или три) было у исходной ленты.

^ Ещё один неожиданный результат можно получить, разрезав ленту с нечетным числом полуоборотов на три части, то есть начав резать на расстоянии Уз ширины от края и дважды обойдя кольцо. В результате получается лента, идентичная исходной, за исключе­нием ширины (это центральная треть исходной ленты), соединен­ная со второй, в два раза длиннее, которая идентична (только уже) ленте, получающейся при разрезании исходной ленты надвое. Если п = I (лента Мёбиуса), при разрезании натрое получается маленькая лента Мёбиуса, соединенная с более длинной двусторонней лентой с четырьмя полуоборотами (см. рис. 40).

Исходя из этого, двое моих читателей — Элмер Л. Мюнгер и Сти­вен Р. Вудбери — независимо друг от друга предложили заниматель­ную головоломку. После того как вы получили две соединенные ленты путем разрезания ленты Мёбиуса натрое, попробуйте сделать из них тройную ленту Мёбиуса, показанную на рис. 40. Если у вас это получится, результатом будет забавная структура, в которой две внешние «ленты» на всем протяжении разделены находящейся «между» ними лентой Мёбиуса.

3 1-е изд: М.: Мир, 1964.

При этом можно предположить, что лента Мёбиуса окружена двумя отдельными лентами, — но, конечно, вы понимаете, что это не так. Такую же структуру можно получить, сложив вместе три идентичные ленты. Можно их свернуть, удерживая вместе, а затем




соединив три соответствующие грани. Если такую тройную ленту покрасить «снаружи» в красный цвет, то вы увидите, что можно поменять местами внешние части таким образом, чтобы красная сторона большей ленты оказалась внутри, а тройная лента снару­жи оказалась неокрашенной. Весьма занимательно делать подоб­ные ленты толщиной в т слоев с п полуоборотами, а затем попы­таться вычислить, каковы будут результаты их разрезания на две и три части.

У ленты Мёбиуса есть много загадочных внутренних качеств. То­пологи называют её «неориентируемой». Представьте себе ленту как истинную поверхность нулевой толщины. Мысленно поместите в это двумерное пространство плоских существ, зеркально несиммет­ричных (не идентичных собственному зеркальному отображению). Если такое существо один раз обогнет ленту, оно превратится в зер­кальное отображение себя самого. (Космологи разработали анало­гичные модели повернутого трёхмерного пространства, в котором астронавт смог бы совершить путешествие «вокруг» космоса и вер­нуться с сердцем с другой стороны.) Не забывайте о том, что дву­мерные существа находятся «в» поверхности нулевой толщины, а не «на» ней.

Все неориентируемые поверхности должны содержать хотя бы одну мёбиусову поверхность. Иначе говоря, из любой неориентиру-емой поверхности можно вырезать мёбиусову поверхность. Тополо­ги обнаружили множество причудливых типов неориентируемых поверхностей, таких как бутыль Клейна, проективная плоскость и поверхность Боя (открытая немецким математиком Вернером Бо­ем). Все они замкнуты и не имеют краев, как поверхность сферы. Бутыль Клейна может быть разрезана пополам, в результате чего по­лучаются две ленты Мёбиуса, как я объяснял в своей книге Sixth Book of Matematical Games from Scientific American («Шестая книга ма­тематических игр от Scientific Атепсап»). Проективная плоскость превращается в ленту Мёбиуса, если в ней прорезать дыру.

Все неориентируемые поверхности в трёхмерном пространстве односторонни, а все ориентируемые (в которых плоские асиммет­ричные существа не могут поменять ориентацию на зеркальную) — двусторонни. Число сторон при этом не является внутренним топо­логическим свойством, как «ориентабельность». Лишь в нашем трёхмерном пространстве мы можем говорить о том, что двумерная поверхность имеет одну или две стороны. Точно так же мы можем говорить о замкнутой одномерной линии как об имеющей наруж­ную и внутреннюю стороны при размещении на плоскости.

Другая внутренняя особенность, присущая ленте Мёбиуса, имеет отношение к теории графов. На плоскости или на любой ленте с четным числом полуповоротов максимальное число точек, которые можно соединить непересекающимися линиями, прохо­дящими между каждой парой точек, четыре (см. рис. 41). Нетрудно доказать, что с пятью точками это проделать невозможно. Однако на мёбиусовой поверхности можно соединить непересекающими­ся линиями шесть точек. Рассмотрим шесть точек на полоске бу­маги (см. рис. 41). Допустим, два конца полоски соединяются, при этом лента поворачивается один или любое другое нечетное




^ Рис.41.

Точки на плоскости (слева) и на ленте (справа)


число раз. Можете ли вы соединить точки попарно линиями, не пересекающимися друг с другом и не проходящими через точки? Здесь мы также предполагаем, что полоска имеет нулевую толщи­ну. Каждую линию нужно представить как проходящую «в» бума­ге, подобно чернилам ^ просачивающимся на противоположную сторону листа.

Ленте Мёбиуса находится и практическое применение. В 1923 го­ду Ли де Форест получил американский патент на пленку в виде ленты Мёбиуса, на обеих «сторонах» которой можно было записы­вать звук. Аналогичная идея была применена в магнитофонах, что­бы в два раза увеличить длительность записи на перекрученной ленте. Несколько патентов было выдано на конвейерные ленты в виде ленты Мёбиуса, которые можно использовать с обеих сторон. В 1949 году О. X. Харрису был выдан патент № 2479929 на абразивную ленту Мёбиуса. Компания Б. Ф. Гудрича стала обладательницей подобно­го же патента (№ 2784834) в 1957 году. В 1963 году патент № 3302795 был выдан Дж. У. Джейкобсу на самоочищающуюся фильтроваль­ную ленту для уборочных машин. В результате стало легко смывать грязь с обеих «сторон» ленты по мере её оборота.

^ В 1963 году Ричард Л. Дэвис, физик из альбукеркской корпора­ции «Сандия», изобрел резистор с нулевой реактивностью на прин­ципе ленты Мёбиуса.

Подсоединив металлическую фольгу двумя концами к непро­водящей ток резине, а затем свернув из этой конструкции трой­ную ленту Мёбиуса, Дэвис обнаружил, что при пропускании эле­ктрических импульсов в обоих направлениях по фольге лента приобретает любые желаемые характеристики электропроводи­мости (см. Time за 25 сентября 1964 года и Electronics Illustrated за ноябрь 1969 года).

Лента Мёбиуса стала предметом вдохновения для многих совре­менных скульпторов, которые создают на её основе абстрактные творения. В новом Музее истории и технологии при Смитсонов-ском институте в Вашингтоне выставлена восьмифутовая стальная лента Мёбиуса, медленно вращающаяся на пьедестале. Она уста­новлена прямо перед входом в музей. Швейцарский скульптор Макс Билль создал на основе ленты Мёбиуса десятки разнообраз­ных абстрактных работ (см. рис. 42).

Художники также используют ленту Мёбиуса в живописи и рек­ламной продукции. На рисунках 43 и 44 представлены два примера использования её голландским художником Морисом К. Эшером. В 1967 году Бразилия принимала математический конгресс, и в его честь была выпущена марка с изображением ленты Мёбиуса. В 1969 го­ду эта лента, но в виде треугольника, была изображена на марке, вы­пущенной в Бельгии. (Эти марки показаны на рис. 45.)

Уплощенная в виде треугольника лента Мёбиуса стала офици­альным символом выставки «Экспо-74», проходившей в Спокейне, штат Вашингтон. На обложке журнала New Yorker за 5 апреля 1976 года красовалась лента Мёбиуса, по которой в обоих направлениях шагало около 30 бизнесменов.

Лента Мёбиуса служит центральной идеей для многих научно-фан­тастических произведений, начиная с моего «нульстороннего» профес­сора (из No-Sided Professor) и заканчивая «Стеной мрака» {The Wall of Darkness) Артура Кларка, опубликованного в июле 1949 года в сборни­ке Super Science Stories. Многие друзья присылали мне на Рождество открытки с разными пожеланиями, например, «бесконечной радос­ти», написанными на ленте Мёбиуса. Интересно, что если вы будете крутить в пальцах такую ленту с надписью, то слова будут всегда напи­саны нормально, хотя при этом на её внутренней стороне они окажут­ся вверх ногами. Когда я был редактором журнала Humpty Dumpty

Рис. 42.

«Непрерывная поверхность в форме колонны» (1953), галерея Олбраита -Нокса, Буффало




Magazine, то даже придумал игру на этом принципе (см. мой рассказ Watch the Thanksgiving Day Parade, ноябрь 1955 года, с. 82—84).

Писатели, пользующиеся печатными машинками и печатающие быстро, чтобы не заменять постоянно бумагу, нередко вставляют в машинку бумагу в рулонах, похожих на бумажные полотенца. Если брать достаточно длинную полосу бумаги, то её можно замкнуть в петлю, повернув так, чтобы печатать непрерывно на обеих сторо­нах. Уолдо Р. Тоблер как-то предложил напечатать на ленте Мёбиу­са карту мира так, чтобы полюса находились на её ребрах, а линии широты и долготы располагались симметрично. Проткнув такую карту в любой точке, с другой стороны вы попадете в точку, которая на глобусе располагается диаметрально противоположно.

^ Гексафлексагоны являются фигурами с нечетным числом полупо­воротов, так что тоже представляют собой мёбиусовы поверхности.




Задача 15 из следующей главы позволит вам получить представ­ление о занимательной топологии «пересекающихся» лент Мёбиуса. Задача о минимальной длине ленты, которую можно свернуть и со­единить в ленту Мёбиуса, помещена в моей книге Book of Mathematical Games from Scientific American («Книга математических игр из Scientific Атегкап»), Спортсмены, занимающиеся лыжной ак­робатикой (фристайлом), сейчас выполняют трюк под названием «прыжок Мёбиуса», при исполнении которого делают сальто, одно­временно разворачиваясь вокруг своей оси.

Группа французских писателей и математиков, публикующая свои экспериментальные произведения под групповым псевдони­мом ^ ОиЫРо («УЛиПо»), пользуются лентой Мёбиуса для создания новых стихотворений. Например, на одной стороне ленты пишется четверостишие с рифмой абаб, а на другой — с рифмой вгвг. При сворачивании из неё ленты Мёбиуса получается новое стихотворе­ние с рифмами авбг — авбг. (Две главы моей книги Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers 1989 года издания посвящены творчеству УЛиПо.)

В последние годы даже авторы, не специализирующиеся на ма­тематике, кажется, прониклись любовью к мёбиусовым поверхно­стям как символу бесконечности. Существует стихотворение Чарльза Олсона «Лента Мёбиуса» и «Чета Мёбиусов: одиннадцать коротких неприличных историй» Кароля Берге, на обложке кото­рых изображена огромная лента Мёбиуса. Каждую из историй так­же венчают ленточки поменьше. «Когда мужчина и женщина ста­новятся любовниками, — написано на форзаце книги, — между ни­ми возникают потенциально бесконечные отношения, которые, подобно ленте Мёбиуса, не имеют ни начала, ни конца, а лишь не-


5-10396

прерывное протяжение... В этих историях — мудрость и откровен­ность, которых достаточно для того, чтобы вы почувствовали род­ство с этими людьми, как будто познакомились с ними где-то на мёбиусовой ленте жизни».

Не вполне понятно, что прибавляет к старинной метафоре коль­ца или круга поворот на бесконечной петле. Все, что он дает, — это приводит вас обратно в те места, где вы уже были, — но то слева, то справа. Однако остается неясным, как же приложить это к кино­пленке человеческой жизни?

^ Первый рассказ из книги Джона Барта Lost in the Funhouse («Потерявшийся в комнате смеха») был опубликован в 1968 году. Он, скорее всего, служит введением в повествование и устроен так, что его нужно читать на настоящей мёбиусовой поверхности. Читателю рекомендуется разрезать страницу по пунктирной ли­нии, затем свернуть и склеить, чтобы получилась лента Мёбиуса, на которой можно прочесть бесконечную «присказку». «В один прекрасный день произошла история, которая началась в один прекрасный день, когда произошла история, которая нача­лась...»

Это старинная детская присказка, которая имеет лишь бесконеч­ное начало, но не имеет ни середины, ни конца. Однажды я написал такой вот «метастих» без середины, с бесконечным началом и бес­конечным концом:


Жил да был метапоэт, Был он сыт, обут, одет, Но не знал, о нем писать, И тогда решил начать Вот такой вот метастих О безумных днях своих: «Жил да был метапоэт, Был он сыт, обу